Finanzwirtschaft 2 - Wiwi Uni-Frankfurt - Goethe

Schwerpunkt Finanzen
Johann Wolfgang Goethe Universität, Frankfurt (Main)
Prof. Dr. Mark Wahrenburg
Dipl.-Ökonom Hergen Frerichs
Finanzwirtschaft 2
Teil 1: Forwards, Optionen, Minimum Variance Hedge
3-stündige Vorlesung mit Übung im SS 2002
Finanzwirtschaft Wahrenburg
1
Gliederung
•
•
•
•
•
•
•
Termingeschäfte
Optionen
Prorfolioanalyse und Minimum Variance Hedge
Anleihebewertung
Floaters und Swaps
Zinsrisikomanagement
Unternehmensbewertung
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2
1
Internet
• http://www.finance.uni-frankfurt.de/
Lehre
Finanzwirtschaft 2
• Inhalte:
•
Termine und Räume
•
Folien, Übungsaufgaben
•
Literaturangaben
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3
Literatur: Auswahl im Semesterapparat der FBB
•
•
•
•
•
•
Benninga, Simon Z. und O. Sarig: Corporate Finance; McGraw-Hill; 1997.
•
•
•
Hull, John C.: Options, Futures & other Derivatives; Prentice-Hall, 2000.
•
Sharpe, William F. und G. J. Alexander, J. V. Bailey: Investments; Prentice-Hall, 6th Ed
1998.
•
Spremann, Klaus, Wirtschaft, Investition und Finanzierung. 5., Aufl.. – Muenchen,
Oldenbourg, 1996.
Benninga, Simon Z.: Financial Modeling; The MIT-Press; 1999.
Damodaran, Aswath: Investment Valuation; John Wiley & Sons, 1996.
Drukarczyk, Jochen: Unternehmensbewertung; Vahlen, 1998.
Fabozzi, Frank J.: Bond markets, analysis and strategies; Prentice-Hall, 1996.
Grinblatt, Mark und Sheridan Titman: Financial Markets and Corporate Strategy,
McGraw-Hill, 1998.
Mandl, Gerwald: Unternehmensbewertung; Ueberreuter, 1997.
Ross, Stephen A. und R.W. Westerfield, B.D. Jordan: Fundamentals of Corporate
Finance; 5th Ed., 2000.
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4
2
Termingeschäfte
Forwards und Futures
Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft
Prof. Dr. Mark Wahrenburg
SS 2001
21.05.2002
5
Anwendungsgebiete für Derivate
•
•
•
•
•
Hedging
Spekulation
Arbitrage
Financial Engineering
Reduktion von Transaktionskosten
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6
3
Der Wert von Derivaten kann abgeleitet werden aus dem
Wert des Underlyings
Underlyings von Derivaten
• Wertpapiere
Aktien, Anleihen
• Andere Finanzvariablen
Beispiel:
- Verkauf
- 10 Wertpapiere xyz
- Laufzeit: 1.4.2004
- Preis 100 Є
Wechselkurse, Zinssätze,
• Makroökonomische Variablen
Inflationsrate, ...
• Rohstoffpreise
Rohölpreis, Strompreis,...
• Weitere
Wetter, BSP, Versicherungsschäden,...
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7
Alle Derivate haben Settlement in der Zukunft
2 Hauptgruppen:
1. Verträge ohne Optionalität
Forwards, Futures, Swaps
kein Wahlrecht, ob Lieferung stattfindet oder nicht
2. Optionen
Plain vanilla options, exotische optionen
Eine Partei kann wählen, ob Settlement stattfinden soll
(physische Lieferung oder Settlement in Cash)
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8
4
Überblick
Termingeschäfte
nicht börsenmäßig organisiert
Forwards
börsenmäßig organisiert
Futures
auf Waren
Commodity Futures
auf Währungen
Währungs-Futures
auf Finanzinstrumente
Financial Futures
auf Zinsinstrumente
Zins-Futures
auf Aktienindizes
Aktienindex-Futures
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9
Forwards: Direkte Termingeschäfte
= Vereinbarung, heute geschlossen (in t):
• zu kaufen/verkaufen
• an einem zukünftigen Tag T
• zum Preis Ft,T
• Der Käufer ist „long“, der Verkäufer ist „short“
Hohes Erfüllungsrisiko (
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Kreditrisiko bei Insolvenz)
10
5
Physische Lieferung versus Cash Settlement
• In liquiden Märkten ist Cash Settlement eine einfache und
äquivalente Alternative zur Lieferung des Underlying
• Beispiel Devisentermingeschäft
Bank A kauft 1 Mio $ zum Terminkurs 1,3 Є /$
Dollarkurs am Settlementtag: 1,1 Є /$
- Physisches Settlement:
Bank A erhält 1 Mio $, zahlt 1,3 Mio. Є
- Cash Settlement:
Bank A zahlt Differenzbetrag:
1,3 Mio. Є - 1 Mio. $ * 1,1 Є = 200 000 Є
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11
Wert von Forwards
• Wert bei Abschluß:
null (per Konvention)
• Wert während Laufzeit
????
• Wert am Laufzeitende:
(ST – Ft,T) bzw. - (ST – Ft,T)
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12
6
Pay Off einer LONG Forward Position
Beispiel: Kauf 1 Unze Gold für 400 $
Pay Off = ST - 400
$400
Gewinn, wenn Goldpreis in T größer
als vereinbarter Terminpreis
ST (Goldpreis am
Laufzeitende)
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13
Pay Off einer SHORT Forward Position
Beispiel: Kauf 1 Unze Gold für 400 $
Pay Off = 400 - ST
ST (Goldpreis am
Laufzeitende)
$400
Gewinn, wenn Goldpreis in T kleiner
als vereinbarter Terminpreis
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14
7
Einsatz von Forwards zum Hedging
Beispiel:
- Landwirt kauft 500 Kälber für je 1000 Є
- Aufzuchtkosten: je 800 Є
- Verkauf in T zum Spotkurs ST
Gewinn ohne Hedge
π = 500 * (ST - 1800)
Hedge mit Shortposition auf 500 Rinder
risikoloser Gewinn in Höhe von
π
= 500 * (ST - 1800) + 500 * (Ft,T - ST )
= 500 * (Ft,T - 1800)
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15
Bewertung von Forwards während Laufzeit
Bewertung über No-Arbitrage-Bedingung:
Zwei äquivalente Alternativen:
1. Long Forward über 1 t Heizöl für Lieferung in 1 Jahr zum
Terminpreis von Ft,T
Pay Off: ST - Ft,T in einem Jahr
2. Kauf 1 t Heizöl heute, Lagerung des Öls, Kreditfinanziert
Pay Off: ST - St*(1+r) in einem Jahr
St*(1+r) = Ft,T
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„arbitragefreier Terminkurs“
16
8
Bewertung von Forwards während Laufzeit ff.
No-Arbitrage-Bewertung von Short Position
Zwei äquivalente Alternativen:
1. Short Forward über 1 t Heizöl für Lieferung in 1 Jahr zum
Terminpreis von Ft,T
Pay Off: Ft,T - ST in einem Jahr
2. - Verkauf 1 t Heizöl heute (Leerverkauf von Öl)
- Anlage des Erlöses zum sicheren Zins
- Rückkauf des Heizöls in 1 Jahr (Auflösung der Short
Position)
Pay Off: St*(1+r) - ST in einem Jahr
St*(1+r) = Ft,T
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17
Wie funktioniert Leerverkauf (Shortposition) von
Wertpapieren in der Praxis?
• Bank „leiht“ die Wertpapiere von anderem
Kunden und verkauft sie am Markt
• Bei Auflösung der Shortposition
Wertpapier am Markt zurückgekauft und
Leihvertrag beendet und Wertpapier
wieder ins Depot des Kunden gelegt
• Während der Laufzeit zahlt Short-Investor
Dividenden/Zinsen an den Kunden
• Wenn Kunde das Wertpapier während
Leihe verkaufen will, sucht Bank einen
anderen „Ausleiher“
• Bank bürgt für Kreditwürdigkeit des ShortInvestors
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9
Für Bewertungsszwecke ist eine Shortposition ist wie
„Longposition mit umgekehrten Vorzeichen“
Tag 1
Tag 2
100
150
Long Position:
-100
+150
+50
Short Position:
+100
-150
-50
Wertpapierpreis
Gewinn
(„Leerverkauf“)
Problem: Kreditwürdigkeit des Shortinvestors
Sicherheitenkonto (Marginkonto)
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19
Bewertung eines Devisentermingeschäfts
• Beispiel: Kauf von 1 $ in einem Jahr
Terminkurs heute in Euro?
• Replizierendes Portfolio:
Beispiel: rЄ =10%, r$ = 5%, wt = 0,9 $/Є (1,11 Є/$ )
1. Kauf von 1/(1+r$) $ (0,952 $) heute
2. Anlage in $ mit 1 Jahr Laufzeit
3. Kreditfinanzierung des $-Kaufes
t
Fx-Spot
Anlage $
Kredit Euro
Saldo
in Euro
-1,058
1,058
0
in $
0,952
-0,952
T
in Euro
in $
1
-1,164
0
1,164 $/Є bzw. 0,85 Є/$ ist der arbitragefreie Terminkurs
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20
10
Implizite Annahmen der arbitragefreien Bewertung
1. Lagerung möglich
2. keine Lagerkosten
3. kein Vorteil aus Lagerhaltung
(Nutzen der jederzeitigen Verfügbarkeit)
• realistische Annahme für Wertpapiere, Gold,
• unrealistische Annahme für viele Rohstoffe
(
können nicht mit No-Arbitrage-Prinzip bewertet werden)
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Die Basis und Konvergenz von Future und Spot
Terminkurs
Basis Bt = Ft - St
Spotkurs (Kassakurs)
T
Zeit
Erfüllungstermin
(Fälligkeit)
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11
Entwicklung der Basis im Zeitablauf
Basis Bt = Ft - St
Contango (F > S)
T
Zeit
Backwardation (F < S)
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23
Futures: „börsengehandelte Termingeschäfte“
• Standardisierte Verträge nach Gegenstand, Umfang, Laufzeit, etc.
• Anonymer Börsenhandel mit Zwischenschaltung eines Intermediärs
(z.B. Eurex)
• Börse tritt selbst als Gegenpartei auf
Börse übernimmt Erfüllungsrisiko
• Börse fordert im Gegenzug Sicherheiten (Margin)
- Initial Margin
- Mainenance Margin
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24
12
Beispiel für Margin Accounting eines Futures Geschäfts
Bsp: Investor übernimmt Long- Position in 2 Gold Futures
am 5. Juni mit Fälligkeit Dezember
•
Kontraktgröße: 100
•
Aktueller Futures Preis: $400
•
Nominalwert der Gesamtposition: 2*100*$400 = $80 000
•
Initial Margin: $2,000/contract
•
Maintenance margin: $1,500/contract ($3,000 total)
(Wenn Marginkonto unter $1500/Vertrag fällt, muß es auf
$2000/Vertrag aufgefüllt werden)
(US$4,000 total)
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Beispielhafte Wertentwicklung des
Futuresmarginkontos
Täglicher Kumulierter
Gewinn
Gewinn
(Verlust)
(Verlust)
Margin
KontoStand
Tag
Futures
Preis
5-Jun
.
.
.
397.00
.
.
.
(600)
.
.
.
(600)
.
.
.
3,400
.
.
.
13-Jun
.
.
.
393.30
.
.
.
(420)
.
.
.
(1,340)
.
.
.
2,660
.
.
.
+ 1,340
= 4,000
.
.
< 3,000 !
19-Jun
.
.
.
387.00
.
.
.
(1,140)
.
.
.
(2,600)
.
.
.
2,740
.
.
.
+ 1,260
= 4,000
.
.
.
26-Jun
392.30
260
(1,540)
5,060
400.00
Margin
Call
4,000
0
.
.
.
0
Gesamtverlust: 1340 + 1260 - (5060 – 4000) = 1540 = (400 – 392.3)*200
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13
Vergleich Forwardkurs vs. Futurekurs
Ceteris paribus gilt:
Summe der Zahlungen auf Marginkonto aus Future
=
Gewinn/Verlust aus Forward
„praktisch“ äquivalent
Unterschied zwischen Forwardkursen und Futureskursen minimal
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27
Beispiel: Bundfutures an der Eurex
• Termingeschäft für festverzinsliche Anleihen:
8,5- bis 10-jährige Bundesanleihen oder
Schuldverschreibungen der Treuhandanstalt.
• Delivery Option: Auswahlfreiheit über die zu liefernde
Anleihe (CTD: „cheapest to deliver“)
=> streng genommen keine reines Termingeschäft
• Konversionsformel: Umrwechnung auf 6% Koupon bei
Lieferung einer Anleihe mit anderem Koupon
• Vier Liefertermine
(i.e. vier verschiedene Kontrakte mit Erfüllung Sept.,
Dez., März, Juni)
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14
Grenzen der arbitragefreien Bewertung
• Geringe Kosten der Arbitrage
=> Arbitragefreiheit setzt sehr enge Grenzen für Terminkurs
Bsp: Termingeschäfts auf liquide Wertpapiere, Fx
• Hohe Kosten der Arbitrage
Bsp: Lagerkosten bei Warentermingeschäfte wie Rohöl u.a.
=> Arbitrage setzt relativ weite Grenzen
• Unmöglichkeit der Arbitrage
Bsp: fehlende Lagerfähigkeit, z.B. Milch
=> Arbitrageure können nicht aus einer „Fehlbewertung“ profitieren
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Futurespreisbildung in Abwesenheit von
Arbitragemöglichkeiten (Bsp: Future auf Rinderpreis)
• Preis richtet sich nach Angebot und Nachfrage
• 2 Gruppen von Marktteilnehmern:
- Hedger (sind bereit, eine Risikoprämie zu zahlen)
- Spekulanten (übernehmen Risiko gegen Prämie)
• Keynes Theorie der „Normal Backwardation“ auf Warenmärkten:
Hersteller/Lieferanten wollen hedgen (auf Termin verkaufen)
Konsumenten haben kein Hedgingbedürfnis
Spekulanten müssen die Gegenposition einnehmen
Terminkurs < erwarteter zukünftiger Spotkurs,
damit Spekulanten die Gegenposition übernehmen.
Hedginggeschäft führt im Erwartungswert zu Verlust
„Kosten des Hedging“
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15
Basisrisiko eines Futureshedge
Futures
Preis
Spot Preis
Futures
Preis
Spot Preis
Zeit
Wenn sich die Basis ändert ist ∆S ≠ ∆F
Zeit
kein perfekter Hedge von Spot durch Future
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31
Rollierende Hedgingstrategien
• Sequenz von Futuresgeschäften zur Absicherung
langfristiger Positionen
• Beispiel Metallgesellschaft: Absicherung langfristiger
Lieferverbindlichkeiten in Öl mit Serie von kurzfristigen
Futuregeschäften
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16
Beispiel zu rollierendem Hedge (Metallgesellschaft)
• Grundgeschäft: Verkauf von 1 Barrel Öl in T=3 zu $20
• Gewinn ohne Hedge: $20 - S3 ( Spotpreisrisiko!)
• Gewinne/Verluste der rollierender Hedgestrategie
mit kurzfristigen Longpositionen in Futures:
(Futurepreis = Spotpreis + Basis)
T=1:
T=2:
T=3:
S1 - F0,1
S2 - F1,2
S3 - F2,3
= S1 – S0 – B0,1
= S2 – S1 – B1,2
= S3 – S2 – B2,3
• Totalgewinn mit Hege: $20 – S0 – B0,1 – B1,2 – B2,3
„Tausch“ von Spotpreisrisiko gegen Basisrisiko!
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33
Optionen:
Risken und Bewertung
21.05.2002
34
17
Übersicht
• Der Optionsvertrag
• Pay Offs / Financial Engineering
• Wertgrenzen
• Put-Call-Paritätsbedingung
• Bewertung von Optionen
•
Binomialmodell
•
Black/Scholes Modell
• Optionsrisiken
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35
Definition Optionsvertrag
1. Für den Käufer:
- Das Recht (keine Pflicht!),
- einen Vermögensgegenstand (Underlying)
- zu einem vorab festgelegten Ausübungspreis
(Strike, Exercise Price)
- innerhalb der Laufzeit (amerikanische Option) oder
am Verfallstag (europäische Option)
- zu kaufen (Call Option) oder
zu verkaufen (Put Option)
2. Verkäufer (Stillhalter):
Pflicht, das Underlying zu verkaufen
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36
18
Optionspositionen
• Long call
• Long put
• Short call
• Short put
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37
Terminologie
Moneyness von Calls :
•
At-the-money option
Strike = aktueller Kurs
•
In-the-money option
Strike < aktueller Kurs
•
Out-of-the-money option
Strike > aktueller Kurs
(für Puts: <> zeichen vertauschen!)
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38
19
Bestandteile eines Optionsvertrages
•
•
•
•
•
Optionsprämie = Preis der Option
Optionsfrist (Laufzeit, Maturity)
Ausübungspreis (Strike)
Basiswert (Underlying Asset)
Sonderklauseln, z.B.
- Dividendenschutz
- Verwässerungsschutz
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39
Weitere Formen von Optionsgeschäften
•
•
•
•
Optionsscheine
Optionsanleihen
Wandelanleihen
Kündbare Anleihen
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40
20
Exotische Optionen
Beispiele:
» Barrier options
» Asian options
» Binary options
» Chooser options
» Compound options
» Lookback options
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41
Motive für den Abschluß von Optionsgeschäften
Für Optionskäufer:
• Spekulation mit begrenztem Kapitaleinsatz
z.B. Kauf eines Calls
• Absicherung einer Position gegen Verlustrisiken
z.B. Absicherung einer Aktie durch Put (Versicherung
gegen sinkende Kurse)
Für Optionsverkäufer:
• Vereinnahmung der Optionsprämie
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21
Pay Off der europäischen Standardoption am
Laufzeitende
Long Call
Long Put
X
X
X
ST
Pay Off = max(0; ST - X)
ST
Pay Off = max(0; X - ST )
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Pay Off der europäischen Standardoption am
Laufzeitende ff.
Short Call
Short Put
X
X
ST
ST
- X
Pay Off = min(0; X - ST )
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Pay Off = min(0; ST - X)
44
22
Was macht Optionen zu „einzigartige Innovationen“?
1. Asymmetrisches Kreditrisiko
Kreditwürdigkeit des Käufer irrelevant
=> anonymer Handel ohne Marginleistungen möglich
2. Durch Portfoliobildung aus Optionen, Underlying und
Anleihen können vielfältige Pay Offs generiert werden.
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Netto Pay Offs (nach Berücksichtigung der
Optionsprämie)
Gewinn
X
ST
- OP
OP: Optionsprämie
X: Ausübungspreis
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23
Kombination von Aktie (long) und Put (long )
Gewinn
Aktie
Gesamtposition
X-OP
ST
X
- OP
Option
OP: Optionsprämie
X: Ausübungspreis
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47
Financial Engineering: Straddle
Long Call
+
X
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Long Put
X
=
Straddle
X
48
24
Variation: Der Strangle
Gewinn
X1
X2
ST
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49
Ein Butterfly Spread aus Call Optionen
Gewinn
X1
Finanzwirtschaft Wahrenburg
X2
X3
ST
50
25
Notation
•
•
•
•
• S : aktueller Aktienkurs
c : Wert Europäischer Call
in t
p : Wert Europäischer Put
C : Wert amerikanischer Call
P : Wert amerikanischer Put
•
X : Ausübungskurs
•
T –t : Laufzeit
•
•
σ:
Volatilität der Aktie
ST : Aktienkurs in T
• r:
risikoloser Zins
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51
Wirkung der Variablen auf Optionswert
Variable
S
X
T
σ
r
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c
+
+
+
+
p
+
+/+
-
52
26
Wertuntergrenze für Call
• Für Option auf Aktie ohne Dividendenzahlung bis T gilt:
ct > S t − Xe − r (T −t )
• Beweis:
Portfolio A: Call + Zerobond mit Nominalwert X
Portfolio B: Aktie
Wert in T
Portfolio A
Portfolio B
Vergleich
ST<X
X
ST
VA>VB
ST>X
(ST-X)+X=ST
ST
VA=VB
⇒ ct + Xe − r (T −t ) > S t
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53
Optionwert = Innerer Wert + Zeitwert
ct > St - Xe-r(T-t)
Wert des Calls
Zeitwert (Time value)
Innerer Wert (Intrinsic value)
Xe-r(T-t) X
Option aus dem Geld
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St
Option im Geld
54
27
Bewertungsgrenzen: Call
ct ≤ St
Wert des Calls
ct ≥ 0
Xe-r(T-t) X
Option aus dem Geld
ct > St - Xe-r(T-t)
St
Option im Geld
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55
Amerikanische vs europäische Optionen
Eine amerikanische Option ist c.p.
mindestens so viel wert wie eine europäische
Option
C ≥c
P ≥p
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56
28
Aber: keine Ausübung vor Laufzeitende!
• Für Dividende = 0 gilt:
Ct ≥ ct > St − Xe − r (T −t )
⇒ Ct > S t − X
•
(s.o.)
(=Erlös bei Ausübung)
Verkauf der Option bringt höheren Erlös als vorzeitige
Ausübung !!
• Vorzeitige Ausübung irrational!
• Wert der amerikanischen und europäischen Option
identisch! (
C = c)
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57
Beziehung zwischen Call und Put: Put-Call-Parität (1)
1. Kombination von Call (long) und Put (short)
Pay Off Call
Total
Pay Off Put
=
+
0
X
X
0
X
-X
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58
29
Put-Call-Parität (2)
2. Kombination von Aktie (long) und Kredit über X (bis T)
Aktie
total
Kredit
=
+
0
0
-x
-K
X
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59
Put-Call-Paritätsbeziehung (3)
Fazit:
Wert Europäischer Call - Wert Europäischer Put
=
Aktienkurs - Barwert des Basispreises
⇔
ct - pt = St - Xe-r(T-t)
⇔
pt = ct - St + Xe-r(T-t)
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60
30
Optionsbewertung während Laufzeit
• Grundidee des Black Scholes Modells:
eine (dynamisch angepaßte) Handelsstrategie in Aktien
und Anleihen kann geeignet sein, eine Option zu
replizieren
=> Wert des Calls = Wert des replizierenden Portfolios
Voraussetzung: Gültigkeit eines stochastischen Modells
der Aktienkursentwicklung („Brownian Motion Annahme“)
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61
Binomialbewertungsmodell für Call
• Option mit Strike = 100, eine Periode Laufzeit
• Annahme: Der Aktienkurs kann zukünftig zwei Werte
annehmen (Ein-Perioden-Binomialmodell)
125
25
c
100
75
0
• Welche Aussagen kann man über c machen?
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62
31
Schritt 1: Risikoloses Portfolio bilden
• Kaufe eine Aktie und verkaufe m Optionen, so daß das
Portfolio risikolos ist:
100-mc
-mc
100
125-25m
-25m
125
75
0
75
• Welches m macht das Portfolio risikolos?
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63
Schritt 2: Bewertung durch Arbitrage
• m = 2 führt zu risikolosem Portfolio
•
Portfolio ist äquivalent zu einem Zerobond mit
Rückzahlung von 75.
•
Portfoliowert muß identisch mit Wert eines
Zerobonds sein: V= 75/(1+r) = 75/1,1 = 68,18
75
75
68,18
100-2c
75
75
• 100 – 2c = 68,18
=> Optionswert c = 0,5*(100- 68,18) = 15,91
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64
32
Optionsdelta
• Wir haben abgeleitet: c = 0,5*(St - Zerobondwert(75)
⇒ c = 0,5 * St − Zerobondwert (37,5)
• Allgemein: Option = Delta * Aktien + Kredit
• Option ≈ kreditfinanzierter Aktienkauf
• Beachte: Delta ändert sich, sowie sich der Aktienkurs
ändert!
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65
„Risikoneutrale“ Bewertung
• Erstaunlich: die Wahrscheinlichkeit einer Kurssteigerung
hat keinen Einfluß auf Optionswert!
Die erwartete Rendite der Aktie ist irrelevant !
Wir können „so tun, als ob die Welt risikoneutral wäre“
Aktie hätte eine erwartete Rendite i.H.d. sicheren Zinses
prob(ST=125)*125 + [1-prob(ST=125)]*75 = 100*1,1
prob(ST=125) = 0,7
Optionswert ergibt sich bei Risikoneutralität als
abgezinster erwarteter Pay Off
[0,7 * 25 + (1-0,7) * 0] / 1,1 = 15,91
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66
33
Erweiterung auf mehrere Perioden
• Beispiel: Strike = 55, Laufzeit 2 Perioden, Zins = 10%
17
72
cu
60
54
50
c
45
0
cd
0
40,5
1. Start mit Bestimmung von Cu:
-17m
72
60-1,06cu
-mCu
60
0
54
60 - 1,06cu = 54/1,1 => cu = 10,3
54
54
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67
Erweiterung auf mehrere Perioden ff
2. Bestimmung von cd:
0
54
cd
45
0
40,5
cd verfällt in jedem Fall wertlos => cd = 0
3. Bestimmung von C:
-10,3m
60
-mc
50
45
45
50-1,46c
0
45
50-1,46c = 45/1,1 => c = 6,24
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68
34
Der Grenzfall: Black-Scholes
• Binomialbaum mit unendlich vielen Schritten
normalverteilte „Momentanrendite“
lognormalverteilte Totalrendite
prob
prob
0
dS/S
(ST - S)/S
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69
Das zugrundeliegende Konzept von Black-Scholes
• Option und Aktie hängen von der gleichen Quelle der
Unsicherheit ab
• Ein Portfolio aus Aktie und Option kann gebildet werden, so
dass für eine kurze Zeitperiode das Aktienkursrisiko eliminiert
werden kann
• Das Portfolio ist risikolos und muß im Marktgleichgewicht eine
Rendite in Höhe des risikolosen Zins aufweisen
• Der Black-Scholes Wert ist derjenige Wert, der diese
Bedingung erfüllt
Finanzwirtschaft Wahrenburg
70
35
Die Black/Scholes Formel
c0 = S 0 * N (d1 ) − Xe − rT N (d 2 )
„Aktie * Delta - Zerobond“
bzw. x Aktien + y Kredit
d1 =
ln(S 0 / X ) + (r + σ 2 / 2)T
σ T
d 2 = d1 − σ T
Benötigte Parameter:
• Kurs des Underlying
heute
•
•
•
•
Ausübungskurs
sicherer Zins
Volatilität des Underlying
Laufzeit
(in einigen Lehrbüchern finden Sie äquivalente Umformungen dieser Formel!)
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71
Die N(x) Funktion
• N(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
standardnormalverteilte Variable geringer als x ist
• Quellen:
1. Statistik-Lehrbuch
2. Excel: Funktion „=STANDNORMVERT(x)“
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72
36
Die implizite Volatilität
• Die implizite Volatilität ist diejenige Volatilität, die einen
theoretischen B/S-Wert in Höhe des beobachteten
Marktpreises der Option gibt.
• Ermittlung:
1. Trial and Error
2. Excel „ZIELWERTSUCHE“
• Interpretation: Erwartung des Marktes über zukünftige
Kursschwankungen
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73
Delta
• Delta (∆) misst die Sensitivität der Option in
bezug auf Aktienkursänderungen
Optionswert
Steigung = ∆
Gegenwärtiger
Altienkurs
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S
74
37
Delta Hedging
• Optionshändler halten in der Regel „deltaneutrale“
Portfolios
short/long-Position in Aktien in Höhe von Delta
• Delta muß ständig angepasst werden!
• Ermittlung von Delta
1. Numerisch
2. Analytisch ∆ = N (d1 ) für europäischen Call ohne Dividenden
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75
Vega
• Vega (ν) misst die Sensitivität der Option in bezug
auf Änderungen der (impliziten) Volatilität
• Vega ist für Optionshändler das wichtigste (größte)
Risiko
Finanzwirtschaft Wahrenburg
76
38
Numerische Optionsbewertung mit Binomialbäumen
• Häufig benutzt zur Bewertung komplexer Optionsformen
• In jedem Zeitintervall geht Aktienkurs um Faktior u nach
oben oder Faktor d nach unten
• Optionen werden durch Rückwärtsinduktion bewertet (s.o.)
• Für kleine ∆t (fast) perfekte Approximation an
Black/Scholes Formel
uS
S
dS
∆t
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77
„Kochbuchrezept“ Optionsbewertung mit Binomialbaum
Beispiel. Europäischer Call mit 5 Monaten Laufzeit,
S = 100, X = 100, r = 10%, σ = 40%)
Schritt 1. Wähle ∆t (möglichst klein, z.B. ∆t = 1/12 (1 Monat))
Schritt 2. Berechne u, d, p:
u = eσ
d = e −σ
∆t
∆t
= 1,1224
= 0,8909
e r ∆t − d
q =
= 0,5076
u −d
Finanzwirtschaft Wahrenburg
q = „risikoneutrale
Wahrscheinlichkeit“
78
39
Schritt 3: Berechnung des Binomialbaums für das
Underlying
178,13
158,71
141,40
125,98
112,24
100,00
141,40
125,98
112,24
100,00
89,09
112,24
100,00
89,09
79,38
89,09
79,38
70,72
70,72
63,01
56,14
Finanzwirtschaft Wahrenburg
79
4. Bewertung durch ‚“risikoneutrale Bewertung i.V.m.
Rückwärtsinduktion
Pay Off:
176,13 - 100
= [q * 78,13 + (1 − q )41,4]e − r∆t
78,13
59,54
43,05
29,72
19,75
12,72
41,40
26,81
16,50
9,81
5,70
12,24
6,16
3,10
1,56
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Zum Vergleich: Black/Scholes Wert = 12,23
Finanzwirtschaft Wahrenburg
80
40
Exkurs Realoptionen
Investitionsprojekte haben häufig Optionscharakter, z.B.:
•
•
•
•
•
•
Goldmine
Ölfeld
Flexible Maschine: Option zum Wechsel des Produkts
Fabrik im Ausland: Option zur Verlagerung der Produktion
Patent: Option zur Produktion
Option zur Stillegung/Erweiterung einer Fabrik
Finanzwirtschaft Wahrenburg
81
Unternehmensbewertung als „Realoption“
• Häufig in der New Economy angewandt
• praktische Anwendbarket noch unklar
Probleme:
• Auswahl eines spezifischen Modells
• Schätzung der Parameter
Robustheit der Ergebnisse (bislang) oft gering
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82
41
Eigen- und Fremdkapital als Option
• Bsp: Unternehmen mit einem Kredit mit Laufzeit 1 Jahr
Wert des Eigenkapitals
in 1 Jahr
(= Call Option)
Wert des Kredits
in 1 Jahr
Wert der Aktiva des
Unternehmens in 1 Jahr
Kreditforderung
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83
Portfoliorisiko und
Minimum Varianz Hedge
21.05.2002
84
42
Überblick
•
•
•
•
Messung von Risiko
Portfoliodiversifikation
Minimum Varianz Portfolios
Portfolioanalyse und Hedging
Finanzwirtschaft Wahrenburg
85
Vermögensentwicklung verschiedener Investments ‚
USA 1926-1995
10000
S&P 500
Small Company Stocks
Corporate Bonds
LT Govt Bond
ST Govt Bond
30Day TBills
Inflation
1000
100
10
Finanzwirtschaft Wahrenburg
1994
1992
1990
1988
1986
1984
1982
1980
1978
1974
1976
1972
1970
1968
1966
1964
1962
1960
1958
1956
1954
1952
1950
1948
1946
1944
1942
1940
1938
1936
1934
1932
1930
1928
1926
1
86
43
Aktien: Monatliche Renditen
50
Mittelwert:
Standardabweichung:
40
1.00%
5.71%
30
S&P500 Total Return %Total Return
20
10
0
-10
-20
-30
-40
Finanzwirtschaft Wahrenburg
87
Monatliche Renditen von Anleihen und Aktien 1926-1997
(USA)
Aktien
Anleihen:
Mittelwert:
Standardabweichung:
50
40
Mittelwert:
Standardabweichung:
0.44%
2.21%
1.00%
5.71%
50
U.S. LT Gvt TR
%Total Return
40
30
30
20
20
10
10
S&P500 Total Return %Total Return
0
0
-10
-10
-20
-20
-30
-30
-40
Finanzwirtschaft Wahrenburg
88
44
Risiko und Rendite (jährlich) : Verteilungen
S&P 500 (σ=20.82%)
Small Companies (σ =40.04%)
20
18
16
12
14
10
12
8
10
6
8
6
4
4
2
2
0
-50
0
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
LT Government Bonds (σ =5.44%)
70
50
60
40
50
30
40
20
30
10
20
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
30 Day Treasury Bills (σ =3.28%)
60
0
-40
60
10
0
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
Finanzwirtschaft Wahrenburg
89
Durchschnittliche Renditen und Volatilitäten
Series
Large
Stocks
Small
Stocks
LT Corp
Bonds
LT Govt
Bonds
ST Govt
Bonds
US TBills
Inflation
Arithm.
Mittel
12.26
Risiko
Prämie
8.52
Standard
Abweich.
20.82
17.80
14.06
40.04
5.74
2.00
8.32
5.13
1.39
8.00
5.24
1.50
5.44
3.74
3.23
0.00
- 0.51
3.28
4.68
Source: Ibbotson Associates
Finanzwirtschaft Wahrenburg
90
45
Rendite and Volatilität
Volatilität
45
Small Co’s
40
35
30
25
S&P 500
20
15
10
Govt LT
5
Corporate
Govt IT
TBills
0
0
5
10
15
20
Rendite
Volatilität ist eng mit Rendite verbunden
Finanzwirtschaft Wahrenburg
91
Rendite and Volatilität: Wechselkursrisiken
Volatilität
45
Intl. Aktien ungehedged
40
35
30
25
Intl. Aktien gehedged
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
Rendite
Volatilität ist nicht immer mit Rendite verbunden !
Risikoprämie nicht auf alle Risiken !
Finanzwirtschaft Wahrenburg
92
46
Messung der Portfoliorendite
• Messung der (historischen) Portfoliorendite RP in
Periode t:
RPt = Σ jj ==1N x j R jt
xj = Anteil des Portfolios, der in Aktie j, j=1,…,N
investiert ist.
•
xj > 0 ist eine Long Position.
•
xj < 0 ist eine Short Position; Σj xj = 1
Finanzwirtschaft Wahrenburg
93
Messung des Risikos
• Die Varianz eines Portfolios wird bestimmt aus:
Var(RP ) = σ P2 =
1
t =T
(RPt − RP )2
Σ
t =1
T −1
• Häufig wird die Standardabweichung (Auch Volatilität
genannt) verwendet:
SD (R P ) = σ P = Var ( R P )
Finanzwirtschaft Wahrenburg
94
47
Die erwartete Portfoliorendite
• Die erwartete Rendite eines Aktienportfolios ist :
E(rP ) = Σ
j=N
j=1
xj E(rj ) mit
Σ
j=N
j=1
xj =1
• = gewichteter Durchschnitt der einzelnen erwarteten
Renditen
• 2-Aktien-Fall:
E(rP ) = x1E(r1) + (1− x1) E(r2 )
Finanzwirtschaft Wahrenburg
95
Portfoliorisiko
• Varianz eines 2-Aktien-Portfolios:
var(rp ) = σ p2 = x12σ 12 + x22σ 22 + 2 x1 x2σ 12
σ i2 = Varianz von Aktie i
σ ij = Kovarianz von Aktien i und j
= σ 1σ 2 ρ1, 2
ρ1, 2 = Korrelatio nskoeffizi ent von 1 und 2
Finanzwirtschaft Wahrenburg
96
48
2-Aktien-Beispiel
E[r]
E[r1]
Aktie 1
E[r2]
Aktie 2
σ2
σ1
σ
Finanzwirtschaft Wahrenburg
97
2-Aktien-Fall
• Wo liegen die Portfolios aus beiden Aktien im Risiko-RenditeDiagramm?
•
xj = Anteil von Aktie j, j=1,2
•
xj > 0 : long Position.
•
xj < 0 : short Position;
•
x2 = 1- x1
• Wir brauchen Erwartungswert und Standardabweichung der
Portfoliorendite :
E ( r P ) = x 1 E ( r1 ) + x 2 E ( r2 ) = x 1 E ( r1 ) + (1 − x 1 ) E ( r2 )
var( r p ) = σ
2
p
= x12σ 12 + x 22σ 22 + 2 x1 x 2σ 12
= x12σ 12 + (1 − x1 ) 2 σ 22 + 2 x1 (1 − x1 )σ 12
Finanzwirtschaft Wahrenburg
Nach x1 auflösen
und einsetzen
Effiziente Linie
98
49
Das Minimum Varianz Portfolio
• Bestimmung des Portfolios mit minimaler Varianz:
σ P2 = x12σ 12 + (1 − x1 ) 2 σ 22 + 2( x1 − x12 )σ 12
!
dσ P2
= 2 x1σ 12 − 2(1 − x1 )σ 22 + 2σ 12 − 4 x1σ 12 = 0
dx1
σ 22 − σ 12
x1 = 2
σ 1 + σ 22 − 2σ 12
Einsetzen und
Rendite/Varianz
berechnen!
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99
Minimum Varianz Portfolio
E[rp]
Aktie 1
E[r1]
Minimum Varianz
Portfolio
E[rp]
E[r2]
Aktie 2
0
Finanzwirtschaft Wahrenburg
σ2
σ1
σp
100
50
Beispielrechnung Minimum Varianz Portfolio
Beispiel:
Aktie
1
2
Erwartete
Rendite
20%
12%
Standard
abweichung
40%
20%
Korrelationskoeffizient:
Fall 1:
Fall 2:
Fall 3:
Fall 4:
-1
+1
0,25
0,75
Finanzwirtschaft Wahrenburg
101
Fall 1: Perfekte negative Korrelation
• Mit perfekter negativer Korrelation (σ12 = - σ1* σ2) ist es möglich, ein
risikoloses Portfolio zu bilden.
• Die Portfoliogewichte des Minimum Varianz Portfolios ergeben sich als:
σ 22 − σ 12
σ 2 +σ σ
= 2 2 2 1 2
2
σ + σ 2 − 2 σ 12
σ 1 + σ 2 + 2 σ 1σ 2
σ (σ + σ 2 )
σ2
= 2 1
=
2
(σ 1 + σ 2 )
σ1 +σ 2
x1 =
2
1
X1 = 20%/(20%+40%) = 1/3
E(RP) = 1/3 * 20% + 2/3 * 12% = 14 2/3%
σP = 0
Finanzwirtschaft Wahrenburg
102
51
Fall 1: Perfekte negative Korrelation
E[r]
Null-Varianz
Portfolio
E[r1]
E[rp]
Aktie 1
Portfolio mit
viel Aktie 1
E[r2]
Aktie 2
Portfolio mit
viel Aktie 2
0
σ2
σ1
σ
Finanzwirtschaft Wahrenburg
103
Fall 2: Perfekte positive Korrelation
• Bei perfekter positiver Korrelation (σ12 = σ1*σ2) kann Risiko durch
Shortpositionen (Leerverkauf) auf null reduziert werden:
• die Portfoliogewichte des Minimum Varianz Portfolios sind:
σ 22 − σ12
σ 22 − σ1σ 2
=
σ12 + σ 22 − 2σ12 σ12 + σ 22 − 2σ1σ 2
σ (σ − σ )
σ2
= 2 2 12 =
(σ 2 − σ1 )
σ 2 − σ1
x1 =
Finanzwirtschaft Wahrenburg
104
52
Fall 2: Perfekte positive Korrelation im Beispiel
•
σ 12 = +1.
•
Portfoliogewichte:
x1 =
•
0 .20
= − 1 .0
0 .20 − 0.40
x 2 = 1 − x1 = 2 .0
Erwartete Portfoliorendite:
E (rP ) = ( − 1.0)(20% ) + (2.0)(12% ) = 4%
•
Varianz ist auf null reduziert!
• Minimum Varianz Portfolio:
•
Leerverkauf einer Aktie
•
Long Position in der anderen Aktie
Finanzwirtschaft Wahrenburg
105
Fall 2: Perfekte positive Korrelation
E[r]
Minimum Varianz
Portfolio ohne Leerverkauf
E[r1]
E[rp]
E[r2]
Portfolio mit
viel Aktie 1
Asset 2
Portfolio mit
viel Aktie 2
Minimum Varianz
Portfolio
Leerverkauf Aktie 1
0
Finanzwirtschaft Wahrenburg
Asset 1
σ
2
σ
1
σ
106
53
Perfekte Korrelation: Beispiel Deltahedge mit Optionen
• Optionen haben sehr hohe Korrelation mit Underlying
•
Nutzung für Hedge (Vernichtung von Risiko)
Beispiel:
• Sie müssen $900 investieren in 2 Assets:
•
Eine Aktie mit Preis 100 mit erwarteter Rendite von 0.2%
und 2,5% Volatilität (über eine Woche gemessen)
•
Eine Call Option mit Delta = 0,4 zum Preis von $4.00
(kurzfristig äquivalent mit 0,4 Aktien)
•
Wie kann das Risiko über die nächste Woche minimiert
werden?
Finanzwirtschaft Wahrenburg
107
Perfekte Korrelation: Beispiel
• Eine Option entspricht 0,4 Aktien
Zunächst Varianz der Option bestimmen:
Wenn Aktie um eine Standardabweichung ($2,5) steigt, verändert
sich Optionswert um 0,4 * 2,5 = $1
Rendite der Option = $1/Optionspreis
= $1/$4 = 25%
Die Option ist 10 mal so riskant: σC=$1.00/$4.00=25%.
• Formel für das Minimum Varianz Portfolio (Korrelation = 1):
xCall =
0.025
1
=−
0.025 − 0.25
9
xStock =
10
9
• Varianzminimierender Hedge:
1. Verkaufe 25 Call Optionen (Wert = 100 = 1/9 des Vermögens)
2. Investiere die Optionsprämie und die $900 in 10 Aktien!
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108
54
Fall 3: Geringe Korrelation
• ρ12= 0.25
Wie groß sind die Portfoliogewichte, Erwartete Portfoliorendite und
Volatilität des Minimum Varianz Portfolio?
• Portfoliogewichte:
(.2 ) 2 − (.25)(.4 )(.2 )
= 12.5%
(.4 ) + (.2 ) 2 − 2 (.25)(.4 )(.2 )
x2 = 1 − (.125) = 87.5%
x1 =
2
• Erwartete Rendite und Volatilität
E ( rp ) = (.125)(20%) + (.875)(12%) = 13.0%
var( rp ) = (.125) 2 (.4 ) 2 + (.875) 2 (.2 ) 2
+ 2 (.125)(.875)(.25)(.4 )(.2 )
var( rp ) = .0375
Sd ( rp ) =
.0375 = 19.36%
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109
Fall 3: Geringe Korrelation
E[r]
Minimum Varianz
Portfolio
E[r1]
E[rp]
Asset 1
Portfolio mit
Viel Aktie 1
E[r2]
Portfolio mit
Viel Aktie 2
0
Finanzwirtschaft Wahrenburg
σ2
Asset 2
σ1
σ
110
55
Fall 4: Hohe Korrelation
(.2) 2 − (.75)(.4)(.2)
= −0.25 %
(.4) 2 + (.2) 2 − 2(.75)(.4)(.2)
Portfoliogewichte x = 1 − ( −.25) = 125 %
2
• ρ12= 0.75
•
x1 =
• Erwartete Rendite und Volatilität
E ( rp ) = (−.25)(20%) + (1.25)(12%) = 10%
var( rp ) = (. 25 ) 2 (. 4 ) 2 + (1 .25 ) 2 (. 2 ) 2
+ 2 ( − 0 .25 )(1 .25 )(. 75 )(. 4 )(. 2 )
var( rp ) = .035
Sd ( rp ) = .0375 = 18 .71 %
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111
Fall 4: Hohe Korrelation
E[r1]
Asset 1
Minimum Varianz
Portfolio
E[r2]
Asset 2
E[rp]
Portfolio mit
viel Aktie 1
Portfolio mit Long Position in Aktie 2
Short Position in Aktie 1
0
Finanzwirtschaft Wahrenburg
σ2
σ1
σ
112
56
Der N-Wertpapier-Fall
σ P2 = ∑i ∑ j xi x jσ ij
= xT * Σ * x
mit :
x = Vektor der Portfoliogewichte
∑ = Kovarianzmatrix der Renditen
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113
Der N-Wertpapier-Fall ff.
Berechnung des Portfoliorisikos für n-Aktien Fall in Excel
x-Vektor transponiert
0,3
0,4
0,3
Kovarianzmatrix
0,04
0,03
0,03
0,04
0,02
0,02
Varianz der Portfoliorendite
0,029
"={MMULT(MMULT(A4:C4;E4:G6);I4:I6)}"
0,02
0,02
0,04
x-Vektor
0,3
0,4
0,3
Nicht vergessen: für Matrixfunktionen in Excel
Umschalttaste + Strg + Return drücken!
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114
57
Minimum Variance Hedge mit Futures
• Besonderheit: kein Kapitaleinsatz
Rechnung in xi‘s „funktioniert“ nicht
• Lösung: Rechnung in absoluten Veränderungen (∆P) anstelle von
relativen Veränderungen (RP = ∆P/P )
• Beispiel: Portfolio mit 1 Aktie mit Preis heute = S investiert.
Suche Min.-Varianz-Hedge mit x DAX-Futures (Futureswert heute = F)
• Portfoliogewinn: ∆P = ∆S + x* ∆F
⇒ σ2 ∆P = σ2 ∆S + x2 * σ2 ∆F + 2*x* σ ∆F ∆S
Ableitung: dσ2 ∆P/dx = 2x σ2 ∆F + 2* σ ∆F ∆S = 0
⇒ x* = - σ ∆F ∆S / σ2 ∆F
Finanzwirtschaft Wahrenburg
115
Graphische Illustration
Aktienhedge mit Dax-Futures
∆F
Steigung = σ ∆F ∆S / σ2 ∆F
∆S
Finanzwirtschaft Wahrenburg
116
58
Analytische Herleitung
• Ziel der Regression: Bestimmung von α,β, so dass die Varianz von ε
minimiert wird:
∆S = α + β∆F + ε
ε = ∆S − α − β∆F
σ ε2 = σ ∆2S + β 2σ ∆2F − 2 βσ ∆S∆F
!
dσ ε2
= 2 βσ ∆2F − 2σ ∆S∆F = 0
dβ
β* =
σ ∆S∆F
σ ∆2F
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117
Basisrisiko
Basisrisiko ist die verbleibende Varianz σ2 ∆P(x*) (trotz Hedge)
Hedgeeffizienz mißt die Effektivität des Hedges:
σ2 ∆P(x=0) - σ2 ∆P(x*)
σ2 ∆P(x=0)
(Anteil des ursprünglichen Risikos, der durch Hedging
vernichtet wird)
Finanzwirtschaft Wahrenburg
118
59