1.4 Bestimmung von Grenzwerten −→

1.4
Bestimmung von Grenzwerten
1.4
23
Bestimmung von Grenzwerten
Wichtige Grenzwerte
lim 1
n→∞ n
=0
n
lim a = 0
√
lim n a = 1
n→∞
√
lim n n = 1
n→∞
lim
c
r
n→∞ n
n
lim a
n→∞
für |a| < 1
=0
für r > 0, c fest
k
·n = 0
für |a| < 1, k ∈ N fest
nk
=0
für |a| > 1, k ∈ N fest
n
lim 1 + n1 = e ≈ 2.718
für a > 0
lim
n
n→∞ a
n→∞
n→∞
Es gibt kein allgemeines Verfahren, Grenzwerte zu bestimmen.
Häufig versucht man, unbekannte Grenzwerte auf bekannte zurückzuführen.
Im Folgenden findet man einige dafür nützliche Rechenregeln und Verfahren.
Rechenregeln für Grenzwerte

lim (an + bn ) = a + b

n→∞




lim (an − bn ) = a − b



 n→∞
lim (an · bn ) = a · b
=⇒
n→∞


a
 lim an

=
für bn 6= 0 , b 6= 0


b
b
n→∞
n



an ≤ bn für n ≥ n0 =⇒ a ≤ b
lim an = a
n→∞
lim bn = b
n→∞
1.21
Man bestimme ggf. den Grenzwert der Folgen (an ):
n
n +2n
1
,
(b) an = n2n+1
(c) an = − 45 , (d) an = 31−3
2 +n ,
n ,
n2
√
n+1
2
√
n
(h) an = 1 + n1
.
(e) an = n e , (f) an = n2 , (g) an = 2nn ,
Aus lim n1 = 0 folgt lim n12 = lim n1 · n1 = lim n1 · lim n1 = 0 · 0 = 0.
(a) an =
(a)
(b)
an =
(c)
n→∞
n→∞
2n+1
n2 +n
=
1
n(2+ )
n
1
n2 (1+ )
n
=
1
n
·
Ist |a| < 1, so gilt an −→ 0.
3n +2n
1−3n
(d)
Es gilt an =
(e)
(f)
Ist a > 0, so gilt
√
n n −→ 1, also
(g)
nk
−→
an n→∞
(h)
n→∞
n→∞
n→∞
Man klammert die höchsten Potenzen von n aus, kürzt und erhält:
√
n
=
1
n
1
1+
n
2+
2+0
1+0
= 0.
−
4 n
5
−→ 0.
Also
2
3n (1+( )n )
3n (
−→ 0 ·
3
1
−1)
n
3
=
2
1+( )n
3
1
−1
n
3
−→
√
n e −→ 1.
a −→ 1. Also
√
√
2
n 2
n = n n −→ 12 = 1.
2
1+0
0−1
= −1.
0 für |a| > 1, k ∈ N fest, also n
−→ 0.
2n
n+1
n
= 1 + n1 · 1 + n1 −→ e · (1 + 0) = e .
Es gilt an = 1 + n1
2.1
Partialsummen, Konvergenz, Divergenz
2.2
Man berechne die Partialsummen bis s4 der folgenden Reihen.
∞
∞
X
X
1
1 1 1
1
(a)
=
1+
+
+
+·
·
·
,
(b)
(−1)k k+1
= 1− 21 + 31 − 41 +· · · .
k
2 3 4
k=1
(a)
∞
X
1
k
k=1
k=0
Die Reihe beginnt mit k = 1, die Partialsummenfolge (sn ) also mit s1 .
Diese sog. harmonische Reihe wird in [Abschnitt 2.3] behandelt.
s1 = a1 = 1,
1
2
1
2
s3 = 1 +
s4 = 1 +
(b)
∞
X
39
+
+
s2 = a 1 + a 2 = 1 +
1
3
1
3
= s2 + a3 =
1
4
+
+
= s3 + a4 =
= 23 ,
1
= 11
,
3
6
11
1
+ 4 = 25
.
6
12
Da die Summanden abwechselnde Vorzeichen haben,
nennt man die Reihe eine alternierende Reihe.
1
(−1)k k+1
k=0
1
s0 = (−1)0 0+1
= 1,
s3 = s2 + a 3 =
2.3
3
2
1
2
5
6
−
1
4
s1 = 1 −
7
,
12
=
1
2
= 12 , s2 = 1 −
1
2
+
1
3
s4 = s 3 + a 4 =
= s1 + a2 = 65 ,
7
12
+
1
5
=
47
.
60
Man berechne die Partialsummen bis s4 der folgenden Reihen und gebe
einen geschlossenen Ausdruck (eine Formel) für sn an.
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
1
(a)
k,
(b)
( 12 )k ,
(c)
(2k − 1),
(d)
.
k(k−1)
k=1
k=0
k=1
k=2
Eine Formel für sn findet man direkt durch Rückgriff auf bekannte Formeln,
durch vollständige Induktion oder z.B. in (d) durch Partialbruchzerlegung.
(a)
∞
X
k=1
k = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · , ak = k.
s1 = 1,
s2 = 1 + 2 = s1 + 2 = 3,
(b)
( 21 )k = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
k=0
+
1
16
s2 =
s3 =
s4 =
( 21 )0
+ ( 21 )1 = s0 + a1 = 32 = 2 − 12 ,
s1 +a2 = 23 + 14 = 74 = 2 − 41 ,
s2 +a3 = 74 + 81 = 15
= 2− 81 = 2 − 213 ,
8
1
31
1
s3 +a4 = 15
+ 16
= 16
= 2− 16
= 2 − 214 .
8
Vermutung sn =
2n+1 −1
2n
k=
1
2
n(n + 1)
Summe der ersten n nat. Zahlen
[ EM1, 2.16(a), 3.28 ]
ergibt direkt sn =
1
2
n(n + 1).
+ · · · , ak = ( 12 )k .
s0 = ( 21 )0 = 1 ,
s1 =
n
X
k=1
s3 = 1 + 2 + 3 = s2 + 3 = 6,
s4 = 1 + 2 + 3 + 4 = s3 + 4 = 10.
∞
X
sn =
= 2−
1
.
2n
sn =
n
X
qk =
1−q n+1
,
1−q
k=0
q 6= 1,
endliche geometrische Reihe
[ EM1, Seite 32 ]
ergibt mit q = 12 direkt
n
1
X
1− n+1
sn =
( 21 )k = 2 1 = 2− 21n .
k=0
1−
2
3.6
Exponentialfunktionen und Logarithmen
3.46
97
Man beachte Symmetrien und skizziere folgende Funktionen:
(a)
y = e x,
y = e −x ,
y = − e x,
y = − e −x .
(b)
y = ln x,
y = ln(−x),
y = − ln x,
y = − ln(−x).
y
Symmetrie, siehe [Seite 69]:
x → −x
Spiegelung an der y-Achse,
y → −y
Spiegelung an der x-Achse,
x → −x
(-x, y)
(x, y)
y
-x
y → −y
-y
(-x, -y)
y
(a) e −x
(x, -y)
(b)
ex
y
ln(−x)
ln x
1
1
-1
1
x
-1
-1
− ln x
− ex
Man skizziere folgende Funktionen
(a)
y = 2x ,
y = 2x−1 ,
y = 2x − 2,
(b)
x
1
-1
− ln(−x)
− e −x
3.47
x
x
Spiegelung am Nullpunkt.
und
y = log2 x,
y = log2 (x − 1),
y = log2 x + 1,
Verschiebung, siehe [Seite 69]:
Verschieb. um c nach rechts/links,
y = f (x) + c
Verschieb. um c nach oben/unten.
y
2
2
2x − 2
1
-1
1
-1
x
y = f(x)
y
c
y = f (x − c)
c
x
y
x−1
2x 2
3
2x+1 + 1
y = log2 (x + 1) + 2.
y = f (x) + c
y = f (x − c)
(a)
y = 2x+1 + 1.
log2 (x + 1) + 2
log 2 x + 1
log2 x
log2 (x − 1)
1
-1
1
2
x
168
4
4.2
DIFFERENTIALRECHNUNG
Differenzieren
Ableitung in einem Punkt
y
f : D → R heißt in x0 ∈ D differenzierbar,
wenn der Grenzwert lim
x→x0
f (x)−f (x0 )
x−x0
f (x)−f (x0 )
f (x0 )
existiert. In diesem Fall heißt
f ′ (x0 ) = lim
x→x0
f (x)−f (x0 )
x−x0
Ist y = f (x), so setzt man:
f
f (x)
Ableitung
von f in x0 .
x − x0
x0
f ′ (x0 ) = y ′ (x0 ) =
df
dx
Die Ableitung f ′ (x0 ) heißt auch
Differenzialquotient von f in x0 und ist der
f (x)−f (x0 )
.
Grenzwert des Differenzenquotienten
x−x
0
(x0 ) =
x
x
dy
dx
(x0 ).
y
Sehne
Tangente
f (x)
(x, f (x))
f (x)−f (x )
0
Der Differenzenquotient
ist die Steigung
x−x0
der Sehne (Sekante) von f durch
die Punkte (x0 , f (x0 )) und (x, f (x)).
Der Differenzialquotient f ′ (x0 ) = lim
x→x0
f (x0 )
f (x)−f (x0 )
x−x0
(x0 , f (x0 ))
x0
x
x
ist der Grenzwert der Sehnensteigungen für x → x0 , ist also die Steigung der
Tangente [Seite 174] bzw. die Steigung von f im Punkt (x0 , f (x0 )).
Man bestimme Differenzen- und Differenzialquotient von f (x) = x2 in x0 .
4.20
ist
f (x)−f (x0 )
x−x0
=
x2 −x20
x−x0
=
(x−x0 )(x+x0 )
x−x0
x2
y
Der Differenzenquotient (Sehnensteigung) von f in x0
= x + x0 .
Sehne
f (x)
Der Differenzialquotient (Tangentensteigung) von f in x0
f (x)−f (x0 )
= lim (x+x0 )
x−x0
x→x0
x→x0
ist f ′ (x0 ) = lim
= 2x0 .
Tangente
f (x0 )
x0
x
x
Also ist f differenzierbar in x0 . Die Ableitung ist f ′ (x0 ) = 2x0 , d.h. (x2 )′ = 2x.
Man zeige, dass f (x) = |x| in x0 = 0 nicht differenzierbar ist.
4.21
Der Grenzwert lim
x→0
f (x)−f (0)
x−0
= lim
x→0
|x|−|0|
x−0
= lim
|x|
x→0 x
existiert nicht, denn der rechtsseitige Grenzwert ist
lim
x→0+
f (x)−f (0)
x−0
= lim
x
x→0+ x
lim
f (x)−f (0)
x−0
Merke:
= lim−
x→0
|x|
x
= 1 (rechtsseitige Steigung).
Der linksseitige Grenzwert ist
x→0−
y
-x
−x
x
= −1 (linksseitige Steigung).
Differenzierbare Kurven haben keine Knicke!
x
4.7
4.7
Kurvendiskussionen
193
Kurvendiskussionen
Die Differenzialrechnung bietet viele Möglichkeiten, Funktionen zu untersuchen.
Wie ausführlich eine Kurvendiskussion ist, hängt von der Aufgabe ab.
Kurvendiskussionen
• Ohne Differenzieren, also direkt am Funktionsterm, kann man oft
Vorzeichen, Nullstellen, Symmetrie- und Randverhalten ablesen
und damit die Funktion skizzieren.
• Die 1. Ableitung braucht man in der Regel für
Monotonie und Extremwertbestimmung.
• Die 2. Ableitung nützt bei Krümmungsverhalten und Wendepunkten.
• l’Hospital hilft häufig bei der Untersuchung des Randverhaltens.
4.62
(a)
Man bestimme Symmetrieverhalten, Vorzeichen, Nullstellen und Randverhalten und skizziere f .
Bestimme dann Extrema, Krümmungsverhalten und Wendepunkte.
1
x
x
.
(a) f (x) = 1+x2 ,
(b) f (x) = 1+x2 ,
(c) f (x) = √
1+x2
Symmetrieverhalten:
1
f (x) = 1+x
2 ist gerade, denn f (−x) = f (x),
f ist symmetrisch zur y-Achse.
y
1
1
1+x2
Vorzeichen und Nullstellen:
1
f (x) = 1+x
2 > 0, f hat keine Nullstellen.
-2
Randverhalten:
Für x → ±∞ folgt: f (x) → 0.
f ′ (x) =
Extrema:
f
′
ist
(
−2x
(1+x2 )2
> 0 für x < 0
< 0 für x > 0
-1
1
2
x
= 0 ⇐⇒ x = 0.
f ′ wechselt das Vorz. bei 0 von + zu −.
f hat bei 0 ein Maximum mit f (0) = 1.
(0, 1) ist absoluter Maximalpunkt.
=⇒
Krümmungsverhalten und Wendepunkte:
f ′′ (x) =
f
′′
ist
−2(1+x2 )2 −(−2x)·2·2x(1+x2 )
(1+x2 )4
(
(
>0
für |x| >
<0
für |x| <
konvex
für |x| >
=
√1
3
√1
3
√1
3
√1
3
6x2 −2
(1+x2 )3
= 0 ⇐⇒ x = ±
y
1
W1
,
q
3
4
1
3
= ± √1 .
3
W2
1
1+x2
.
-1 - √13
also für
x < − √1
3
√1
3
und
√1
3
√1
3
f
ist
f
besitzt zwei Wendepunkte: W1 = (− √1 , 43 ) und W2 = ( √1 , 43 ).
konkav
für |x| <
also für
3
− √1
3
<x<
3
x
1
< x,
.
5.2
Bestimmte Integrale
233
Substitutionsregel für bestimmte Integrale
Bei bestimmten Integralen können die Grenzen gleich mit substituiert werden.
Das erspart die Rücksubstitution vor dem Einsetzen der Grenzen.
Z g(b)
Z b
f (t) dt.
f g(x) g ′ (x) dx =
t=g(a)
x=a
=
=
g(x)
g ′ (x) dx
Substitution:
t
dt
⇔ t = g(a)
⇔ t = g(b)
x=a
x=b
Die Angabe der Grenzen in der Form ”x = a” bzw ”t = g(a)” hilft, Fehler
beim Substituieren der Grenzen zu vermeiden.
5.21
(a)
Man berechne mit der Substitutionsregel:
Z 2
Z π/2
Z π
√
2x + 5 dx,
(b)
(a)
(1 + sin x) cos x dx,
(c)
e cos x sin x dx,
−2
0
0
Z e2
Z 4π
Z 1/2
√
dx
arcsin
x
√
(d)
(f)
sin x dx,
,
(e)
2 dx.
x ln x
1−x
e
0
0
"
#
Z 9 √
Z 2
√
2x
+
5
=
t
x = −2 ⇔ t = 1
1
2x + 5 dx = 2
t dt
dx = 21 dt x = 2 ⇔ t = 9
t=1
x=−2
i9
h
= 13 t3/2
.
= 13 (27 − 1) = 26
3
t=1
(b)
Z
π/2
(1 + sin x) cos x dx =
x=0
(c)
π
e
x=0
1
cos x
Z
(d)
e2
−1
x= e
=
(e)
Z
4π
Z
1/2
x=0
(f)
0
=
Z
2
1
t
t=1
2
ln |t| t=1
t
sin x dx = −
e dt
t=1
Z 1
1
=
e t dt = e t t=−1 = e −
dx
x ln x
dt
1
e
cos x = t
− sin x dx = dt
≈ 2.35.
"
ln x = t
dx
x
= ln 2 − ln 1 = ln 2.
√
2 π
sin x = t
cos x dx = dt
= 23 .
t=−1
Z
(1 + t) dt
t=0
h
i1
= t + 21 t2
t=0
Z
Z
= dt
x=0 ⇔ t=0
x = π2 ⇔ t = 1
x=0 ⇔ t=1
x = π ⇔ t = −1
#
x= e ⇔ t=1
x= e 2 ⇔ t=2
x=0 ⇔ t=0
x = t2
√
t sin t dt
dx = 2t dt x = 4π ⇔ t = 2 π
t=0 ↓ ↑
2√π
√
√
√
= 2 sin t − t cos t t=0 = 2(sin 2 π − 2 π cos 2 π) − 0 ≈ 5.74.
#
"
Z π/6
x=0 ⇔ t=0
arcsin x = t
arcsin
x
√
t dt
dx =
√ dx
1−x2
= dt x = 21 ⇔ t = π6
t=0
1−x2
h 2 iπ/6
2
= π72 ≈ 0.14.
= t2
√
sin x dx = 2
Z
t=0
5.4
Anwendungen
5.4
241
Anwendungen
Volumen eines Rotationskörpers
y
Ein Rotationskörper entsteht durch Rotation einer
sog. erzeugenden Fläche um die x-Achse.
f (x)
F
Die erzeugende Fläche F sei die Fläche zwischen der
Funktion y = f (x) ≥ 0 und der x-Achse
über dem Intervall [a, b].
a
y
b
x
b
x
f (x)
Dann ist das Volumen des Rotationskörpers
V =π
Z
f (x)
b
2
f (x) dx
a
x
a
∆x
Anschaulich:
Der Rotationskörper ist zusammengesetzt aus dünnen Kreisscheiben (Zylindern) mit Radius f (x) und Dicke ∆x. Das Volumen ∆V dieser Scheiben ist
Grundfläche × Höhe, also ∆V = πf 2 (x) ∆x. Das Gesamtvolumen ist daher
Z b
X
X
V ≈
∆V = π
f 2 (x) ∆x ∆x→0
−→ π f 2 (x) dx.
a
5.29
Man berechne das Volumen V des Kreiskegels mit Radius R und Höhe H.
Die x-Achse sei die Rotationsachse des Kegels, seine
Spitze liege im Ursprung. Seine Mantellinie ist die GeR
rade y = H
x, die erzeugende Fläche das rechtwinklige
Dreieck unter der Geraden im Intervall [0, H].
y
Das Volumen des Kegels ist daher:
Z H
h
iH
2
1 3
R 2
V = π
(H
x) dx = πR
x
= 31 πR2 H.
H2
3
y
=
5.30
R
x
H
R
Hx
R
0
0
1
3
R
Hx
H
x
× Grundfläche × Höhe, siehe etwa [FH, S. 32].
Man berechne das Volumen V des Rotationsparaboloids,
das
√
durch Rotation der Fläche zwischen y = x und der x-Achse
über dem Intervall [0, 2] entsteht.
y
Das Volumen des Rotationsparaboloids ist
√
√
x
2
Z 2
√ 2
x dx
V = π
0
= π
Z
0
2
x dx =
π
2
h i2
x2 =
0
π
4−0
2
= 2π.
√
- 2
2
x
261
6
6.1
Kombinatorik
Permutationen und Kombinationen
Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten muss man häufig die Anzahl der Elemente gewisser Mengen berechnen. Für eine Menge M bezeichnet |M | die Anzahl
ihrer Elemente, siehe auch [EM 1, Kapitel 1].
Abzählung von Mengen
M und N seien endliche Mengen mit |M | = m und |N | = n.
1) Ist M ∩ N = ∅, so gilt |M ∪ N | = m + n. Additionsprinzip
2) Ist M ⊆ N , so gilt |N \ M | = n − m.
3) |M × N | = m · n.
Multiplikationsprinzip
6.1
6.2
Es seien M = {2, 4, 6, 8}, N = {1, 3, 5} und R = {3, 5}.
Man gebe |M ∪ N |, |N \ R|, |R × N | und |M \ R| an.
|M ∪ N | = 4 + 3 = 7, da M ∩ N = ∅.
|N \ R| = 3 − 2 = 1,
da R ⊆ N .
|R × N | = 2 · 3 = 6,
R × N = {(3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}.
|M \ R| = |M | = 4,
hier wird direkt M \ R gebildet, da keine der Regeln
anwendbar ist.
A
B
Vier Orte A, B, C, D sind durch ein Straßennetz gemäß nebenstehender Skizze verbunden.
(a) Wieviele verschiedene Wege
B − C − D gibt es?
(b) Wieviele verschiedene Rundreisen
D
C
A − B − C − D − A gibt es?
(c) Auf wieviele verschiedene Arten kann man von A nach D gelangen,
wenn kein Ort mehr als einmal besucht werden soll?
(a)
(b)
(c)
Es gibt 3 Wege v1 , v2 , v3 von B nach C und 2 Wege w1 , w2 von C nach D. Mit
M = {v1 , v2 , v3 } und N = {w1 , w2 } gibt es nach dem Multiplikationsprinzip
|M × N | = 3 · 2 = 6 Wege B − C − D.
Entsprechend (a) gibt es nach dem Multiplikationsprinzip genau 2 · 3 · 2 · 1 = 12
verschiedene Rundreisen A − B − C − D − A.
Man kann auf folgenden Wegen von A nach D gelangen, ohne einen Ort zweimal
zu besuchen:
A − D
1 Möglichkeit
A − B − D
2 · 1 = 2 Möglichkeiten
(Multiplikationsprinzip)
A − B − C − D
2 · 3 · 2 = 12 Möglichkeiten
”
A − C − D
2 · 2 = 4 Möglichkeiten
”
A − C − B − D
2 · 3 · 1 = 6 Möglichkeiten
”
279
7
Stochastik
7.1
Zufallsexperimente, Ereignisse, relative Häufigkeiten
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment hat folgende Eigenschaften:
• Es wird unter genau festgelegten Bedingungen durchgeführt,
• alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorher bekannt,
• das Ergebnis des Experiments lässt sich nicht vorhersagen,
• es kann unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.
Ergebnisse, Ereignisse
Ω bezeichnet die endliche Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und wird
auch Grundraum oder Ergebnisraum genannt.
ω, ω1 , ω2 , . . . ∈ Ω bezeichnen einzelne Ergebnisse.
Ein zufälliges Ereignis oder kurz Ereignis ist eine Teilmenge von Ω.
Jede einelementige Teilmenge {ω} von Ω heißt Elementarereignis.
Ein Ereignis A ⊆ Ω tritt ein bzw. findet statt bei einem Zufallsexperiment, wenn das Ergebnis ω des Experiments ein Element von A ist, anderenfalls tritt A beim Experiment nicht ein bzw. findet nicht statt:
A tritt ein ⇐⇒ ω ∈ A,
A tritt nicht ein ⇐⇒ ω 6∈ A.1
Ω heißt sicheres Ereignis, ∅ heißt unmögliches Ereignis.
Beachte: A ⊆ B ⊆ Ω bedeutet: Wenn A eintritt, so tritt B ein.
7.1
(a)
Beispiele für Zufallsexperimente.
Standardbeispiel: Werfen eines Würfels
Wir identifizieren die geworfenene Augenzahl mit der entsprechenden Zahl.
Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ergebnismenge: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.
A = {2, 4, 6} ⊆ Ω ist das Ereignis ”Es wird eine gerade Augenzahl gewürfelt”.
Würfelt man ω1 = 3, so tritt A nicht ein, würfelt man ω2 = 4, so tritt A ein.
Bei allen Gegenständen, mit denen wir Zufallsexperimente durchführen,
setzen wir ohne weitere Erwähnung voraus, dass sie ”ideal” sind, dass
also ihre physikalische Beschaffenheit das Ergebnis des Experiments nicht
beeinflusst. (Ein Bleiplättchen an der Eins beim Würfeln ist verboten!)
1 Ist
ω das Ergebnis eines Zufallsexperiments, so sagt man auch: ω tritt ein.
296
7.21
7
STOCHASTIK
Geburtstagsproblem. Es sei vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit,
an einem bestimmten Tag im Jahr Geburtstag zu haben, für alle 365 Tage
des Jahres dieselbe ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem
Raum mit 30 Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben?
Hinweis: Man berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.
Ein weiteres Geburtstagsproblem findet man in [7.85].
Wir zählen die Tage des Jahres durch, z.B. erhält der 3. März die Nummer 62
(Schaltjahre werden vernachlässigt).
Die Geburtstage der 30 Personen liefern ein 30-Tupel aus den Zahlen 1, 2, . . . , 365.
Die Ergebnismenge Ω ist die Menge aller dieser 30-Tupel, Ω = {1, 2, . . . , 365}30 .
Nach [S. 295] ist |Ω| = 36530 die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Ist A das
genannte Ereignis, so ist das Gegenereignis A die Menge aller Tupel in Ω mit
paarweise verschiedenen Komponenten.
Nach [S. 295] gibt es davon 365 · 364 · · · (365 − 30 + 1). Dies ist die Anzahl der
für A günstigen Ergebnisse. Es folgt
P (A) = 365···336
≈ 0.294, also P (A) = 1 − P (A) ≈ 0.706 = 70.6%.
36530
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 70.6% haben, entgegen üblichen Vorstellungen,
in einem Raum mit 30 Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag.
Man rechne nach: Ab 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit größer als 50%.
7.22
Ein deutsches Skatspiel hat 32 Karten, je vier Karten (in den roten ”Farben” Karo, Herz und den schwarzen ”Farben” Pik, Kreuz) der Werte
7, 8, 9, 10, B, D, K, A. Die Werte B, D, K (Bube, Dame, König) heißen Bilder, A bedeutet Ass. Jeder der drei Spieler erhält 10 Karten, zwei Karten
kommen verdeckt in den ”Skat”, den der Alleinspieler aufnehmen kann.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat
(a) zwei Buben liegen,
(b) genau ein Bube liegt,
(c) mindestens ein Bube liegt?
Ergebnisraum sei Ω = {(S1 , S2 , S3 , S)| (S1 , S2 , S3 , S) ist eine Kartenverteilung
an die Spieler 1, 2 und 3 und für den Skat}.
Also ist |Sj | = 10 (j = 1, 2, 3), |S| = 2, und S1 , S2 , S3 , S sind paarweise disjunkt.
Mit den Formeln auf [S. 295] folgt: Für die zwei Karten im Skat
S gibt es
32
30
Möglichkeiten,
für
die
10
Karten
von
Spieler
1
bleiben
Möglichkei2
10
20
ten (”Blätter”), für Spieler 2 bleiben 10 Blätter, die zehn Karten für Spieler 3
sind dann festgelegt. Damit gibt es nach dem Abzählprinzip für Tripel
32
2
(a)
30
20
· 10 · 10 = 2 753 294 408 504 640
mögliche Ergebnisse, d.h. Elemente von Ω, siehe auch [6.24].
Beachte: Dieselbe Anzahl erhält man, wenn man mit den Möglichkeiten für Spieler 1 beginnt.
4
Für zwei Buben im Skat gibt es 2 Möglichkeiten. Damit gibt es nach dem Ab4
30
20
zählprinzip [S. 295] g = 2 · 10 · 10
günstige Ergebnisse.
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Buben im Skat liegen, ist
g
|Ω|
=
· 20
(42)·(30
(42)
10) (10)
20 = 32 =
30
32
( 2 )·(10)·(10) ( 2 )
4·3
32·31
=
3
248
≈ 1.2% (siehe auch [7.79 (a)]).
358
8.4
8 KOMPLEXE ZAHLEN
Division
z
Um den Quotienten z1 komplexer Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch
2
so, dass der Nenner reell wird. Man benutzt dabei, dass z · z = |z|2 immer eine
reelle Zahl ist.
Division in C
z1 ·z2
z1
1
1
z
1
=
=
z ·z ,
=
= 2 · z.
speziell
z2
z2 ·z2
|z2 |2 1 2
z
z·z
|z|
z
Der Bruch z1 wird mit dem konjugiert komplexen Nenner z2 erweitert.
2
Merke:
8.11
(a)
(b)
(c)
|z| = 1 ⇐⇒ z · z = 1 ⇐⇒
1
z
= z,
speziell
1
= i−1 = −i.
i
Für die komplexen Zahlen z1 = i, z2 = 1 + i, z3 = 1 − i, z4 = −3 + 4i
1
1
1
1
,
,
,
,
berechne man
(a) ihre Kehrwerte
z1 z2 z3 z4
z
z
z z
(b) die Quotienten 2 , 1 , 1 3 ,
z3 z4 z2 z4
z z
z
1
(c) die Summe z 2 + z1 + z1 z4 .
3
2
2 3
1
1
−i
−i
z1 = i = i·(−i) = 1 = −i.
i
1
i
1
Erweitern mit i ergibt ebenfalls einen reellen Nenner: z = i = 2 = −1 = −i.
i
1
1
1
1−i
1−i
1
1
z2 = 1+i = (1+i)(1−i) = 2 = 2 − 2 i.
1
1
1+i
1+i
1
1
z3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 = 2 + 2 i.
1
−3−4i
−3−4i
1
4
3
− 25
i.
=
=
=
= − 25
z4
−3+4i
(−3+4i)(−3−4i)
25
(1+i)(1+i)
z2
1+i
2i
z3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 = i.
i(−3−4i)
z1
i
4−3i
3
4
− 25
i.
=
=
=
= 25
z4
−3+4i
(−3+4i)(−3−4i)
25
z z
Bei z1 z3 wird vor dem Erweitern in Zähler und Nenner ausmultipliziert:
2 4
i(1−i)
(1+i)(−7−i)
z1 z3
1+i
1
3
z2 z4 = (1+i)(−3+4i) = −7+i = (−7+i)(−7−i) = 50 (−6 − 8i) = − 25 −
z1 z4
z1
1
z3 2 + z2 + z2 z3
=
=
=
4
i.
25
(1+i)+i(1−i)2 +i(1−i)(−3+4i)
z2 +z1 z32 +z1 z3 z4
=
2
2(1−i)
z2 z3
(1+i)+i(−2i)+(1+i)(−3+4i)
3+i−7+i
=
2(1−i)
2(1−i)
(−2+i)(1+i)
−2+i
= − 32 − 12 i.
1−i =
2
364
8 KOMPLEXE ZAHLEN
8.7
Multiplikation und Division in Exponentialbzw. Polardarstellung
Die Multiplikation und Division komplexer Zahlen ist sehr anschaulich, wenn
man die Exponentialdarstellung bzw. die Polardarstellung benutzt.
Multiplikation komplexer Zahlen
iy
2
r1
r1
z1
z2
r1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 )
r2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 )
r1
cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1
r2
=
=
=
z1
z2
ϕ2
r
z=
1
=z
z
z1
z2
ϕ = ϕ1 −ϕ2 , r =
r1
r2
x
iy
z = r e iϕ
dann ist
1
1
1 i (−ϕ) 1
= r cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)
z = r e iϕ = r e
1
1
1
= (cos ϕ−i sin ϕ) = 2 r(cos ϕ−i sin ϕ) = 2 z
r
r
r
|z| = 1 ⇐⇒ r = 1 ⇐⇒
ϕ1
r2
− ϕ2 )
Ist z = r e i ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ),
(b)
iy
r1
Kehrwertbildung komplexer Zahlen
(a)
x
e i (ϕ1 −ϕ2 ) bzw.
Bei der Division komplexer Zahlen werden
die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert .
8.17
ϕ2
z1
ϕ1
Division komplexer Zahlen
r1
r2
z2
r2
Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden
die Beträge multipliziert und die Winkel addiert .
r1 e i ϕ1
r2 e i ϕ2
ϕ = ϕ1 +ϕ2
r=
z1 · z2 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
= r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )
z1
z2 =
z = z1 · z2
·r
z1 · z2 = r1 e i ϕ1 · r2 e i ϕ2 = r1 r2 e i (ϕ1 +ϕ2 ) bzw.
ϕ
−ϕ
1
x
1 1 i (−ϕ)
=r e
z
z = r e i (−ϕ)
z1
:
z2
(a) z1 = 6 e i π/3 , z2 = 3 e i π/6 ,
(b) z1 = 2 e i (−π) , z2 = 3 e i π/4 .
Wir rechnen exponentiell und geben die Ergebnisse auch kartesisch an.
In (b) verwenden wir r e i ϕ = r e i (ϕ+2π) .
z1 z2 = 6 e i π/3 · 3 e i π/6 = 18 e i (π/3+π/6) = 18 e i π/2 = 18(cos π2 + i sin π2 ) = 18i.
√
z1
i (π/3−π/6) = 2 e i π/6 = 2(cos π + i sin π ) = 3 + i.
6
6
z2 = 2 e
√
z1 z2 = 2 e i (−π) · 3 e i π/4 = 6 e i (−π+π/4) = 6 e i (−3π/4) = 6 e i 5π/4 = 3 2 (−1 − i).
z1
2 e i (−π)
1√
2 i (−5π/4)
2 i 3π/4
1√
2 i (−π−π/4)
2
+
e
=
e
=
e
=
−
2 i.
=
=
i
π/4
3
3
3
3
3
z2
3e
Man berechne jeweils das Produkt z1 · z2 und den Quotienten