Lösung Aufgabe 4.2 1. Verlauf der Isobaren im h, s

Lösung Aufgabe 4.2
1. Verlauf der Isobaren im h, s-Diagramm
a) Aus der Fundamentalgleichung für die Entropie eines reinen Stoff
T ds = dh − v dp
ergibt sich mit dp = 0 für die Steigung der Isobaren
(
∂h
∂s
)
= T.
p
Die Isobaren sind also an jedem Punkt haben also an jedem Punkt eine Steigung die der
Temperatur des Zustandspunktes entspricht.
Aus dem Zustandspostulat ergibt sich bei vorgegebener Entropie s und dem Druck p
der Isobaren die Enthalpie h = h(p, s) und wegen T = T (p, s) ebenso die Steigung der
Isobaren an diesem Zustandspunkt.
b) Das vorstehende Ergebnis für die Steigung der Isobaren ist unabhängig vom konkreten
Stoff. Gilt also auch für ein ideales Gas
(
∂h
∂s
)iG
= T.
p
Druck und Temperatur sind durch die Gasgleichung verknüpft:
pv = RT
Das p, v-Diagramm zeigt, dass sich für konstanten Druck Volumens v und Temperatur
T kontinuierlich ändern. Die Isobaren im h, s-Diagramm haben deshalb eine sich stetig
ändernde Steigung.
c) Bei einem realen Fluid sind Phasenübergänge, wie etwa beim Verdampfen, dem Übergang
vom flüssigen zum gasförmigen Zustand, möglich. Im Nassdampfgebiet sind Druck und
Temperatur gekoppelt wie das Dampfdruckdiagramm zeigt. Im Nassdampfgebiet ändern
sich zwar Enthalpie und Entropie bei isobarer Wärmezufuhr, die Temperatur bleibt jedoch konstant T = const. Damit ändert sich auch die Steigung der Isobaren im Nassdampfgebiet (NDG) nicht:
)NDG
(
∂h
= T = const
∂s p
Da sich die Temperatur bei weiterer Wämezufuhr über den Taupunkt hinaus nicht sprunghaft ändert Durchschneiden dei Isobaren die Taulinie stetig. Das gilt auch für den verlauf
beim Durchtritt surch die Siedelinie.
Die Isothermen und die Isochoren zum Beispiel haben dagegen an der Siedelinie und an
der Taulinie einen unstetigen Verlauf, ihre Steigung ändert sich sprunghaft.
2. Verlauf der Isobaren und Isochoren eines idealen Gases im T, s-Diagramm
Isobare:
Aus Fundamentalgleichung:
T ds = dh − v dp
ideales Gas: dh = cp dT





T ds = cp dT − v dp
(
dp = 0
⇒
⇒
T (ds)p = cp (dT )p
∂T
∂s
)
=
p
T
cp
Isochore:
Aus Fundamentalgleichung:
T ds = du + p dv
ideales Gas: du = cv dT



T ds = cv dT + p dv
(
dv = 0
⇒
⇒
T (ds)v = cv (dT )v
∂T
∂s
)
=
v
T
cv
Da cp − cv = R gilt cp > cv , und es folgt:
(
)
∂T
∂s v
T /cv
cp
(
) =
=
=κ
T /cp
cv
∂T
∂s p
>1
Das Verhältnis der Steigung der Isochoren
zur Isobaren entspricht an jeder Stelle dem
Verhältnis der spezifischen Wärmen.
h
v = const
p = const
arctan(T/cp)
arctan(T/cv)
Außerdem verlaufen die Isobaren stets
flacher als die Isochoren.
Isobare und Isochore haben bei konstanten
spezifischen Wärmen cp und cv auf Isothermen stets die gleiche Steigung.
s
Die Funktionen T (s) für isobare und isochore Zustandsänderungen erhält man durch
Integration der jeweiligen Differentiale
(
∂T
∂s
)
p
(
Diese haben die allgemeine Form
T
=
cp
dT
ds
)
(
,
1
= T
c
∂T
∂s
)
=
v
T
.
cv
.
Durch Trennung der Variablen und Integration erhält man
dT
T
=
1
ds
c
Isobare:
(s − s )
T
0
= exp
T0
cp
Isochore:
(s − s )
T
0
= exp
T0
cv
⇒
ln
T
1
= (s − s0 ) bzw.
T0
c
(s − s )
T
0
= exp
T0
c
Isobare:
h
p = const
p
arctan(T/cp)
Bei konstanter Temperatur fällt
die Entropie für anwachsenden
Druck.
s
Isochore:
h
v = const
v
arctan(T/cv)
Bei konstanter Temperatur steigt
die Entropie für anwachsendes
Volumen.
s