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Datenstrukturen & Algorithmen 2.Vorlesung, am 11.Okt 2004 © helmut hauser Ein 2.Beispiel Sortieren durch Verschmelzen (MergeSort) Mergesort: Verschmelze: 1: 2: 3: 4: 5: 6: 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: Mergesort(A,i,j) if i<j then k=(i+j)/2 Mergesort(A,i,k) Mergesort(A,k+1,j) Verschmelze(A,i,k,j) Verschmelze(A,i,k,j) for l=i to k do B[l]=A[l] for r=k+1 to j do C[r]=A[r] B[k+1]=maxint C[j+1]=maxint l=i ; r=k+1 for m=i to j do if B[l] < C[r] then A[m]=B[l]; l=l+1 else A[m]=C[r]; r=r+1 Analyse der Laufzeit Teilen: Errechnet nur die Mitte des Arrays erfolgt in O(1) Zerlegen: T(n) für n Elemente 2*T(n/2) für die unteren Felder Kombinieren: Verschmelzen erfolgt in O(n) (nur eine einfache Schleifen) Mergesort: T(n) = 2*T(n/2)+O(1)+O(n) T(1)=O(1) T(n) = 2*T(n/2) + O(n) REKURSION Vergleich zweier Ordnungen Sortieren des Grazer Telefonbuchs: 300.000 Einträge Alter PC: 1 MIPS Merge Sort Insertion Sort n2 = 90 Milliarden Schritte 90.000 sec. = 25 h > 1 Tag Supercomputer : 500 Mflops (IBM 9021-720) n ld n ≈ 5,5 Mio. Schritte 5.5 sec. n2 = 180 sec !!! Vergleich zweier Ordnungen Sortieren des NYC Telefonbuchs: 8.000.000 Einträge Alter PC: 1 MIPS Merge Sort Insertion Sort n2 = 6.4*1013 Schritte 416.67 Tage Supercomputer : 500 Mflops (IBM 9021-720) n ld n ≈ 183 Mio.Schritte 183 sec. n2 = 35 Stunden !! Asymptotische Schranken O-Notation Def.: f(n), g(n): NR+ f(n) = O(g(n)) c R, c>0, n0 N: f(n) cg(n) O(g(n)): cg(n) f(n) n0 n nn0 („Ohh“) Asymptotische Schranken -Notation Def.: f(n), g(n): NR+ f(n) = (g(n)) c R, c>0, n0 N: f(n) cg(n) nn0 („Omega“) (g(n)): f(n) cg(n) n0 n Asymptotische Schranken -Notation Def.: f(n), g(n): NR+ f(n) = (g(n)) c1,c2 R, c1,c2>0, n0 N: c1g(n) f(n) c2g(n) nn0 f(n) = (g(n)) nur wenn gilt: („Theta“) f(n)=O(g(n)) UND f(n)= (g(n)) (g(n)): c2g(n) f(n) c1g(n) n0 n Maximale Eingabegröße bei vorgegebener Rechenleistung (106 Operation pro Sekunden) Zeit Funktion 1 Sekunde 1 Stunde 1 Jahr 1 Jahr mit 1000facher Rechenleistung Zeit für Eingabegröße = 106 106 4109 31013 31016 1 Sekunde 190 000 5108 21012 21015 6 Sekunden n2 1 000 60 000 6106 2108 12 Tage n3 100 1 500 32 000 320 000 32 000 Jahre 2n 20 32 45 55 10300 000 Jahre n n log n Gebräuchliche Funktionen O-Notation Bsp-Funktion Bsp-Algorithmus Name konstant O(1) logarithmisch O(log n) Wurzelfunktion O(nc), 0<c<1 n, n linear O(n) 3n linearlogarithmisch O(n log n) 3 Addition ld n, ln n 1 3 2n ld n Suchen Primzahlentest maximales Element sortieren polynomial O(nc), c>1 n2, n3 MatrizenOperationen exponential O(cn), c>1 2n, 10n NP-vollständige Alg. Fakultät O(n!) n! Elementare Datenstrukturen Lineares Feld A[1..n], benachbarte Elemente stehen im Speicher nebeneinander. Zugriff auf i-tes Element leicht: A[i] in O(1) Zeit. Lineare Liste Benachbarte Elemente sind verkettet (günstig, wenn Listenlänge unbekannt). p Elementare Datenstrukturen (spezielle lineare Felder) Stapel (Stack): Einfügen und Entfernen von Objekten nur am Ende: Alle Operationen O(1) 1 2 t n Spitze Schlange (Queue): FIFO-Strategie („first in-first out“), analog der Warteschlange am Postschalter werden Elemente am Ende der Schlange eingefügt und am Anfang entfernt. Stapel Anwendung Infix PostfixAuswertung Infix: (3+7)*(5-1)+2 Postfix: 37+51-*2+ Auswertung: 42 Infix Postfix • Stapel anfangs leer (enhält während des Arbeitens nur Operatoren und Klammern) • Durchlaufe von links nach rechts (4 Fälle) 1. 2. 3. 4. • „(„ Klammer auf Stapel legen „Zahl“ Zahl ausgeben „Operator“ Alle Operatoren mit gleicher oder höherer Priorität vom Stapel ausgeben, bis „(„ erreicht oder Stapel leer. Operator auf Stapel legen „)“ Alle Operatoren vom Stapel bis zur ersten „(„ ausgeben und diese löschen Am Ende alle verbleibenden Operatoren vom Stapel ausgeben. Postfix-Auswertung • Stapel anfangs leer (enthält während des Arbeiten nur Zahlen) • Durchlaufe von links nach rechts (2 Fälle) 1. „Zahl“ Lege Zahl auf den Stapel 2. „Operator“ Wende den Operator auf die beiden obersten Zahlen an und ersetze beide durch das Ergebnis. • Am Ende steht der Wert des Ergebnis als einziger am Stapel Anwendung Topologisches Sortieren k1 Grundkauf k2 Keller Strom k8 k3 Rohbau Planierung k9 k4 Dach k5 Fenster Wasser k10 Installationen k7 k6 Innenputz Definitionen (1) Ein Netzplan ist ein gerichteter kreisloser Graph nicht erlaubt! (2) Eine Anordnung der Knoten eines Netzplans heißt topologisch sortiert, wenn ki vor kj steht, wann immer ein gerichteter Pfad von ki nach kj existiert. ki kj (3) Kante (ki , kj) ki Vorgänger von kj kj Nachfolger von ki Datenstrukturen • Pro Konten ki: Nachfolger in einem Stapel Si • Anzahl der aktuellen Vorgänger von ki(i=1,2,…n) in einem linearen Feld V[1..n] • Alle (noch nicht gedruckten) vorgängerlosen Knoten in einer Schlange Q Aufbauphase for i=1 to n do V[i]=0 while not EOF do read(ki,kj) PUSH(Si,kj) V[j]=V[j]+1 for i=1 to n do if V[i]=0 then PUT(Q,ki) Sortierphase while Q nichtleer do GET(Q,ki) write ki while Si nichtleer do POP(Si,kj) V[j]=V[j]-1 if V[j]=0 then PUT(Q,kj) k1 Grundkauf k2 Keller Aufbauphase Strom k8 k3 Rohbau Planierung k9 k4 Dach k5 Fenster Wasser k10 1: for i=1 to n do V[i]=0 2: while not EOF do 3: read(ki,kj) 4: PUSH(Si,kj) 5: V[j]=V[j]+1 6: for i=1 to n do 7: if V[i]=0 then PUT(Q,ki) Sortierphase Installationen k7 k6 Innenputz 1: while Q nichtleer do 2: GET(Q,ki) 3: write ki 4: while Si nichtleer do 5: POP(Si,kj) 6: V[j]=V[j]-1 7: if V[j]=0 then PUT(Q,kj)
