formelsammlung (v.1) - Unix-AG

FORMELSAMMLUNG (V.1) Programmentwicklung II
Alle Formeln ohne Gewähr auf Korrektheit
1) Komplexität:
Landau­, O­Notation:
O f ={g∣∃ c∈ℝ ∃ n0 ∈ℕ : ∀ n≥n0 : g n≥c⋅f n}
f ∈O f 
f ∈O g⇔ g ∈O f  genau dann wenn O f =O g
g∈O f  O g⊆O  f 
Prüfungskriterium:
g  n
lim
=∞
O f ⊂O g
n ∞ f  n
g  n
lim
= c0 O f =O  g  n ∞ f  n
g  n
lim
=0
O g⊂O f 
n ∞ f  n
Reihenfolge der O­Notations­Klassen:
2
n
n
O1 ⊂ O log 2 n ⊂ O n ⊂ O n⋅log 2 n ⊂ O n  ⊂ O 2  ⊂ O5  ⊂ O n! 2) Verkettete Strukturen:
Lineare Listen:
Binäre­Bäume:
next
next
next
Infos
Infos
Infos
Wurzel
Kanten (E)
Knoten (V)
Blätter
einfügen
löschen
blubber 1
W
K
2
K
B
B
B 3
{V}=ø  Leerer Baum 
Höhe 0
Baum mit Wurzel Höhe 1
Grad eines Knotens: Anzahl seiner direkten Nachfolger (2)
Blatt: Knoten mit Grad 0
innere Knoten: Knoten mit Grad 1
Stapel:
LIFO­Prinzip
Schlangen:
FIFO­Prinzip:
Die Ersten werden die Letzten sein.
Wer zuerst kommt mahlt zuerst.
3
2
1
Operationen:
TOP: Liefert oberstes Element eines Stapels
PUSH: Push legt Element oben auf den Stapel
POP: Entfernt oberstes Element auf Stapel
Preorder:
1 Besuch:
TOP: Liefert oberstes Element einer Schlange
PUSH: Push reiht Element hinten in Schlange ein
POP: Entfernt oberstes Element in der Schlange
Inorder:
Bearbeite information,
verzweige zum linken Sohn
2 Besuch:
Verzweige zum rechten Sohn
3 Besuch:
Entferne K vom Stapel
Postorder:
1 Besuch:
Verzweige zum linken Sohn
1 Besuch:
Verzweige zum linkem Sohn
2 Besuch:
Bearbeite information verzweige zum
rechten Sohn
2 Besuch:
Verzweige zum rechten Sohn
3 Besuch:
3 Besuch
Entferne K vom Stapel
Bearbeite Information in K,
Entferne K vom Stapel
W- L- R
L-W- R
Suchbaum:
Linker Teilbaum ist kleiner als Wurzel.
Rechter Teilbaum ist größer als Wurzel.
Linke und Rechte Teilbäume sind Suchbäume
1
2
3
Operationen:
L- R -W
AVL­Baum:
5
3
2
10
5
6
4
7
Beim Löschen wähle als ersatz grösstes Element im linken Teilbaum.
Balancierte Bäume:
Gewichtsbalanciert: ∣T L∣≈∣T r∣
Höhenbalanciert: ∣hT L∣≈∣hT r∣
3
15
8
7
13
9
1
2
3
4
10
5
3
15
8
7
9
AVL­Baum Kein AVL­Baum
Es gilt: ∣hT L−hT r ∣≤1
1
2
3
4
Grundoperationen zur Reorganisationen von binären
Suchbäumen:
RR: Rotation nach Rechts
DRR: Doppelte Rotation nach Rechts
RL: Rotation nach Links
LRR: Doppelte Rotation nach Links
3) Rekursionsgleichungen
Teilen und Herschen: T 1 = g1 
T n = a⋅T ⌊ a/ b⌋ g n
a
= Größe der zu lösendenTeilprobleme
⌊ a/ b ⌋ = Größe der Teilprobleme
g n = Aufwand zum Aufteilen
Hinführung zum Mastertheorem
g 1
n=1
f n=
k
a⋅f  n/b  g  n n=b 1
Mastertheorem c
f n=
a⋅f  n/b c
f ∈
{
{
 log n

 n 
n=1
k
n=b 1
a=1
a1 und =logb  a
{
k
f n=∑ ai⋅g
i=0
h n=
{
f ∈
{

n
b
i
k
mit n=b k f  n= ∑ ai⋅g bi−k 
i=0
c
n=1
a⋅f n/ bc⋅n
 n p 
p
 n ⋅log  n

 n 
p
}
k
n=b 1
a≤b p
p
}
a=b
p
ab und =log b a 