Aufgabe 3 Musterlösung In dieser Aufgabe benutze, dass jede

T ECHNISCHE U NIVERSIT ÄT K AISERSLAUTERN
SS 2005
Aufgabe 3 Musterlösung
In dieser Aufgabe benutze, dass jede natürliche Zahl eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlpotenzen hat.
Zeige, dass die Menge {log p : p Primzahl} ⊂ R linear unabhängig ist im Q-Vektorraum R.
Beweis: Wir wissen: Seien p1 , ..., pd ∈ N paarweise verschiedene Primzahlen, n, n1 , ..., nd ∈ N und
n = pn1 1 · . . . · pnd d =
d
Y
pni i ,
i=1
dann ist diese Darstellung von n eindeutig. Ausserdem ist für alle a > 0: log a = ln a ·
b ∈ R:
1
1
b · log a = b · ln a ·
= ln ab ·
= log ab
ln 2
ln 2
sowie analog für alle b > 0
log a + log b = log(a · b).
1
ln 2
und damit für alle
Damit haben wir die Rechenregeln, die wir für den natürlichen Logarithmus kennen, auch für den Zweierlogarithmus gezeigt.
Seien nun für den Beweis also i, j ∈ {1, . . . , n}, abii ∈ Q (also ai ∈ Z und bi ∈ N für alle i), pi paarweise
verschiedene Primzahlen und definiere cj als Produkt aller bi außer bj (cj ∈ N für alle j)
n
Y
cj :=
bi .
i=1
i6=j
Wir wollen zeigen, dass die Zahlen log p : p Primzahl linear unabhängig sind im Q-Vektorraum R. Nehmen wir
also das Gegenteil an. Es gebe also eine Linearkombination (mit mindestens einem ai 6= 0)
0
⇔0
⇔0
a1
an
log p1 + . . . +
log pn
b1
bn
= a1 c1 log p1 + . . . + an cn log pn
n
Y
= log
pai i ci
=
(1)
(2)
(3)
i=1
⇔1
=
n
Y
pai i ci
(4)
i=1
⇔
Y
ai <0
i ci
p−a
i
=
Y
pai i ci ,
(5)
ai >0
Qn
wobei wir (1) multiplizieren mit i=1 bi , auf (2) wenden wir oben gezeigte Rechenregeln für den Zweierlogarithmus an und in (4) teilen wir durch alle Faktoren, für die ai < 0 ist.
In (5) stehen also zwei verschiedene Repräsentationen einer natürlichen Zahl (pi und alle Exponenten sind ∈ N).
Dass es diese Repräsentationen nicht geben kann, ist ein Widerspruch zur Annahme, dass ein ai ungleich Null ist.
Also müssen alle ai gleich Null sein und damit sind die Vektoren log pi linear unabhängig, was zu zeigen war.