Ubungen zu Mathematik für Biologen

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
WS 08/09
29.10.2008
Blatt 3
Prof. Dr. M. Möhle / F. Freund
Übungen zu Mathematik für Biologen
Aufgabe 10: Seien a, b, x ∈ R, a, b, x > 0 positive reelle Zahlen und n ∈ N eine natürliche Zahl.
a) Vereinfachen Sie elog(a·b) und elog(a)+log(b) . Was fällt auf?
b) Berechnen Sie die reelle Zahl d ∈ R, für die ed·n = xn gilt (Hinweis: Verwenden Sie die in der
nachfolgenden Bemerkung genannte Gleichung für den natürlichen Logarithmus).
c) Bringen Sie die Formel für das Populationsmodell aus Aufgabe 6 auf die Form x · ey·n für reelle
Zahlen x, y ∈ R (Verwenden Sie Aufgabenteil b)).
Bemerkung: Aus a) lässt sich folgern, dass log(a · b) = log(a) + log(b) gilt.
Aufgabe 11: Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:
a) f (x) :=
x
1−x
für x 6= 1.
√
b) g(x) := elog(x)+ x−6 für x > 0.
√
c) h(x) := ex2 +1 für x ∈ R.
Aufgabe 12: Ein mathematisches Modell zur Beschreibung des kontinuierlichen Wachstums einer Population mit einem festen Bevölkerungsmaximum (etwa Bakterien in einer begrenzten Nährlösung) ist
das Verhulst-Modell (logistisches Wachstum). Im Verhulst-Modell wird die Größe der Population zur Zeit
t ≥ 0 näherungsweise∗ durch
B(t) =
K · B0 · ert
Individuen
K − B0 + B0 · ert
angegeben, wobei B0 ∈ N die Populationsgröße zu Beobachtungsbeginn, K ∈ N die maximale Populationsgröße und r > 0 die Stärke des Wachstums angeben.
a) Skizzieren Sie für B0 = 100, K = 1000 und r = 0, 06 den Verlauf von B(t) für t ∈ [0, 100].
b) Berechnen Sie mit den Parametern aus a) den Zeitpunkt t, zu dem die Bevölkerung auf 500 Individuen angewachsen ist.
c) Geben Sie B(0) und lim B(t) an.
t→∞
∗
Diese Formel nähert die Populationsgröße nur an und liefert meist keine ganzen Zahlen.
Abgabe: Bis Mittwoch 05.11.2008 11:00 Uhr in einen der Übungskästen zur Veranstaltung “Mathematik für Biologen” im Flur des Geschäftszimmers des Mathematischen Instituts (25.22 00.53). Bitte den
Übungskasten benutzen, zu dem der Anfangsbuchstabe Ihres Nachnamens zugeordnet ist.
Hinweise
1) Die Übungsgruppe findet Do 11:15-12:00 Uhr (Hörsaal 5F) statt.
2) Das Tutorium findet Fr 14:15-15:00 Uhr (Hörsaal 5C) statt.
3) Alle Übungsblätter zu Vorlesung und Tutorium finden Sie auch unter
http://www.math.uni-duesseldorf.de/~stoch/lehrveran-Dateien/WS08_09/Bio/materialien_Bio_WS_0809.html
im Netz.