Powerpointpräsentation

Dr. Henning Brand
Diplom-Psychologe
Mk 1.2
Universität zu Köln
WS 08 / 09
Meine Anforderungen:
Credit Points:
2 = aktive Mitarbeit, inklusive der kleinen Übungsaufgaben
3 = wie 2 plus Test
4 = wie 3 plus Abschlußdiskussion
Seminarmaterialien unter:
www.henningbrand.de/uni/seminar.html
e-mail: [email protected]
Grundlagen 1:
Variablen und wie wir sie beschreiben:
Parameter
Was bisher geschah:
Bei ethnologischen Studien in Riesenland und Zwergenland haben wir festgestellt, daß sich die Bewohner der
beiden Länder durch ihre Körpergröße unterscheiden.
Die beste Angabe zur Körpergröße einer Nation ist
der Mittelwert M. Wir erhalten die mittlere Körpergrösse,
indem wir die Summe ∑ der Einzelwerte xi bilden und
durch die Anzahl N der Einzelwerte dividieren:
∑ xi
M=
N
“Körpergröße” ist eine Variable. Das heißt: sie ändert
ihre Werte. Es gibt verschiedene Ausprägungen der
Variablen “Körpergröße”.
Der Mittelwert M ist der Wert, den eine Variable am
wahrscheinlichsten annimmt. Wir können uns diesen
Wert als “Schwerpunkt” oder “Gravitationszentrum”
vorstellen.
Der Mittelwert ist das Gleichbleibende an einer
Variablen.
Es reicht nicht aus, nur den Mittelwert einer Variablen
zu kennen. Denn wir müssen auch wissen, wie stark
sie sich verändert (variiert). Das Mass dafür heißt
Varianz.
Berechnung der Varianz:
a) Bestimme die Abweichung jedes Einzelwertes xi vom
Mittelwert M.
b) Es gilt immer: ∑ (M - xi) = 0
V
M
M = Mittelwert /
V = Varianz /
„Wasserstand “
„Seegang “
Lösung des Problems:
c) Quadriere die Abweichungen (M - xi)!
d) Die Varianz s2 ist dann:
s2 =
∑ (M - xi)2
N
e) Die Standardabweichung s ist die Wurzel aus der
Varianz.
Frage: Warum? Wieso wird nicht statt dessen mit dem
Betrag der Abweichung gerechnet?
Antwort: Pythagoras
x2
M - x2
M
M - x1
x1
Dividieren wir vor dem Wurzelziehen durch N, so entspricht √(M-x)2+(M-x2)2 der Standardabweichung s.
Grundlagen 2:
Zufall, Wahrscheinlichkeit,
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Definition von Zufall:
Zufällig ist ein Ereignis, wenn es
durch keine bekannte Gesetzmäßigkeit
vorhersagbar ist
Die Standardnormalverteilung
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Eigenschaften
68% der Fälle innerhalb einer Standardabweichung von .
10% der Fälle sind mehr als 1.65 Standardabweichungen
von  entfernt.
5% > 1.96 Standardabweichungen von .
Der zentrale
Grenzwertsatz
Die Normalverteilung kann angewendet werden, auch
wenn eine Variable in der Population nicht normalverteilt ist:
Die Summenwerte von unabhängigen Zufallsprozessen
nähern sich mit steigender Anzahl von Beobachtungen
der Normalverteilung an.
Der zentrale Grenzwertsatz
QuickTime™ and a
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Freischütz : “Sechse treffen, sieben äffen”
Vpn
1
2
3
4
5
6
7
Sum
Mea n
X
5
3
8
6
3
8
2
35
5
(M-x)
0
2
-3
-1
2
-3
3
0
Freiheitsgrade
degrees of freedom
df
THEMEN
1. Hypothesen testen
2. Unterschiede
3. Experiment und Quasiexperiment
4. Zusammenhänge
5. Messen
6. Messen und Rechnen unter Extrembedingungen:
Nonparametrische Statistik
1. Hypothesentesten
Hypothesentest:
Prüfgröße = die beobachtete Abweichung
kritischer Wert = die theoretische Grenze, (z.B. 5%) des Zufallsbereichs
gerichtete Hypothese:
sagt vorher, in welcher Richtung ein Unterschied oder Zusammenhang liegt.
ungerichtete Hypothese:
sagt, daß überhaupt ein Unterschied/Zusammenhang besteht
Das beeinflußt, wo der kritische Wert liegt:
einseitiges vs. zweiseitiges Testen
Statistik
(„Bestandsaufnahme“)
Zusammenhänge
beschreiben
Unterschiede
erklären
2. Unterschiede
Kausalität
“For X to be a cause of Y, two conditions must hold:
first, that X and Y both happen; and second, that Y
would not have happened if X had been otherwise.”
from David Deutsch: “The Fabric of Reality”, p. 274
X
Y
Xdiff
non Y
Unterschiede
Zusammenhänge
Multiplikation soll im Mathematikunterricht nach zwei
verschiedenen Methoden unterrichtet werden:
a) In Addition umwandeln (z.B. 3*3 = 3+3+3)
b) Geometrisch (3*3 ist Fläche mit neun Kästchen)
Je drei Klassen werden nach einer der beiden Methoden
unterrichtet. Nach einiger Zeit wird als Erfolgskontrolle
ein Test geschrieben, der zehn Aufgaben hat.
Wir betrachten im folgenden, wie sich die Ergebnisse
auswerten lassen.
Methode: Methode:
Addition Graphisch
Klasse 1
Klasse 2
Klasse 3
2
3
1
6
7
5
Mean
Sum of Squares (SS)
2
2
6
2
Overall Mean
Overall SS
4
28
Die Varianzanalyse (ANOVA)
Methode: Methode:
Addition Graphisch
Klasse 1
Klasse 2
Klasse 3
2
3
1
6
7
5
Mean
Sum of Squares (SS)
2
2
6
2
Overall Mean
Overall SS
4
28
Grundidee 1: Es gibt Unterschiede innerhalb der Gruppen.
Grundidee 2: Es gibt Unterschiede zwischen den Gruppen.
Die Quadratsummen (SS) innerhalb der Gruppen sind
Fehlerterme. Sie geben die zufällige Abweichung der
einzelnen Klassen im Test wieder.
Die Quadratsummen zwischen den Gruppen sind die
interessanten: Sie geben an, wie stark der Unterschied
ist, der auf die Unterrichtsmethode zurückzuführen ist.
Varianzanalyse
Haupteffekt
SS
Effect 24,0
Error
4,0
df
1
4
MS
F
24,0 24,0
1,0
p
.008
Die Varianzanalyse ist die Methode der Wahl zur Analyse
von Gruppenunterschieden.
Sie zeigt die verschiedenen Varianzquellen auf.
Sie ist geeignet, mehr als zwei Gruppen miteinander
zu vergleichen.
Beispiel:
In unserem Beispiel haben wir gemischte Klassen. Dabei
werden Kinder mit Lernstörungen zusammen mit Kindern
unterrichtet, die keine Schwierigkeiten, speziell nicht im
Mathematikunterricht haben.
Ein mögliches Ergebnis der Studie:
Methode:
Addition
Methode:
Graphisch
Lernstörung
2
3
1
6
7
5
M
2
6
keine
Lernstörung
5
6
4
6
7
5
M
5
6
Interpretation:
Die Wirkung der Unterrichtsmethode ist abhängig
von der Schülergruppe (LB + / LB -). Die Schüler mit
Lernstörungen profitieren stärker von der graphischen
Methode.
M
6
2
Addition
Graphisch
Definition: Interaktion in der Varianzanalyse
Die Wirksamkeit der Unterrichtsmethode ist abhängig
von der Schülergruppe, die unterrichtet wird. Die
Schüler mit Lernstörung profitieren stärker.
Die Auswirkung der Variablen „Unterrichtsmethode“
ist abhängig von der Ausprägung der Variablen „Lernstörung“
Allgemein:
Die Auswirkung einer unabhängigen Variablen ist
abhängig von der Ausprägung einer anderen unabhängigen Variablen.
3. Was ist ein Experiment?
Unabhängige Variable:
Wird in einer Untersuchung kontrolliert verändert.
Frage ist diese Schulstudie ein Experiment?
Merkmale des Experiments:
Das Experiment ermöglicht das Testen von kausalen
Hypothesen durch:
kontrollierte Veränderung der unabhängigen Variablen
zufällige Verteilung der Versuchsteilnehmer auf die
Bedingungen (Randomisierung)
Kontrolle von Störvariablen
Unterschied zwischen Experiment und QuasiExperiment:
Fehlende Randomisierung
Fehlende Parallelisierung
In der Schulstudie werden die Schüler nicht zufällig
auf die Unterrichtsmethoden „Addition“/„Graphisch“
verteilt.
Es handelt sich daher um eine quasiexperimentelle
Studie.
Der Solomon - Vier-Gruppenplan
Gruppe 1: O - T - O
Gruppe 2: O
Gruppe 3:
Gruppe 4:
O
T-O
O
Gruppe 1
Gruppe 3
Gruppe 2
Gruppe 4
Messung 1
Messung 2
4. Zusammenhänge
In einer Schulklasse von 15 Kindern werden drei Grössen
untersucht:
a) Erziehungsstil der Eltern 0=liberal bis 10=autoritär
b) Motorische Unruhe der Kinder 0=ruhig bis 10=unruhig
c) Selbstvertrauen der Kinder 0=gering bis 10=sehr hoch
Annahme: Es besteht ein Zusammenhang zwischen
Autoritarismus (A) und Selbstvertrauen (S).
Es wird vermutet, daß autoritärer Erziehungsstil mit
geringem Selbstvertrauen der betroffenen Kinder
einhergeht.
Bei Autoritarismus (A) und Selbstvertrauen (S) handelt
es sich um Variablen.
Fragen bei einer Variablen:
 Wie stark ändert sie sich?
Was verändert sich nicht?
 M - „Wie autoritär sind sie insgesamt?“
 V - „Wie stark schwanken die Einzelwerte?“
V
M
M = Mittelwert / „Wasserstand“
V = Varianz / „Seegang“
Grundidee der Korrelation
X
Y
Wenn ein Zusammenhang der Schwankungen von X und
Y besteht, dann muss sich die Variabilität
∑(Mx - xi)2 bzw. ∑(My - yi)2 ausdrücken lassen
durch:
∑(Mx - xi)*(My - yi)
Ist der Zusammenhang perfekt, dann gilt :
∑(Mx - xi)2 = ∑(My - yi)2
=
∑(Mx - xi)*(My - yi)
so dass:
r=
∑ (Mx - xi)*( My - yi)
√ ∑(M - x )2 * ∑(M - y )2
x
i
y
i
=1
Wenn der Zusammenhang nicht perfekt ist, wird
∑(Mx - xi)*(My - yi) < √∑(Mx - xi)2 * ∑(My - yi)2
so dass r < 1 wird.
Wenn die Wellen im Aquarium 2 genau entgegengesetzt
ausschlagen, ist - ∑(Mx
r = - 1 wird.
- xi) = ∑ (My - yi) so dass
Vpn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Sum
Mean
Aut
7
2
1
3
9
4
0
3
3
6
8
1
9
2
2
60
4
M-x
-3
2
3
1
-5
0
4
1
1
-2
-4
3
-5
2
2
0
(M-x)2 Selb
9
3
4
8
9
9
1
7
25
3
0
5
16
9
1
6
1
6
4
3
16
2
9
5
25
7
4
8
4
9
128
90
6
M-x (M-x)2 Mot
3
9
5
-2
4
0
-3
9
0
-1
1
0
3
9
8
1
1
1
-3
9
2
0
0
4
0
0
4
3
9
7
4
16
6
1
1
1
-1
1
5
-2
4
1
-3
9
1
0
82
45
3
M -x (M-x)2
-2
4
3
9
3
9
3
9
-5
25
2
4
1
1
-1
1
-1
1
-4
16
-3
9
2
4
-2
4
2
4
2
4
0
104
Berechnung der Covarianz
Sum
Aut
7
2
1
3
9
4
0
3
3
6
8
1
8
2
2
60
M-x
-3
2
3
1
-5
0
4
1
1
-2
-4
3
-5
2
2
0
(M-x)2
9
4
9
1
25
0
16
1
1
4
16
9
25
4
4
128
Selb
3
8
9
7
3
5
9
6
6
3
2
5
7
8
9
90
M-y (M-x)(M-y)
3
-9
-2
-4
-3
-9
-1
-1
3
-15
1
0
-3
-12
0
0
0
0
3
-6
4
-16
1
3
-1
5
-2
-4
-3
-6
0
-74
Bivariate Korrelation
Autoritarismus / Selbstvertrauen
-74
r=
√128*82
= -.72
Autoritarismus / Motorische Unruhe
r=
95
= .82
√128*104
Selbstvertrauen / Motorische Unruhe
r=
-70
√82*104
= -.76
Daraus folgt: Der Korrelationskoeffizient r ist abhängig
von den Parametern M (Mittelwert) und S2 (Varianz).
Er heisst daher parametrischer Korrelationskoeffizient.
Er kann Werte zwischen 1 und - 1 annehmen.
Dieser Koeffizient wird auch Pearson-Korrelation genannt.
Er setzt intervallskalierte Variablen voraus.
5. Messen
Messen in der Statistik
=> Skalierung einer Variablen
Nominalskalierung
Kategoriale Daten / qualitative Unterschiede z.B.Männer/Frauen
Es gibt keine Abstände zwischen Kategorien, Unterschiede sind
nicht interpretierbar im Sinne von „mehr“ oder „weniger“
Ordinalskalierung
Ordinale Daten / quantitative Unterschiede z.B. Schulnoten. Es
gibt Abstände zwischen Kategorien, Unterschiede sind interpretierbar,
im Sinne von „mehr“ oder „weniger“, die Abstände sind nicht gleich.
Intervallskalierung
metrische Daten, quantitative Unterschiede z.B. Testleistung in einem
Konzentrationstest, Unterschiede interpretierbar, Abstände sind gleich,
denn: 4 Fehler sind doppelt soviel wie 2 Fehler
Quantitative Variablen beschreiben, wieviel Einheiten einer
Größe vorhanden sind.
Qualitative Variablen beschreiben, wie etwas beschaffen
ist.
Beispiel 1: quantitativ
Vpn
1
2
3
4
5
6
7
Sum
Mea n
X
5
3
8
6
3
8
2
35
5
(M-x)
0
2
-3
-1
2
-3
3
0
Beispiel 2:qualitativ
Männer
Frauen
6. Parameterfreie Statistik
Thema 2 - Hypothesentest
Ein Referendar glaubt, dass mathematische Begabung
geschlechtsspezifisch und invariant sei. Er hält seine männlichen Schüler daher für grundsätzlich begabt und seine
Schülerinnen für unbegabt. Als Fachleiterin beobachten
Sie den Unterricht der Lehrkraft und beobachten, dass
die Jungen in der Klasse anders behandelt werden als die
Mädchen. Während der Lehrer die Jungen eher mit Lob
aufbaut und ermutigt, scheint er die Mädchen eher zu
tadeln und zu entmutigen. Um dem Problem auf den Grund
zu gehen, bilden Sie Kategorien für lobendes und tadelndes Lehrerverhalten, filmen eine Unterrichtssequenz und
lassen diese durch zwei unabhängige Beobachter be urteilen.
Die Beobachter kommen zu folgendem Ergebnis:
(N = 15 beobachtete Verhaltenseinheiten)
Tadel
Lob
Jungen
1
8
Mädchen
4
2
Der Referendar behauptet, sein Unterricht sei fair, die
Wahrscheinlichkeit für Lob und Tadel sei für Jungen und
Mädchen gleich, und nur von der fachlichen Leistung
abhängig.
Wir erforschen hypothesengeleitet den Wahrheits gehalt dieser Aussage:
Hypothesentestende Forschung
H0 = Lob/Tadel sind unabhängig vom Geschlecht
(Nullhypothese)
H1 = Lob/Tadel sind abhängig vom Geschlecht
(Alternativhypothese)
Beachten Sie:
 Die Forschungshypothese, die wir inhaltlich formulieren, ist die Alternativhypothese H1.
Wir gehen also zunächst davon aus, dass die
Nullhypothese H0 zutrifft. Wir testen konservativ.
Die Forschungshypothese lässt sich als Zusammenhangshypothese formulieren: Es gibt einen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht der Schüler und dem
Lehrerverhalten.
Die Forschungshypothese lässt sich als Unterschiedshypothese formulieren: Jungen werden gegenüber
Mädchen bevorzugt
Erster Schritt: Wir ermitteln die Erwartungswerte
Tadel
Lob
Jungen
1
8
9
Mädchen
4
2
6
5
10
N = 15
Randsummen
Tadel
Lob
Jungen
9*5
15
=3
9*10
15
=6
9
Mädchen
6*5
15
=2
6*10
15
=4
6
5
10
Erwartungswert : = Ausprägung einer Variablen,
oder einer Kombination von
Variablen, die wir erwarten
zu beobachten, falls bestimmte
Annahmen bezüglich dieser
Variablen zutreffen.
Hier:
Häufigkeiten von Lob / Tadel bei Jungen
und Mädchen, die wir erwarten, falls
„Lehrerverhalten“und „Geschlecht der
Schüler“ unabhängige Ereignisse sind.
Tadel
Lob
Jungen
beobachtet: 1
erwartet: (3)
1-3=-2
beobachtet: 8
erwartet: (6)
8-6=2
9
Mädchen
beobachtet: 4
erwartet: (2)
4-2=2
beobachtet: 2
erwartet: (4)
2-4=-2
6
5
10
N = 15
c2 =
=
n=1
(1-3)2
(8-6)2
(4-2)2
(2-4)2
+
+ 4
+ 6
3
2
1,3 +
0,7 +
2
+
1
=5
Freiheitsgrade / df (degrees of freedom)
c2
p < .05
0
3.84

Die Chi-Quadrat Funktion in Abhängigkeit von ihren
Freiheitsgraden (df)
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Chi-Quadrat Anpassungstest
Prüfgröße:
c2 =5
c2 = 5 > c2krit = 3.84
Der Test ist signifikant.
Die Nullhypothese Ho wird verworfen.
Es besteht ein signifikanter Zusammenhang zwischen
dem Lehrerverhalten (Lob/Tadel) und dem Geschlecht
der Schüler.
Jungen werden gegenüber Mädchen bevorzugt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis zufällig
beobachtet wurde (Irrtumswahrscheinlichkeit) ist p<.05.
Borchert, J., & Runow, V. (2003). Effektive Intervention im
sonderpädagogischen Arbeitsfeld- ein Vergleich zwischen
Forschungsergebnissen und Lehrereinschätzungen.
Zeitschrift für Heilpädagogische Forschung,4, 189-203.