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Wo Winkel hilfreich sind.
Ein Übungsprogramm
für die Schüler der
IGS - Hamm/Sieg
© Dietmar Schumacher
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Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Schneiden sich 2 Geraden, so entstehen vier Winkel.
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Man nennt sie Scheitelwinkel.
Zwei nebeneinander liegende Winkel nennt man
Nebenwinkel.
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Werden zwei Parallelen von einer Geraden geschnitten, so gibt es zu jedem Winkel,
der an der einen Parallelen entsteht, einen zugehörigen gleich großen Winkel an der
anderen Parallelen.
Die zusammengehörenden und gleich eingefärbten Winkel nennt man Stufenwinkel,
sie sind gleich groß.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Werden zwei Parallelen von einer Geraden geschnitten, so gibt es zu jedem Winkel,
der an der einen Parallelen entsteht, einen zugehörigen gleich großen Winkel an der
anderen Parallelen. Die Winkel sind jeweils durch die Gerade getrennt.
Diese hier gleich eingefärbten Winkel nennt man Wechselwinkel, weil sie die
Seite der Gerade wechseln. Zusammengehörende Wechselwinkel sind gleich
groß.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Schneiden sich zwei Parallelenpaare mit
unterschiedlichem Abstand, so umschließen
sie ein Parallelogramm.
Im Parallelogramm sind gegenüberliegende
Winkel gleich groß, weil es Wechselwinkel
sind.
Die Summe der Innenwinkel im
Parallelogramm beträgt 360°.
Aufgabe:
In einem Parallelogramm sind die innen liegenden stumpfen Winkel je 120°. Wie groß ist ein
innen liegender spitzer Winkel?
Lösung:
Die Summe der innen liegenden stumpfen Winkel beträgt 240°. Beide spitze Innenwinkel zusammen
haben also 360° - 240° = 120°. Da beide gleich groß sind, ist ein spitzer Winkel also 60°.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Aufgabe:
In einem Parallelogramm ist der Winkel a = 100.
Wie groß sind die übrigen eingezeichneten Winkel?
Lösung:
Grüne Winkel
a
Die grünen Winkel sind alle 100°, weil es sich
jeweils um Stufenwinkel handelt.
Gelbe Winkel
Gelbe Winkel ergänzen sich mit den grünen Winkeln zu 180°, weil es Nebenwinkel sind. Ein gelber
Winkel ist also: 180° - 100° = 80°. Alle gelben Winkel sind gleich, weil es jeweils Stufenwinkel sind.
Rote Winkel
Die roten Winkel sind jeweils Scheitelwinkel der grünen Winkel, und genau so groß, wie diese, also 100°.
Blaue Winkel
Die blauen Winkel sind jeweils Scheitelwinkel der gelben Winkel, und genau so groß, wie diese, also 80°.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Schneiden sich zwei Parallelenpaare mit unterschiedlichem Abstand im rechten Winkel,
so umschließen sie ein Rechteck.
Das Rechteck ist eine Sonderform des Parallelogramms.
Wir wollen prüfen, ob die Winkelsumme der
Innenwinkel im Rechteck auch 360° beträgt.
Zur Prüfung färben wir die Innenwinkel
des Rechtecks ein. Da alle gleich groß
sind, erhalten sie auch die gleiche Farbe.

Die Summe der Innenwinkel im Rechteck
beträgt 360°.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Schneiden sich zwei Parallelenpaare mit gleichem Abstand im rechten Winkel,
so umschließen sie ein Quadrat.
Das Quadrat ist eine Sonderform des Parallelogramms.
Wir wollen prüfen, ob die Winkelsumme der
Innenwinkel im Quadrat auch 360° beträgt.
Zur Prüfung färben wir die Innenwinkel
des Quadrats ein. Da alle gleich groß
sind, erhalten sie auch die gleiche Farbe

Die Summe der Innenwinkel im Quadrat
beträgt auch 360°.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Gegeben ist das Dreieck ABC.
Durch den Eckpunkt C zeichne ich eine Parallele zur Grundseite AB. Diese Parallele bildet mit den
Seiten des Dreiecks zwei Winkel.
C
A
B
Ich zeichne die Winkel des Dreiecks farbig ein.
Der gelbe Winkel zwischen Parallele und Seite BC ist Wechselwinkel zum Winkel im Punkt B.
Der grüne Winkel zwischen Parallele und Seite AC ist Wechselwinkel zum Winkel im Punkt A.
Diese beiden Wechselwinkel ergänzen sich mit dem Winkel in C zu 180°.
Die Winkelsumme der Innenwinkel des Dreiecks beträgt 180°.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Gegeben ist das Dreieck ABC.
Durch den Eckpunkt C zeichne ich eine Parallele zur Grundseite AB. Diese Parallele bildet mit den
Seiten des Dreiecks zwei Winkel.
C
A
B
Ich zeichne die Winkel des Dreiecks farbig ein.
Der rote Winkel zwischen Parallele und Seite BC ist Wechselwinkel zum Winkel im Punkt B.
Der grüne Winkel zwischen Parallele und Seite AC ist Wechselwinkel zum Winkel im Punkt A.
Diese beiden Wechselwinkel ergänzen sich mit dem gelben Winkel in C zu 180°.
Die Winkelsumme der Innenwinkel des Dreiecks beträgt also auch hier 180°.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Wenn zwei nicht parallele Geraden durch ein Parallelenpaar geschnitten werden,
entsteht ein Trapez mit den Eckpunkten ABCD.
Es ist zu prüfen, ob die Winkelsumme der
Innenwinkel im Trapez auch 360° beträgt.
D
Zur Prüfung färben wir die Innenwinkel
des Trapez unterschiedlich ein.
C
Die eingefärbten Winkel ergänzen sich zu 360°.
A
B
Die Winkelsumme der Innenwinkel des Parallelogramms beträgt also auch hier 360°.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Wir zeichnen in ein gegebenes Parallelogramm ABCD eine Diagonale ein. Sie teilt das
Parallelogramm in zwei Dreiecke.
Zu der Diagonalen zeichnen wir zwei Parallelen, die
durch die freien Eckpunkte des Parallelogramms
laufen.
D
C
Ich zeichne im Dreieck 1 die Innenwinkel farbig ein.
Der rote Winkel unterhalb der Parallelen bei Punkt D
ist Wechselwinkel zum roten Winkel bei Punkt A.
Der gelbe Winkel unterhalb der Parallelen bei Punkt D
ist Wechselwinkel zum gelben Winkel bei Punkt C.
A
B
Ich zeichne im Dreieck 2 die Innenwinkel farbig ein.
Der rote Winkel unterhalb der Parallelen bei Punkt B
ist Wechselwinkel zum roten Winkel bei Punkt C.
Der gelbe Winkel unterhalb der Parallelen bei Punkt B
ist Wechselwinkel zum gelben Winkel bei Punkt A.
Diese beiden Wechselwinkel ergänzen sich mit
dem grünen Winkel in D zu 180°.
Diese beiden Wechselwinkel ergänzen sich mit
dem hellblauen Winkel in B zu 180°.
Die Summe der Innenwinkel beider Dreiecke
ergeben 360°, also ist auch die Summe der
Innenwinkel des Parallelogramms 360°.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Wir zeichnen in ein beliebiges Viereck ABCD eine Diagonale ein. Sie teilt das Viereck
in zwei Dreiecke.
D
Zu der Diagonalen zeichnen wir zwei Parallelen, die
durch die freien Eckpunkte des Vierecks laufen.
Ich zeichne im Dreieck 1 die Innenwinkel farbig ein.
C
Der grüne Winkel unterhalb der Parallelen bei Punkt D
ist Wechselwinkel zum grünen Winkel bei Punkt A.
Der gelbe Winkel unterhalb der Parallelen bei Punkt D
ist Wechselwinkel zum gelben Winkel bei Punkt C.
A
B
Ich zeichne im Dreieck 2 die Innenwinkel farbig ein.
Der rote Winkel unterhalb der Parallelen bei Punkt B
ist Wechselwinkel zum roten Winkel bei Punkt C.
Der blaue Winkel unterhalb der Parallelen bei Punkt B
ist Wechselwinkel zum blauen Winkel bei Punkt A.
Diese beiden Wechselwinkel ergänzen sich mit
dem roten Winkel in D zu 180°.
Diese beiden Wechselwinkel ergänzen sich mit
dem gelben Winkel in B zu 180°.
Die Summe der Innenwinkel beider Dreiecke
ergeben 360°, also ist auch die Summe der
Innenwinkel des beliebigen Vierecks 360°.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel
Zwei Halbgeraden mit gleichen Ursprung
werden von drei parallelen Geraden geschnitten,
die auf einer der Halbgeraden senkrecht stehen.
Bestimme die Größe der entstandenen Winkel,
wenn a = 130  groß ist.

α
Lösung:
Die gelben Winkel sind alle 130° groß, weil sie Stufenwinkel sind.
Die roten Winkel sind ebenfalls Stufenwinkel, also alle gleich groß.
Die blauen Winkel sind alle 90°, weil die Parallelen senkrecht auf einer Halbgeraden stehen.
Da die roten Winkel auch gleichzeitig Nebenwinkel der gelben Winkel sind,
kann man ihre Größe ermitteln, weil sich Nebenwinkel an Geradenschnittpunkten
zu 180° ergänzen. (180° - 130° = 50°).
Den grünen Winkel kann man auch berechnen, weil die Winkelsumme der
Innenwinkel im Dreieck 180° beträgt. (180° – 90° – 50° = 40°)