0 - EvIM - ETH Zürich

Agenda für heute, 21. November 2008
• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die
Informationsgewinnung
• Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Daten verwalten (2): Drei Stufen der Datenverwaltung
Anwendung
Informatik
• Daten organisieren
• Entity-Relationship-Modell
• Daten speichern
• Datenbanken
• Daten wieder gewinnen
• Abfragen (z.B. mit SQL)
• Daten reorganisieren
• Logische Verknüpfungen
• Daten austauschen
• Datenformate
• Daten umformen
• Standards
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© Departement Informatik, ETH Zürich
Daten organisieren, Daten speichern: Relationale Datenbank
Ursprüngliche
Information
Normalisieren
Relationen
Relationale Operatoren (Select, Project, Join)
Umstrukturierte Information
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• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die
Informationsgewinnung
• Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Wiedergewinnen von Information: Aussagenlogik
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen?
Datenbankabfrage
Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff = Eisen und Menge < 2
Aussage
ausgewertet mit Tupel einer Datenbank
wahr
falsch
(z.B. 1.7mg Eisen)
(z.B. 3.4mg Eisen)
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Elemente der Aussagenlogik
• Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch")
• Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein
• Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren verknüpft
Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist
vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die
Art der Verknüpfung gegeben.
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Logische Operatoren
Die logischen Operanden p und q sollen Teilaussagen bezeichnen
z.B.
p steht für: Nährstoff = Eisen
q steht für: Menge < 2
(kann wahr sein oder falsch)
(kann wahr sein oder falsch)
• Konjunktion: "sowohl p als auch q"
p and q
• Disjunktion: "entweder p oder q"
p or q
• Negation: "nicht p"
not p
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• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
• Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Logische Verknüpfungen anschaulich spezifizieren
• Für jede mögliche Kombination von logischen Operanden
wird das Resultat der Verküpfung aufgelistet
p
q
Verknüpfung von p mit q
w
w
x
w
f
x
f
w
x
f
f
x
w = wahr, f = falsch
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Wahrheitstabelle für die Konjunktion
Symbole: und, and, •, 
p
q
p and q
w
w
w
w
f
f
f
w
f
f
f
f
Die erste Zeile ist eine Kurzform für:
"Falls p wahr ist und q wahr ist, dann
ist p and q wahr
Für alle Zeilen:
wenn p dann q sonst falsch
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Wahrheitstabelle für die Disjunktion
Symbole: oder, or, +, 
p
q
p or q
w
w
w
w
f
w
f
w
w
f
f
f
Beachte: p or q ist nur dann falsch
wenn beide Teilaussagen falsch sind
Für alle: wenn p dann wahr sonst q
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Beispiele
Rosen sind rot and Veilchen sind blau
ist wahr
wahr and wahr
Rosen sind rot and Veilchen sind grün
ist falsch
wahr and falsch
Rosen sind rot or Veilchen sind blau
ist wahr
wahr or wahr
Rosen sind rot or Veilchen sind grün
wahr or falsch
ist wahr
Rosen sind silbrig or Veilchen sind grün
ist falsch
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falsch or falsch
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Wahrheitstabelle für die Negation
Symbole: nicht, not, ¬
p
not p
w
f
f
w
Vorrangregelung der logischen Operatoren :
1. not
2. and
p or q and r
3. or
4. Vergleiche
Kann durch Setzen
von Klammern
aufgehoben werden
≠ (p or q) and r
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Bemerkungen zur Disjunktion
Umgangssprachlich bedeutet "oder" meistens:
p oder q oder beide
(sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht)
p or q
bedeutet immer "p oder q oder beide" (siehe Wahrheitstabelle)
manchmal bedeutet "oder" jedoch:
p oder q aber nicht beide
(sie telefoniert aus Basel oder aus Genf)
für diese Bedeutung wird die exklusive Disjunktion (xor) angewandt
p
q
p xor q
w
w
f
w
f
w
f
w
w
f
f
f
Beachte: p xor q ist dann falsch wenn
beide Teilaussagen entweder falsch
oder richtig sind.
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Disjunktion oder exklusive Disjunktion?
Genauer: drink xor drive
Aber stimmt das?
Genauer: drink and < 1 Glas xor drive
Stimmts jetzt?
Genauer: (drink and ≤ 1 Glas and drive) or (drink and > 1 Glas and not drive)
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Das neue Plakat
© Raphael Theiler
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Ein paar Spezialfälle
Logische Äquivalenzen
not p or not q  not ( p and q )
not p and not q  not ( p or q )
(de Morgan)
Tautologie
Widerspruch
p or not p
p and not p
p
not p
p or not p
p
not p
p and not p
w
f
w
w
f
f
f
w
w
f
w
f
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• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
• Werete von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg
Eisen oder Zink?
Mengendiagramme
Alle Nahrungsmittel
mit Zink
Alle Nahrungsmittel
mit Eisen
Alle Nahrungsmittel
mit Menge < 2 mg
Logischer Ausdruck
(Menge < 2 mg) and (Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink)
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Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
(Menge < 2 mg) and (Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink)
Menge and Eisen
Eisen
Zink
Menge
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Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg
Eisen oder weniger als 2 mg Zink?
Logischer Ausdruck
(Nährstoff = Eisen) and (Menge < 2 mg) or
(Nährstoff = Zink) and (Menge < 2 mg)
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Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke
(Menge < 2 mg) and (( Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink))
< 2 mg
Eisen
Zink
Eisen or Zink
(Eisen or Zink)
and < 2 mg
W
W
W
W
W
W
W
F
W
W
W
F
W
W
W
W
F
F
F
F
F
W
W
W
F
F
W
F
W
F
F
F
W
W
F
F
F
F
F
F
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© Departement Informatik, ETH Zürich
Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke
(Menge < 2 mg) and ( Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink)
< 2 mg
Eisen
Zink
< 2 mg and Eisen
< 2 mg and Eisen
or Zink
W
W
W
W
W
W
W
F
W
W
W
F
W
F
W
W
F
F
F
F
F
W
W
F
W
F
W
F
F
F
F
F
W
F
W
F
F
F
F
F
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•
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•
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Daten verwalten (2)
Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Boolesche Algebra
Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen "•" und "+" heisst Boolesche*
Algebra, wenn für alle x, y, z  M gilt:
(1) x • (y • z) = (x • y) • z;
Assoziativ
(2) x + (y + z) = (x + y) + z;
Assoziativ
(3) x • y = y • x;
Kommutativ
(4) x + y = y + x;
Kommutativ
(5) x • (x + y) = x;
Absorption
(6) x + (x • y) = x;
Absorption
(8) x • (y + z) = (x • y) + (x • z);
Distributiv
(8) x + (y • z) = (x + y) • (x + z);
Distributiv
* nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864
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Boolesche Algebra
(9) es gibt ein Element 0  M mit 0 • x = 0 und 0 + x = x für alle x  M ;
Neutrales Element
(10) es gibt ein Element 1  M mit 1 • x = x und 1 + x = x für alle x  M ;
Neutrales Element
(11) zu jedem x  M existiert genau ein y  M mit x • y = 0 und x + y = 1;
Komplementäres Element
Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die
Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an.
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Vereinfachung logischer Ausdrücke
Wir möchten einen Fruchtsalat mit Ananas und Bananen oder mit
Ananas und keinen Bananen oder mit keinen Ananas und keinen
Bananen.
Können wir das einfacher sagen?
Was sagen wir überhaupt?
Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane
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Vereinfachung logischer Ausdrücke
Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(A • B) + (A • ¬B) + (¬A • ¬B)
[A • (B + ¬B)] + (¬A • ¬B)
(A • 1) + (¬A • ¬B)
A + (¬A • ¬B)
(A + ¬A) • (A + ¬B)
1 • (A + ¬B)
A + ¬B
Distributivgesetz
komplementäres Element bez. +
neutrales Element bez. •
Distributivgesetz
komplementäres Element bez. +
neutrales Element bez. •
Ananas oder keine Banane
Aber . . . sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent?
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Verifizierung logischer Ausdrücke
1. Ausdruck:
A
B
((A
•
B)
+
(A
•
¬B))
+
(¬A
•
¬B)
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
Schritt:
1
2
1
5
1
3
1
6
1
4
1
7. Ausdruck:
Reihenfolge:
1. Aussage
2. Logischer Ausdruck (Symbole)
3. Boolesche Algebra
4. Ausdruck evaluieren
25/25
A
B
A
+
¬B
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
Schritt:
1
2
1
© Departement Informatik, ETH Zürich
Wir wünschen Ihnen ein schönes Wochenende