met110-111-I

Einführung
in die Meteorologie I
- Teil I: Einleitung Clemens Simmer
I Einführung
I.1 Mathematische Grundlagen
I.1.1 Physikalische Einheiten
I.1.2 Differential- und Integralrechnung
I.1.3 meteorologische Felder
I.1.4 Vektoren-Operationen und Ableitungen
I.2 Meteorologische Grundgleichungen
I.2.1 Physikalische Grundlagen
I.2.2 Skalenbetrachtungsweise
2
I.1.1 Physikalische Einheiten
•
•
•
•
•
Dimensionen und Dimensionsanalyse
SI-Einheiten
Abgeleitete SI-Einheiten
Vielfache und Bruchteile von Einheiten
Dimensionsanalyse
3
Einheiten und Einheitenanalyse
• Wenn man physikalische Gleichungen auswertet, d.h. mit
ihnen rechnet, z.B. das 2. Newtonsche Axiom
Kraft = Masse · Beschleunigung oder F=ma
so müssen alle Größen (Variablen, Konstanten, etc.) im
gleichen Einheitensystem anngegeben werden.
• Umgekehrt kann eine Gleichung nur dann richtig sein,
wenn rechts und links vom Gleichheitszeichen die gleichen
Einheiten stehen, oder
x=y ist nur dann physikalisch prinzipiell sinnvoll
(Voraussetzung), wenn gilt [x]=[y], wobei [ ]
bedeutet„Einheit von“
4
SI-Einheiten
In der Meteorologie benutzt man das sogenannte SI-System
(Système International d’Unités).
Basisgröße
Name
Symbol
Länge
Meter
m
Masse
Kilogramm
kg
Zeit
Sekunde
s
el. Stromstärke
Ampere
A
Temperatur
Kelvin
K
Stoffmenge
Mol
mol
Lichtstärke
Candela
cd
5
Abgeleitete SI-Einheiten
Aus den Basisgrößen können weitere SI-Einheiten abgeleitet
werden:
abgeleitete SI-Einheit
Name
Symbol
Fläche
Volumen
Quadratmeter
Kubikmeter
m2
m3
Frequenz
Hertz
Hz = s-1
Kraft (=MassexBeschleunigung)
Newton
N = kg ms-2
Druck (=Kraft/Fläche)
Pascal
Pa = N m-2 = kg m-1s-2
Energie (=Arbeit=KraftxWeg)
Joule
J = N m = kg m2s-2
Leistung (Energie/Zeit)
Watt
W = Js-1 = kg m2 s-3
el. Spannung
Volt
V = WA-1 = kg m2 s-3 A-1
6
Vielfache und Bruchteile
• Für Vielfache der Basis- und abgeleiteten Einheiten gelten
folgende Bezeichnungen:
Vielfaches
Name
Symbol
Bruchteil
Name
Symbol
1012
Tera
T
10-1
Dezi
d
109
Giga
G
10-2
Zenti
c
106
Mega
M
10-3
Milli
m
103
Kilo*
k
10-6
Mikro*
μ
102
Hekto
h
10-9
Nano
n
101
Deka
da
10-12
Pico
p
*ab ±3 schreitet man bei Potenzen in 3er Schritten voran.
7
Erweiterte Einheitenanalyse
• Einheiten können auch zum Auffinden physikalischer
Gesetze genutzt werden
• Beispiel:
– Wir vermuten, dass die Reibung R (= „negative“ Kraft) eines
Körpers im Luftstrom abhängt von der Geschwindigkeit v, der
Luftdichte ρL und vom Querschnitt des Körpers Q also
R=f(v, Q, ρL) mit f(y) „Funktion von y“ woraus für die Einheiten
– Wir versuchen den Ansatz R=C∙vk∙Ql∙ρLn mit C dimensionslose
Konstante. Aus [x]=[y] folgt dann
kg m/s²≡kg1 m1 s-2=(m/s)k∙(m²)l∙(kg/m³)n
– Es muss dann gelten:
• 1=n
• 1=k+2l-3n
• -2=-k
siehe Potenz von kg
siehe Potenz von m
siehe Potenz von s
– Es folgt n=1 und l=2, durch Einsetzen dann k=1, womit das
Reibungsgesetz lauten könnte: R=C· ρL·Q·v²
8
Meteorologische Variablen
• Meteorologische Variablen bezeichnen die wichtigsten
variablen physikalischen Eigenschaften, die ein
Luftelement (z.B. 1 m³ Luft) beschreiben (z.B. Temperatur,
Druck, Wind, etc.)
• Meteorologische Variable können Skalare (nur ein Wert,
z.B. Temperatur) oder Vektoren (drei Werte, z.B. der Wind
mit den drei Richtungskomponenten) sein.
• Es gibt auch komplexere Elemente (z.B.
Schubspannungstensor) die durch Matrizen (i.a. 3x3
Größen) beschrieben werden müssen.
9
Einige wichtige Elemente
Symbol
SI-Einheit
ungefährer
Wert in
Bodennähe
Luftdruck (S)
p
kg/(ms2)
= Pa
101325
Antrieb für die
Luftbewegung
Luftdichte (S)
r
kg/m3
1,2
Masse, Trägheit
Lufttemperatur (S)
T
K
288,15
Wärme-energie
Element
Bedeutung
Luftfeuchte (S)
verschieden
verschieden
variabel
Wolken,
Niederschlag,
Energie
Windgeschwindigkeit
(V)
u, v, w
m/s
0 - 20
Impuls der Luft
Schubspannungstensor (T)
τ
kg/(ms²)
sehr variabel
Reibung
Strahlungsflussdichte
(S)
F
W/m2
0 - 1000
Wärmequelle
10
Übungen zu I.1.1
• Überprüfe die Konsistenz folgender Gleichungen in Bezug
auf Art der Variablen und ihre physikalischen Einheiten

(a) p  rTv
dp
dF
1 dT
(b)
  rg (c)

dz
dz
rc p dt
mit g Schwerebes chleunigun g, [dx]  [x] ,
[F]  W/m² Strahlungs flussdicht e
[c p ]  J/(kg K) spezifische Wärmekapa zität bei konstantem Volumen,
• Die Zentrifugalkraft FZ eines Teilchens auf einer Kreisbahn
hängt ab von seiner Masse m, seiner Geschwindigkeit v
und vom Radius R des beschriebenen Kreises. Zeige mit
der Einheitenanalyse, dass gilt:
FZ=C m R-1 v² mit C dimensionslose Konstante
11
I.1.2 Differential und Integralrechnung
• Differentialrechnung
–
–
–
–
Allgemeines
Produktregel
Kettenregel
allgemeine Regeln
• Integralrechnung
–
–
–
–
Allgemeines
partielle Integration
Substitution
allgemeine Regeln
12
Differentialrechnung
• Die Ableitung einer Variablen f (z.B. T, Temperatur) nach
einer anderen Variablen x (z.B. t, Zeit), df/dx≡f‘ gibt die
Änderung von f an, wenn x um eine Einheit fortschreitet.
f x gilt für die physikalische Einheit der
• Mit f '  df dx  lim
x 0
Ableitung [f‘]=[f]/[x]
• Regeln:
f  g '  f 'g '
fg '  f ' g  fg '
f (g ( x ))'  df / dz g '
Summenrege l
Produktreg el
Kettenrege l
f  Cx b  f '  Cbx b 1 ; f  a x  e x ln a  f '  a x ln a
f  ln x  f '  1
x
f  sin x  f '  cos x ; f  cosx  f'  -sinx
13
Integralrechnung (1)
• Mit f=f(x) ist das bestimmte Integral von f über x zwischen
a=x1 und b=x2 die Fläche die von f(x) und der f=0-Linie
zwischen a und b eingeschlossen wird. Dabei zählen
Flächenanteile unterhalb f=0 als negativ.
b
 f ( x )dx 
a
lim  f ( x i )x i mit x i alle Intervalle in x
x i 0
i
zwischen x 1 und x 2 und x i ein Wert von x im Intervall Δxi
• Die Stammfunktion F(x) von f(x) ist eine Umkehrung der
Ableitung, und es gilt
b
 f ( x )dx  F (b)  F (a)  F ( x ) a
b
a
mit F '  f oder
 f(x)dx  F(x)  C
14
Integralrechnung (2)
• Regeln
 Cdx  C  dx  Cx  D mit C, D Konstanten
 f ( x )  g ( x )dx   f ( x )dx   g ( x )dx Summenrege l
 f(x)g ' (x)dx  f(x)g(x)-  f ' (x)g(x)dx partielle Integratio n
x2
y 2 g ( x 2 )
 f (g ( x ))g ' ( x )dx   f ( y )dy
x1
Substituti onsregel
y1  g ( x1 )
b
b 1
x
dx

(
b

1
)
x
C

x
x
e
dx

e
C

b
 sin xdx   cos x
a
b
a
b
;
 cos xdx  sin x
a
b
a
15
Übungen zu I.1.2
• Bestimme die Ableitung von
f ( x )  A sin x
2,5
 Be
x
C
x3
2x
• Bestimme die Stammfunktion von von
f ( x )  ln x  sin x cos x  sin( 2 x )
16
I.1.3 Meteorologische Felder
z
 y
Alle meteorologischen Variablen haben
k j
– an jedem Punkt der Atmosphäre, gegeben durch


x Koordinate in Ostrichtung (Richtungseinheitsvektor i )
i
x
y Koordinate in Nordrichtung (Richtungseinheitsvektor j )

z Koordinate in der Vertikalen (Richtungseinheitsvektor k )
– zu jeder Zeit t
einen Wert, also z.B.
T

u 
 

v  vi   v 
w 
 
T ( x, y , z, t )

 u( x, y , z, t ) 



v ( x, y , z, t )  v i ( x, y , z, t )   v ( x, y , z, t ) 
 w ( x, y , z, t ) 


17
Vektoren - kartesische Koordinaten
 ax 



  
a   ay   ai  ax i  ay j  az k
a 
 z
1
0
0
        
i  0 , j  1 , k  0
0
0
1
 
 
 
z
mit

a
  y
k j
i
x
ax,y ,z Achsenab schnitte entlang Koordinate nachsen
  
i , j , k Einheitsve ktoren in Richtung der Koordinate nachsen
Vektoren haben Länge und Richtung (oder Drehsinn) - sonst nichts.
Sie haben also z.B. keinen Aufpunkt und können daher
beliebig verschoben werden.
18
Kontinuität → Diskretisierung
• Die meisten meteorologischen Variablen, ob Skalar,
Vektor, oder Tensor, sind als kontinuierliche Felder zu
betrachten. Meist muss man zur Berechnung diese Felder
in Zeit und Raum diskretisieren
– bedingt durch eine endliche Anzahl von Messungen, oder
– zur Erzeugung von numerischen (Computer-)Modellen.
u
p, v
Tρ
w
z
z
y
y
x
x
t =t0= const
19
Zeitabhängiges dreidimensionales Windund Temperaturfeld
als Linien:
Stromlinien
= verbundene Tangenten
an Geschwindigkeitsvektoren
Juni, 2003,11–19:30 UT
Gebiet 69 x 69 x 3 km3
um Lindenberg
in Farbe:
Temperatur in 200 m
Höhe
20
Übungen zu I.1.3
• Es herrsche ein SSW-Wind mit 20 km/h und einer leicht
aufsteigenden Komponente von 1 cm/s. Schreibe den
Windvektor (Richtung ist durch die Verlagerungsrichtung
gegeben) in kartesischen Koordinaten im SI System.
21
I.1.4 Vektor-Operationen und Ableitungen
•
•
•
•
•
•
•
Skalar-Produkt
Vektor-Produkt
Nabla-Operator
Divergenz
Rotation
Partielle Ableitung
Individuelle Ableitung
22
Vektor-Operationen
- Multiplikation mit einem Skalar a -
 v x   av x 
  

 
av  va  av i  v i a  a v y    av y 
 v   av 
 z  z
• Der Vektor bleibt ein Vektor.
• Jedes Element des Vektors wird einzeln mit dem Skalar
a multipliziert.
• Der Vektor verlängert (oder verkürzt) sich um den
Faktor a.
• Konvention: Bei der Multiplikation Skalar – Vektor
benutzen wir (wie bei Skalar – Skalar) keinen Punkt.
23
Vektor-Operationen
- Skalar-Produkt (a) -
 v x   fx 
       
v  f  f  v   v y    fy   v x fx  v y fy  v z fz  fi v i   fi v i fi v i
i
v   f 
 z  z
• Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar.
• Es wird komponentenweise multipliziert, dann addiert.
• Summenkonvention (Summation über mehrfach auftauchenden
Indices)
• Es ist maximal bei parallelen Vektoren und verschwindet, wenn diese
aufeinander senkrecht stehen.
• Konvention: Das Skalarprodukt wird durch einen Multiplikationspunkt

(·) gekennzeichnet.
f
  
v  f  v f cos


v
24
Vektor-Operationen
- Betrag (Länge) eines Vektors und das Skalar-Produkt (b) -

 
 
 
v  v  v  v v cos   v v 
 v  v  v  v iv i 
2
x
2
y
2
z
v v
i
i
i
25
Vektor-Operationen
- Vektor-Produkt 
i
 
 
a  b  b xa  ax
bx

j
ay
by

k



az  i (ay bz  az by )  j (ax bz  az bx )  k (ax by  ay bx )
bz
  ijk a j bk    ijk a j bk mit  ijk  (1,-1,0) wenn i, j, k (zyklisch, azyklisch, sonst)
j ,k
 ay bz  az by 


  az bx  ax bz  ,
a b  a b 
y x
 x y
   
     
a  b  a b sin , a  b  a  a  b  b
• Das Vektor-Produkt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor.
• Es verschwindet bei parallelen Vektoren und ist maximal, wenn die beiden
Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
• Mit den Multiplikatoren (hier Reihenfolge beachten) bildet das Produkt zusammen
ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel).
• Das Vektorprodukt ist der 0-Vektor, wenn die beiden Vektoren parallel sind.
• Konvention: Das Vektor-Produkt oder Kreuz-Produkt wird durch ein x
gekennzeichnet.
26
Die räumliche und zeitliche Ableitung
meteorogischer Felder
• Die Ableitung meteorologischer Felder nach
Raumkoordinaten oder nach der Zeit ist meist wichtiger als
die Felder selbst (z.B. Druckgradient).
• Berechnung (Beispiel für Zeitableitung):
T T
 dT 
T  

  lim
t
 dt  t 0 t
T
ΔT
Δt
t
27
Partielle Ableitungen
• Da meteorologischen Variablen meist von vier Koordinaten
abhängen (x,y,z,t), muss man bei Ableitungen nach einer
speziellen Koordinate spezifizieren, was mit den anderen
Koordinaten geschieht.
• Hält man alle anderen Koordinaten bei der Ableitung nach
einer speziellen Koordinate konstant, so nennt man dies
partielle Ableitung, und schreibt ∂ (sprich „del“):
dT
dt
dT
dx
y ,z,t const
x ,y ,z const
T dT

,
x
dy
x ,z,t const
T

t
T
dT

,
y
dz
x ,y ,t const
Selbstverständlich lässt sich dies auf beliebige
Abhängigkeiten verallgemeinern.
T

z
28
Bezeichnungen
T
t
T
x
Änderung des Wertes mit der Zeit an einem festen
Ort (z. B. Thermometer in einer Wetterstation)
= lokalzeitliche Ableitung
= partielle Ableitung nach der Zeit
Änderung des Wertes mit dem Ort entlang einer
Raumkoordinatenrichtung (hier x, z.B. annähernd
eine Temperaturmessung mit einem sehr schnellen
Flugzeug) zu einer festen Zeit
= lokale (räumliche) Ableitung
= partielle Ableitung nach einer
Raumrichtung
29
Räumlicher Gradient – Nabla Operator
=
Zusammenfassung der räumlichen Gradienten in Richtung der
Raumkoordinatenachsen.
Der räumliche Gradient hat also drei Komponenten, ist also ein Vektor:
 Tx   x 
 x 


 T    

 y    y T  T   i T , mit    i   y  Nabla - Operator
 T    

 z   z 
 z 
Der räumliche Gradient weist in Richtung der stärksten Zunahme
der Größe. Sein Betrag (Länge des Vektors) ist die Größe der
Ableitung in Richtung der stärksten Zunahme.
Beachte: Es wird beim Gradient kein Punkt hinter dem Nabla
geschrieben. Es ist ähnlich der Multiplikation zwischen Skala
und Vektor.
30
Räumlicher Gradient – Nabla Operator
• Beachte: Nabla ist ein (Vektor-)Operator, d.h. die
Reihenfolge darf hier nicht vertauscht werden!
 Tx   x 
T x 

 
 T    


 y    y T   i T  T  T   T y   T i
 T    
T  
 z   z 
 z 
Nabla ist ein (Vektor-)Operator der nach rechts wirkt.
Er ergibt nur einen Wert, wenn er links von einem Ausdruck steht.
Steht er rechts von einem Ausdruck, so behält er seine Operatorfunktion bei
(und „wartet“ auf Anwendung).
31
Divergenz eines Vektorfeldes
- Skalar-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -
 x   u 
 
      u v w
  v  div v   y    v  


 iv i
    w  x y z
 z   
y
t=0
t=t1
<0
x
>0
<0
Die Divergenz quantifiziert das Zusammenströmen (Senke, negativ)
und Auseinanderströmen (Quelle, positiv) eines Vektorfeldes.
32
Beachte die Reihenfolge!
 x   u 
 
      u v w
 iv i


  v  div v   y    v  
    w  x y z
 z   

 u   x 
    



 vi i
w
v
v     v    y   u
z
y
x
w    
   z 
33
Rotation eines Vektorfeldes
- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

 
 
  v  rot v  



x

y

z

i
 u 
   
   v   x
 w  u
  

j

y
v
 w v 


 
k  y z 
 u w 


z
 z  x    ijk  j v k
w  v u 


 x  y 


Der Rotationsvektor steht senkrecht auf der Ebene in der sich die Strömung
maßgeblich krümmt. Dabei dreht sich die Strömung nach links , wenn man
entgegengesetzt zur Richtung des Rotationsvektors schaut.
34
Windgeschwindigkeit
= Windvektor
= Ortsversatz eines Luftvolumens p (parcel) über die Zeit
pro Zeiteinheit
= zeitliche Änderung des Ortsvektors eines Luftvolumens

r (t )



r (t  t )  r (t )  r

r (t )
0
dx p




xp
u 


dt




 

r dr  d
dy p
v  v i  lim

 r   y p    dt   x i   v 
t 0 t
dt
dt    dz p 
w 


z
 
 p   dt 
35
Änderung von meteorologischen
Elementen in bewegten Systemen (a)
• Betrachte die Temperaturänderung an einem mit
Geschwindigkeit vF (F=Fahrrad) in Richtung s bewegten
Thermometer mit der Zeit, dFT/dt
• dTF/dt hängt intuitiv ab von
– der lokalzeitlichen Temperaturänderung ∂T/∂t
– von der Geschwindigkeit des Fahrrades vF und vom räumlichen
Gradienten der Temperatur in Fahrtrichtung sF
dTF T
T

 vF
dt
t
sF
– beachte die passenden Einheiten!
– überprüfe Gültigkeit an einem Beispiel
– erweitere auf Geschwindigkeitsvektor für Fahrrad
36
Änderung von meteorologischen
Elementen in bewegten Systemen (b)
• Das Fahrrad kann sich in alle Richtungen x, y, z bewegen, d.h. seine
Geschwindigkeit ist ein Vektor
• Bewegt sich das Fahrrad in x-Richtung, so wird entsprechend die
gemessene Temperatur durch die Änderung der Temperatur in xRichtung bestimmt, und analog für die anderen Richtungen
dTF T
T
Wir können also anstatt

 vF
dt
schreiben:
t
sF
d F T T
T
T
T

 uF
 vF
 wF
dt
t
xF
y F
z F

 T


  u   xF
F
T     T

   vF   
t     y F
w
  F   T
 z

 F

T  

 vF   T
t




 




  u   xF

F
  T     
   vF   
 
  t   w   y F
 F   


 z


 F





 T




37
Individuelle Ableitung DT/Dt
Meteorologische Definition: Ersetze das Fahrrad durch ein
Luftvolumen P, das mit dem Wind bewegt wird, also
 dxdtp   Tx 
 u   x 
 
DT T  dy p   T  T     
T

  dt    y  
  v    y T 
 (v  )T
Dt
t  dz p   T  t
t





 w   z 
 dt   z 


 
38
Individuelle Ableitung DT/Dt
• Alternative Ableitung: Betrachte die Temperatur eines sich bewegenden Luftvolumens. Allgemein hängt die Lufttemperatur von der Zeit und
vom Ort des Luftpartikels ab, wobei auch der Ort (gegeben durch seine
Koordinaten) von der Zeit abhängt. Dann kann man formal nach der
Kettenregel ableiten:

dT (rp , t )

dT ( x p , y p , zp , t ) T T drp
DT



  
Dt
dt
dt
t rp dt
T T dx p T dy p T dzp T T





,...
t x p 
dt
y p 
dt
zp 
dt x p x
u
v
w
 dxdtp   Tx 
 u   x 
 
T  dy p   T  T     
T

  dt    y  
  v    y T 
 (v  )T
t  dz p   T  t
t







 dt   z 
w   z 


 
39
Interpretation DT/Dt
DT

Dt

indiv iduelle
Änderung
T
t

lokalzeitl iche
Änderung
 
 (
v

)T

" Adv ektionsterm"
,
 
T DT

 (v   )T
t
Dt
Die Änderung z.B. der Temperatur eines sich mit dem Wind verfrachteten
Luftvolumens lässt sich also formal in zwei Anteile aufspalten:
1. die lokalzeitliche Änderung (z.B. Messung eines feststehenden
stationären Thermometers)
2. der sogenannte „Advektionsterm“. Der Name wird verständlich, wenn
man die rechte Gleichung nimmt (lokalzeitliche Änderung) und annimmt,
dass individuelle Luftteilchen ihre Temperatur nicht ändern (DT/Dt=0).
Dann beschreibt der Advektionsterm offensichtlich die lokale Änderung,
die durch einen Temperaturgradienten, verfrachtet mit dem Wind
(Advektion), erzeugt wird.
40
Übungen zu 1.3 bis 1.4 (1)
• Ein kartesisches Koordinatensystem sei festgelegt durch die
Konventionen: x-Richtung zeigt nach Osten, y-Richtung zeigt nach
Norden, z-Richtung zeigt nach oben. Wie lautet der Windvektor für
einen Südostwind mit 10 m/s Geschwindigkeit und einer aufwärtigen
Komponente von 1 cm pro Sekunde?
• Ein Luftvolumen sei zur Zeit t0 am Ort (x,y,z)=(1000,500,2) und nach 10
Minuten am Ort (2500,-1000,3). Schätze den Windvektor ab. Wie groß
ist der Betrag der Windgeschwindigkeit? Wo wäre das Partikel nach
der gleichen Zeit gewesen, wenn der Betrag der Windgeschwindigkeit
1,5 mal so hoch gewesen wäre bei gleicher Windrichtung?
 
 
• Berechne allgemein und
  
v
, v , v  v
für (u,v,w)=(10,sinx,0):
    
  
 v v , v  v , v  v
 2
 2
 2
 
v
,   v , v , v  
 

   
 

41
Übungen zu 1.3 bis 1.4 (2)
• Skizziere die Felder, bestimme die lokalzeitlichen und die individuelle
Ableitung der Temperatur und die Divergenz und Rotation der
Windfelder.
2x 

10 sin



10


L

 

2x
10y
a) v  10 sin
 und b) v  
0
 und T  288,15 
L 
L




0
0






• Der Wind weht konstant aus Westen mit 5 m/s. In der Luft nimmt bei
fest gehaltener Zeit von Südwest nach Nordost die Temperatur um 1 K
auf 100 km ab. Die Luft selbst wird durch die Sonne und ander Effekte
überall um 1 K pro Stunde erwärmt. Welche Änderung der Lufttemperatur zeigt ein Thermometer an einem festen Ort pro Stunde an?
• Ein Themometer an einem festen Ort misst eine Temperaturerhöhung
um 1 K pro Stunde. Der Wind kommt aus Nord mit 10 m/s. Die Sonne
erwärmt die Luft mit 2 K pro Stunde. Offensichtlich nimmt also die
Lufttemperatur nach Norden ab. Um wieviel Grad pro 100 km nimmt die
Temperatur nach Norden ab?
42
I.2 Meteorologische Grundgleichungen
• Physikalische Beziehungen zwischen den wesentlichen
meteorologischen Variablen (Druck, Temperatur, Dichte,
Feuchte und Wind) in Form von Gleichungen, die an jedem
Ort in der Atmosphäre gelten
• Sogenannter „dynamischer Kern“ der numerischen
Simulationsmodelle für die Atmosphäre die in der
Meteorologie für die Wetter- und Klimavorhersage genutzt
werden
• Die Meteorologischen Grundgleichungen setzen sich i.w.
aus vier Erhaltungsgesetzen und der Zustandsgleichung
für ideale Gase (Gasgleichung) zusammen.
43
I.2.1 Physikalische Grundlagen
Vier Erhaltungsgesetze
Impulserhaltung (Newtonsche Axiome: Masse x Beschleunigung =
Summe der angreifenden Kräfte)
Gesamtmassenerhaltung: Erhöht sich die Dichte an einem Ort, so muss
Masse aus der Umgebung dorthin geflossen sein.
Wassermassenerhaltung: Analog zu 2., jedoch eingeschränkt auf
Wasserdampf. Außer zum Ausgleich durch Massenfluss kann es auch
zu Phasenumwandlungen kommen
Wärmeenergieerhaltung: Eine Temperaturänderung wird hervorgerufen
durch Druckabnahme, Strahlungsumwandlungen und/oder
Phasenänderungen des Wasserdampf (Kondensationswärme)
44
Meteorologische Grundgleichungen
- 5 (7) Primitive Equations •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1-3 Bewegungsgleichung (Navier-Stokes Gleichung)
-> Wind (Vektor!=3 Gleichungen)
4 Kontinuitätsgleichung
-> Luftdichte
5 Erster Hauptsatz der Wärmelehre
-> Lufttemperatur
6 Haushaltsgleichung des Wasserdampfes
-> Luftfeuchte, Wolken
7 Zustandsgleichung der Luft
-> Luftdruck
45
Überblick - Grundgleichungen
1.
2.
3.
4.
du u  
1 p

 (v  )u  
 2(v sin   w cos  )  f Fr , x
dt t
r x
dv v  
1 p
  (v   )v  
 2u sin   f Fr , y
dt t
r y
dw w  
1 p

 (v   ) w  
 g  2u cos   f Fr , z
dt
t
r z
 
dr r  

 (v  ) r   r  v
dt
t
6 prognostische,
nicht-lineare,
gekoppelte
Diff‘gleichungen
  
dr w r w  
5.

 (v   ) r w   r w  v  W
dt
t
dT T  
1 dp 1 
6.

 (v  )T 
 H
dt
t
rc p dt c p
7. p  r RLT
1 diagnostische
Gleichung
46
Lösung des Gleichungssystems
• Die Grundgleichungen bilden einen Satz von meist nichtlinearen gekoppelten Differentialgleichungen
• Notwendig zur Lösung sind:
– zu einem Zeitpunkt (Anfangswerte) die Kenntnis aller 7
meteorologischen Parameter an jedem Ort im Vorhersagegebiet
– zu jedem Zeitpunkt die Werte der meteorologischen Parameter an
allen Rändern des Vorhersagegebietes (auch oben und unten)
• Dann ist eine Vorhersage in die Zukunft möglich (→
Wetter- und Klimavorhersage)
47
I.2.2 Skalenbetrachtungsweise
• Grundüberlegungen
• Beispiele
• Skalendiagramm
48
Grundüberlegungen
• Als Skalen bezeichnet man Längen- (L) und Zeitintervalle (T).
• Die meisten meteorologischen Phänomene haben für sie ganz typische
Längen- und Zeitskalen im Sinne von Größenordnung (z.B. Wolken,
Hurrikane, Zyklonen).
• Beobachtung in der Atmosphäre: Je größer die Längenskala L eines
Phänomens, desto größer i.a. die dazugehörige Zeitskala T; also mit L
nimmt T zu.
• Die Analyse der Grundgleichungen nach den Skalen von bestimmten
Phänomenen wie z. B. einem Tiefdrucksystem (Skalenanalyse =
Vergleich der Größenordnung von Termen) isoliert die jeweils
dominanten Terme und führt so zu vereinfachten Gleichungen.
• Beispiele, ableitbar aus Bewegungsgleichungen:
 Geostrophischer Wind: Der Wind in den mittleren Breiten weht
meist parallel zu den Isobaren mit dem tiefen Druck links liegend
(auf NH).
 Statische Grundgleichung: Die Druckabnahme nach oben ist
proportional zum Produkt aus Luftdichte und
49
Schwerebeschleunigung
Beispiele
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Turbulenz
Staubteufel
Cumuluswolken
Schwerewellen
Tornados
Cumulus congestus
Gewitter
Meso-Zyklone
Tropische Zyklone (Hurrikan, Taifun)
Zyklone der mittleren Beiten
Rossby-Wellen
50
Turbulenz
Flugzeugmessung
Lokale Messung
51
Schwerewellen
52
Staubteufel u.l., Trombe u.r. und
Tornado (Großtrombe) o.r.
53
Cumulus congestus
54
Tropische Zyklone
55
Zyklone und
Meso-Zyklone
im Mittelmeer
56
Rossby-Wellen (Strömung
in ca 5 km Höhe)
57
Skalendiagramm
Logarithmische Achsen:
1 m/s
10 m/s
U=L/T → T=L/U
log T = log L-log U
Linien konstanter
charakteristischer
Geschwindigkeit U sind
Geraden mit Steigung 1.
B=U/T=L/T²→T=(L/B)1/2
Log T =1/2 log L - 1/2 log B
Linien konstanter
Beschleunigung B sind
Geraden mit Steigung ½.
58