Folien

Zerlegung von Graphen
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Gliederung:
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Anwendungen
Gewichtete Graphen
Knotenseparator
Kantenseparator
Kernighan-Lin Algorithmus
Fiduccia-Matteyes Algorithmus
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Anwendungen
Probleme in Teilprobleme zu
zerlegen um sie dadurch
besser und schneller zu lösen
z.B. Verteilung von
Aufgaben gleichmäßig auf
mehrere Prozessoren und
gleichzeitig die Minimierung
der notwendigen
Kommunikation zwischen
den Prozessoren
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Es gibt viele Zerlegungsvarianten
• Nach Anzahl der
getrennten Kanten
• Nach Anzahl der Knoten
in den Teilgraphen
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Graphen mit Gewichten
Zerlegung des Graphen
G = (V,E,Wv,We)
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V = {v1, … , vn} Knoten
E = {e1k, … , eij} Kanten
Wv = Gewichte der Knoten
We = Gewichte der Kanten
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Separatoren
Separatoren dienen zum Zerlegen eines Graphen,
da diese den Graphen nach dem Entfernen teilen.
Es gibt zwei Arten von Separatoren:
• Knotenseparator
• Kantenseparator
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Knotenseparator
Eine Knotenmenge C V
zerlegt bzw. trennt einen Graph
G = (V,E) in die Mengen
A,B V , falls A,B,C eine
Partitionierung von V ist und
zwischen Knoten der Mengen A
und B keine Kante existiert. In
diesem Fall heißt das Tupel
(A,B) Zerlegung und C
trennende Knotenmenge des
Graphen G. Ein Weg von einem
Knoten aus A zu einem Knoten
aus B muß über einen Knoten
aus C laufen.
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Kantenseparator
Eine Kantenmenge Es E zerlegt
bzw. trennt einen Graph G = (V,E)
in die Mengen A,B V , falls A,B
eine Partitionierung von V ist und
zwischen Knoten der Mengen A
und B nur Kanten der Menge Es
existieren. In diesem Fall heißt das
Tupel (A,B) Zerlegung und Es
trennende Kantenmenge des
Graphen G.
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Der Kernighan-Lin Algorithmus I
Der Kernighan-Lin Algorithmus verbessert eine
vorgegeben Zerlegung G=A U B iterativ, in dem er
versucht Gruppen von Knoten zwischen den Partitionen
auszutauschen, so dass die Anzahl der Kanten zwischen A
A und B minimiert wird. In der Praxis erreicht der
Algorithmus bei einer guten Start-Zerlegung schnell ein
Optimum.
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Der Kernighan-Lin Algorithmus II
gegeben Graph G=(V,E,We) und Zerlegung G= A U B in gleichgroße
Teile.
Das Ziel ist es gleichgroße Teilmengen X aus A und Y aus B zu finden,
deren Vertauschung das Gesamtgewicht T aller Kanten zwischen A und
B reduziert.
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Der Kernighan-Lin Algorithmus III
Man benötigt
• E(a) = Summe aller Gewichte der Kanten zwischen a in A
und Knoten in B → Externes Gewicht
I(a) = Summe aller Gewichte der Kanten zwischen a und
den restlichen Knoten in A → Internes Gewicht
D(a) = E(a)-I(a) Differenz der Kantengewichte intern und
extern
• anolog E(b), I(a), D(a)
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Der Kernighan-Lin Algorithmus IV
Das Vertauschen von a aus A und b aus B ergibt für newT:
newT= T - ( D(a)+D(b) - 2*w(a,b))
= T - gain(a,b)
gain(a,b) ist ein Maß für die Verbesserung der Zerlegung
beim tausch von a und b, kann auch negativ sein
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Kernighan-Lin Algorithmus
0. Berechne T
Repeat
1. Berechne D(n) für alle n
2. Demarkiere alle Knoten in G
3. while unmarkierte Knoten vorhanden
Finde ein umarkiertes Paar (a,b) für das gain(a,b) maximal ist
Markiere a und b
Berechne D(n) für alle noch unmarkierten n
endwhile
...nun gibt es eine Reihe von Paaren (a1,b1)...(ak,bk) und den entsprechende
gains, gain(1)...gain(k) ...k=|V|/2 in der Reihenfolge, in der sie markiert wurden
4. Wähle ein j, so daß Summe i=1..j der gain(i) maximal ist.
5. if die Summe > 0 ist dann
A= A -(a1,...,aj) U (b1,....bj)
B= B -(b1,...,bj) U (a1,....aj) ... Vertauschen der Knoten
T=T-Summe
endif
Abbruch wenn Summe <=0
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Beispiel
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Fiduccia-Matteyes Algorithmus
Unterschied zu Kernighan-Lin Algorithmus: Man vertauscht in jeder
Iteration jeweils nur einen Knoten a oder b und lässt einen gewissen
Unterschied in der Anzahl an Knoten pro Teilgebiet zu z.B.
|A| < (1 + e)|B|,
e ≈ 0,1
D(a) = Abnahme des „edge-cuts", falls man Knoten a in das
Gebiet B verschiebt.
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Fiduccia-Matteyes Algorithmus
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1 Repeat
2 Compute edge-cut T = cost(A,B) for initial A,B
3 Compute D(v) for initial A, B with V = A U B
4 Initialize two queues (QA,QB) with highest D(v) on top
5 Unmark all nodes in V
6 While there are nodes v in queue QA,QB that can be moved
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v = TopNode(QA,QB)
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Mark node v and move it in the other subgraph
9
Remove node v from selected queue QA or QB
10 Update gains of adjacent vertices v
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Order priority queue QA and QB
12 Update T = TD(v) ..O(j1j)
13 Endwhile
14 Until T 0
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Fiduccia-Matteyes Algorithmus
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Auswahl des Knoten v aus den Priority Queues QA und QB
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15 node v = TopNode(QA,QB)
16 /* Auswahl des Knotens v aus QA oder QB */
17 a := TopNode in queue QA
18 b := TopNode in queue QB
19 /* Falls ein Teilgebiet gr¨osser als (1 + e) ist,
20 dann w¨ahle Knoten v des kleineren Gebietes. */
21 if ((|A| > (1 + e)|B|) or (|B| > (1 + e)|A|)) then
22
select the node v from smaller domain
23 else
24
if (D(a) < D(b)) select node b to move
25
if (D(a) > D(b)) select node a to move
26
if (D(a) = D(b)) select node from smaller domain
Graph-Partitionierung – p. 32/55
21
Fiduccia-Matteyes Algorithmus
22
Fiduccia-Matteyes Algorithmus
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Zusammenfassung
• Kernighan/Lin und FM benötigen eine AnfangsPartitionierung V = A U B
• – Ursprünglich nahm man eine zufällige erste Graph
Partitionierung und verbesserte diese durch mehrere K/LIterationen (1972).
• – Für grössere Probleme ist die Komplexität zu hoch
→FM.
• Es kann sein, dass „gain(k)" negativ ist, falls aber spätere
„gains" positiv sind, dann
• kann der endgültige Gewinn auch positiv werden. Damit
ist gewährleistet, dass „lokale
• Minima" überwunden werden können.
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Quellen
• http://informatik.unibas.ch/lehre/ss03/algorechnen/online/folien/lekt10.pdf
• http://kbs.cs.tu-berlin.de/teaching/sose2005/cc/Folien/cc9_4.pdf
• http://www.infosun.fmi.unipassau.de/~chris/down/Partitionierungsverfahren.pdf
• http://http.cs.berkeley.edu/~demmel/cs267/lecture18/lecture18.html
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