AlgInt-03-2005-17 - Universität Paderborn
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HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Algorithmen des Internets Sommersemester 2005 25.04.2005 3. Vorlesung Christian Schindelhauer [email protected] HEINZ NIXDORF INSTITUT Überblick Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Das Internet: Einführung und Überblick • Mathematische Grundlagen • IP: Routing im Internet Heute – Forwarding, Dijkstra, Distance Vector, Link State Intra-AS: RIP, OSPF, Inter-AS: BGP, Min-Cut Max-Flow-Theorem, Nash-Equilibrium, Preis der Anarchie – Alternativen zu IP • Virtual Circuits, Wormhole, Hot-potato Heute • Flussalgorithmen, Ford-Fulkerson • Oblivious Routing • TCP: Das Transport-Protokoll des Internets • Die Struktur des World Wide Web und des Internets • Suche im Web • Web-Caching im Internet • Peer-to-peer-Netzwerke • Angriffe auf das Internet Algorithmen des Internets 2005-03 2 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Circuit Switching oder Packet Switching • Circuit Switching – Etablierung einer Verbindung zwischen lokalen Benutzern durch Schaltstellen • mit expliziter Zuordnung von realen Schaltkreisen • oder expliziter Zuordnung von virtuellen Ressourcen, z.B. Slots – Quality of Service einfach (außer bei) • Leitungsaufbau • Leitungsdauer – Problem • Statische Zuordnung • Ineffiziente Ausnutzung des Kommunikationsmedium bei dynamischer Last – Anwendung • Telefon • Telegraf • Funkverbindung Algorithmen des Internets 2005-03 3 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Circuit Switching oder Packet Switching • Packet Switching – Grundprinzip von IP • Daten werden in Pakete aufgeteilt und mit Absender/Ziel-Information unabhängig versandt – Problem: Quality of Service • Die Qualität der Verbindung hängt von einzelnen Paketen ab • Entweder Zwischenspeichern oder Paketverlust – Vorteil: • Effiziente Ausnutzung des Mediums bei dynamischer Last • Resümee – Packet Switching hat Circuit Switching in praktisch allen Anwendungen abgelöst – Grund: • Effiziente Ausnutzung des Mediums Algorithmen des Internets 2005-03 4 HEINZ NIXDORF INSTITUT Hot Potato Routing Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Ursprünglich: Folgender Algorithmus – Falls Puffer voll ist und Paket kommt herein • sende Paket zurück – Sonst • Leite ein Paket aus dem Puffer an nächsten Router • Falls Paket zurückkommt Leite Paket an irgendeinen Nachbarn weiter • Hot Potato Routing im Internet Protokoll – ist eine Intra-AS/Inter-AS-Forwarding-Politik – Ein Paket wird so schnell wie möglich ans fremde AS übergeben • nächster möglicher Gateway – Fremdem Netzwerk wird der Verkehr aufgebürdet • Gegenteil: Cold-Potato-Routing – Das AS hält das Paket so lange wie möglich • kürzester Gesamtweg auch durch weitesten Gateway • Kann auch Advertisement-Strategie bezeichnen – um Verkehr frühestmöglich (Cold Potato) – oder möglichst spät (Hot Potato) über ein Gateway anzuziehen Algorithmen des Internets 2005-03 5 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Wegewahl • Oblivious Routing (Unbeirrtes Routing) – Deterministische Wegewahl • Nachrichten zwischen zwei Knoten benutzen immer den gleichen Weg • z.B. Internet Protokoll (bevorzugt kürzeste Wege) – Randomisierte Wegewahl • Eine feste Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt den nächsten Knoten • Verkehr kann im Netzwerk verteilt werden (Valiants Trick) • Adaptive Wegewahl – Blockierte oder versperrte Wege können umgangen werden – Möglichkeit der Lastanpassung – Wie passt man die Last an • Welches ist die beste Strategie??? Algorithmen des Internets 2005-03 6 HEINZ NIXDORF INSTITUT Adaptive Wegewahl durch Modellierung als Flussproblem Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Gegeben – ein ungerichteter Graph mit Kapazitäten auf den Kanten • Einfach-Fluss-Modell (Single-Commodity: Ein Gebrauchsgut) – Für Quellen und Senken ist der Fluss gegeben • Mehrfach-Fluss-Modell (Multi-Commodity: Mehrere Artikel) – Verschiedene Ströme mit unterschiedlichen Quellen und Senken – Die Flüsse teilen sich die Kapazität – Minimiere den maximalen Flusslast (Congestion) • Routing im Internet wird durch ein – dynamisches Mehrfach-Fluss-Problem beschrieben • Die Beschreibung durch ein Fluss-Problem optimiert den Durchsatz – und nicht etwa die maximale Sprungweite D (Dilation) – Routing-Zeit ist mindestens D+C: Dilation + Congestion Algorithmen des Internets 2005-03 7 HEINZ NIXDORF INSTITUT Congestion-Minimierung im EinfachFlussproblems Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Gegeben: – Gerichteter Graph G mit Kantenkapazitäten w(e)≥0 – Seien s und t verschiedene Knoten – mit gegebenem Fluss • Flüsse – Ein Fluss weist jeder Kante eine Zahl f(e) zu mit f(e) ≥ 0 – Für alle Knoten x gilt • wobei I(x):= eingehenden Kanten und O(x) := ausgehenden Kanten – Der Fluss steht für die erwartete Anzahl von Paketen auf einer Kante • Ziel – Minimiere Congestion: Algorithmen des Internets 2005-03 8 HEINZ NIXDORF INSTITUT Das statische Einfach-Fluss-Problem Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Fakt – Die Congestion-Minimierung im Einfach-Flussproblem ist äquivalent zum Flussproblem (aus der letzten Vorlesun). • Siehe auch Min-Flow-Max-Cut-Problem • Beides kann gelöst werden durch – lineare Optimierung • Simplex-Algorithmus Für natürliche Eingaben effizient Im worst-case exponentielle Laufzeit • Ellipsoid-Methode Polynomielle Laufzeit aber immer noch ineffizient – Ford-Fulkerson-Algorithmus Algorithmen des Internets 2005-03 9 HEINZ NIXDORF INSTITUT Formulierung als Lineares Optimierungsproblem • Betrachte Variablen f e Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer und Hilfsvariable h – mit den Randbedingungen Minimiere – Minimiere: Variable h Algorithmen des Internets 2005-03 10 HEINZ NIXDORF INSTITUT Congestion-Minimierung als Lineares Optimierungsproblem? Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Problemgröße: – linear in der Anzahl der Kanten – zu aufwändig für globale Netzwerke • Problemstellung ist abhängig von der Eingabe – insbesondere der Anzahl Kanten • Lösungsmethoden – können nicht verteilt berechnet werden – Zentrale Steuerung möglich • Problem: Netzwerkinformation sammeln, verteilen • Empfindlich gegen Angriffe • Lösungsalgorithmen – Nachfolger des Simplex-Algorithmus mittlerweile effizienter • aber immer noch im worst-case nicht polynomiell – Ellipsoid-Methode liefert Ergebnis in Polynomialzeit • jedoch in der Praxis immer noch zu langsam Algorithmen des Internets 2005-03 11 HEINZ NIXDORF INSTITUT Ford-Fulkerson-Methode Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Löst Maximales (Einfach-) Flussproblem – äquivalent zum Minimum Congestion Problem • Ford-Fulkerson-Methode(G,s,t) – Setze Anfangsflüsse auf f(e) = 0 für alle Kanten e – Solange es noch einen Pfad p mit Restkapazitäten r>0 gibt • Für alle Kanten (u,v) ∈ G des Pfads p: f(e) ← f(e) + r • Für alle Kanten (u,v) mit (v,u) ∈ G des Pfads p: f(e) ← f(e) - r – Resultierender Flus ist optimal • Ein Pfad p mit Restkapazität r für den Fluss f, Start s, Ziel t, Kapazität w(e) ist – ein Pfad p von s nach t, so dass für alle Kanten (u,v) des Pfads p – entweder (u,v) ∈ G und – oder (v,u) ∈ G und • Gibt es keinen Pfad mit positiver Restkapazität, ist der Fluss maximal – folgt aus dem Max-Flow-Min-Cut-Theorem Algorithmen des Internets 2005-03 12 HEINZ NIXDORF INSTITUT Beispiel: Ford-Fulkerson-Methode Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Algorithmen des Internets 2005-03 13 HEINZ NIXDORF INSTITUT Mehrfach-Fluss-Probleme Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Gegeben: – Gerichteter Graph G mit n Knoten und Kantenkapazitäten w(e)≥0 – Bedarfsmatrix: d: V × V → ℝ+ • Flüsse – Mehrere Flüsse Zahl für u∈V, e∈E: f(u,e) ≥ 0 und – Der Bedarf wird gedeckt: – Jeder Fluss ist für sich konsistent: • Ziel • wobei I(x):= eingehenden Kanten und O(x) := ausgehenden Kanten – Minimiere Congestion: Algorithmen des Internets 2005-03 14 HEINZ NIXDORF INSTITUT Beispiel: Mehrfach-Fluss-Problem Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Hier: – Kürzeste-WegeRouting • Beobachtung: – Mehrfach-FlussProbleme lassen sich als lineare Optimierungsprobleme beschreiben Algorithmen des Internets 2005-03 15 HEINZ NIXDORF INSTITUT Oblivious Routing: Valiants Trick im zwei-dimensionalen Torus Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Valiants Trick im zweidimensionalen Torus mit n Knoten – für eine beliebige Permutation π von jedem Knoten u nach π(u) • Für Routing: – Sende Nachricht von A zufälligem Knoten R im Gitter – Sende Nachricht von R nach Ziel B • Erwartete Last – ist im jeden Knoten • Bestes Routing – unter Berücksichtigung der Permutation p – hat für bestimmte Permutationen mindestens die Last • folgt aus Satz von Borodin/Hopcroft • Damit ist das Oblivious Routing nur um einen konstanten Faktor schlechter als ein adaptives Routing – für Permutationen im Torus Algorithmen des Internets 2005-03 16 HEINZ NIXDORF INSTITUT Darstellung von Valiants Trick im Torus Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Algorithmen des Internets 2005-03 17 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beweis der erwarteten Last • Weg zu zufälligen Knoten: – Gemäß Wahrscheinlichkeitsverteilung, so das die Wahrscheinlichkeit eine Kante im Abstand d für einen gegebenen Knoten zu benutzen ist – Der maximale Abstand im Torus ist – Damit ist die erwartete Anzahl von Nachrichten über eine Kante • Die Analyse für den Rückweg ist analog • Für bestes Routing betrachte Partition V = A ⋃ B durch das – mit Kanten zwischen A und B – Wähle Permutation mit für alle u∈A: π(u)∈B und u∈B: π(u)∈A – Der Fluss über den Schnitt ist dann mindestens n • verteilt auf Kanten ⇒ Auf einer Kante ist mindestens Last: Algorithmen des Internets 2005-03 18 HEINZ NIXDORF INSTITUT On-line Algorithmen für CongestionMinimierung Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • On-line-Algorithmus: – Ein Algorithmus ist k-kompetitiv, • falls die Congestion höchstens k-mal schlechter ist als die optimale Lösung für jede einzelne Instanz (Graph, Gewichte, Bedarf) • Unterschied zu Valiants Trick: – Worst case war , best case war 1 – Valiants Routing Trick immer erwartungsgemäß • ist daher nicht O(1)-kompetitiv • J. Aspens, Y. Azar, A. Fiat, S. Plotkin, and O. Waarts [1993]: – Zentraler O(log n)-kompetitiver Algorithmus – Algorithmus ist optimal bezüglich kompetitven Faktor – Benötigt Netzwerklast als Zusatzinformation • B. Awerbuch and Y. Azar [1994] – Verteilter O(log n)-kompetitiver Algorithmus – Zustand des Netzwerks muss dem Algorithmus bekannt sein • Kommt man ohne Kenntnis der momentanen Netzwerklast aus? Algorithmen des Internets 2005-03 19 HEINZ NIXDORF INSTITUT Der Satz von Harald Räcke Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer • Theorem [Räcke 2002] , – In jedem ungerichteten Netzwerk gibt es ein Oblivious Routing, das höchstens den Faktor O(log3 n) schlechter ist als das beste Routing für beliebigen Bedarf. • Konstruktion: – Zerlege Netzwerkknoten in hierarchisch in Baumstruktur, • so dass der Zusammenhalt der Knoten in Teilbäumen untereinander größer ist als die Verbindung zu Bruderteilbäume • Tiefe des Baumes ist logarithmisch beschränkt • Problem: Diese Baumzerlegung war seiner Zeit nicht effizient berechenbar – Löse ein (statisches) Mehrfach-Flussproblem zwischen den Teilbäume – Optimaler Bedarf belastet hauptsächlich Kanten zwischen Bruderteilbäumen • welcher vom Mehrfach-Flussproblem modelliert wird Algorithmen des Internets 2005-03 20 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Oblivious Routing in polynomieller Zeit • Theorem [Azar, Cohen, Fiat, Kaplan, Räcke, 2003] – In jedem Netzwerk kann ein mit O(log3 n)-kompetitives Oblivious Routing in polynomieller Zeit berechnet werden. • Fortschritt – Jetzt kann man die Baumzerlegung in polynomieller Zeit berechnen – Damit könnte (rein theoretisch) auch im Internet diese Technik verwendet werden • Nachteile – Es ist bis heute kein Netzwerk bekannt, indem dieses Oblivious Routing weniger Last produziert als das kürzeste Wege Routing. – Berechnung zwar polynomiell, aber immer noch aufwändig Algorithmen des Internets 2005-03 21 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Lastoptimierung: IP versus Alternativen • Circuit Switching: – Internet ist zu dynamisch; Resourcen werden vergeudet • Mehrfach-Fluss-Modellierung – Nur für statische Flüsse – Ford-Fulkerson ist zentraler Algorithmus für Einfachfluss – Lineare Optimierung nicht als verteilte Lösung einsetzbar • Oblivious Routing: – bis jetzt nur für statische Netzwerke einsetzbar – Berechnung zu aufwändig und nur zentral möglich – höchstens 1,5-2,4 Faktor schlechter als Internet Routing • Zustand Internet 2005 – Congestion (Netzwerklast) • nicht auf dem Internet-Backbone (hier nur 25% Auslastung) • sondern auf Anbindung der Benutzer (Analog-Modem, ISDN, DSL) Algorithmen des Internets 2005-03 22 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Vielen Dank! Ende der 3. Vorlesung Nächste Vorlesung: Mo. 02.05.2005 Nächste Übung: Mo. 02.05.2005 Heinz Nixdorf Institut & Institut für Informatik Universität Paderborn Fürstenallee 11 33102 Paderborn Tel.: 0 52 51/60 66 92 Fax: 0 52 51/62 64 82 E-Mail: [email protected] http://www.upb.de/cs/schindel.html 23
