Kein Folientitel - Universität Paderborn

HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Algorithmen und Komplexität
Algorithmen und Komplexität
Sommersemester 2004
Klaus Volbert
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HEINZ NIXDORF INSTITUT
NP-vollständige Probleme
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Algorithmen und Komplexität
SAT und 3-SAT (Masterreduktionen)
CLIQUE
KNOTENÜBERDECKUNG
SUBSETSUM
RUCKSACK (einfach: rationaler Rucksack!)
HAMILTONKREIS
TSP
Übungen: PARTITION, BIN PROGRAMMING,
COLOR, INDEPENDENT SET, 1in3SAT, …
Klaus Volbert
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NP-vollständig – Was nun?
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Algorithmen und Komplexität
• Spezialfälle
– Ist wirklich die Lösung des allgemeinen Problems
verlangt?
• Heuristiken
– Im worst-case: exponentielle Laufzeit
– Für „manche“ Eingaben: polynomielle Laufzeit
• Approximationsalgorithmen
– Ziel: für jede Eingabe polynomielle Laufzeit
– Lösung ist nicht optimal, aber wir können etwas über die
Qualität sagen (z.B. „Wert der Ausgabe ist höchstens
doppelt so schlecht wie der Wert einer opt. Lösung“)
Klaus Volbert
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Heuristiken
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Algorithmen und Komplexität
…. sind Algorithmen, die exakte Lösungen für
Probleme berechnen, „in der Praxis“ „häufig“ sehr
schnell sind, aber typischerweise sehr schlechte
worst case Laufzeit haben.
Beispiele:
- Backtracking
- Branch & Bound
- Lokale Verbesserung (Genetische Algorithmen,
Simulated Annealing, …….)
Klaus Volbert
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Backtracking
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Algorithmen und Komplexität
….findet Anwendung bei Problemen, deren Lösungen
aus vielen Komponenten zusammengesetzt sind.
Bsp : 3 SAT : Lösung: (b1, …, bn) 2 {0,1}n
HK : Lösung: Knotenfolge (v1=vi1, vi2, …, vin=vn)
Erste Idee: „erschöpfende Suche“ (exhaustive search)
Durchsuche systematisch alle Lösungen durch
Tiefen- oder Breitensuche im Suchbaum.
3 SAT: Binärer Baum der Tiefe n
!
HK : n-ärer Baum der Tiefe n
!
oder (etwas schlauer) Baum
mit Graden n-1, n-2, n-3, … !
2n Blätter
nn Blätter
(n-1)! Blätter.
Worst Case und Best Case: O(2n) bzw. O(nn) bzw. O (n!)
Klaus Volbert
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Idee des Backtracking
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Algorithmen und Komplexität
Führe Tiefensuche aus,
versuche frühzeitig an einem Knoten zu erkennen, ob unter ihm
noch eine zulässige Lösung liegt,
d.h.: ob die durch den Knoten beschriebene Teillösung zur Gesamtlösung
vervollständigt werden kann.
Falls nicht, gehe gar nicht erst in den Subbaum hinein, sondern gehe eine
Kante rückwärts im Baum (backtrack).
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Backtrack-Regeln für 3-SAT
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Algorithmen und Komplexität
Frage: Wann ist Teillösung (b1, …, bi, x, x, …, x) für eine 3SAT-Formel 
garantiert nicht zur Gesamtlösung erweiterbar?
Antwort: Wenn die belegten Variablen bereits mindestens eine
Klausel falsch macht.
Bsp.
:  enthält Klausel (x1 Ç :x2 Ç x5) und Teillösung ist
(0,1,1,00, x x … x)
Frage: Wann ist Teillösung garantiert zur Gesamtlösung erweiterbar?
Antwort: Wenn die belegten Variablen bereits in jeder Klausel je
mindestens ein Literal wahr macht.
[Einfache Variante des Davis-Putnam Algorithmus]
Beispiel:
:=(x1  x2  x3 )  (:x1  x2)  (:x2  x3)  (:x3  x1)  (:x1  :x2  :x3 )
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Backtrackregeln für HK
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Algorithmen und Komplexität
Teillösung: Weg (v1=vi1, …, vij, * … *)
Frage: Wann ist (vi1, …, vij) garantiert nicht zu HK
erweiterbar?
Antwort: Falls G \ {vi1 …, vij}
nicht zusammenhängend ist oder
einen Knoten vom Grad 1 enthält
Beispiel:
Klaus Volbert
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Branch & Bound
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Algorithmen und Komplexität
….. ist „Backtracking für Optimierungsprobleme“.
Beispiel TSP:
Gegeben: vollständiger Graph G mit Kantengewichten d(i,j)
Gesucht : Rundreise v1=vi1 … vin=vn mit minimaler Länge.
Beobachtung:
Da G vollständig ist, ist jede der (n-1)! möglichen Rundreisen zulässig.
Idee: Durchlaufe G wieder mit Tiefensuche, berechne an jedem Knoten
untere Schranken LB für die Länge der kürzesten Rundreise, die mit
dieser Teillösung T erreichbar ist.
d.h.: Berechne Zahl LB, so dass jede Rundreise, die Erweiterung von T
ist, Länge mindestens LB hat.
Führe Backtrack durch, falls LB < beste bisher gefundene Lösung
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Untere Schranke bei TSP
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Algorithmen und Komplexität
Teillösung: Weg (v1=vi1, …, vij, * … *), Länge D
Betrachte G‘ = G \ {vi1, … vij}
Sei d‘ = Länge der kürzesten Kante {vi1,vk} , vk  {vi1, …, vij}
d‘‘ = Länge der kürzesten Kante {vij, vk}, vk  {vi1, …, vij}
für l  {i1, …, ij}:
dl = Summe der beiden kürzesten Kanten von dem
Knoten vl zu vk  {vi1, …, vij} (falls vorhanden).
Beh: Jede Rundreise die vi1, …, vij enthält, hat Länge
LB =
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Vorschau
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Algorithmen und Komplexität
• Approximationsalgorithmen
– Max-Cut Problem
– Problem des Handlungsreisenden
– Rucksackproblem
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