Powerpoint-Präsentation

Programmierung mit Funktionen
Klaus Becker
2015
2
Programmierung mit Funktionen
3
Teil 0
Vorbemerkungen zu Python
4
Entwicklungsgeschichte
Die Sprache wurde Anfang der 1990er Jahre von Guido van
Rossum am Centrum voor Wiskunde en Informatica (Zentrum
für Mathematik und Informatik) in Amsterdam als Nachfolger
für die Programmier-Lehrsprache ABC entwickelt, ursprünglich
für das verteilte Betriebssystem Amoeba. Alle bisherigen
Implementierungen der Sprache übersetzen den Text eines
Python-Programms transparent in einen Zwischencode, der
dann von einem Interpreter ausgeführt wird.
Der Name geht nicht etwa (wie das Logo vermuten ließe) auf
die gleichnamige Schlangengattung Pythons zurück, sondern
bezog sich ursprünglich auf die englische Komikertruppe
Monty Python. In der Dokumentation finden sich daher auch
einige Anspielungen auf Sketche aus dem Flying Circus.
Trotzdem etablierte sich die Assoziation zur Schlange, was
sich u. a. in der Programmiersprache Cobra sowie dem
Python Toolkit „Boa“ äußert.
Quelle: Wikipedia
5
Python - Ziele
Python wurde mit dem Ziel entworfen, möglichst einfach und übersichtlich zu sein. Dies soll
durch zwei Maßnahmen erreicht werden: Zum einen kommt die Sprache mit relativ wenigen
Schlüsselwörtern aus, zum anderen ist die Syntax reduziert und auf Übersichtlichkeit optimiert.
Dies führt dazu, dass Python eine Sprache ist, in der man schnell, einfach und leicht
programmieren kann. Sie ist daher besonders dort geeignet, wo Übersichtlichkeit und
Lesbarkeit des Codes eine herausragende Rolle spielen – z. B. in der Teamarbeit, bei
Beschäftigung mit dem Quelltext nach längeren Pausen oder bei Programmieranfängern.
Durch die Möglichkeit, auch Programme anderer Sprachen als Modul einzubetten, werden viele
Nischen in der Programmierung abgedeckt. Bei Bedarf lassen sich so beispielsweise
zeitkritische Teile durch maschinennah in C programmierte Routinen ersetzen, oder Python
kann als Skriptsprache eines anderen Programms dienen (Beispiele: OpenOffice.org, Blender,
Maya, PyMOL, SPSS und GIMP).
Quelle: Wikipedia
6
Python - Ziele
Python ist eine Multiparadigmensprache. Das
heißt, es zwingt den Programmierer nicht zu
einem einzigen bestimmten
Programmierparadigma, sondern erlaubt es,
das für die jeweilige Aufgabe am besten
geeignete Paradigma zu wählen.
Objektorientierte und strukturierte
Programmierung werden vollständig
unterstützt, weiterhin gibt es
Spracheigenschaften für funktionale und
aspektorientierte Programmierung.
Quelle: Wikipedia
Quelle: http://kamelopedia.mormo.org/index.php/Eierlegende_Wollmilchsau
Interne Abläufe
7
Der Quelltext eines Python Programms wird mit einem
Texteditor geschrieben (z.B. Idle oder PyScripter).
Compiler
Interpreter
Der Python-Compiler erzeugt einen
(maschinenunabhängigen) Byte-Code.
Der Compiler entscheidet selbst, ob der Byte-Code nur als
Zwischenprodukt im Arbeitsspeicher erzeugt wird, oder ob
er auch als .pyc-Datei gespeichert wird.
Der Python-Interpreter führt den vom Compiler erzeugten
Byte-Code aus. Derselbe Byte-Code kann auf verschiedenen
Plattformen ausgeführt werden, sofern diese einen PythonInterpreter zur Verfügung stellen.
8
Gängige Python-Versionen
http://www.python.org/download/
http://portablepython.com/releases/
9
Entwicklungsumgebung Idle
10
Entwicklungsumgebung PyScripter
11
Literatur
 Johannes Ernesti, Peter Kaiser: Python 3. Das umfassende Handbuch.
Galileo Computing 2009. (Preis: 40 €)
 Michael Weigend: Objektorientierte Programmierung mit Python. mitp
2008. (Preis: 40 €)
 Michael Weigend: Python Ge-Packt. mitp 2006. (Preis: 16 €)
 Thomas Theis: Einstieg in Python 3. Galileo Computing 2009. (Preis: 25 €)
 Gregor Lingl: Python für Kids. bhv 2008. (Preis: 20 €)
 P. Barry, D. Griffiths: Programmieren von Kopf bis Fuß. O´Reilly 2010
(Preis: 20 €)
 ...
12
Materialien
Internet:
 Python Official Website
http://www.python.org/
 Python-Tutorium von Guido van Rossum:
http://starship.python.net/crew/gherman/publications/tut-de/tut-de-21.pdf
http://starship.python.net/crew/gherman/publications/tut-de/online/tut/
 offenes eBook von von Peter Kaiser und Johannes Ernesti (Python 2.5):
http://openbook.galileocomputing.de/python/?GalileoSession=10541258A3Vg6VBUX8A
 PythonWiki:
http://wiki.python.de/
 Python-Kurs von W.Spiegel:
http://www.wspiegel.de/pykurs/pykurs.htm
 Python, Programmieren macht Spaß :
http://www.thomas-guettler.de/vortraege/python/einfuehrung.html
 BICS:
http://schule.de/bics/inf2/programmiersprachen/python/
 Unterrichtsmaterialien von Klaus Merkert:
http://www.hsg-kl.de/faecher/inf/python/index.php
 Unterrichtsmaterialien auf
www.inf-schule.de
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Teil 1
Miniprojekt „Baumhaus“
Datenverarbeitung mit Funktionen
14
Baumhaus
Zielsetzung:
Wenn man ein Baumhaus bauen möchte, sollte man vorher genau planen und vieles bedenken.
Wir konzentrieren uns hier auf die Materialbeschaffung. Ziel ist es, eine Verarbeitungseinheit zu
entwickeln, mit der man den Materialbedarf an Holz für unterschiedlich große Baumhäuser
automatisiert bestimmen kann.
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Ein einfaches Baumhausmodell
Ziel ist es, den Bedarf an Brettern abzuschätzen, den man für die Außenwände und für das
Dach des Hauses benötigt. Da das Haus auf einen Unterbau aufgesetzt werden soll, bleibt die
Unterseite "offen" und wird bei der Materialberechnung nicht berücksichtigt. Zur Vereinfachung
der Berechnungen werden Fenster- und Türöffnungen ebenfalls nicht berücksichtigt.
Konkrete Berechnungen
16
Wir betrachten ein Haus mit den in der Abbildung vorgegebenen Maßen. Die erforderlichen
Berechnungen führen wir mit Python aus. Python kann man im Ausführfenster wie einen
Taschenrechner benutzen. Man gibt einen Berechnungsausdruck ein und lässt sich von Python
das Ergebnis ausrechnen.
Python-Dialog
>>> 2.4 * 1.5
3.5999999999999996
>>> from math import sqrt
>>> sqrt(0.9*0.9+0.4*0.4)
0.9848857801796105
Aufgabe:
Bestimme die Gesamtoberfläche des Hauses (ohne den Boden). Zur Kontrolle: Die
Gesamtoberfläche beträgt etwa 18m2.
Entwickle eine Formel, mit der man die gesamte Oberfläche eines Hauses aus den gegebenen
Größen berechnen kann.
flaecheHaus(laenge, breite, hoeheHaus, hoeheDach) = 2*laenge*hoeheHaus + ...
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Funktion als Verarbeitungseinheit
Wenn man für viele unterschiedlich dimensionierte Baumhäuser den Materialbedarf berechnen
möchte, ist es günstig, eine eigene Verarbeitungseinheit für diesen Zweck zu entwickeln. Das
Verhalten der Verarbeitungseinheit lässt sich mit einem Black-Box-Diagramm verdeutlichen.
Black-Box-Diagramm
Funktionsdefinition
18
In Python lässt sich die konzipierte
Verarbeitungseinheit als Funktion
implementieren. Man öffnet ein neues Fenster
und gibt den folgenden Quelltext dort ein.
Achte auf die gezeigte Einrückung.
Funktionsdefinition
from math import sqrt
def flaecheHaus(laenge, breite, hoeheHaus, hoeheDach):
return 2*laenge*hoeheHaus + 2*breite*hoeheHaus + …
Alles in eine
Zeile
from math import sqrt
def flaecheHaus(laenge, breite, hoeheHaus, hoeheDach):
Mit
return 2*laenge*hoeheHaus + \
Zeilenumbrüchen
2*breite*hoeheHaus + \
2*(breite*hoeheDach/2) + \
2*laenge*sqrt((breite/2)*(breite/2)+hoeheDach*hoeheDach)
Funktionsaufrufe
19
Das Programm (bzw. den Quelltext) muss man abspeichern und dann einmal ausführen,
damit Python die neu definierte Funktion kennen lernt. Anschließend kann man die Funktion
für Berechnungen im Ausführfenster verwenden.
Programmfenster
from math import sqrt
def flaecheHaus(laenge, breite, hoeheHaus, hoeheDach):
return 2*laenge*hoeheHaus + \
2*breite*hoeheHaus + \
Funktionsdefinition
2*(breite*hoeheDach/2) + \
2*laenge*sqrt((breite/2)*(breite/2)+hoeheDach*hoeheDach)
>>> flaecheHaus(2.4, 1.8, 1.5, 0.4)
18.04745174486213
>>> flaecheHaus(2.8, 2.8, 2.0, 0.2)
30.879595949289328
Aufgabe:
Funktionsaufrufe
Ausführfenster
Probiere das selbst aus. Bestimme analog die Oberfläche eines Hauses mit den folgenden
Ausmaßen: Länge: 1.8m; Breite: 1.5m; Haushöhe: 1.2m; Dachhöhe: 0.3m.
20
Hilfsfunktionen
Es ist oft schwierig, komplexe Berechnungsausdrücke zu entwickeln. Schwierig ist es zudem,
komplexe Berechnungsausdrücke nachträglich zu durchschauen. In der Informatik nutzt man
in solchen Situationen Strategien zur Reduzierung der Komplexität. Im vorliegenden Fall hilft
es, Hilfsfunktionen einzuführen.
def flaecheRechteck(a, b):
return a*b
Hilfsfunktionen
21
Verwendung von Hilfsfunktionen
Bereits definierte Funktionen kann man benutzen, um neue Funktionen zu definieren
def flaecheGiebel(breite, hoeheHaus, hoeheDach):
return flaecheRechteck(breite, hoeheHaus) + \
flaecheDreieck(breite, hoeheDach)
Schachtelung von
Funktionen
22
Verwendung von Hilfsfunktionen
Aufgabe
(a) Entwickle analog Black-Box-Modellierungen und Funktionsdefinitionen für die Funktionen
flaecheDach (für die gesamte Dachfläche) und flaecheSeitenwaende (für die Vorder- und
Rückseite des Hauses).
(b) Entwickle anschließend eine Black-Box-Modellierung und eine Funktionsdefinition für die
Funktion flaecheHaus (für die gesamte Oberfläche des Hauses). Benutze hier die neu
entwickelten Hilfsfunktionen. Bestimme mit dieser Funktion den Materialbedarf für die im
letzten Abschnitt angegebenen Maße.
23
Weitere Berechnungsprobleme
Siehe inf-schule 2.5.1.1.5
Variation des
Hausmodells
Materialbedarf für
das Balkengerüst
24
Weitere Berechnungsprobleme
Siehe inf-schule 2.5.1.1.5
Variation des
Hausmodells
25
Teil 2
Fachkonzept – Funktion
26
Fachkonzept - Funktion
Eine Funktion ist eine Verarbeitungseinheit, die übergebene Daten verarbeitet und den
berechneten Funktionswert als Ergebnis zurückgibt.
Als Beispiel betrachten wir eine Funktion, die aus den Daten eines Quaders (d.h. Länge,
Breite und Höhe) die Mantelfläche bestimmt.
27
Fachkonzept - Funktion
Eine Funktion hat einen Funktionsnamen. Im Beispiel hat die Funktion den Namen
mantelQuaderflaeche. Den Funktionsnamen sollte man so wählen, dass das berechnete
Ergebnis damit möglichst gut beschrieben wird.
Zu verarbeitende Daten werden an Funktionsvariablen (man sagt auch Parameter)
übergeben. Im Beispiel werden die drei Parameter laenge, breite und hoehe benutzt.
Eine Funktion gibt das Verarbeitungsergebnis als Funktionswert zurück.
28
Fachkonzept - Funktion
Die Verarbeitung wird über eine Funktionsdefinition (man sagt oft auch Funktionsdeklaration)
festgelegt. Aktiviert wird eine Verarbeitung durch einen Funktionsaufruf.
Funktionsname
Funktionsvariablen /Parameter
def mantelflaecheQuader(laenge, breite, hoehe):
return (2*laenge + 2*breite) * hoehe
Funktionsdefinition
Aktuelle Daten
>>> mantelflaecheQuader(3.0, 2.5, 0.8)
8.8
>>> mantelflaecheQuader(7.5, 4.2, 0.2)
4.68
Funktionsaufruf
Funktionsdefinition in Python
29
Funktionskopf
Schlüsselwort
Funktionsname(Parameter)
Doppelpunkt
def mantelflaecheQuader(laenge, breite, hoehe):
return (2*laenge + 2*breite) * hoehe
Einrückung
Funktionsrumpf
Schlüsselwort
Verarbeitungsvorschrift
30
Funktionsaufruf in Python
Funktionsname(aktuelle Parameter)
>>> mantelflaecheQuader(3.0, 2.5, 0.8)
8.8
>>> mantelflaecheQuader(7.5, 4.2, 0.2)
4.68
Funktionsaufruf
Berechneter
Funktionswert
31
Fachkonzept – teile und herrsche
Als Beispiel betrachten wir die Berechnung der Oberfläche (ohne den Pyramidenboden) bei
quadratischen Pyramiden.
Problemzerlegung
Berechnung der Oberfläche einer Pyramide
Berechnung der Fläche eines Dreiecks
Berechnung der Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck
32
Fachkonzept – teile und herrsche
Berechnung der Oberfläche einer Pyramide
Berechnung der Fläche eines Dreiecks
Berechnung der Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck
Problemzerlegung
Problemlösung mit Hilfsfunktionen
from math import sqrt
def flaecheDreieck(g, h):
return (g*h)/2
def laengeHypotenuse(a, b):
return sqrt(a*a+b*b)
def flaechePyramide(seite, hoehe):
return 4*flaecheDreieck(seite, laengeHypotenuse(seite/2, hoehe))
33
Fachkonzept – teile und herrsche
Teile und herrsche ist eine Problemlösestrategie, bei der ein Problem immer weiter in
Teilprobleme zerlegt wird, bis diese such einfach lösen lassen. Aus den Lösungen der
Teilprobleme wird dann die Lösung des Gesamtproblems zusammengesetzt.
Berechnung der Oberfläche einer Pyramide
Berechnung der Fläche eines Dreiecks
Berechnung der Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck
Problemzerlegung
Zusammensetzen von Funktionen
def flaecheDreieck(g, h)
def laengeHypotenuse(a, b)
def flaechePyramide(seite, hoehe)
34
Übungen
Siehe inf-schule 2.5.2.1.3 und 2.5.2.2.3
35
Teil 3
Miniprojekt „Räuber-Beute-Systeme“
Datenverwaltung mit Variablen
36
Räuber-Beute-Systeme
Zielsetzung:
Wir betrachten im Folgenden, wie sich eine Population aus Kaninchen und Füchse im Laufe der
Zeit entwickelt. Es handelt sich hierbei um ein einfaches Räuber-Beute-System. Wir werden mit
vereinfachenden Annahmen eine Modell für ein solches System entwickeln und hierauf
basierend automatisierte Berechnungen zur Entwicklung eines sochen Systems erstellen.
37
Ein erstes Modell
Wir betrachten zunächst den Fall, dass sich eine Population von Kaninchen und eine Population
von Füchsen getrennt entwickeln. Wir gehen davon aus, dass die Kaninchen genügend Futter
haben und sich daher - ohne bedrohende Feinde - ungehindert vermehren können. Bei der von
der Kaninchenpopulation getrennt lebenden Fuchspopulation gehen wir davon aus, dass die
Füchse nicht genügend Futter haben und dass sich die gesamte Population ständig verringert.
Aufgabe:
Wir gehen von einer
Anfangspopulation von 1000
Kaninchen aus. In jedem
Simulationsschritt soll die Population
um 8% wachsen.
Die Fuchspopulation soll zu Beginn aus
40 Füchsen bestehen. In jedem
Simulationsschritt soll sich die
Population um 20% des jeweiligen
Bestands verringern.
Ergänze die fehlenden Werte in der
Tabelle. Akzeptiere Dezimalzahlen,
auch wenn es in der Wirklichkeit keine
Bruchteile von Kaninchen und Füchsen
gibt.
Ein erstes Modell
38
neueAnzahlKaninchen = anzahlKaninchen + zuwachsrateKaninchen*anzahlKaninchen
1080
=
1000
+
0.08
*
1000
Variable
Aufgabe:
Zur Verallgemeinerung der
Berechnungen führen wir Variablen
(als stellvertretende Namen für die zu
verarbeitenden Daten) ein.
Gib eine entsprechende Formel für die
Entwicklung der Fuchspopulation an.
39
Ein verbessertes Modell
Die Kaninchen und Füchse sollen jetzt gemeinsam in einem abgeschlossenen Areal leben. Für
die Kaninchen bedeutet das, dass sie ab und zu auf Füchse treffen und dann (leider) gefressen
werden. Wir berüchsichtigen dies, indem wir eine zusätzliche Abnahmerate vorsehen. Wir
nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Kaninchen und ein Fuchs treffen, vom
Produkt aus der Anzahl der Kaninchen und der Anzahl der Füchse abhängt. Die zusätzliche
Abnahmerate beschreibt, in wieviel Prozent aller möglichen Treffen ein Kaninchen gefressen
wird. Es ergibt sich folgende neue Berechnungsformel:
neueAnzahlKaninchen = anzahlKaninchen +
zuwachsrateKaninchen*anzahlKaninchen abnahmerateKaninchenFuchs*anzahlKaninchen*anzahlFuechse
neueAnzahlFuechse = anzahlFuechse –
abnahmerateFuechse*anzahlFuechse +
zunahmerateFuchsKaninchen*anzahlFuechse*anzahlKaninchen
40
Ein verbessertes Modell
neueAnzahlKaninchen = anzahlKaninchen +
zuwachsrateKaninchen*anzahlKaninchen abnahmerateKaninchenFuchs*anzahlKaninchen*anzahlFuechse
neueAnzahlFuechse = anzahlFuechse –
abnahmerateFuechse*anzahlFuechse +
zunahmerateFuchsKaninchen*anzahlFuechse*anzahlKaninchen
Aufgabe:
Bestimme mit den angegebenen
Berechnungsformeln die fehlenden
Werte in der Tabelle.
Benutze folgende Daten:
anzahlKaninchen = 1000
anzahlFuechse = 40
zuwachsrateKaninchen = 0.08
abnahmerateFuechse = 0.2
abnahmerateKaninchenFuchs = 0.002
zunahmerateFuchsKaninchen = 0.0004
Automatisierte Berechnungen
41
neueAnzahlKaninchen = anzahlKaninchen + zuwachsrateKaninchen*anzahlKaninchen
1080
=
1000
Aufgabe:
Siehe inf-schule 2.5.1.2.3 Aufgabe 1.
+
0.08
*
1000
Automatisierte Berechnungen
42
neueAnzahlKaninchen = anzahlKaninchen + zuwachsrateKaninchen*anzahlKaninchen
1080
=
1000
+
def popKa5Schritte(anzKa, zKa):
anzKa0 = anzKa
anzKa1 = anzKa0 + zKa*anzKa0
anzKa2 = anzKa1 + zKa*anzKa1
anzKa3 = anzKa2 + zKa*anzKa2
anzKa4 = anzKa3 + zKa*anzKa3
anzKa5 = anzKa4 + zKa*anzKa4
return anzKa5
0.08
*
1000
Einführung neuer Variablen
>>> popKa5Schritte(1000, 0.08)
1469.3280768
>>> popKa5Schritte(500, 0.2)
1244.1599999999999
Aufgabe:
Siehe inf-schule 2.5.1.2.3 Aufgabe 2.
Entwickle eine Funktion popKaFu5Schritte, mit der man die Entwicklung eines KaninchenFuchs-Systems simulieren kann. Teste die Funktion mit geeigneten Funktionsaufrufen.
Automatisierte Berechnungen
43
neueAnzahlKaninchen = anzahlKaninchen + zuwachsrateKaninchen*anzahlKaninchen
1080
=
1000
Aufgabe:
Siehe inf-schule 2.5.1.2.4 Aufgabe 1.
+
0.08
*
1000
Automatisierte Berechnungen
44
neueAnzahlKaninchen = anzahlKaninchen + zuwachsrateKaninchen*anzahlKaninchen
1080
=
1000
def popKa5Schritte(anzKa,
neueAnzKa = anzKa
neueAnzKa = neueAnzKa
neueAnzKa = neueAnzKa
neueAnzKa = neueAnzKa
neueAnzKa = neueAnzKa
neueAnzKa = neueAnzKa
return neueAnzKa
+
0.08
*
1000
zKa):
+
+
+
+
+
zKa*neueAnzKa
zKa*neueAnzKa
zKa*neueAnzKa
zKa*neueAnzKa
zKa*neueAnzKa
Überschreiben von
Variablenwerten
>>> popKa5Schritte(1000, 0.08)
1469.3280768
>>> popKa5Schritte(500, 0.2)
1244.1599999999999
Aufgabe:
Entwickle analog eine Funktion popKaFu5Schritte, mit der man die Entwicklung eines
Kaninchen-Fuchs-Systems simulieren kann. Teste die Funktion mit geeigneten
Funktionsaufrufen.
45
Wiederholung von Berechnungen
Die wiederholte Berechnung von Populationswerte erfolgte bisher, indem die zentrale
Berechnungsformel (als Anweisung dargestellt) wiederholt im Quelltext aufgeführt wurde.
def popKa5Schritte(anzKa,
neueAnzKa = anzKa
neueAnzKa = neueAnzKa
neueAnzKa = neueAnzKa
neueAnzKa = neueAnzKa
neueAnzKa = neueAnzKa
neueAnzKa = neueAnzKa
return neueAnzKa
zKa):
+
+
+
+
+
zKa*neueAnzKa
zKa*neueAnzKa
zKa*neueAnzKa
zKa*neueAnzKa
zKa*neueAnzKa
def popKa5Schritte(anzKa, zKa):
schritte = 5
zaehler = 0
neueAnzKa = anzKa
while zaehler < schritte:
neueAnzKa = neueAnzKa + zKa*neueAnzKa
zaehler = zaehler + 1
return neueAnzKa
Viele identische
Anweisungen
Wiederholungsanweisung
46
Wiederholung von Berechnungen
Aufgaben: siehe inf-schule 2.5.1.2.5
47
Teil 4
Fachkonzept – Variable
48
Fachkonzept - Variable
Variablen dienen in der Informatik dazu, Daten zu verwalten. Eine Variable ist ein Name, der
(in der Regel) mit einem Datenobjekt verknüpft ist.
listenpreis = 80.0
pMwSt = 19.0
mehrwertsteuer = (listenpreis / 100) * pMwSt
endpreis = listenpreis + mehrwertsteuer
Variablenzustand
Als Wert einer Variablen wird das Datenobjekt angesehen, das von der Variablen verwaltet
wird.
Ein Variablenzustand beschreibt die aktuell vorliegenden Variablen mit den verwalteten Daten.
49
Fachkonzept - Zuweisung
Eine Zuweisung ist eine Anweisung, die eine Variable mit einem neu berechneten Datenobjekt
verknüpft.
{}
listenpreis = 80.0
{listenpreis -> 80.0}
pMwSt = 19.0
{listenpreis -> 80.0; pMwSt -> 19.0}
preis = listenpreis
bindende Zuweisung
{listenpreis -> 80.0; pMwSt -> 19.0; preis -> 80.0}
preis = preis + (preis/100)*pMwSt
überschreibende Zuweisung
{listenpreis -> 80.0; pMwSt -> 19.0; preis -> 95.2}
Aufbau einer Zuweisung:
Eine Zuweisung besteht aus einer Variablen (der ein Wert zugewiesen wird) and einem Term
(der den zuzuweisenden Wert festlegt).
50
Fachkonzept - Zuweisung
Eine Zuweisung ist eine Anweisung, die eine Variable mit einem neu berechneten Datenobjekt
verknüpft.
Zustand - vorher
{listenpreis -> 80.0; pMwSt -> 19.0; preis -> 80}
preis = preis + (preis/100)*pMwSt
preis ->
95.2
Auswertung
{listenpreis -> 80.0; pMwSt -> 19.0; preis -> 95.2}
Zustand - nachher
Auswertung einer Zuweisung:
Erst wird der Wert des Terms mit Hilfe des aktuellen Variablenzustands ermittelt. Dieser Wert
wird dann der Variablen als neuer aktueller Wert zugewiesen.
51
Trace-Tabelle
Eine Trace-Tabelle protokolliert die Veränderungen von Variablenzuständen, wenn mehrere
Zuweisungen (bzw. sonstige Anweisungen) ausgeführt werden. Das folgende Beispiel zeigt
eine solche Trace-Tabelle.
52
Variablenbezeichner
Bei der Wahl der Variablenbezeichner (d.h. der Namen, die man den Variablen gibt) ist man
recht flexibel: Verwendung von Buchstaben, Ziffern und dem Unterstrich; Unterscheidung
zwischen Groß- und Kleinschreibung; keine Ziffern am Anfang; Umlaute sind erlaubt, machen
aber gelegentlich Schwierigkeiten.
Bei der Wahl der Variablenbezeichner sollte man sprechende Namen benutzen. Das sind
Namen, die möglichst gut erklären, welche Daten mit den Variablen verwaltet werden.
Funktionsvariablen
53
Funktionsvariablen werden benutzt, um die Daten zu verwalten, die zur Verarbeitung an eine
Funktion übergeben werden. Solche Funktionsvariablen werden auch Parameter genannt.
Funktionsvariable
def zahlungsbetrag(listenpreis, pMwSt):
mehrwertsteuer = (listenpreis / 100) * pMwSt
endpreis = listenpreis + mehrwertsteuer
return endpreis
(lokale) Hilfsvariable
Hilfsvariablen werden benutzt, um bei den Berechnungen anfallende Daten
zwischenzuspeichern. Solche Variablen nennt man manchmal auch Speichervariablen.
54
Siehe inf-schule 2.5.2.4.4
Übungen
55
Teil 5
Miniprojekt „Verschlüsselung“
Verarbeitung von Zeichenketten
Veschlüsselung
56
Zielsetzung:
Ziel ist es, Textnachrichten automatisiert zu ver- und wieder entschlüsseln. Wir betrachten
dabei einfache Verschlüsselungsverfahren wie das Verschiebeverfahren, das bereits von Caesar
benutzt wurde.
Verschiebeverfahren
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
Quelltext:
SALVEASTERIX
Schlüssel: D
Geheimtext:
VDOYHDVWHULA
Veschlüsselung
57
Aufgabe:
Entschlüssele die in der Abbildung gezeigte Antwort von Asterix.
Verschlüssele analog eine selbst gewählte Nachricht. Benutze jetz den Schlüssel 'H' (die
Verschiebung erfolgt hier so, dass 'A' durch 'H' ersetzt wird).
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
Quelltext:
SALVEASTERIX
Schlüssel: D
Geheimtext:
VDOYHDVWHULA
Veschlüsselungsalgorithmus
58
ALGORITHMUS verschluesselterText:
Übergabe: klartext, schluessel
neuerText = ''
für alle Zeichen c in klartext:
ermittle mit dem schluessel das zu c verschobene Zeichen d
füge d am Ende an die von neuerText verwaltete Zeichenkette an
Rückgabe: neuerText
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
Quelltext:
SALVEASTERIX
Schlüssel: D
Geheimtext:
VDOYHDVWHULA
Zeichen und ihre Codierung
59
Zeichen werden intern im Rechner durch Bitfolgen codiert. Da man die Bitmuster auch als
Zahlen deuten kann, lässt sich jedem Zeichen (aus einem vorgegebenen Zeichenvorrat) eine
natürliche Zahl (aus einem passenden Zahlenbereich) zuordnen und umgekehrt. Dem Zeichen
'A' lässt sich beispielsweise nach dem ASCII-Code die Zahl 65 zuordnen.
@ 0100 0000 40
64
P 0101 0000 50
80
A 0100 0001 41
65
Q 0101 0001 51
81
B 0100 0010 42
66
R 0101 0010 52
82
C 0100 0011 43
67
S 0101 0011 53
83
D 0100 0100 44
68
T 0101 0100 54
84
E 0100 0101 45
69
U 0101 0101 55
85
F 0100 0110 46
70
V 0101 0110 56
86
G 0100 0111 47
71
W 0101 0111 57
H 0100 1000 48
72
X 0101 1000 58
88
87
I 0100 1001 49
73
Y 0101 1001 59
89
J 0100 1010 4a
74
Z 0101 1010 5a
90
K 0100 1011 4b
75
[ 0101 1011 5b
91
L 0100 1100 4c
76
\ 0101 1100 5c
92
93
M 0100 1101 4d
77
] 0101 1101 5d
N 0100 1110 4e
78
^ 0101 1110 5e
O 0100 1111 4f
79
- 0101 1111 5f
94
95
Quelle:
http://de.selfhtml.org/inter/zeichensaetze.htm
Zeichen und ihre Codierung
60
Mit den (in Python) vordefinierten Funktionen ord und chr kann man Zeichen in Zahlen
umwandeln und umgekehrt.
@ 0100 0000 40
64
P 0101 0000 50
80
A 0100 0001 41
65
Q 0101 0001 51
81
B 0100 0010 42
66
R 0101 0010 52
82
C 0100 0011 43
67
S 0101 0011 53
83
D 0100 0100 44
68
T 0101 0100 54
84
E 0100 0101 45
69
U 0101 0101 55
85
F 0100 0110 46
70
V 0101 0110 56
86
G 0100 0111 47
71
W 0101 0111 57
H 0100 1000 48
72
X 0101 1000 58
88
87
I 0100 1001 49
73
Y 0101 1001 59
89
J 0100 1010 4a
74
Z 0101 1010 5a
90
K 0100 1011 4b
75
[ 0101 1011 5b
91
L 0100 1100 4c
76
\ 0101 1100 5c
92
93
M 0100 1101 4d
77
] 0101 1101 5d
N 0100 1110 4e
78
^ 0101 1110 5e
O 0100 1111 4f
79
- 0101 1111 5f
94
95
>>> ord('A')
65
>>> chr(65)
'A'
61
Bestimmung der Verschiebezahl
Günstig ist es, wenn man zu einem Schlüsselbuchstaben die zugehörige Verschiebezahl
ermitteln kann. Wir konzipieren hierfür eine geeignete Funktion.
Aufgabe:
Entwickle eine Funktionsdefinition für diese Funktion.
Tipp: Benutze die vordefinierte Funktion ord.
>>> ord('H')
72
62
Verschiebung von Buchstaben
Ziel ist es, eine Funktion zum Verschlüsseln einzelner Zeichen (vorerst nur Großbuchstaben)
mit einem vorgegebenen Schlüssel zu entwickeln.
>>>
>>>
>>>
>>>
7
>>>
>>>
80
>>>
>>>
87
>>>
>>>
'W'
zeichen = 'P'
schluessel = 'H'
verschiebung = verschiebezahl(schluessel)
verschiebung
Aufgabe:
zahl = ord(zeichen)
Führe selbst einen solchen Dialog
zahl
mit folgenden Ausgangsdaten:
zeichen = 'M', schluessel = 'F'.
neueZahl = zahl + verschiebung
Führe ebenfalls einen Dialog mit
neueZahl
den Ausgangsdaten zeichen = 'U'
und schluessel = 'M'. Welches
neuesZeichen = chr(neueZahl)
Problem tritt hier auf? Wie
neuesZeichen
könnte man es lösen?
63
Verschiebung von Buchstaben
Ziel ist es, eine Funktion zum Verschlüsseln einzelner Zeichen (vorerst nur Großbuchstaben)
mit einem vorgegebenen Schlüssel zu entwickeln.
def verschluesseltesZeichen(zeichen, schluessel):
verschiebung = verschiebezahl(schluessel)
zahl = ord(zeichen)
neueZahl = zahl + verschiebung
if neueZahl > ord('Z'):
neueZahl = neueZahl - 26
neuesZeichen = chr(neueZahl)
return neuesZeichen
Aufgabe:
Teste diese Funktion. Beachte, dass du zusätzlich eine Implementierung der Funktion
verschiebezahl benötigst. Am einfachsten speicherst du beide Funktionsdefinitionen in einer
Datei ab.
64
Verschiebung von Buchstaben
Aufgabe:
Entwickle analog eine Funktion entschluesseltesZeichen. Erstelle erst ein Black-Box-Diagramm.
Entwickle dann eine Funktionsdefinition.
65
Exkurs - Zeichenketten
Eine Zeichenkette ist eine (evtl. leere) Folge von Zeichen (aus einer vorgegebenen
Zeichenmenge), die zu einer Dateneinheit zusammengefasst ist. Der Datentyp Zeichenkette
beschreibt die Menge der möglichen Zeichenkette zusammen mit den Operationen, die mit
Zeichenketten vorgesehen sind.
>>> z1 = 'Hallo'
>>> z1
'Hallo'
>>> z2 = "Hallo"
>>> z2
'Hallo'
>>> z = ''
>>> z
Darstellung von Zeichenketten
>>> text = """Dieser Text geht
... über mehrere
... Zeilen."""
>>> text
'Dieser\nText geht\nüber mehrere\nZeilen.'
>>> print(text)
Dieser Text geht
über mehrere
Zeilen.
66
Exkurs - Zeichenketten
Eine Zeichenkette ist ein sequentielles Datenobjekt, das aus einer Folge einzelner Zeichen
besteht. Die Elemente eines solchen sequentiellen Datenobjekts sind der Reihe nach
durchnummeriert. Die Nummerierung beginnt dabei mit 0. Die Nummer eines sequentiellen
Datenobjekts wird auch Index genannt.
>>> klartext = 'HALLO'
>>> klartext[0]
'H'
>>> klartext[1]
'A'
>>> klartext[4]
'O'
>>> klartext[5]
Traceback (most recent call
last):
...
klartext[5]
IndexError: string index out of
range
>>> len(klartext)
5
>>> klartext[len(klartext)-1]
'O'
lesender Zugriff auf einzelne Zeichen
beachte den Indexbereich
Länge einer Zeichenkette
67
Exkurs - Zeichenketten
Zeichenketten kann man über den Indexbereich, oder direkt über die einzelnen Zeichen
durchlaufen.
# klartext = ...
i = 0
while i < len(klartext):
# verarbeite klartext[i]
i = i + 1
# klartext = ...
for zeichen in klartext:
# verarbeite zeichen
Schleife über den Indexbereich
for-Schleife für sequentielle Datenobjekte
68
Exkurs - Zeichenketten
Eine Zeichenkette ist in Python ein nicht-veränderbares Datenobjekt. In Python ist nur ein
lesender Zugriff auf einzelne Zeichen einer Zeichenkette möglich ist. Abändern kann man
einzelne Zeichen einer Zeichenkette mit Hilfe von Zuweisungen nicht. Eine veränderte
Zeichenkette erhält man nur, indem man eine neue Zeichenkette - z.B. mit dem
Konkatenationsoperator - aufbaut.
>>> klartext = 'HALLO'
>>> klartext[1]
'A'
>>> klartext[1] = 'E'
TypeError: 'str' object does not
support item assignment
kein schreibender Zugriff erlaubt
>>> klartext = 'HALLO'
>>> klartextNeu = ''
>>> klartextNeu = klartextNeu + klartext[0]
>>> klartextNeu = klartextNeu + 'E'
>>> klartextNeu
'HE'
Zusammenfügen von Zeichenketten
69
Verschiebung von Zeichenketten
Ziel ist es, eine Funktion zum Verschlüsseln von Texten nach dem Verschiebeverfahren zu
implementieren.
ALGORITHMUS verschluesselterText:
Übergabe: klartext, schluessel
neuerText = ''
für alle Zeichen c in klartext:
ermittle mit dem schluessel das zu c verschobene Zeichen d
füge d am Ende an die von neuerText verwaltete Zeichenkette an
Rückgabe: neuerText
Aufgabe:
Benutze die Informationen zu zeichenketten und die bereits implementierte Funktion
verschluesseltesZeichen, um die Funktion verschluesselterText zu definieren.
70
Verschiebung von Zeichenketten
Aufgabe:
Entwickle analog eine Funktion zum Entschlüsseln von Texten, die mit dem
Verschiebeverfahren verschlüsselt wurden.
Aufgabe:
Wir sind bisher davon ausgegangen, dass ein vorgegebener Text nur aus Großbuchstaben
besteht. Einen beliebigen Text müsste man erst einmal in einen Text aus Großbuchstaben
umwandeln, um das Verschlüsselungsverfahren anwenden zu können. Wir gehen dabei nach
folgendem Verfahren vor:
Alle Kleinbuchstaben werden in entsprechende Großbuchstaben umgewandelt. Alle Umlaute
und das ß werden durch Kleinbuchstaben ersetzt. (z.B.: ä -> ae; ß -> ss). Alle Leerzeichen und
alle Sonderzeichen werden weggelassen.
Entwickle eine Funktion, die das leistet. Beschreibe zunächst das Verhalten mit einem BlackBox-Diagramm. Entwickle und teste dann eine Funktionsdefinition.
Das Vigenère-Verfahren
71
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
K
K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
U
U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
H
H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G
Quelltext:
VIG ENE RE
Schlüssel: KUH
Geheimtext:
FCN OHL BY
Das Vigenère-Verfahren
72
Schlüsselbuchstabe
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Klartextbuchstabe
A
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D
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U
V
W
X
Y
Schlüssel, Klartext
K U H K U H K U
V I G E N E R E
F C N O H L B Y
Geheimtext
73
Automatisierung d. Vigenère-Verfahrens
Ziel ist es, eine Funktion zur Automatisierung des Vigenère-Verfahrens zu entwickeln.
Es ist günstig, dabei die bereits implementierte Funktion verschluesseltesZeichen zu
verwenden.
>>>
'N'
>>>
'Y'
>>>
'U'
>>>
'H'
>>>
'P'
...
verschluesseltesZeichen('G', 'H')
verschluesseltesZeichen('E', 'U')
verschluesseltesZeichen('H', 'N')
verschluesseltesZeichen('E', 'D')
verschluesseltesZeichen('I', 'H')
74
Automatisierung d. Vigenère-Verfahrens
Ziel ist es, eine Funktion zur Automatisierung des Vigenère-Verfahrens zu entwickeln.
>>>
>>>
'N'
>>>
'Y'
>>>
'U'
>>>
'H'
>>>
'P'
schluessel = 'HUND'
verschluesseltesZeichen('G', schluessel[0])
verschluesseltesZeichen('E', schluessel[1])
verschluesseltesZeichen('H', schluessel[2])
verschluesseltesZeichen('E', schluessel[3])
verschluesseltesZeichen('I', schluessel[0])
Aufgabe:
Entwickle eine Funktionsdefinition für die Funktion verschluesseltesZeichenVigenere. Teste
ausführlich.
75
Teil 6
Fachkonzept – Datentyp
76
Fachkonzept - Datentyp
Ein Datentyp beschreibt eine Menge von Datenobjekten, die alle die gleiche Struktur haben
und mit denen die gleichen Operationen ausgeführt werden können.
>>> 40.3
40.3
>>> type(40.3)
<class 'float'>
>>> round(40.3)
40
>>> type(40)
<class 'int'>
>>> str(40.3) + ' °C'
'40.3 °C'
>>> type('40.3 °C')
<class 'str'>
>>> (40.3, '°C')
(40.3, '°C')
>>> type((40.3, '°C'))
<class 'tuple'>
>>> 40.3 > 40
True
>>> type(True)
<class 'bool'>
40
30
20
10
0
77
Datentypen in Python
>>> 2
2
Datentyp: ganze Zahl
int
>>> 2.0
2.0
Datentyp: Dezimalzahl
float
Datentyp: Wahrheitswert
bool
Datentyp: Zeichenkette
string
>>> ('Hans', 'Meier', 34)
('Hans', 'Meier', 34)
Datentyp: Tupel
tuple
>>> [1, 2, 3, 4, 5]
[1, 2, 3, 4, 5]
Datentyp: Liste
list
...
...
>>> True
True
>>> 'Hallo!'
'Hallo!'
>>> "Hallo!"
'Hallo!'
Typumwandlungen in Python
78
Häufig benötigt man Operatoren, mit denen man aus einem Datenobjekt ein entsprechendes
mit einem anderen Datentyp erzeugen kann. Der folgende Python-Dialog zeigt einige
Möglichkeiten auf.
>>>
3
>>>
3.0
>>>
3
>>>
3
>>>
3.0
>>>
'3'
int('3')
float('3.0')
int(3.0)
int(3.5)
float(3)
str(3)
>>> list('[1, 2, 3]')
['[', '1', ',', ' ', '2', ',', ' ', '3', ']']
>>> eval('[1, 2, 3]')
[1, 2, 3]
79
Teil 7
Exkurs – Benutzerfreundliche Programme
80
Dialog im Ausführfenster
Bisher wurden konkrete Berechnungen durch Funktionsaufrufe im Ausführfenster realisiert.
Diese Vorgehensweise ist wenig benutzerfreundlich. Um Berechnungen durchzuführen muss
der Benutzer den Namen der Funktion kennen (und richtig eintippen) und die Reihenfolge der
zu bearbeitenden Daten kennen (und genau beachten).
Programmfenster
def verschiebezahl(zeichen):
…
def verschluesseltesZeichen(zeichen, schluessel):
…
def verschluesselterText(klartext, schluessel):
…
Ausführfenster
>>> verschluesselterText('HALLO', 'G')
'NGRRU'
>>> verschluesselterText('CAESAR', 'T')
'VTXLTK'
81
Ein interaktives Programm
# Unterprogramme
def verschiebezahl(zeichen):
…
def verschluesseltesZeichen(zeichen, schluessel):
…
def verschluesselterText(klartext, schluessel):
…
# Hauptprogramm
# Eingabe
print('Verwende nur die Großbuchstaben ABC...XYZ.')
aktuellerSchluessel = input('Schlüssel: ')
aktuellerKlartext = input('Klartext: ')
# Verarbeitung
aktuellerGeheimtext = verschluesselterText(aktuellerKlartext,
aktuellerSchluessel)
# Ausgabe
print('Geheimtext:', aktuellerGeheimtext)
Programmfenster
82
Ein interaktives Programm
>>>
Verwende nur die Großbuchstaben ABC...XYZ.
Schlüssel: D
Klartext: SALVESAESAR
Geheimtext: VDOYHVDHVDU
Ausführfenster
Aufgabe:
Speichere das Programm ab und führe es mit [Run][Run Module] aus. Im Ausführfenster wirst
du zur Mitarbeit aufgefordert. Probiere das mehrmals mit verschiedenen Daten aus. Du musst
das Programm hierzu jeweils wieder neu ausführen.
83
Fachkonzept - Programm
Ein (Python-) Programm ist eine Folge von (Python-) Anweisungen und Kommentaren. Der
Programmtext wird auch Quelltext genannt.
# Unterprogramme
def verschiebezahl(zeichen):
…
def verschluesseltesZeichen(zeichen,…):
…
def verschluesselterText(klartext, …):
…
# Hauptprogramm
# Eingabe
print('Verwende nur …')
aktuellerSchluessel = input('Schlüssel: ')
aktuellerKlartext = input('Klartext: ')
# Verarbeitung
aktuellerGeheimtext = …
# Ausgabe
print('Geheimtext:', aktuellerGeheimtext)
 Jede Anweisung wird im Quelltext in eine neue Zeile
geschrieben.
 Die Verständlichkeit eines
Programms wird durch
sogenannte sprechende
Bezeichner deutlich erhöht. Ein
sprechende Bezeichner ist ein
Name (z. B. für eine Variable), der
die Bedeutung des bezeichneten
Gegenstands möglichst gut
wiedergibt.
 Kommentare dienen dazu, die
Bedeutung von Programmteilen zu
erläutern. Kommentare werden
eigentlich nur für die Menschen
ergänzt, die den Quelltext bearbeiten. Bei der Ausführung von
Programmen werden sie ignoriert.
84
Fachkonzept - EVA-Prinzip
Viele Programme lassen sich wie im folgenden Beispiel nach dem EVA-Prinzip strukturieren.
EVA steht hier für Eingabe - Verarbeitung - Ausgabe. Auf einen Eingabeteil folgt ein
Verarbeitungsteil und schließlich ein Ausgabeteil.
Eingabe
Verarbeitung
Ausgabe
# Eingabe
...
… = input(…)
# Verarbeitung
...
…
# Ausgabe
print(…)
...
Eingaben in Python: Der input-Operator gibt zunächst den Aufforderungstext aus, wartet
dann, bis der Benutzer seine Eingabe mit der Return-Taste abgeschlossen hat und liefert diese
Eingabe als Zeichenkette vom Typ str zurück.
Ausgaben in Pythen: Die print-Anweisung gibt alle übergebenen Werte der Reihe nach (in
einer Zeile) auf dem Bildschirm aus.
85
Laden und Speichern
# Unterprogramme
…
def geladenerText(dateiname):
datei = open(dateiname, 'r', encoding='iso-8859-1')
text = datei.read()
datei.close()
return text
def textSpeichern(dateiname, text):
datei = open(dateiname, 'w', encoding='iso-8859-1')
datei.write(text)
datei.close()
# Hauptprogramm
# Eingabe
print('Verwende nur die Großbuchstaben ABC...XYZ.')
aktuellerSchluessel = input('Schlüssel: ')
aktuellerDateinameLaden = input('Dateiname/Laden: ')
aktuellerDateinamespeichern = input('Dateiname/Speichern: ')
aktuellerKlartext = geladenerText(aktuellerDateinameLaden)
# Verarbeitung
aktuellerGeheimtext = verschluesselterText(aktuellerKlartext,
aktuellerSchluessel)
# Ausgabe
textSpeichern(aktuellerDateinamespeichern, aktuellerGeheimtext)
86
Laden und Speichern
>>>
Verwende nur die Großbuchstaben ABC...XYZ.
Schlüssel: D
Dateiname/Laden: klartext.txt
Dateiname/Speichern: geheimtext.txt
Aufgabe:
Teste das Programm. Beachte, dass sich die Datei, aus der der zu verschlüsselnde Text
geladen werden soll, im selben Verzeichnis wie das Python-Programm befindet.
87
Fehlerbehandlung
# Unterprogramme
…
# Hauptprogramm
# Eingabe
print('Verwende nur die Großbuchstaben ABC...XYZ.')
aktuellerSchluessel = input('Schlüssel: ')
aktuellerDateinameLaden = input('Dateiname/Laden: ')
aktuellerDateinamespeichern = input('Dateiname/Speichern: ')
# Funktionen benutzen
try:
aktuellerKlartext = geladenerText(aktuellerDateinameLaden)
aktuellerGeheimtext = verschluesselterText(aktuellerKlartext,
aktuellerSchluessel)
textSpeichern(aktuellerDateinamespeichern, aktuellerGeheimtext)
except:
print('zu verarbeitende Datei nicht gefunden')
Aufgabe:
Erkundige dich, wie man mit einer try-except-Anweisung einen Laufzeitfehler verhindern kann,
wenn die Datei zum Laden nicht gefunden wird.
88
Grafische Benutzeroberflächen
Benutzerdialoge werden heutzutage über eine grafische Benutzeroberfläche geführt.
Die Erstellung solcher Benutzeroberflächen ist etwas komplizierter und wird ausführlich erst in
einer der nächsten Veranstaltungen behandelt..
89
Teil 8
Miniprojekt „Primzahlen“
Ablaufmodellierung mit Kontrollstrukturen
90
Primzahlen
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind.
Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
Zielsetzung:
Primzahlen sind besondere Zahlen mit vielen interessanten Eigenschaften. Primzahlen sind
auch sehr wichtig, da sie heutzutage bei der Sicherheit von Datenübertragungen im Internet
eine zentrale Rolle spielen. In diesem Abschnitt sollen Bausteine zur Experimentieren mit
Primzahlen entwickelt werden. Dabei spielt die Modellierung von komplexeren
Berechnungsabläufen eine wichtige Rolle.
34608828249085121524296039576741331672262866890023854779048928344500622080983411446436437554415370753366448674763505018641470709332373970608376690404229
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Primzahltest
91
Das Primzahltestproblem besteht darin, bei einer vorgegebenen natürlichen Zahl zu
überprüfen, ob sie eine Primzahl ist.
istPrimzahl
natürliche Zahl
True
falls n eine Primzahl ist
False
falls n keine Primzahl ist
n
92
Primzahltest
Problem (Beispiel):
Ist 551 eine Primzahl?
Verfahren (Beispiel):
Teile 551 der Reihe nach (von 2 bis ???) durch alle Zahlen und schaue jeweils, ob ein Rest bei
der Division entsteht. Wenn das immer der Fall ist, dann handelt es sich um eine Primzahl.
>>> 551 % 2
1
>>> 551 % 3
2
…
Python als
Taschenrechner
Aufgabe:
Führe den Primzahltest für n = 551 durch. Warum reicht es, wenn man bei dem skizzierten
Verfahren der Reihe nach durch alle Zahlen von 2 bis √n teilt?
Ein einfacher Primzahltestalgorithmus
93
ALGORITHMUS istPrimzahl:
Übergabe: n
prim = True
k=2
SOLANGE k < n:
WENN n % k == 0:
prim = False
k = k+1
Rückgabe: prim
Aufgabe:
Beschreibe den Verarbeitungsablauf mit einem Flussdiagramm. Welche Rolle spielt die Variable
prim im gezeigten Algorithmus? Erkläre anhand eines Beispiels.
Implementierung des Algorithmus
94
ALGORITHMUS istPrimzahl:
Übergabe: n
prim = True
k=2
SOLANGE k < n:
WENN n % k == 0:
Ablaufbeschreibung
mit Wahrheitswerten
Wiederholung
Fallunterscheidung
prim = False
k = k+1
Rückgabe: prim
Rückgabe:
Wahrheitswert
Aufgabe:
Informiere dich auf inf-schule 2.5.1.4.3, wie man die oben kommentierten Bausteine zur
Ablaufmodellierung in Python implementiert. Entwickle mit diesem Wissen eine
Funktionsdefinition für die Funktion istPrimzahl.
Verbesserte Primzahltestalgorithmen
95
ALGORITHMUS istPrimzahl:
Übergabe: n
prim = True
k=2
SOLANGE … :
WENN n % k == 0:
prim = False
k = k+1
Rückgabe: prim
Aufgabe:
Wann kann man die Durchführung der Divisionen beenden? Wie könnte man das im
Algorithmus berücksichtigen?
96
Verbesserte Primzahltestalgorithmen
Die Funktion istPrimzahl verarbeitet eine Zahl vom Typ int (d.h. eine ganze Zahl) und liefert als
Ergebnis einen Wert vom Typ bool (d.h. einen der beiden Wahrheitswerte True oder False)
zurück.
def istPrimzahl(n):
prim = True
k = 2
while k*k <= n and prim:
if n % k == 0:
prim = False
k = k+1
return prim
Aufgabe:
Erläutere die gezeigte Funktionsdefinition. Teste die Funktion. Liefert sie immer korrekte
Ergebnisse?
97
Teil 9
Fachkonzept - Kontrollstrukturen
98
Kontrollstrukturen
Kontrollstrukturen sind Ablaufbausteine, die dazu dienen, die Reihenfolge der Abarbeitung von
Anweisungen (eines Algorithmus / eines Programms) festzulegen.
99
Fachkonzept - Fallunterscheidung
Eine Fallunterscheidung dient dazu, alternative Abläufe zu beschreiben.
WENN [Bedingung]:
[Anweisungssequenz]
SONST:
[Anweisungssequenz]
zweiseitige
Fallunterscheidung
WENN [Bedingung]:
[Anweisungssequenz]
einseitige
Fallunterscheidung
100
Fachkonzept - Fallunterscheidung
Eine Fallunterscheidung dient dazu, alternative Abläufe zu beschreiben.
zweiseitige
Fallunterscheidung
einseitige
Fallunterscheidung
Doppelpunkt
if [Bedingung]:
[Anweisungssequenz]
else:
[Anweisungssequenz]
if x >= y:
maximum = x
minimum = y
else:
maximum = y
minimum = x
Schlüsselwort
Einrückung
if [Bedingung]:
[Anweisungssequenz]
maximum = x
minimum = y
if maximum < minimum:
hilf = maximum
maximum = minimum
minimum = hilf
101
Fachkonzept - Wiederholung
Eine Solange-Wiederholung besteht aus einer Bedingung und einer Anweisungssequenz.
Solange die Bedingung erfüllt ist, wird die Anweisungssequenz ausgeführt.
Aufbau
SOLANGE [Bedingung]:
[Anweisungssequenz]
Struktogramm
Python-Syntax
Schlüsselwort
Flussdiagramm
Einrückung
Doppelpunkt
while [Bedingung]:
[Anweisungssequenz]
102
Fachkonzept - Wahrheitswerte
Wahrheitswerte (wahr and falsch bzw. True and False) treten bei der Auswertung von
Bedingungen auf.
Man benutzt sie oft auch zur Ablaufmodellierung.
def istPrimzahl(n):
prim = True
k = 2
while k*k <= n and prim:
if n % k == 0:
prim = False
k = k+1
return prim
logische Variable
zusammengesetzte
Bedingung
Mehr über Wahrheitswerte und ihre Verarbeitung erfährst du auf inf-schule 2.5.2.7.
103
Teil 10
Miniprojekt „Primzahlen“
Funktion als autonomer Baustein
104
Eine Funktion für Primzahltests
Die Funktion istPrimzahl verarbeitet eine Zahl vom Typ int (d.h. eine ganze Zahl) und liefert als
Ergebnis einen Wert vom Typ bool (d.h. einen der beiden Wahrheitswerte True oder False)
zurück.
def istPrimzahl(n):
prim = True
k = 2
while k*k <= n and prim:
if n % k == 0:
prim = False
k = k+1
return prim
105
Eine Funktion für Primzahltests
def istPrimzahl(n):
prim = True
k = 2
while k*k <= n and prim:
if n % k == 0:
prim = False
k = k+1
return prim
>>> istPrimzahl(13)
True
>>> istPrimzahl(15)
...
>>> istPrimzahl(7)
...
>>> istPrimzahl(551)
...
>>> istPrimzahl(2)
...
>>> istPrimzahl(1)
...
>>> istPrimzahl(0)
...
Funktionsdefinition
Test mit Funktionsaufrufen
106
Verhaltensbeschreibung
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das Verhalten einer Funktion (als Programmeinheit) zu
beschreiben. Zum einem lässt sich das infomell mit einem Beschreibungstext tun. Daneben gibt
es formalere Varianten, die bestimmte Formalismen zur exakten Beschreibung nutzen. Hierzu
zählen u.a. das Black-Box-Diagramm und eine Beschreibung in Form von Testfällen.
Black-Box-Diagramm
>>> istPrimzahl(1)
False
>>> istPrimzahl(2)
True
>>> istPrimzahl(3)
True
>>> istPrimzahl(4)
False
>>> istPrimzahl(113)
True
>>> istPrimzahl(551)
False
Testfälle
Docstring in Python
107
def istPrimzahl(n):
…
prim = True
"""
k = 2
Verhalten:
while k*k <= n and prim:
Übergabe: natürliche Zahl n
if n % k == 0:
Rückgabe: True, falls n …
prim = False
False, sonst
k = k+1
Testfälle:
return prim
>>> istPrimzahl(13)
True
if __name__ == "__main__":
>>> istPrimzahl(15)
from doctest import testmod
False
testmod(verbose=True)
>>> istPrimzahl(551)
False
>>> istPrimzahl(2)
Automatisierte Überprüfung von
True
Testfällen
>>> istPrimzahl(1)
False
Docstring mit Testfällen
>>> istPrimzahl(0)
False
"""
…
108
>>>
Trying:
istPrimzahl(13)
Expecting:
True
ok
Trying:
istPrimzahl(15)
Expecting:
False
ok
Trying:
istPrimzahl(551)
Expecting:
False
ok
Trying:
istPrimzahl(2)
Expecting:
True
ok
…
Docstring in Python
…
Trying:
istPrimzahl(1)
Expecting:
False
********************************
File "...", line 19, in …
Failed example:
istPrimzahl(1)
Expected:
False
Got:
True
Trying:
istPrimzahl(0)
…
1 items had failures:
2 of
7 in
__main__.istPrimzahl
7 tests in 2 items.
5 passed and 2 failed.
***Test Failed*** 2 failures.
109
Docstring in Python
Aufgabe:
Probiere das selbst aus. Wie sind die Rückmeldungen von Python zu deuten?
Verbessere die Funktionsdefinition so, dass alle Testfälle den Test bestehen. Tipp: Du musst zu
Beginn eine zusätzliche Fallunterscheidung vorsehen.
110
Funktion als Baustein
Eine gut getestete Funktionsdefinition kann man bei weiterführenden Problemlösungen als
Baustein verwenden. Hier ein Beispiel, bei dem überprüft werden soll, ob ein Primzahlzwilling
vorliegt.
Baustein
from primzahltest import istPrimzahl
def istPrimzahlzwilling(n):
if istPrimzahl(n):
if istPrimzahl(n+2):
ergebnis = True
else:
ergebnis = False
else:
ergebnis = False
return ergebnis
Verwendung des
Bausteins
111
Funktion als Baustein
Aufgabe:
Entwickle eine Funktionsdefinition für eine Funktion naechstePrimzahl. Benutze die Funktion
istPrimzahl als Baustein.
Baustein
112
Der Primzahlsatz
Die Anzahl der Primzahlen in einem Zahlenbereich lässt sich relativ genau abschätzen. Man
verwendet hierzu den sogenannten Primzahlsatz.
roter Graph: n -> Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich n
grüner Graph: n -> n/ln(n)
113
Der Primzahlsatz
Aufgabe:
Entwickle eine Funktion, mit der man die Anzahl der Primzahlen ermitteln kann, die kleiner
oder gleich einer übergebenen Zahl sind.
Bestimme mit der entwickelten Funktion weitere Anzahlen und vergleiche mit der Abschätzung.
>> from math import log
>>> 100/log(100)
21.71472409516259
Manchmal hört man den Vorschlag, Primzahlen in einer Primzahldatenbank zu sammeln. In
diese Datenbank sollten dann natürlich auch die Primzahlen kommen, die heutzutage beim
Aufbau von Kryptosystemen benutzt werden.
Moderne Kryptosysteme benutzen Primzahlen mit mehr als 300 Stellen. Schätze mit dem
Primzahlsatz ab, wie viele Primzahlen es in diesem Bereich gibt. Betrachte hierzu den Bereich
zwischen 21000 und 21001. Beurteile mit dem gewonnenen Ergebnis den oben gemachten
Vorschlag. Zur Information: Die Anzahl der Atome im Universum liegt Schätzung zufolge im
Bereich zwischen 1084 und 1089.
114
Goldbachs Vermutung
Im Jahr 1742 teilte der Mathematiker Christian Goldbach seinem Kollegen Leonhard Euler eine
interessante Beobachtung mit:
Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, lässt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen.
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
…
Viele Mathematiker haben seither versucht, Goldbachs Vermutung zu beweisen. Gelungen ist
es bisher keinem.
115
Goldbachs Vermutung
Aufgabe:
Entwickle eine Funktion, mit der man die Anzahl der Zerlegungen einer geraden Zahl als
Summe von zwei Primzahlen ermitteln kann.
Bestimme mit der entwickelten Funktion weitere Anzahlen und beobachte, wie diese Anzahlen
mit wachsendem n ebenfalls wachsen. Vergleiche auch mit den Ergebnissen in der folgenden
Abbildung.
Primfaktorzerlegung
116
Das Faktorisierungsproblem (kurz FACTORIZE) besteht darin, eine vorgegebene natürliche Zahl
in ein Produkt aus Primfaktoren zu zerlegen.
primfaktoren
natürliche Zahl
n
L
Liste der Primfaktoren von n
primfaktoren
260
[2, 2, 5, 13]
Primfaktorzerlegung
117
Aufgabe:
Entwickle eine Funktion, mit der man die Primfaktoren einer natürlichen Zahl (größer 1)
bestimmen kann.
ALGORITHMUS primfaktoren:
Übergabe: n
faktoren = []
z=n
SOLANGE z > 1:
bestimme den kleinsten Primfaktor p von z
faktoren = faktoren + [p] # füge p in die Liste faktoren ein
z = z // p
Rückgabe: faktoren