Gaub-E1-7-1

Newton‘s Mechanics
Stellar Orbits
Gravity
Galilei
Leibniz
Gaub
WS 2014/15
1
Statistical Mechanics
Steam Engine
Chemical Reactions
A + B   AB
Gaub
Mayer
Joule
Helmholtz
Clausius
Kelvin
Boltzmann
Gibbs
WS 2014/15
2
Molekular-Dynamik Rechnungen
Nobelpreis 2013!!!
Gaub
WS 2014/15
3
MD Simulations Water
http://www.youtube.com/watch?v=x8Atqz
5YvzQ
http://www.youtube.com/watch?v=B3cXuisH8PI
Gaub
WS 2014/15
http://www.youtube.com/watch?v=xcMS
Hy3CqXA
4
§7 Gase
Kinetische Energie der Teilchen größer als die potentielle Energie der
gegenseitigen Anziehung
 Teilchen bewegen sich frei mit beliebig großem Abstand
makroskopische Betrachtung
Boyle-Mariotte‘sches Gesetz:
bei konstanter Temperatur gilt

p V = const.
V
dV
const.
 
  2
p
dp
p
Def: Kompressibilität   
m
 
V
p 
1 V
1

V p
p
const.

m
T=const.
=> für konstante Temperatur ist p ~ ρ
Gaub
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5
Makroskopische Betrachtung
Möglichkeit zur Messung des Druckes:
Quecksilbermanometer
Im Gleichgewicht gilt:
 g h  p  p0
Bei Zimmertemperatur ist der
Dampfdruck von Quecksilber
vernachlässigbar.
Normaldruck:
1 torr  1 mmHg 
Gaub

1 atm  101325 Pa
 p
 1
N
 1Pa
2
m
1
atm  133,33 Pa
760
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6
Luftdruck und barometrische Höhenformel
Herleitung der barometrischen Höhenformel
Abnahme des auf der Fläche A lastenden
Gewichts mit der Höhe:
dFG  g dm  g  h  dV   g  h  A dh
dp   g  h  dh
mit
p h 
 
p 0
p0
0
 const. 
p

dp   g
0
ph  dh
p0
 ph  
0
dp
0
'


  g
dh  ln
 g
h  ph   p0 e
'

p0
p h 
p0
 p0 
0
'
h
mit po= 1013hPa und 0= 1.24 kg/m3
 ph   1013 hPa  e

g
h
8, 33 km
0
h
p0
Luftdruck und barometrische Höhenformel
ph  p0 e

g
0
p0
h
ph  p0  g  h
Wie in Flüssigkeiten tritt in Gasen Auftrieb auf. Schweben entspricht
Schwimmen in Luft!

 Für einen Ballon mit Masse M und Volumen V gilt:
Gaub
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M g  V Luft g
8
§7.3 Kinetische Gastheorie
Das ideale Gas
Gas aus starren Kugeln (Atome oder Moleküle) mit r0
Stöße der Teilchen untereinander und mit der Gefäßwand
erfüllen Energie- und Impulssatz
Wechselwirkung nur bei Berührung
 Wechselwirkungspotential V:
0

V r   


für r  2r0
für r  2r0
(Hardcore-Potential)
Gaub
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9

Das ideale Gas
Vorraussetzung:
Atomradius << mittlerer Atomabstand
 Behandlung der Atome/Moleküle als Massenpunkte
Druck p des Gases wird über Impulsübertrag auf die Gefäßwand verstanden:
F
d mv 

A
dt A
Treffen im Zeitintervall dt N dt Moleküle mit der Geschwindigkeit v
senkrecht auf die Fläche A, dann ist der pro Sekunde übertragene Impuls
2 N m v.
p 

Gaub

v
p  2 Nm
A
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Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
Nur Betrachtung der Translation, keine Rotation oder Schwingung!
Anzahl Z der in der Zeit Δt auf das Wandstück A treffenden Moleküle:
Z  nx v x A t
wobei nx die Dichte der Moleküle ist,
die sich mit der Geschwindigkeit v x
in x-Richtung bewegen.
 Jedes Molekül überträgt den Impuls

px  2 m vx

p x
v
 F  Z
 2 Zm x
t
t
F

 p 
 2 m nx v x2
A
Gaub
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Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
Bewegung in y- und z-Richtung bleibt beim Stoß unbeeinflußt.
Da der Druck eine isotrope Größe ist, gilt:
v
2
x
1

N
 N v  v
x
2
x
dv x  v
2
y
 v
2
z
1 2
 v
3
Im Mittel fliegen gleich viele Moleküle in
+x- wie in –x-Richtung
 p 
 p V 
Gaub
1
1
2
n 2 m v x2  m n v 2  n E kin
2
3
3
2
N Ekin
3

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Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur
Experimentell ergibt sich für konstantes N,
dass p V nur von T abhängt.

Ekin
1

m v2
2
hängt nur von T ab.
Es gibt eine Temperaturskala, für die gilt:
E kin ~ T
Definition der absoluten Temperatur T:
1
3
2
mv 
kT

2
2
J
mit der Bolzmann-Konstante k  1,38054 1023
K

pV  N k T
allgemeine Gasgleichung


Gaub
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13
Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur
Jedes Teilchen kann sich in x-, y- und z-Richtung bewegen.

3 Freiheitsgrade der Translation
Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens bei der
Temperatur T ergibt sich zu:
E kin
1

k T pro Freiheitsgrad
2
Reale Moleküle können Energie auch in Rotation und Schwingung
aufnehmen
 mehr Freiheitsgrade

Gleichverteilungssatz: (allgemeine Herleitung in T4)
In einem Gas verteilt sich die Energie stets gleich auf alle Freiheitsgrade.
Bei f Freiheitsgrade hat jedes Teilchen im Mittel die Energie
Ekin  f
Gaub
1
kT
2
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Verteilungsfunktion
Allgemeine Herleitung des Drucks erfordert mathematische Definition
der Verteilung der Geschwindigkeit auf die Moleküle.
 Verteilungsfunktion f(v)
Für die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung muss gelten:
f v x  dv x 
N v x  dv x
N

mit N 

 N v  dv
x

x

 Die Anzahl der Teilchen im Intervall v x ; v x  dv x ist dann:
N v x  dv x  N f v x  dv x


 f v  dv
x

x
1

N


 N v  dv
x
x
 1

Bem:
 f v  d v
 1
0
Die Anzahl der Teilchen mit v x  u ist:
N v x  u   N

 f v  dv
x
u
x
15
Von allen Seiten des Halbraums prallen Moleküle auf die Wand
Auf ein Flächenelement dA prallen während des Zeitintervalls Δt im Mittel dZ
Moleküle im Geschwindigkeitsfenster v+dv aus dem Raumwinkelbereich dΩ,
der um den Winkel ϑ gegen die Flächennormale geneigt ist
dZ  n f v  dv v t dA cos 
d 
r d r sin  d
r
2
d
4
 d sin  d
Die Impulsänderung eines Teilchens ist :
p  2 m v cos 
Impulsübertrag durch dZ Teilchen im

Zeitintervall Δt ist dann dZ p t
p 

p total
dA t
Gaub

2 nm
4

2
v
 f v  dv
v 0
v2
2


2
2
cos
  sin  d d
0  0
2π/3
 p 
1
n m v2
3
16
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Aus der barometrischen Höhenformel ergibt sich durch Erweitern mit dem Volumen
V einer Gasmenge der Masse M = mN =V und der Teilchenzahldichte n=N/V
  0e

0 g h
p0
 0e

M g h
N kT
 nh   n0 e
Modell: Moleküle starten auf der Erdoberfläche
mit der Geschwindigkeit vz senkrecht nach
oben und erreichen die Höhe h:

m g h
kT
 n0 e

E pot
kT
m 2

vz  m g h
2
=> Die Anzahl der Moleküle, über die Höhe h
hinausfliegen, ist gleich der Zahl, die von z = 0
aus mit Geschwindigkeiten vz>u starten.
N v z u  z  0   N v z  0  z  h 
17
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Allgemein gilt für die Anzahl N(vz)
der Moleküle mit der Geschwindigkeit
vz die pro Zeit ∆t durch ein FlächenN z
stück ∆A fliegen (Flussdichte):
N v z  
 nv z v z
Az t
Aus der Annahme einer isothermen Atmosphäre
folgt, dass die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion unabhängig von der Höhe ist.
 N vz 0  z  h   nh 
Nicht die mittlere Geschwindigkeit, wohl
aber die Flussdichte nimmt mit der Höhe ab: N v 0  z  0   n0 
z

N vz u 0
N vz 0 0

Const (T)
N vz 0  z  h 
N vz 0 0

 v f v  dv
z
z
z
vz 0

 v f v  dv
z
z
vz 0
z
nh 
 nh   C (T ) N vz u 0  C (T ) n0  v z f v z dv z

n0
v z u

Es gilt aber auch: nh   n0 e



m g h
kT
 n0 e

m u2
2 kT
 vz f vz  dvz  C1 T  e
u

m u2
2 kT
18
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Differentiation nach u liefert:  u f u   
mu
kT
C1 T  e

m u2
2 kT
m u2

m
2
mit: C2 
C1 T   f u   C2 e
kT
C2 
 f u  
m
weil
2 k T

m u2

m
2 kT
e
2 k T
kT


 f u  du
 1

und
e
x2
dx 


Symmetrische
Gaussverteilung
Ist die mittlere kinetische Energie sehr groß gegen die
Differenz der potentiellen innerhalb eines abgeschlossenen Volumens V, ist keine Richtung ausgezeichnet.

3
2
 m   2m kv T
f v   
2 k T 
 e


2
19
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Geschwindigkeitsvektoren mit der Länge v+dv enden in einer infinitesimalen
Kugelschale mit dem Betrag der Geschwindigkeit als Radius. Ingegration über
2
alle Richtungen liefert den Faktor: 4 v dv
3
2
Zahl der Moleküle pro Volumeneinheit mit einer Geschwindigkeit
im Betrag zwischen v undv+dv
Mittlere Geschwindigkeit
 m 

v   v f v  dv  4 

0
 2 k T 

 m 
 4 v 2 e
nv  dv  n 
 2 k T 


3
2 
Mittlere Geschwindigkeitsquadrat

3 kT
f kT
v 2   v 2 f v  dv 

m
m
0
Wahrscheinlichste Geschwindigkeit
dn
 0  vw 
dv vw
2 kT
m
v
0

3
e
m v2
2 kT
dv 
8 kT
m


m v2
2 kT
2 vw

dv
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
nv  dv  n
4v
2
3
w

v

e
m v2
2 kT
dv
 n
4v
2
3
w

v

e
v2
vw2
dv
Die Geschwindigkeitsverteilung hat eine
ausgeprägte Temperaturabhängigkeit
vw 
WS 2014/15
2 kT
m
21