7.1

Newton‘s Mechanics
Stellar Orbits
Gravity
Galilei
Leibniz
Gaub
WS 2014/15
1
Statistical Mechanics
Steam Engine
Chemical Reactions
A + B   AB
Gaub
Mayer
Joule
Helmholtz
Clausius
Kelvin
Boltzmann
Gibbs
WS 2014/15
2
Molekular-Dynamik Rechnungen
Nobelpreis 2013!!!
Gaub
WS 2014/15
3
MD Simulations Water
http://www.youtube.com/watch?v=x8Atqz
5YvzQ
http://www.youtube.com/watch?v=B3cXuisH8PI
Gaub
WS 2014/15
http://www.youtube.com/watch?v=xcMS
Hy3CqXA
4
§7 Gase
Kinetische Energie der Teilchen größer als die potentielle Energie der
gegenseitigen Anziehung
 Teilchen bewegen sich frei mit beliebig großem Abstand
makroskopische Betrachtung
Boyle-Mariotte‘sches Gesetz:
bei konstanter Temperatur gilt

V
dV
const.
 
  2
p
dp
p
Def: Kompressibilität   

p V = const.

1 V
1

V p
p
const .
m
p 

 
m
V


=> für konstante Temperatur ist p ~ ρ
Gaub
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T=const.
5
Makroskopische Betrachtung
Möglichkeit zur Messung des Druckes:
Quecksilbermanometer
Im Gleichgewicht gilt:
 g h  p  p0
Bei Zimmertemperatur ist der
Dampfdruck von Quecksilber
vernachlässigbar.
Normaldruck:
1 torr  1 mmHg 
Gaub

1 atm  101325Pa
N
p  1 2  1Pa
m
1
atm  133,33 Pa
760
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6
Luftdruck und barometrische Höhenformel
Herleitung der barometrischen Höhenformel
Abnahme des auf der Fläche A lastenden
Gewichts mit der Höhe:
dFG  g dm  g h dV  g h A dh
dp  g h dh

mit

p h 
p0
0
 const. 
p

 dp  g
h
p0
ph dh
ph
0
 ln
h
  g
p0
 p0 
dp
0


g
 p' h
 p dh '
0
p 0
0


mit po= 1013hPa und 0= 1.24 kg/m3
'
0

 ph  p0 e
ph  1013 hPa  e


g
h
8,33 km
0
p0
h
Luftdruck und barometrische Höhenformel
ph  p0 e

g
0
p0
h
ph  p0  g  h
Wie in Flüssigkeiten tritt in Gasen Auftrieb auf. Schweben entspricht
Schwimmen in Luft!

 Für einen Ballon mit Masse M und Volumen V gilt:
Gaub
WS 2014/15
M g  V Luft g
8
§7.3 Kinetische Gastheorie
Das ideale Gas
Gas aus starren Kugeln (Atome oder Moleküle) mit r0
Stöße der Teilchen untereinander und mit der Gefäßwand
erfüllen Energie- und Impulssatz
Wechselwirkung nur bei Berührung
 Wechselwirkungspotential V:
0

V r  


für r  2r0
für r  2r0
(Hardcore-Potential)

Gaub
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9

Das ideale Gas
Vorraussetzung:
Atomradius << mittlerer Atomabstand
 Behandlung der Atome/Moleküle als Massenpunkte
Druck p des Gases wird über Impulsübertrag auf die Gefäßwand verstanden:
F
d  mv 

A
dt A
Treffen im Zeitintervall dt N dt Moleküle mit der Geschwindigkeit v
senkrecht auf die Fläche A, dann ist der pro Sekunde übertragene Impuls
2 N 
m v.
p 

Gaub
p  2 Nm
v
A
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10
Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
Nur Betrachtung der Translation, keine Rotation oder Schwingung!
Anzahl Z der in der Zeit Δt auf das Wandstück A treffenden Moleküle:
Z  nx v x A t
wobei n x die Dichte der Moleküle ist,
die sich mit der Geschwindigkeit v x
 in x-Richtung bewegen.
 Jedes Molekül überträgt den Impuls

px  2 m vx
 F  Z


p x
v
 2 Zm x
t
t
F
 p 
 2 m nx v2x
A
Gaub
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11
Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
Bewegung in y- und z-Richtung bleibt beim Stoß unbeeinflußt.
Da der Druck eine isotrope Größe ist, gilt:
v
2
x
1

N
 N v  v
x
2
x
dv x  v
2
y
 v
2
z
1 2
 v
3
Im Mittel fliegen gleich viele Moleküle in
+x- wie in –x-Richtung
 p 
 p V 
Gaub
1
1
2
n 2 m v2x  m n v2  n E kin
2
3
3
2
N Ekin
3

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Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur
Experimentell ergibt sich für konstantes N,
dass p V nur von T abhängt.

E kin
1

m v2
2
hängt nur von T ab.
Es gibt eine Temperaturskala, für die gilt:
E kin ~ T
 Definition der absoluten Temperatur T:
1
3
2
mv 
kT

2
2
mit der Bolzmann-Konstante


pV  N k T
k  1,380541023
J
K
allgemeine Gasgleichung


Gaub
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13
Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur
Jedes Teilchen kann sich in x-, y- und z-Richtung bewegen.

3 Freiheitsgrade der Translation
Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens bei der
Temperatur T ergibt sich zu:
E kin
1

k T pro Freiheitsgrad
2
Reale Moleküle können Energie auch in Rotation und Schwingung
aufnehmen
 mehr Freiheitsgrade

Gleichverteilungssatz: (allgemeine Herleitung in T4)
In einem Gas verteilt sich die Energie stets gleich auf alle Freiheitsgrade.
Bei f Freiheitsgrade hat jedes Teilchen im Mittel die Energie
E kin  f
Gaub
1
kT
2
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14
Verteilungsfunktion
Allgemeine Herleitung des Drucks erfordert mathematische Definition
der Verteilung der Geschwindigkeit auf die Moleküle.
 Verteilungsfunktion f(v)
Für die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung muss gelten:
f v x  dvx 
N v x  dvx
N
mit N 

 N v  dv
x
x



 Die Anzahl der Teilchen im Intervall v x ; v x  dv x ist dann:
Nvx  dvx  N f vx 
dvx



 f v 
x

1
dvx 
N

 Nv  dv
x
x

 1
Bem:

 f v  d v
 1
0
 Die Anzahl der Teilchen mit v  u ist:
x

N v x  u  N

 f v  dv
x
u
x

15
Von allen Seiten des Halbraums prallen Moleküle auf die Wand
Auf ein Flächenelement dA prallen während des Zeitintervalls Δt im Mittel dZ
Moleküle im Geschwindigkeitsfenster v+dv aus dem Raumwinkelbereich dΩ,
der um den Winkel ϑ gegen die Flächennormale geneigt ist
dZ  n f v dv v t dA cos
d 
r d r sin  d
r
2
d
4
 d sin d
Die Impulsänderung eines Teilchens ist :
p  2 m v cos
Impulsübertrag durch dZ Teilchen im
Zeitintervall Δt ist dann dZ p t
p 
p total
dA t
Gaub

2 nm
4 
2


2
 v f v dv   cos 
2
2
sin  d d
 0  0
v0
v2
2π/3
 p 
1
n m v2
3
16
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Aus der barometrischen Höhenformel ergibt sich durch Erweitern mit dem Volumen
V einer Gasmenge der Masse M = mN =V und der Teilchenzahldichte n=N/V
  0 e

0 g h
p0

 0 e
M gh
N kT

 nh  n0e
Modell: Moleküle starten auf der Erdoberfläche
mit der Geschwindigkeit vz senkrecht nach
oben und
 erreichen die Höhe h:


mgh
kT
 n0 e

E pot
kT
m 2

vz  m g h
2
=> Die Anzahl der Moleküle, über die Höhe h
hinausfliegen, 
ist gleich der Zahl, die von z = 0
aus mit Geschwindigkeiten vz>u starten.
Nvz u z  0  Nvz 0 z  h
17
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Allgemein gilt für die Anzahl N(vz)
der Moleküle mit der Geschwindigkeit
vz die pro Zeit ∆t durch ein FlächenN z
stück ∆A fliegen (Flussdichte):
N vz  
 nvz vz
Az t
Aus der Annahme einer isothermen Atmosphäre
folgt, dass die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion unabhängig von der Höhe ist.
 Nvz 0 z  h  nh

Nicht die mittlere Geschwindigkeit, wohl
aber die Flussdichte nimmt mit der Höhe ab: N vz 0 z  0  n0

 v f v  dv
z
z
z
vz 0

 v f v  dv
z
vz  0
z
z

Nvz 0 z  h nh

 nh  C(T ) Nvz u 0  C(T ) n0  vz f vz dvz


Nvz 0 0
Nvz 0 0
n0
vz u
2
m gh
m u



kT
2 kT
Es gilt aber auch: nh  n0 e
 n0 e
Const (T)
m u2



2 kT

18
  v z f v z  dvz  C1T  e
Nvz u 0
u
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Differentiation nach u liefert: u f u  
mu
kT

C1T  e
m u2
2 kT
m u2

m
2 kT
mit: C2 
C1 T   f u   C2 e
kT

m
C2 
weil  f u du  1 und
2 k T


m u2


m
2 kT
Symmetrische
 f u 
e
Gaussverteilung
2 k T



Ist die mittlere kinetische Energie sehr groß gegen die
Differenz der potentiellen innerhalb eines abgeschlossenen Volumens V, ist keine Richtung ausgezeichnet.

3
2

e
x2
dx 


 m   2m kv T
f v   
2 k T 
 e


2
19
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Geschwindigkeitsvektoren mit der Länge v+dv enden in einer infinitesimalen
Kugelschale mit dem Betrag der Geschwindigkeit als Radius. Ingegration über
2
alle Richtungen liefert den Faktor: 4 v dv
3
2
Zahl der Moleküle pro Volumeneinheit mit einer Geschwindigkeit
im Betrag zwischen v undv+dv
Mittlere Geschwindigkeit
 m 

2
2

nv dv  n 
4
v
e
2 k T 


3
2 
 m 

v   v f v  dv  4 
2

k
T



0

Mittlere Geschwindigkeitsquadrat

3 kT
fkT
2
2

v   v f v dv 
m
m
0
Wahrscheinlichste Geschwindigkeit
dn

 0  vw 
dv vw
2 kT
m
m v2
v

3
e
m v2
2 kT
dv 
8 kT
m
0



kT
2 vw

dv
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
nv dv  n
4v
v
3
w
2


e
m v2
2 kT
 n
dv
4 v
2
3
w

v

e
v2
v w2
dv

Die Geschwindigkeitsverteilung hat eine
ausgeprägte Temperaturabhängigkeit
vw 
2 kT
m

WS 2014/15
21