§11.13 Wellen bei bewegten Quellen Doppler-Effekt Bewegt sich die Quelle relativ zum Medium, ändert sich für einen Beobachter die Schallfrequenz. Während der Schwingungsdauer T 1 f 0 durchläuft . die Welle in z-Richtung die Strecke z 0 v Ph T Bewegt sich die Quelle mit der Geschwindigkeit uQ u z in z-Richtung auf den Beobachter zu, so ist der Abstand Flächen gleicher Phase demnach: 0 uQ T v Ph u Q f0 Der ruhende Beobachter misst demnach die Frequenz f: Dieser Abstand ist definitionsgemäß die Wellenlänge der sich im Medium ausbreitenden Welle. f v Ph f0 Entsprechend für eine sich entfernende Quelle: v Ph v Ph u Q f0 f f0 1 1 u Q v Ph 1 1 u Q v Ph Doppler-Effekt Bewegt Beobachter, ruhende Quelle: In der Zeit T 1 f 0 bewegt sich der Beobachter um die Strecke z u B T und misst deswegen n z 0 zusätzliche Schwingungen. Die gemessene Frequenz erhöht sich damit um n T und wird : f f f0 uB 0 f0 f0 uB v Ph Entsprechend für eine Bewegung von der Quelle weg: Bewegen sich sowohl Quelle, als auchBeobachter, wird die gemessene Frequenz: f0 u B f 0 1 v Ph f u B f 0 1 v Ph f f0 Für beliebige Bewegungsrichtungen ergibt sich vektoriell: Gaub 0 1 u B v Ph 1 m u Q v Ph 0 0 r k r k r uB r uQ 60 Doppler-Effekt Einfach einsehbar ist dies aus der Wellendarstellung: r r A cos 0 t k r Die Bewegungsgleichung des Bewegten Beobachters ist: r r r r u B t r0 Damit wird die Wellendarstellung: r r r r r A cos 0 t k u B t r0 A cos t k r0 mit: 0 r r k uB analog für eine Bewegung der Quelle Gaub WS2014/15 61 Wellenfronten bei bewegten Quellen Bewegt sich eine Schallquelle mit der Geschwindigkeit u in z-Richtung und sendet Kugelwellen mit der Frequenz f 0 aus, ist der Abstand λ zweier um 2π versetzter Phasenflächen vom Winkel α gegen die Bewegungsrichtung abhängig: u f0 v Ph u cos Gaub WS2014/15 62 Wellenfronten bei bewegten Quellen Bewegt sich die Quelle mit der Phasengeschwindigkeit, wird 0 0 Die Amplituden zu verschiedenen Zeiten ausgesandter Kugelwellen überlagern sich und es entsteht eine Welle mit sehr großer Amplitude (nicht mehr harmonisch!), die sogenannte Kopfwelle. Bewegt sich die Quelle sogar schneller als die Phasengeschwindigkeit, ist v Ph arccos u 0 Gaub 63 Wellenfronten bei bewegten Quellen In diesem Fall sind die zu verschiedenen Zeiten ausgesandten Kugelwellen auf Kegeln mit dem Öffnungswinkel β in Phase. Es ist: 90 sin v Ph u 1 mit der Machzahl M M Der Kopfwellenkegel heißt dann Machscher Kegel. Zu beobachten sind derartige Kegel zum Beispiel bei Schiffen, deren Geschwindigkeit größer ist als die Phasengeschwindigkeit der Oberflächenwellen des Wassers. Man beachte aber die Dispersion der Wasserwellen!!! 64 Size doesn‘t matter! 65 And speed neither! Wellenfronten bei bewegten Quellen Ein Schiff bewege sich mit der Geschwindigkeit u und befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 am Punkt Q 1 . Dabei sendet es Oberflächenwellen in einem breiten Spektrum aus. Hat das Schiff zum Zeitpunkt T den Punkt Q 2 erreicht, habe die Welle mit der Mittenwellenlänge 0 den Punkt W 0 erreicht. Da andere Teilwellen andere Phasengeschwindigkeiten und damit andere Phasen im Punkt W 0 haben, mittelt sich die Gesamtamplitude zu Null und es entsteht keine Kopfwelle. Das Maximum der Wellengruppe, das sich mit der Gruppenge schwindigkeit v Gr 1 2 v Ph 0 bewegt, ist zum Zeitpunkt T erst am Punkt G 0 , weshalb die Q G Bugwelle entlang der Linie 2 0 entsteht. 66 Wellenfronten bei bewegten Quellen Mit Q 2W 0 d und Q 1G 0 s ergibt sich 2s s für den Öffnungswinkel θ der Bugwelle: tan 0 und tan 0 d d arctan 2 s arctan s d d 2 arctan arctan 1 / 2 2 Weil Q unabhängig von s ist sein muss gelten: 0 d arg d arg ds d d ds 1 0 1 2d d 2 4s d 2 2 1 d d 2 1 2 s 2 2 2 2 2 d 4s d s 2d 2s d 4 s 2 2 d 2s d s 2 2 2 2 19 , 5 d d d 2 2 s 1 2 4s 1 2 Unabhängig von der Geschwindigkeit, solange u > vph! 2 WS2014/15 67 Wellenfronten bei bewegten Quellen Bei einem mit Überschallgeschwindigkeit fliegenden Flugzeug ist die Kopfwelle als lauter Knall wahrnehmbar („Überschallknall“). Die Krümmung der Wellenfronten hat mehrere Ursachen: Das Flugzeug ist keine Punktquelle, die Schallgeschwindigkeit hängt von der Höhe über dem Erdboden ab ( T(h), p(h) ). Gaub WS2014/15 68