1-4

1.4 Rechenregeln mit reellen
Zahlen - Arithmetik
von Prof. Dr. Dr. Heribert Popp,
TH Deggendorf
Gliederung
•
•
•
•
Summenzeichen
Produktzeichen
Binomialkoeffizient und Fakultät
Logarithmus naturalis (ln)
1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen Arithmetik
Die Menge IR der reellen Zahlen ist so konstruiert, dass in ihr die
Ausführungen der vier Grundrechenarten möglich ist.
Für je zwei Zahlen a, b  R ist also auch
Addition
a + b  IR
Subtraktion
a – b  IR
Multiplikation
a * b  IR
Division (für b  0)
a / b  IR
1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen Arithmetik
Regeln bezüglich der Vertauschbarkeit der Zahlen und der
Klammermultiplikation (Assoziativität, Kommutativität, Distributivität) sind
erfüllt.
Gegeben sind die reellen Zahlen a, b, c .
a+b=b+a
a*b=b*a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a * b) * c = a * (b * c)
a+0=a
a + (-a) = 0
a*1=a
a * 1/a = 1 für alle Werte von a außer der Null.
a*0=0
a * (b + c) = a * b + a * c. (Distributivität)
Kap. 1.4 Beispiel
Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig
angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
7b  3c   3a  3a  3c   7b
Kap. 1.4 Aufgabe 1
Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig
angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
7b  3c   3a  3a  3c   7b
[richtig]
7b  3a  3a  7b
Kap. 1.4 Aufgabe 1
Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig
angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
7b  3c   3a  3a  3c   7b
[richtig]
7b  3a  3a  7b
Kap. 1.4 Aufgabe 1
Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig
angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
7b  3c   3a  3a  3c   7b
[richtig]
7b  3a  3a  7b
falsch
3   3  0
Kap. 1.4 Aufgabe 1
Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig
angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
7b  3c   3a  3a  3c   7b
[richtig]
7b  3a  3a  7b
falsch
3   3  0
falsch
3b7a  7   21ab  21b
Kap. 1.4 Aufgabe 1
Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig
angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
7b  3c   3a  3a  3c   7b
[richtig]
7b  3a  3a  7b
falsch
3   3  0
falsch
3b7a  7   21ab  21b
Richtig
1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen
1.4.1 Das Summenzeichen
(1.4.1) Definition
Die Summe der reellen Zahlen am, ..., an kann man
abkürzen in der Form n
a m  a m 1    a n   ai
i m
(sprich: Summe der ai, für i = m bis n).
1.4.1 Das Summenzeichen
(1.4.1) Definition
Die Summe der reellen Zahlen am, ..., an kann man
abkürzen in der Form n
a m  a m 1    a n   ai
i m
(sprich: Summe der ai, für i = m bis n).
Dabei heißen i Laufindex (Summationsindex), m untere
und n obere Summationsgrenze (i, m, n  Z; m  n).
n
Der Ausdruck
a
i m
i
stellt also eine Anweisung dar, die
Summe der Zahlen ai zu bilden, wobei i alle ganzen
n
n
Zahlen von m bis n durchläuft.
Häufig tritt der Spezialfall einer Summe  ai oder  ai
i 1
i 0
auf.
Beispiel
a1=4, a2=7, a3=12, a4=18
4
 ai  a1  a 2  a3  a4  4  7  12  18  41
i 1
Eine größere Bedeutung hat das Summenzeichen, wenn es möglich ist,
die zu summierende Größe ai explizit als eine Funktion des
Summationsindex i darzustellen.
Faustregel:
1. unterscheiden sich die Folgeglieder um gleichen Betrag (habe er den Wert d),
dann ist der Ausdruck etwas mit i*d (wobei i der Laufindex ist), z.B. 2+5+8+11;
hier ist gleiche Differenz 3, also ist Formel 3*i, nun geht es mit Startwert los.
Starte ich mit i=1, so wäre 1*3=3 und 1 zu hoch, also muss ich meinen Ausdruck,
wenn ich mit i=1 starte um 1 reduzieren. Formel lautet Summe I=1 bis 4 von 3*i-1
2. Kann ich Regel 1) nicht anwenden, zerlege ich jeden Summanden um zu
sehen, dass sich die zerlegten Teile je Summand um 1 in den Bestandteilen
erhöhen, z.B. 4+9+16+25
Ich zerlege 2*2+3*3+4*4+5*5
also je Summand werden die zwei Faktoren des Produktes um 1 größer, genau
das mach ja auch der Summationsindex i,
starte ich mit i=2 wäre i*i der erste Summand 2*2 und dann steigt i auf 3 und der
zweite Summand wäre 3*3, so dass ich habe: Summe I=2 bis 5 von i*i
3. Das Vorzeichenalternieren bei den Summanden lässt sich mit (-1)i realisieren
((-1)^1=-1;(-1)^2=1; i(-1)^3=-1; (-1)^4=1), wobei man die Potenz i so variieren
muss (i, i+1), so dass er erste Summand das richtige Vorzeichen hat, z.B. 1,-2,3.4 benötigt (-1)i-1, da erstes positiv sein muss und wenn i bei 1 beginnt muss zwei
als Potenz beim ersten Summanden raus kommen.
Beispiel:
1  2  3   n 
Beispiel:
n
1 2  3  n  i
i 1
Beispiel:
1
1
1



2 3 3 4
10 11
Beispiel:
10
1
1
1
1



2  3 3 4
10  11 i 2 i i  1
Beispiel:
10
1
1
1
1



2  3 3 4
10  11 i 2 i i  1
Hierbei lautet das allgemeine Bildungsgesetz:
.
1
ai 
; i  2, ,10
i i  1
Beispiel:
1  3  5  7   99 
Beispiel:
50
1  3  5  7    99    1
i 1
i 1
2i  1
Beispiel:
50
1  3  5  7    99    1
i 1
2i  1
i 1
Ungerade Zahlen kann man darstellen durch die Formel (2i-1);
einen Vorzeichenwechsel durch die Formel (-1)i+1
Beispiel:
1  4  27  256 
Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h.
zerlegen
4= 2*2
27=3*9=3*3*3
256=16*16=4*4*4*4
Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der
multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also
Beispiel:
1  4  27  256 
Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h.
zerlegen
4= 2*2
27=3*9=3*3*3
256=16*16=4*4*4*4
Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der
multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also
i
i
Beispiel:
1  4  27  256 
4
i
i
i
i 1
i
1.4.1 Das Summenzeichen
Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende
Regeln:
(1.4.2) Satz
4
n
a.
c  n  c
i 1
(c = const);
 5  5  5  5  5  4 * 5  20
i 1
1.4.1 Das Summenzeichen
Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende
Regeln:
(1.4.2) Satz
n
(a)
c  n  c
n
(b)
(c = const);
i 1
 a
i m
i
n
n
i m
i m
 bi    ai   bi ;
Ein Handelsunternehm,en hat 2 Filialen a und b und erzielt dort in einem Jahr
die monatlichen Umsätze von ai und bi (i=1,…,12).
Der gesamte Jahresumsatz berechnet sich aus
12
12
12
 a  b    a   b
i 1
i
i
i 1
i
i 1
i
1.4.1 Das Summenzeichen
Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende
Regeln:
(1.4.2) Satz
n
(a)
c  n  c
n
(b)
 a
i m
i
n
(c)
 ca
i m
n
i m
i m
 bi    ai   bi ;
i
 c  ai
a  a
i
(c  IR);
i m
k
i m
n
n
n
(d)
(c = const);
i 1
i m

i
n
a
i  k 1
i
(m  k  n - 1);
Ein Unternehmen kann seinen jährlichen Gesamtumsatz bestimmen
als Addition der Monatssummen oder Addition der beiden Halbjahre
12
6
12
a  a  a
i 1
i
i 1
i
i  6 1
i
1.4.1 Das Summenzeichen
Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende
Regeln:
(1.4.2) Satz
n
(a)
c  n  c
n
(b)
 a
i m
 ca
i m
i
(e)
a
i
i m
i
i m
i m

(c  IR);
i m
k
n
i m
 c  ai
a  a
i m
n
n
n
(d)
n
 bi    ai   bi ;
i
n
(c)
(c = const);
i 1
i

i mk
a
i  k 1
nk
a
n
i
(m  k  n - 1);
12 6
12
i k
a  a
i 1
i
i 1 6
i 6
Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.
Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE)
pro Monat sei gegeben.
Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.
Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE)
pro Monat sei gegeben.
Jan
Rohstoff 1
Rohstoff 2
a1 1
a2 1
Feb
a1 2
Mrz
..
Apr
Mai
Jun
Jul
Aug
Sep
Okt
Nov
Dez
a1 12
Rohstoff 3 :
Rohstoff 4 :
Rohstoff 5
Rohstoff 6
Rohstoff 7
Rohstoff 8
a8 1
a8 12
8

i  1
8
a
i1

i1
a i 12
Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.
Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE)
pro Monat sei gegeben.
Jan
Feb
Mrz
Apr
Mai
Jun
Jul
Aug
Sep
Okt
Nov
Dez
12
Rohstoff 1
Rohstoff 2
a1 1
a2 1
a1 2
..
a1 12
a
1j
j 1
Rohstoff 3 :
Rohstoff 4 :
Rohstoff 5
Rohstoff 6
Rohstoff 7
Rohstoff 8
12
a8 1
a8 12

i  1
j1
8
8
a
i1

i1

a i 12
a
8 j
Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.
Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE)
pro Monat sei gegeben.
Jan
Feb
Mrz
Apr
Mai
Jun
Jul
Aug
Sep
Okt
Nov
Dez
12
Rohstoff 1
Rohstoff 2
a1 1
a2 1
a1 2
..
a1 12

a1 j
j 1
Rohstoff 3 :
Rohstoff 4 :
Rohstoff 5
Rohstoff 6
Rohstoff 7
Rohstoff 8
12
a8 1
a8 12

a
8 j
j1
8

i  1
8
a
i1

i1
8
a i 12
12
 
i1
j1
a
ij
Beispiel Doppelsumme
Berechnen Sie die Doppelsummen:
2
1
 (6i  3ij )
i 1 j 0
Beispiel Doppelsumme
Berechnen Sie die Doppelsummen:
2
1
 (6i  3ij )
i 1 j 0
i=1 (j=0,1): 6*1+3*1*0+
6*1+3*1*1
Beispiel Doppelsumme
Berechnen Sie die Doppelsummen:
2
1
 (6i  3ij )
i 1 j 0
i=1 (j=0,1): 6*1+3*1*0+
6*1+3*1*1+
i=2 (j=0,1): 6*2+3*2*0+
6*2+3*2*1=
6+0 +6 +3+12+0+12+6 =45
1.4.1 Das Summenzeichen
(1.4.3) Definition
Gegeben seien die Zahlen a11, ..., amn  IR. Dann
bezeichnet man die folgende Summe die Doppelsumme:
m
n
 a
i 1 j 1
ij
n
n
j 1
j 1
  a1 j     amj  a11   a1n     am1   amn 
Für Doppelsummen sind die zu Satz (1.4.2) analogen
Rechenregeln erfüllt. Dabei gilt insbesondere:
m
n
n
m
 a   a
i 1 j 1
ij
j 1 i 1
ij
es ist also gleichgültig, ob zuerst über die Indices i oder j
summiert wird.
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.4) Definition
Das Produkt der reellen Zahlen am, ..., an kann man
abkürzen in der Form
n
a m  a m1    a n   ai
i m
(sprich: Produkt der ai, für i = m bis n).
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.4) Definition
Das Produkt der reellen Zahlen am, ..., an kann man
abkürzen in der Form
n
a m  a m1    a n   ai
i m
(sprich: Produkt der ai, für i = m bis n).
n
Einen wichtigen Spezialfall stellt das Produkt a   a
i 1
(für n  N und a0 = 1) dar.
n
Für eine beliebige reelle Zahl bezeichnen wir an als die
n-te Potenz von a. Dabei heißt a Basis und die Hochzahl n
Exponent.
Beispiel Produktzeichen
Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens
1 1 1 1
1* * * *
8 27 64 125
Beispiel Produktzeichen
Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens
1 1 1 1
1* * * *
8 27 64 125
Faktoren (Nenner) unterscheiden sich nicht um gleichen
Betrag, also Regel 2 anwenden: zerlegen
8=2*2*2
27= 3*3*3
64=4*4*4
Formel lautet i^3
Beispiel Produktzeichen
Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens
1 1 1 1
1* * * *

8 27 64 125
5
1

3
i
i 1
Faktoren (Nenner) unterscheiden sich nicht um gleichen
Betrag, also Regel 2 anwenden: zerlegen
8=2*2*2
27= 3*3*3
64=4*4*4
Formel lautet i^3
Rechenregeln

𝑎⋅
1
𝑎
= 1für alle beliebigen Werte von 𝑎 außer der Null. Wir
1
nennen 𝑎 den Kehrwert von 𝑎.

Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie
wenn sie in Klammern stünden.

Zwei Brüche 𝑏 und 𝑦 𝑏, 𝑦 ≠ 0 werden multipliziert, indem
𝑎
𝑥
man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander
multipliziert:
𝑎 𝑥 𝑎 ⋅ 𝑥
⋅ =
𝑏 𝑦 𝑏 ⋅ 𝑦

𝑥
𝑦
Der Kehrwert eines Bruchs 𝑦 ist der Bruch 𝑥 .
Rechenregeln
Beispiel 1:
33
3
Rechenregeln
Beispiel 1:
33 6

3
3
3
nicht  3
3
Rechenregeln

𝑎⋅
1
𝑎
= 1für alle beliebigen Werte von 𝑎 außer der Null. Wir
1
nennen 𝑎 den Kehrwert von 𝑎.

Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie
wenn sie in Klammern stünden.

Zwei Brüche 𝑏 und 𝑦 𝑏, 𝑦 ≠ 0 werden multipliziert, indem
𝑎
𝑥
man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander
multipliziert:
𝑎 𝑥 𝑎 ⋅ 𝑥
⋅ =
𝑏 𝑦 𝑏 ⋅ 𝑦

𝑥
𝑦
Der Kehrwert eines Bruchs 𝑦 ist der Bruch 𝑥 .
Rechenregeln
Beispiel 2:
3 7
 
4 8
Rechenregeln
Beispiel 2:
3 7 21
 
4 8 32
Rechenregeln

𝑎⋅
1
𝑎
= 1für alle beliebigen Werte von 𝑎 außer der Null. Wir
1
nennen 𝑎 den Kehrwert von 𝑎.

Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie
wenn sie in Klammern stünden.

Zwei Brüche 𝑏 und 𝑦 𝑏, 𝑦 ≠ 0 werden multipliziert, indem
𝑎
𝑥
man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander
multipliziert:
𝑎 𝑥 𝑎 ⋅ 𝑥
⋅ =
𝑏 𝑦 𝑏 ⋅ 𝑦

𝑥
𝑦
Der Kehrwert eines Bruchs 𝑦 ist der Bruch 𝑥 .
Rechenregeln
𝑎
𝑏
𝑥
𝑦
•
Zwei Brüche und
•
dem Kehrwert des Nennerbruchs 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ2 multipliziert:
𝑎
𝑏 =𝑎⋅𝑦 .
𝑥
𝑏 𝑥
𝑦
𝑥
𝑥
𝑐⋅𝑎
Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes 𝑐 so umformen, dass man =
erhält, kann
•
•
•
𝑏, 𝑦 ≠ 0 werden dividiert, indem man den Zählerbruch 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ1 mit
𝑦
𝑎
.
𝑏
𝑦
𝑐⋅𝑏
man den Bruch mit 𝑐 kürzen und erhält Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert.
𝑏, 𝑦, 𝑐 ≠ 0 𝑢𝑛𝑑 𝑐 ≠ 1 . Es gilt dann also
𝑥 𝑐⋅𝑎 𝑎
=
= .
𝑦 𝑐⋅𝑏 𝑏
Brüche werden so addiert:
1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so
umgeformt, dass sie den gleichen Nenner 𝑁 𝑁 ≠ 0 haben.
2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe 𝑍.
3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe 𝑍 und im Nenner der gleichnamige Ausdruck 𝑁:
𝑍
.
𝑁
Eine Potenz ist ein Term, der in der Form 𝑥 𝑎 dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen
größer als 0 und a beliebig sind.
Bei ungeradzahligem𝑛 𝑛 ∈ ℕ kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen
werden
Rechenregeln
Beispiel 3:
1
2
3
7
Rechenregeln
Beispiel 3:
1
2  17  7
3 2 3 6
7
Rechenregeln
𝑎
𝑏
𝑥
𝑦
•
Zwei Brüche und
•
dem Kehrwert des Nennerbruchs 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ2 multipliziert:
𝑎
𝑏 =𝑎⋅𝑦 .
𝑥
𝑏 𝑥
𝑦
𝑥
𝑥
𝑐⋅𝑎
Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes 𝑐 so umformen, dass man =
erhält, kann
•
•
•
𝑏, 𝑦 ≠ 0 werden dividiert, indem man den Zählerbruch 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ1 mit
𝑦
𝑎
.
𝑏
𝑦
𝑐⋅𝑏
man den Bruch mit 𝑐 kürzen und erhält Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert.
𝑏, 𝑦, 𝑐 ≠ 0 𝑢𝑛𝑑 𝑐 ≠ 1 . Es gilt dann also
𝑥 𝑐⋅𝑎 𝑎
=
= .
𝑦 𝑐⋅𝑏 𝑏
Brüche werden so addiert:
1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so
umgeformt, dass sie den gleichen Nenner 𝑁 𝑁 ≠ 0 haben.
2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe 𝑍.
3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe 𝑍 und im Nenner der gleichnamige Ausdruck 𝑁:
𝑍
.
𝑁
Eine Potenz ist ein Term, der in der Form 𝑥 𝑎 dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen
größer als 0 und a beliebig sind.
Bei ungeradzahligem𝑛 𝑛 ∈ ℕ kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen
werden
Rechenregeln
Beispiel 4:
12

16
Rechenregeln
Beispiel 4:
12 4  3 3


16 4  4 4
Rechenregeln
𝑎
𝑏
𝑥
𝑦
•
Zwei Brüche und
•
dem Kehrwert des Nennerbruchs 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ2 multipliziert:
𝑎
𝑏 =𝑎⋅𝑦 .
𝑥
𝑏 𝑥
𝑦
𝑥
𝑥
𝑐⋅𝑎
Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes 𝑐 so umformen, dass man =
erhält, kann
•
•
•
𝑏, 𝑦 ≠ 0 werden dividiert, indem man den Zählerbruch 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ1 mit
𝑦
𝑎
.
𝑏
𝑦
𝑐⋅𝑏
man den Bruch mit 𝑐 kürzen und erhält Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert.
𝑏, 𝑦, 𝑐 ≠ 0 𝑢𝑛𝑑 𝑐 ≠ 1 . Es gilt dann also
𝑥 𝑐⋅𝑎 𝑎
=
= .
𝑦 𝑐⋅𝑏 𝑏
Brüche werden so addiert:
1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so
umgeformt, dass sie den gleichen Nenner 𝑁 𝑁 ≠ 0 haben.
2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe 𝑍.
3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe 𝑍 und im Nenner der gleichnamige Ausdruck 𝑁:
𝑍
.
𝑁
Eine Potenz ist ein Term, der in der Form 𝑥 𝑎 dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen
größer als 0 und a beliebig sind.
Bei ungeradzahligem𝑛 𝑛 ∈ ℕ kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen
werden
Rechenregeln
Beispiel 5:
4 7
 
6 9
Rechenregeln
Beispiel 5:
4 7 6 7 13
   
6 9 9 9 9
Rechenregeln
𝑎
𝑏
𝑥
𝑦
•
Zwei Brüche und
•
dem Kehrwert des Nennerbruchs 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ2 multipliziert:
𝑎
𝑏 =𝑎⋅𝑦 .
𝑥
𝑏 𝑥
𝑦
𝑥
𝑥
𝑐⋅𝑎
Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes 𝑐 so umformen, dass man =
erhält, kann
•
•
•
𝑏, 𝑦 ≠ 0 werden dividiert, indem man den Zählerbruch 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ1 mit
𝑦
𝑎
.
𝑏
𝑦
𝑐⋅𝑏
man den Bruch mit 𝑐 kürzen und erhält Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert.
𝑏, 𝑦, 𝑐 ≠ 0 𝑢𝑛𝑑 𝑐 ≠ 1 . Es gilt dann also
𝑥 𝑐⋅𝑎 𝑎
=
= .
𝑦 𝑐⋅𝑏 𝑏
Brüche werden so addiert:
1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so
umgeformt, dass sie den gleichen Nenner 𝑁 𝑁 ≠ 0 haben.
2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe 𝑍.
3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe 𝑍 und im Nenner der gleichnamige Ausdruck 𝑁:
𝑍
.
𝑁
Eine Potenz ist ein Term, der in der Form 𝑥 𝑎 dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen
größer als 0 und a beliebig sind.
Bei ungeradzahligem𝑛 𝑛 ∈ ℕ kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen
werden
Rechenregeln
Beispiel 6:
1 1 1 1
   
5 5 5 5
Rechenregeln
Beispiel 6:
1 1 1 1 1
   ( )
5 5 5 5
5
4
Rechenregeln
𝑎
𝑏
𝑥
𝑦
•
Zwei Brüche und
•
dem Kehrwert des Nennerbruchs 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ2 multipliziert:
𝑎
𝑏 =𝑎⋅𝑦 .
𝑥
𝑏 𝑥
𝑦
𝑥
𝑥
𝑐⋅𝑎
Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes 𝑐 so umformen, dass man =
erhält, kann
•
•
•
𝑏, 𝑦 ≠ 0 werden dividiert, indem man den Zählerbruch 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ1 mit
𝑦
𝑎
.
𝑏
𝑦
𝑐⋅𝑏
man den Bruch mit 𝑐 kürzen und erhält Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert.
𝑏, 𝑦, 𝑐 ≠ 0 𝑢𝑛𝑑 𝑐 ≠ 1 . Es gilt dann also
𝑥 𝑐⋅𝑎 𝑎
=
= .
𝑦 𝑐⋅𝑏 𝑏
Brüche werden so addiert:
1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so
umgeformt, dass sie den gleichen Nenner 𝑁 𝑁 ≠ 0 haben.
2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe 𝑍.
3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe 𝑍 und im Nenner der gleichnamige Ausdruck 𝑁:
𝑍
.
𝑁
Eine Potenz ist ein Term, der in der Form 𝑥 𝑎 dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen
größer als 0 und a beliebig sind.
Bei ungeradzahligem𝑛 𝑛 ∈ ℕ kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen
werden
Rechenregeln
Beispiel 7:
3
8 
Rechenregeln
Beispiel 7:
3
 8  2
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:
(a)
an * am = an+m;
23*24= 8*16=128
23+4= 27=128
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:
(a)
an * am = an+m;
(b)
(an)m = an*m;
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:
(a)
(b)
an * am = an+m;
(an)m = an*m;
(23)4=
212=
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:
(a)
(b)
an * am = an+m;
(an)m = an*m;
(23)4=84=4096
212=4096
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:
(a)
an * am = an+m;
(b)
(an)m = an*m;
(c)
1
m

a
am
für a  0;
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:
(a)
an * am = an+m;
(b)
(an)m = an*m;
(c)
1
m

a
am
(d)
an
n m

a
am
für a  0;
für a  0;
23/24=8/16=1/2
23-4=1/2
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:
(a)
an * am = an+m;
(b)
(an)m = an*m;
(c)
1
m

a
am
für a  0;
an
n m

a
am
für a  0;
(d)
(e)
anbn
=
(ab)n.
22*32=
(2*3)2=
23/24=8/16=1/2
23-4=1/2
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:
(a)
an * am = an+m;
(b)
(an)m = an*m;
(c)
1
m

a
am
für a  0;
an
n m

a
am
für a  0;
(d)
(e)
anbn
(f) a
=
m/n = n
(ab)n
a
m
23/24=8/16=1/2
23-4=1/2
22*32=4*9= 36
(2*3)2=62=36
1
2
5  2 5 5
Quadratische Gleichung
• ax² + bx + c = 0
mit a, b, c  IR und a  0
• Es gibt hierbei zwei Lösungen x1 und x2 falls
• b² - 4ac  0
x1,2
 b  b 2  4ac

2a
Im Falle von b² - 4ac < 0 existiert
keine reellwertige Lösung.
Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung:
x1,2
x² - 4x + 3 = 0

x1, 2
 b  b 2  4ac

2a
4  16  12 4  2


 x1  3, x 2  1
2
2
1.4.3 Binomkialkoeffizient und
Fakultät
(1.4.6) Definition
Seien n, k  N  {0} mit k  n. Dann setzen wir
n
(a) n!  i  1  2  3    n und 0! = 1
i 1
(sprich: n- Fakultät);
n! ist die Anzahl der möglichen Anordnungen
1.4.3 Binomkialkoeffizient und
Fakultät
(1.4.6) Definition
Seien n, k  N  {0} mit k  n. Dann setzen wir
n
(a) n!  i  1  2  3    n und 0! = 1
i 1
(sprich: n- Fakultät);
 n  nn  1    n  k  1
n!




(b)  
n  k ! k!
1 2  k
k 
(sprich: n über k).
n
 
Man bezeichnet  k  als Binomialkoeffizienten.
Binomialkoeffizient n über k ist Anzahl der k-elementigen
Teilmengen aus einer n-elementigen Menge.
Beispiele
0! =
1! =
2! =
3! =
4! =
71!=
Beispiele
0! = 1
1! =
2! =
3! =
4! =
71!=
Beispiele
0! = 1
1! = 1
2! =
3! =
4! =
71!=
Beispiele
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! =
4! =
71!=
Beispiele
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! =
71!=
Beispiele
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
71!=
Beispiele
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
71!= am Taschenrechner nicht rechenbar
(69! ist die letzte rechenbare Zahl).
Beispiele:
 2
  
0
6
  
 4
Beispiele:
 2  2!
  
1
 0  2!0!
Beispiele:
 2  2!
  
1
 0  2!0!
 6  6! 1  2  3  4  5  6
  

 15
 4  2!4! 1  2 1  2  3  4
1.4.3 Binomkialkoeffizient und
Fakultät
(1.4.7) Satz
Für die Zahlen n, k  N mit k  n gilt:
1. (n + 1)! = (n + 1) * n!
n
n
2.    1,    n
0
1
n  n 
3.    

k  n  k 
 4! = 4*3!
Beispiel:
Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:
(1  n)!
n(n  1)
Beispiel:
Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:
(1  n)!
n(n  1)
(1  n)! (1  n)n!

n(n  1) n(n  1)
Beispiel:
Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:
(1  n)!
n(n  1)
(1  n)! (1  n)n!

n(n  1) n(n  1)
(1  n)! (1  n)n! (1  n)n(n  1)!


n(n  1) n(n  1)
n(n  1)
Beispiel:
Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:
(1  n)!
n(n  1)
(1  n)! (1  n)n!

n(n  1) n(n  1)
(1  n)! (1  n)n! (1  n)n(n  1)!


n(n  1) n(n  1)
n(n  1)
(1  n)! (1  n)n! (1  n)n(n  1)!


 (n  1)!
n(n  1) n(n  1)
n(n  1)
1.4.3 Binomkialkoeffizient und
Fakultät
(1.4.8) Satz
Seien a, b  IR und n  N. Dann gilt:
 n  n 1  n  n 2 2
 n  n 1
a  b   a   a b   a b    
ab  b n
1
2
 n  1
n
 n  n k k
   a b
k 0  k 
n
n
Beispiel
 3  3 k k
(a  b)    a  b
k 0  k 
3
3
Beispiel
 3  3 k k
(a  b)    a  b
k 0  k 
3
3
 3 3 0
  a  b 
 0
Beispiel
 3  3 k k
(a  b)    a  b
k 0  k 
3
3
 3  3 0  3 2 1
  a  b   a  b 
0
1
Beispiel
 3  3 k k
(a  b)    a  b
k 0  k 
3
3
 3  3 0  3 2 1  3  1 2  3 0 3
  a  b   a  b   a  b   a  b
 0
1
 2
 3
Beispiel
 3  3 k k
(a  b)    a  b
k 0  k 
3
3
 3  3 0  3 2 1  3  1 2  3 0 3
  a  b   a  b   a  b   a  b
 0
1
 2
 3
 a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
• Logarithmen sind in der Wissenschaft ein unverzichtbares
Werkzeug, denn damit können beispielsweise sehr komplizierte
Formeln in einfachere Ausdrücke überführt werden.
• Einführungsbeispiel:
• Betrachten wir die Gleichung 5𝑥 = 125. Wir suchen den Wert x der
die Gleichung löst. Salopp könnte man das schreiben als 5? = 125.
• Die kleine Kopfrechnung 1 ⋅ 5 = 5; 5 ⋅ 5 = 25; 5 ⋅ 5 ⋅ 5 =
125verrät uns, dass 53 = 125ist. Wir können die Lösung so
hinschreiben log 5 125 = 3und so sprechen: „Der Logarithmus zur
Basis 5 von 125 ist 3“.
• Es sind die beiden Aussagen 53 = 125 und log 5 125 = 3 äquivalent,
was „gleichwertig“ heißt.
• „Der Logarithmus zur Basis a von x ist y.“
• Der Logarithmus gibt an, welche Potenz x die Gleichung 𝑎 𝑥 = 𝑦
ergibt: 𝑎? = 𝑦.
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
• Beispiele:
• 4? = 64 → 43 = 64 also log 4 64 = 3
• Spezieller Logarithmus zur Basis e, wobei diese die eulersche
Zahl 𝑒 ≈ 2,72ist.
• 𝑦 = 𝑒 𝑥 ⇔ log 𝑒 𝑦 = 𝑥.=ln y
• Wir nennen ihn den natürlichen Logarithmus. Seine
Kurzschreibweise ist lny.
• Die Bezeichnung natürlich hat sich eingebürgert, weil dieser
Logarithmus - wie die Basis e - sehr einfach in der Anwendung ist.
So findet er ähnliche Anwendungen wie e, beispielsweise bei
Wachstumsprozessen. Allerdings kann man hier nicht ohne
Taschenrechner auf das zugrunde liegende y schließen.
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
• Rechenregeln für Logarithmen
Die Rechenregeln gelten für alle Basen e.
•
Der Logarithmus von y ist nur für Werte y>0 definiert.
•
ln 1=0
•
ln (y*z)=ln y + ln z
Wir interessieren uns für ln(5 ⋅ 30 . Es ist ln(5 ⋅ 30 = ln150 = 5,01 oder aber mit
ln5 = 1,61und ln30 = 3,40:
•
ln(5 ⋅ 30 = ln5 + ln30 = 1,61 + 3,40 = 5,01.
ln(y/x) = ln(y)- ln(x)
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
• Beispiel:
Wir interessieren uns für ln(528/22). Es ist ln(528/22)=ln(24)=3,178.
ln(528/22)=ln 528-ln 22=6,27-3,09=3,178
ln (1/y)= -ln y
ln zb= b ln z
• Beispiel:
ln 153=ln 3375 = 3,5283
3 ln 15=3*1,1761=3,5283
Eine Rechenregel, die einem das Auflösen von Gleichungen sehr erleichtern kann,
ist
ln ex =x
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
• Beispiele:
1. ln𝑒 20 = 20.
2
2. elnx = x 2 .
3.
4.
𝑒𝑥
ln 𝑦 = ln𝑒 𝑥
𝑒
ln(𝑒 2𝑥 ⋅ 𝑒 11
− ln𝑒 𝑦 = 𝑥 − 𝑦.
= ln𝑒 2𝑥 + ln𝑒11 = 2𝑥 + 11.
1
5. Wir wollen ln(𝑒 3 ⋅ 5 − 3ln𝑒 4−3 ⋅ ln 𝑥−3 vereinfachen und gehen in
𝑒
mehreren Schritten vor:
1
ln(𝑒 3 ⋅ 5 − 3ln𝑒 4−3 ⋅ ln 𝑥−3 = ln𝑒 3 + ln5 − 3ln𝑒 1 ⋅ ln𝑒 −(𝑥−3
𝑒
1
= 3ln𝑒 + ln5 − 3ln𝑒 ⋅ (−(𝑥 − 3 ln𝑒1 = 3 + ln5 − 3 ⋅ (−(𝑥 − 3
= 3 + ln5 − 3 ⋅ (−𝑥 + 3 = 3 + ln5 + 3𝑥 − 9
= 3𝑥 + ln5 − 6 = 3𝑥 + 1,61 − 6 = 3𝑥 − 4,39.
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
Wir beachten: Der Ausdruck ln𝑒bedeutet nichtln*e, sondern er
bedeutet ln(e), also der Logarithmus von e.
Zusammenfassend können wir feststellen, dass die Rechenregeln für
Logarithmen dem Umgang mit Potenzen entsprechen. Logarithmen
können nur die oben beschriebenen Regeln. Ausdrücke wie ln(x+y)
dürfen daher nicht weiter zerlegt werden - auch, wenn uns das
manchmal unbefriedigend erscheint.
ln(x+y)<>ln(x)+ln(y)
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) Definition
Gegeben seien n Elemente.
Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser n
Elemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) Definition
Gegeben seien n Elemente.
Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser n
Elemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.
Beispiel: drei Elemente a,b,c
abc,bac,cab,acb,bca,cba
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) Definition
Gegeben seien n Elemente.
Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser n
Elemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.
(1.4.10) Satz
(a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der
Permutationen n!
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) Definition
Gegeben seien n Elemente.
Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser n
Elemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.
(1.4.10) Satz
(a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der
Permutationen n!
Beispiel: Elemente a,b,a; zwei Gruppen a (n1=2), b (n1=1)
aab,aba,baa
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) Definition
Gegeben seien n Elemente.
Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser n
Elemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.
(1.4.10) Satz
(a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der
Permutationen n!
(b) Für n Elemente, die aus r Gruppen zu je n1, ..., nr
(n = n1+ ...+ nr) gleichen Elementen bestehen, beträgt
die Anzahl der Permutationen
n!
n1!n2 !  n r !
Auf einer Maschine sollen 8 verschiedene Einzelteile
angefertigt werden. Dabei muss vor der Herstellung jedes
Einzelteils die Maschine neu eingestellt werden.
Auf einer Maschine sollen 8 verschiedene Einzelteile
angefertigt werden. Dabei muss vor der Herstellung jedes
Einzelteils die Maschine neu eingestellt werden.
8! =
Auf einer Maschine sollen 8 verschiedene Einzelteile
angefertigt werden. Dabei muss vor der Herstellung jedes
Einzelteils die Maschine neu eingestellt werden.
8! = 40.320
Es ergeben sich somit 40.320 unterschiedliche
Reihenfolgen für die Durchführung der Produktion.
Aus 3 Wagen 1. Klasse, 5 Wagen 2. Klasse und 2 Schlafwagen
soll ein Zug von 10 Wagen zusammengestellt werden.
Aus 3 Wagen 1. Klasse, 5 Wagen 2. Klasse und 2 Schlafwagen
soll ein Zug von 10 Wagen zusammengestellt werden.
Es gibt hierbei also Gruppen von je 3, 5 und 2 gleichen Wagen,
so dass sich insgesamt
10!
 2520
3!5!2!
verschiedene Arten der Zusammenstellung ergeben.
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.11) Definition
Jede Zusammenstellung von k Elementen aus n
gegebenen Elementen bezeichnet man als eine
Kombination der k- ten Ordnung.
Die Anzahl der Kombinationen hängt natürlich davon ab,
ob es auf die Reihenfolge der Elemente ankommt oder ob
alle Elemente verschieden sein müssen.
(1.4.12) Definition (Mit Berücksichtigung der Anordnung
und ohne Wiederholung)
Gegeben seien n verschiedene Elemente. Dann beträgt
die Anzahl der Kombinationen k- ter Ordnung mit
Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung:
n
n!
  k!
n*(n -1)*(n - 2)* ... * (n - k + 1) = n  k !
k 
Ein 20-köpfiger Aufsichtsrat bestimmt aus seiner Mitte einen
Vorsitzenden und seinen Stellvertreter.
Ein 20-köpfiger Aufsichtsrat bestimmt aus seiner Mitte einen
Vorsitzenden und seinen Stellvertreter.
Da es hierbei auf die Reihenfolge ankommt und kein Mitglied
beide Funktionen gleichzeitig ausüben kann, gibt es
20!
20!

 19  20  380
20  2! 18!
verschiedene Besetzungsmöglichkeiten.
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.13) Satz (ohne Berücksichtigung der Anordnung und
ohne Wiederholung)
Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der
Kombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der
Anordnung und ohne Wiederholung  n  .
 
k 
Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6
anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig
ist.
Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6
anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig
ist.
Es gibt deshalb dafür
 49 
 
6
Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6
anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig
ist.
Es gibt deshalb dafür
 49 
 
6
=13.983.816 Möglichkeiten.
Will man dagegen 3 Zahlen ankreuzen, so beträgt die Anzahl
der Möglichkeiten nur
 49 
 
3
Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6
anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig
ist.
Es gibt deshalb dafür
 49 
 
6
=13.983.816 Möglichkeiten.
Will man dagegen 3 Zahlen ankreuzen, so beträgt die Anzahl
der Möglichkeiten nur
 49 
 
3
=18.424.
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.13) Satz (Mit Berücksichtigung der Anordnung und
ohne Wiederholung)
Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der
Kombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der
Anordnung und ohne Wiederholung  n .
k 
 
(1.4.14) Satz (Mit Berücksichtigung der Anordnung und
Wiederholung)
Gegeben seien n verschiedene Elemente. Dann beträgt die
Anzahl der Kombinationen k- ter Ordnung mit
Berücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholungen nk.
(1.4.15) Satz (ohne Berücksichtigung der Anordnung und
mit Wiederholung)
 n  k  1
Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der


Kombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der k 
Anordnung und mit Wiederholung
.
Bei der Beurteilung der Klangqualität von 10 Lautsprecher-Boxen
verschiedener Hersteller wird so verfahren, dass die Tester
jeweils einen Hörvergleich zwischen 2 Boxen-Paaren
vornehmen. Um die Objektivität der Tester zu überprüfen, soll
auch jeweils ein Hörvergleich zwischen zwei Boxen-Paaren des
gleichen Fabrikats stattfinden.
Bei der Beurteilung der Klangqualität von 10 Lautsprecher-Boxen
verschiedener Hersteller wird so verfahren, dass die Tester
jeweils einen Hörvergleich zwischen 2 Boxen-Paaren
vornehmen. Um die Objektivität der Tester zu überprüfen, soll
auch jeweils ein Hörvergleich zwischen zwei Boxen-Paaren des
gleichen Fabrikats stattfinden.
Da es hierbei nicht auf die Reihenfolge ankommt und
Wiederholungen zugelassen sind, muss jeder Tester insgesamt
10  2  1 11

     55
2

 2
Hörvergleiche durchführen.