x + 2

Quadratische Funktion
1. Normalparabel
2. Streckung und Stauchung
3. Scheitelform
4. Allgemeine Funktionsgleichung
5. Graphische Darstellung
6. Quadratische Gleichungungen
7. Anwendungsbeispiele
1. Vom springenden Ball zur Normalparabel
Wertetabelle:
Parabelspiegelung am Ursprung:
x
-2
-1
0
1
2
x
-2
-1
0
1
2
y
4
1
0
1
4
y
-4
-1
0
-1
-4
Gleichung der Normalparabel:
y = x2
Parabelgleichung:
y = -x2
2. Streckung und Stauchung der Normalparabel y = x2
Streckung (k=2)
Streckung (k=-2)
Parabelgleichung: y = ½ x2
Parabelgleichung: y = -½ x2
Stauchung (k=½)
Stauchung (k=-½)
Parabelgleichung: y = 2 x2
Allgemein:
Normalparabel:
Streckung k:
Parabelgleichung:
Parabelgleichung: y = -2 x2
x
kx
x
→
→
→
x2
kx2 = 1/k (kx)2
1/k·x2
Eine Streckung (bzw. Stauchung) der Normalparabel bezüglich Koordinatenursprung mit
dem Faktor k führt zur Parabel mit der Zuordnungsgleichung y = 1/k · x2
3. Scheitelform der Parabelgleichung
Verschiebung in x-Richtung
Normalparabel y = x2
y = (x –u)2
Verschiebung in y-Richtung
Allgemein:
Verschiebung um den
Verschiebungsvektor
( u)
v
y = x2 + v
y = (x –u)2 + v
Allgemeine Scheitelform: y = a·(x – u)2 + v mit Scheitelpunkt S = (u/v)
a: reziprokes Streckungs-, bzw. Stauchungsmass
4. Allgemeine Funktionsgleichung
4.1 Von der Scheitelform zur allgemeinen Form
Scheitelform: y = a(x – u)2 + v = a·x2 – 2au·x + a·u2 + v
Allgemeine Form: y = a·x2 + b·x + c
; mit b = -2au und c = a·u2 + v
Da es sich um eine quadratische Zuordnung handelt, definiert die Gleichung
y = f(x) = a·x2 + b·x + c die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion f
mit einer Parabel als Graphen dieser Funktion.
4.2 Quadratische Ergänzung
Algebraisches Verfahren zur Umformung quadratischer Terme auf der Basis
der binomischen Grundformeln (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2.
Ziel:
Umformung der allgemeinen Parabelform y = ax2 + bx + c in die
Scheitelform y = a(x – u)2 + v.
x2 + 4x + 22 – 22 = (x + 2)2 – 4
Bsp. 1:
x2 + 4x = x2 + 4x + ? =
Bsp. 2:
2x2 - 6x = 2(x2 – 3x + ? ) =
2(x – 3x + 1.52 – 1.52) =
2(x – 1.5)2 – 4.5
allgemein: ax2 + bx = a(x2 + b/a·x + ? ) = a(x2 + b/a·x +(b/2a)2 – (b/2a)2)
a(x + b/2a)2 – a·(b/2a)2) = a(x + b/2a)2 – b2/4a
4.3 Von der allgemeine Form zur Scheitelform mittels quadratischer Ergänzung
y = a·x2 + b·x + c = a(x2 + b/a·x + ?) + c = a(x2 + b/a·x +(b/2a)2 – (b/2a)2) + c
= a(x + b/2a)2 – a·(b/2a)2 + c) = a(x + b/2a)2 – b2/4a + c = a(x – u)2 + v ;
mit u = -b/2a und v = (-b2 + 4ac)/4a ; mit Scheitelpunkt S = (u/v).
5. Graphische Darstellung
5.1 Von der allgemeinen Funktionsgleichung zum Graphen
Bsp: y = ½x2 – 2x + 1
(1)
Umformen in Scheitelform:
y = ½(x2 – 4x + 22 – 22) + 1 = ½(x – 2)2 – 1
Scheitelpunkt S = (2 / -1) einzeichnen
(3)
Formzahl a = ½ von S aus eintragen, ergibt
Parabelpunkte P1 = (3 / -½) und P2 = (1 / -½)
(4)
P‘
P
(2)
P2
Schnittpunkt P = (0 / 1) mit y-Achse (x = 0) eintragen
(P‘ symmetrisch bezüglich Scheitelgerade x = 2)
P1
S
5.2 Vom Graphen zur allgemeinen Funktionsgleichung
S +1
(1)
Scheitelform bestimmen:
S = (-1 / 3) → y = a·(x + 1)2 + 3
-2
Formzahl a aus P = (0/1): a = -2
P
(2)
Umformen in allgemeine Form:
y = -2(x + 1)2 + 3 = -2x2 – 4x + 1
6. Quadratische Gleichungen
6.1 Nullstellen einer quadratischen Funktion
Bsp: y = f(x) = 1/2x2 – x – 3/2
Die beiden Lösungen x1 und x2 der quadratischen Gleichung
0 = 1/2x2 – x – 3/2 werden durch die beiden Schnittstellen des Graphen mit
der x-Achse (y = 0) veranschaulicht (sog. Nullstellen der quadr. Funktion).
Lösungsformel:
x1
1 æ 3ö
-(-1) ± (-1)2 - 4· ·ç - ÷
2 è 2 ø 1± 2
x1,2 =
=
1
1
2·
2
Lösungen: x1 = -1 ; x2 = 3
Mittels der beiden Lösungen lässt sich die Funktionsgleichung in eine lineare Produktform zerlegen:
y = f(x) = 1/2x2 – x – 3/2 = ½(x2 – 2x – 3) = ½(x + 1)(x - 3)
6.2 Anzahl Lösungen einer quadratischen Gleichung
Massgebend für die Anzahl Lösungen einer quadratischen Gleichung ist die
Diskriminante D (Wurzelausdruck) der Lösungsformel: D = b2 – 4ac
D > 0:
2 Lösungen
D = 0:
1 Lösung (2 identische Lösungen)
D < 0:
keine Lösung
x2
7. Anwendungsbeispiele
7.1 Wurfparabel
7.2 Extremalwertbeispiel
Die folgende Extremalwertaufgabe führt auf eine quadratische Funktionen, deren Graph eine Parabel ist.
Da die Funktionswerte jeweils im Scheitelpunkt ihren grössten oder kleinsten Wert (Maximum oder
Minimum) annehmen, geht es also darum, den Scheitelpunkt dieser quadratischen Funktion zu finden.
Bsp: Längs einer Lärmschutzwand soll ein möglichst
grosses, rechteckiges Spielfeld abgesteckt werden.
Zur Verfügung stehe Zaunmaterial von 30 m Länge.
x
Wie müssen Länge und Breite des Spielfeldes
gewählt werden, damit der Flächeninhalt maximal wird ?
Lösung:
x
30 - 2x
Rechteckseiten: Breite: x ; Länge: 30 – 2x
Flächeninhalt: A(x) = x·(30 – 2x) = -2x2 + 30x
Scheitelform: A(x) = -2(x2 – 15x + 7.52 – 7.52) = -2(x – 7.5)2 + 112.5
Scheitelpunkt: S = (7.5 / 112.5) mit Maximum bei x = 7.5
Lösung: Länge: 15 m ; Breite: 7.5 m ; Flächeninhalt: 112.5 m2