Quadratische Gleichungen - der Abendrealschule in Bocholt und

Quadratische Funktionen
und Gleichungen
Eine Zusammenfassung
und Wiederholung
Fassung: 16/05/16
„Wir“ erinnern uns?!
Quadratische Beziehungen und Parabeln sind keine Erfindungen
von Mathematikern oder Lehrern, sondern …
… kommen im Alltagsleben vor.
Übersicht
Köln-Arena
Parabolantenne
Sidney
Harbourbridge
springender Ball, aufgenommen
frei- hängende
mit Kette
einer Stroboskopkamera
Was macht nun die Mathematik?
 Mathematik beobachtet und misst.
 Mathematik untersucht.
 Mathematik denkt weiter.
 Mathematik probiert aus.
Übersicht
Mathematik beobachtet und misst.
x
y
-4
4
-2
1
0
0
2
1
4
4
6
9
Wenn man noch
folgende Werte
messen würde, …
x
-10
-8
-6
-4
2
0
2
4
6
8
10
y
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
… könnte man zu der Funktionsvorschrift y = 0,25 x² kommen!*
Übersicht
Bitte beachten Sie den Konjunktiv (… würde, könnte …)!
Denn: Eine Kette hängt nur annähernd, nicht exakt in Parabelform.
Mathematik untersucht.
Bremsweg eines Autos
… beginnend mit 40 km/h
… beginnend mit 60 km/h
… beginnend mit 80 km/h
Oder anders dargestellt:
Übersicht
Mathematik untersucht.
(In der Realität gibt es selbstverständlich
Abweichungen, je nach Beschaffenheit der
Straße, der Reifengröße, des Reifenzustands
u.ä.)
Länge des Bremswegs in m
Bremsweg eines Autos
Übersicht
Geschwindigkeit in km/h
Mathematik denkt weiter.
Geht man von einer quadratischen Beziehung (Zuordnung) zweier Größen
(allgemein x und y) aus, lassen sich folgende Varianten unterscheiden:





Übersicht
y = x²
y = a x²
y = a x² + c
y = a x² + b x + c
y = a (x + d)² + e
Normalparabel
reinquadratische Funktion
gemischtquadratische Funktion in Normalform
gemischtquadratische Funktion in Scheitelform
mit S(-d|e)
Für die Variablen a, b, c, d und e gilt es nun Zahlenwerte
einzusetzen; anschließend kann man jeweils eine
Wertetabelle aufstellen und den entsprechenden Graphen
zeichnen. Probieren Sie es aus und beobachten Sie
Veränderungen!
Mathematik probiert aus.

gemischt-quadratische Funktion:
y = ax² + bx + c (Normalform)
(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem
Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

gemischt-quadratische Funktion:
y = a (x² + d)² + e (Scheitelform)
(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem
Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

Wasserstrahl (Normalform)
(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem
Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

Wasserstrahl (Scheitelform)
(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem
Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)
Übersicht
Was bringen die Untersuchungen der
Mathematik?
 Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte
bei quadratischen Beziehungen
 Lösung quadratischer Gleichungen
 Bestimmung der Funktionsgleichung bei
gegebenen Punkten einer Parabel
Übersicht
Was bringen die Untersuchungen der
Mathematik?
Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen Beziehungen
Beispiel:
Bei welchen Seitenmaßen wird die rechteckige
Fläche des Kaninchengeheges maximal, wenn
für den Zaun 7m zur Verfügung stehen?
Fläche des Geheges: A = x (7-2x)
bzw.: A = -2x² + 7x
Somit hat man es mit einer quadratischen Beziehung zu tun.
zurück
Übersicht
Betrachtet man A nun als eine von x abhängige Größe, so lässt sich die
Beziehung als quadratische Funktion verstehen mit einer Parabel als
graphischer Darstellung und dem Scheitelpunkt als Lösung der
Problemstellung; seine x-Koordinate gibt das Seitenmaß des Geheges
an, für das die Fläche (y-Koordinate) maximal wird.
zeichnerische Lösung
rechnerische Lösung
Kaninchengehege
7
zeichnerische Lösung
A = -2x² + 7x
6
Wertetabelle
5
x
zurück
A
0,0
0,0
0,5
3,0
1,0
5,0
1,5
6,0
2,0
6,0
2,5
5,0
3,0
3,0
3,5
0,0
4
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
-1
Übersicht
Der Scheitelpunkt lässt sich ablesen:
S(1,75|6,125)
D.h.: Bei einer Seitenlänge von 1,75 m ergibt sich eine Fläche von 6,125 m²
Rechnerische Bestimmung des Scheitelpunkts
der quadratischen Funktion y = ax² + bx +c
Es geht auch noch anders! (Vielleicht
einfacher?)
3
Jede Parabel hat bekanntlich eine
Spiegelachse; diese verläuft stets parallel
zur y-Achse UND durch den Scheitelpunkt.
Somit liegt der Scheitelpunkt zugleich genau
in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen
der Parabel - und diese Nullstellen lassen
sich rechnerisch per pq-Formel bestimmen
(vgl. nächster Abschnitt Quadratische
Gleichungen).
1
2
0
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
-2
-3
-4
-5
-6
zurück
Klingt nach einfacher Lösung, hat aber wie vieles Einfache einen „Haken“.
Schon entdeckt?
Übersicht
Hinweis: Hat jede Parabel eine/zwei Nullstelle(n)?!
2
Was bringen die Untersuchungen der
Mathematik?
Lösung quadratischer Gleichungen
Grundidee: Die Punkte einer Parabel, die den Wert y = 0 haben, bilden die Lösung(en)
einer quadratischen Gleichung der Form x² + px +q = 0.
Beispiel: x2 + 3x – 1,75 = 0(y)
rechnerisch
zeichnerisch
3
Anwendung der
p-q-Formel
2
1
2
0
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
x1 / 2
3
3
      1,75
2
2
-2
zurück
-3
-4
Herleitung der p-q-Formel
(mit quadratischer Ergänzung)
x 2  px  q  0
2
2
p  p

x     q  0
2 2

2
2
p

 p
x      q
2

2
3
x1 / 2    2
2
-5
2
p
 p
x     q
2
2
-6
Lösung(en) der Gleichung:
Übersicht
x1 = -3,5
x2 = 0,5
Mit der sog. p-q-Formel lassen sich sämtliche quadratischen
Gleichungen der Form x² + px +q = 0 lösen.
2
x1 / 2
p
 p
     q
2
2
Was bringen die Untersuchungen der
Mathematik?
Bestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabel
Kennt man den Scheitelpunkt sowie einen
weiteren Punkt der Parabel, kann man
deren Funktionsgleichung bestimmen.
Beispiel: ein Kugelstoß
Abstoßhöhe (bei x = 0 m): 1,80 m
Höchster Punkt der Flugbahn: 2,3 m (bei einem Abstand von 4 m)
Lösungsweg:
zurück
• Einsetzen der Scheitelpunkt- sowie der Punktkoordinaten in die allgemeine
Scheitelform: 1,8 = a (0 – 4)² + 2,3
• Auflösen der Gleichung nach a: a = -0,03125
• ggf. Bestimmung der Normalform durch Umwandlung der Scheitelform
y = -0,03125 (x – 4)² + 2,3 in: y = -0,03125x² + 0,25x + 1,8
Übersicht
Die Weite dieses Kugelstoßversuchs lässt sich jetzt sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch (vgl. Lösung
quadratischer Gleichungen) bestimmen. (Tipp: Wie groß ist der y-Wert im Punkt des Aufpralls?)
So behalten Sie den Überblick!

„Wir“ erinnern uns?!
 Was macht nun die
Mathematik?
 Mathematik beobachtet und
misst.
 Mathematik untersucht.
 Mathematik denkt weiter,
 Mathematik probiert aus.
 Was bringen die
Untersuchungen der
Mathematik?
Ausblick

Lösung quadratischer Gleichungen

Bestimmung der Funktionsgleichung
aus gegebenen Punkten

Von der Normalform (y = ax² + bx + c)
zur Scheitelform ( y = a (x+d)² +e)

Übersicht quadratische Funktionen

Übersicht quadratische Gleichungen
Ausblick
Die in diesem Lernprogramm – an dessen Ende Sie jetzt angekommen
sind – vorgestellte Methode
 von der Beobachtung von Zusammenhängen und
Zuordnungen
 über Funktionen als mathematische Beschreibung der
Realität (Modellbildung)
 über die (innermathematische) Weiterentwicklung
 bis zur (mathematischen) Lösung realer Problemstellungen
lässt sich auch auf andere Situationen übertragen.
Übersicht
Mathematische Fortsetzungen sind insbesondere die Exponentialfunktionen sowie die Differential- und Integralrechnung – das Abendgymnasium lässt grüßen!
Übersicht quadratische Funktionen
Übersicht
Übersicht quadratische Gleichungen
Übersicht