Quadratische Funktionen mit Parameter

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Evangelische Friedrich Oberlin Fachoberschule für
Sozialwesen, Wirtschaft, Verwaltung und Rechtspflege
Vorbereitungskurs 12 / 2. Runde:
Quadratische Funktionen mit Parameter
3. August 2005
Quadratische Funktionen
Das war eine prima Pizza letzte Woche, doch leider wurde die
Freude darüber auf dem Heimweg schnell getrübt, denn leider
kam es zu einem Unfall. Zum Glück sind Sie mit dem Auto
nicht frontal auf den Vordermann aufgefahren, so dass allen
Insassen nichts passiert ist, aber der Schaden am Auto war doch
ganz erheblich.
Aber was passiert eigentlich bei einem Frontalzusammenstoß?
Das hängt natürlich ganz entscheidend von der Geschwindigkeit ab, wie aus der folgenden Tabelle zu
erkennen ist:
Geschwindigkeit v
36
72
108
144
in km/h
Bremsbeschleunigung
100
400
900
1600
a in m/s2
Kraft F in N
7000
28000
63000
112000
Wie man schnell erkennt, ergibt sich bei einer Verdoppelung der Geschwindigkeit eine Vervierfachung der
Bremsbeschleunigung bzw. der Kraft. Das deutet auf einen quadratischen Zusammenhang hin.
Quadratische (und auch andere) Zusammenhänge drückt man in der Mathematik mit Hilfe einer Funktion
aus. (Was ist eine Funktion?)
In dieser Runde geht es speziell um die quadratischen Funktionen, also um Funktionen der Form
p:x
ax 2  bx  c (Normalform). Der Term auf der rechten Seite des Abbildungspfeils sollte jedermann aus
der Mitternachtsformel bekannt sein. Mit ihrer Hilfe berechnet man nämlich die Nullstellen einer solchen
Funktion. Man löst also eine Gleichung der Form ax2  bx  c  0 .
Quadratischen Funktionen werden häufig mit einem p abgekürzt, weil ihr Graph eine Parabel ist. Wie diese
Parabel aussieht, hängt natürlich ganz entscheidend von den Parameter a, b und c ab, wobei a, b und c reelle
Zahlen sind und a natürlich ungleich 0 sein muss, da man sonst nur noch eine lineare Funktion hätte.
Wie der Graph einer quadratischen Funktion aussieht, erkennt man am einfachsten an der so genannten
2
Scheitelform p : x a  x  xs   ys . Diese kann durch Umformen aus der Normalform erzeugt werden
(quadratische Ergänzung) und man stellt dann fest, dass das a dem a der Normalform entspricht (a ist der
Streckungsfaktor) und xs und ys die Koordinaten des Scheitelpunktes darstellen.
Der Scheitelpunkt lässt sich aber meist leichter mit Hilfe der einfachen Formel
P
xs 
b
2a
3
(Mitternachtsformel ohne die Wurzel) und durch Einsetzen des
Skizze
gefundenen Wertes in den Funktionsterm bestimmen. Mit Hilfe des
5 LE
Streckungsfaktors a lässt sich dann jede Parabel sehr schnell in drei Schritten
zeichnen:
P2
1. Schritt: Scheitelpunkt berechnen oder (bei Scheitelform) ablesen
2. Schritt: weitere Punkte mit Hilfe des folgenden Schemas (vgl. Skizze)
einzeichnen:
3 LE
P1
Vom Scheitelpunkt S eine Längeneinheit nach rechts und eine
nach oben  neuer Punkt P1
1 LE
Vom Punkt P1 eine Längeneinheit nach rechts und drei (immer S
Länge  1 LE
nächste ungerade Zahl) nach oben  neuer Punkt P2 …
Multipliziert man die Streckenlänge nach oben mit dem Streckungsfaktor a, so funktioniert
dieses Schema für jede beliebige Parabel. Bei negativem a ist die Parabel natürlich nach
unten geöffnet, d.h. man geht auch nach unten.
3. Schritt: Da jede Parabel achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse durch ihren
Scheitelpunkt ist, macht man das Gleiche nach links und verbindet die erhaltenen Punkte.
Quadratische Funktionen mit Parameter
Gelegentlich betrachtet man auch mehrere quadratische Funktionen gleichzeitig, die alle ähnliche
Eigenschaften haben. Mathematisch lässt sich so etwas mit Hilfe eines Parameters (z.B. k) erzeugen, d.h.
man ersetzt in der Normalform nicht alle Parameter a, b und c durch Zahlen, um eine spezielle quadratische
Funktion zu bekommen, sondern man lässt einen „frei“. So erhält man dann eine so genannte
Funktionenschar. Diese kann auf ihre gemeinsamen Eigenschaften untersucht werden. Das geschieht jeweils
in Abhängigkeit vom Parameter k.
(Anmerkung: Das Gleiche macht man auch in der Abschlussprüfung, nur dass man dann eine
Funktionenschar 3. oder 4. Grades untersucht!)
Beispiel (an dem man sich auch gern selbst versuchen kann!):
Gegeben ist die Funktion
pk : x
pk  x  D p  R mit
k
pk  x   x  2kx  2
1
2
a)
b)
c)
d)
2
k R
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Funktion pk in Abhängigkeit von k!
Bestimme für den Fall D  0 die Koordinaten des Scheitelpunkts S von pk
Zeige, dass sich alle Funktionen pk in einem gemeinsamen Punkt schneiden!
Zeichne die Graphen der Funktion pk für die Fälle k  1,5; 1; 0,5;0;0,5;1 und 1,5 in ein gemeinsames
Koordinatensystem (Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE  2 cm; 5  x  5 )!
Lösung:
Vorüberlegung: Die Anzahl der Nullstellen hängt von der Diskriminante D ab, den es gilt:
D  0  2 (einfache) Nullstellen, D  0  1 (doppelte) NSt. (= Scheitelpunkt), D  0  keine NSt.
a)
D   2k   4  12  2  4k 2  4 , d.h. die Diskriminante ist selbst wieder eine quadratische Funktion (in
2
Abhängigkeit von k) mit dem Scheitelpunkt S  0 /  4 (Scheitelform!). Man bestimmt die Nullstellen
(Mitternachtsformel oder Ausklammern und binomische Formel,…) k1  1 und k2  1 und folgert:
D  0 für k1  1 und k2  1 : genau eine Nullstelle
D  0 für k  1  k  1 : genau zwei Nullstellen (diese werden nicht extra angegeben)
D  0 für 1  k  1 : keine Nullstellen
k1
b) aus a) ergibt sich für k1  1 : x1/ 2 
0
  2    1  D
2  12
 2
und yS  0 , da Nullstelle
Mitternachtsformel
und für k2  1 : x1/ 2 
  2  1  0
2  12
 2 und ys  0
c) Um einen gemeinsamen Schnittpunkt bei einer Funktionenschar zu berechnen, nimmt man zwei
beliebige Funktionen aus der Schar, z.B. pk1 und pk2 und setzt ihre Funktionsterme gleich ( k1 und k2
sind zwei beliebige Werte für k mit k1  k2 ):
1
2
x2  2k1x  2  12 x2  2k2 x  2 

1
2

x2  2k2 x  2 :  2

k1x  k2 x  0
x ausklammern

 k1  k2  x  0
 k1  k2  wird nie 0, da k1  k2

x0
y  2 unabhängig von k ,

also ergibt sich der gemeinsame Schnittpunkt P  0 / 2 
d) (es fehlt der Graph von p0,5 , da WinFunktion nur 6
Graphen zeichnen kann)
Zur Überprüfung: Die Scheitelpunkte der Parabeln
liegen alle auf der Parabel p : x  12 x2  2 .
pk
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