3 Quadratische Funktionen - Gym

3 Quadratische Funktionen
3.1 Definition
Bei einer quadratischen Funktion kommt die Variable mindestens einmal in
der 2.Potenz vor, aber in keiner höheren Potenz. Den Graphen einer
quadratischen Funktion nennt man Parabel.
allgemeine Form: f(x)= ax²+bx+c ≠ 0
a = Streckung und Stauchung
• bei positivem Vorzeichen nach oben geöffnet
• bei negativem Vorzeichen nach unten geöffnet
Anhand der allgemeinen Form lässt sich durch die Parameter b und c auf eine
Verschiebung schließen. Es ist allerdings nicht möglich bei der allgemeinen
Form genauere Aussagen darüber zu treffen.
Die allgemeine Form kann auch in die Scheitelform und in die faktorisierte
Form umgewandelt werden. Die Scheitelform dient zur Bestimmung des
Scheitels oder der Verschiebung und die faktorisierte Form zum Bestimmen der
Nullstellen.
Normalparabel: ( ) = ²
Konkretes Beispiel: ( ) = ² − 6 + 5
3.2 Nullstellenberechnung
Die Mitternachtsformel ermöglicht es uns die Nullstellen jeder quadratischen
Funktion zu ermitteln, die Nullstellen besitzen. Für einige Funktionen lässt sich
auch der sogenannte Satz von Vieta anwenden, allerdings nur bei einfachen
Zahlen.
Beispiel:
6 ± √16
− ±
²−4∙ ∙
=
/
2
/ =
2∙
6±4
−(−6) ± (−6)² − 4 ∙ 1 ∙ 5
/ =
2
=
/
2∙1
→ ₁ = 1 ₂ = 5
6 ± √36 − 20
/ =
2
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3.3 Umwandlung in die faktorisierte Form
Die faktorisierte Form wird auch Nullstellenform gennant, da man mit Hilfe der
Nullstellen die faktorisierte Form bilden kann.
Faktorisiete Form:
Beispiel
( )= ∙( − )∙( − )
( ) = ( − 1) ∙ ( − 5)
Jetzt kann man die Nullstellen bereits im Koordinatensystem einzeichnen. Um
nun den Graphen zu vervollständigen, müssen wir den Scheitel berechnen. Der
Scheitel ist die höchste oder tiefste Stelle einer Parabel. Die Steigung am
Scheitel ist 0. Durch Ausmultiplizieren erhält man wieder die Normalform.
3.4 Umwandlung in die Scheitelform
Die Scheitelform ist von Vorteil, wenn man die Funktion in das
Koordinatensystem zeichnen möchte.
Scheitelform: ( ) = ∙ ( − ) +
Falls die Scheitelform und nicht die allgemeine Form angegeben ist, formt man
die Scheitelform in die allgemeine Form um, indem man die Klammer
(binomisch) ausmultipliziert.
Möglichkeiten zur Umwandlung:
a) Mitte der beiden Nullstellen
= ( ₁ + ) ÷ 2
Diese Art der Umwandlung ist nur möglich, wenn die Parabel Nullstellen besitzt
und diese durch Errechnen oder Ablesen bekannt sind.
Beispiel: ( ) =
− 6 ∙ + 5 = ( − 1) ∙ ( − 5)
=1
=5
= (1 + 5) ÷ 2 = 3
(3) = 3 − 6 ∙ 3 + 5 = −4 =
!(3/−4)
( ) = ( − 3)² − 4
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b) Scheitelform (Quadratische Ergänzung)
Im Folgenden muss in der Normalform nach einer binomischen Formel gesucht
werden, welche dann quadratisch ergänzt werden muss.
Im Beispiel ist es ( − 3) , da dies jedoch ² − 6 + 9 ergeben würde, muss
man noch 4 subtrahieren, um die Normalform wiederzuerlangen.
Scheitelform: ( ) = ( − 3)² − 4
!(3/−4)
c) Nullstelle der 1. Ableitung
#(
)=0
Da es sich beim Scheitel um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, kann dieser
auch durch die Nullstelle der 1. Ableitung berechnet werden.
Beispiel:
( )=
−6∙ +5
#( )
=2∙ −6
#( )
= 0 → 0 = 2 ∙ − 6 → 6 = 2 ∙ → =3
(3) = 3 − 6 ∙ 3 + 5 = −4
( ) = ( − 3)² − 4
!(3/−4)
3.5 Graphen mit bisherigen Erkenntnissen zeichnen
( )=
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−6∙
+5