Inhalte GW9 - am Hanns-Seidel

Grundwissen Klasse 9
1.
2.
Wurzeln
1.1. Quadratwurzel
Die Quadratwurzel
der Zahl ist diejenige
nicht-negative Zahl, die quadriert ergibt. heißt
Radikand. Es gibt nur Quadratwurzeln nichtnegativer Zahlen.
Es gilt:
und
1.2. Rechenregeln und Anwendungen
Produktregel:
Quotientenregel:
Achtung:
Teilweises Radizieren:
Nenner rational machen:
1.3. Reelle Zahlen
Rationale Zahlen sind alle Brüche. Eine Zahl, die
sich nicht als Bruch darstellen lässt, ist eine
irrationale Zahl. Ihre Dezimalzahldarstellung ist
unendlich und nicht-periodisch.
ist keine
rationale Zahl. Ebenso ist jede Wurzel aus einer
natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist eine
irrationale Zahl.
Vereinigt man die Menge der rationalen und die
Menge der irrationalen Zahlen, so erhält man die
Menge der reellen Zahlen .
1.4. Zahlenmengen
Jede Zahlenmenge ist wiederum in der
nächstgrößeren Zahlenmenge enthalten. Es ergibt
sich folgendes Bild:
Dabei sind die natürlichen Zahlen,
Zahlen, die rationalen Zahlen und
Zahlen.
die ganzen
die rellen
Quadratische Funktion und Gleichung
2.1. Quadratische Funktionen
Eine Funktion, deren Term in Normalfom die
Form
hat heißt
quadratische Funktion. Gilt
, so heißt die
Funktion reinquadratische Funktion.
2.2. Parameter und Graph
Der Graph jeder quadratischen Funktion ist eine
Parabel. Der Graph jeder reinquadratischen
Funktion ist eine Parabel, deren Scheitel
(höchster, bzw. tiefster Punkt) auf der y-Achse
liegt. Der Streckfaktor bestimmt die Gestalt des
Funktionsgraphen. Für
ist die Parabel nach
oben, für
nach unten geöffnet. Für
heißt der Graph Normalparabel. Für
verläuft der Graph weiter, für
enger als
die Normalparabel. Der Parameter verschiebt
den Graphen in x- und y-Richtung. Der Parameter
verschiebt den Graphen nur in y-Richtung.
2.3. Scheitelform
Die Funktionsgleichung einer Parabel mit Scheitel
und Streckfaktor kann auf die Form
gebracht werden.
Quadratische Ergänzung (an einem Beispiel):
2.4. Faktorisierte Form
Die Funktionsgleichung einer Parabel mit
Nullstellen und und Streckfaktor kann in
der Form
geschrieben werden.
2.5. Quadratische Gleichungen
Jede quadratische Gleichung hat entweder zwei,
eine oder keine Lösung.
1. Sonderfall:
2. Sonderfall:
1.5. Binomische Formeln
Die binomischen Formeln dienen zur
Umwandlung von Produkten in Summen – und
vor allem umgekehrt.
Plusformel:
Minusformel:
Plus-Minus-Formel:
©Hanns-Seidel-Gymnasium Hösbach 2011
Allgemein (Lösungsformel):
mit Diskriminante
hat die Gleichung zwei, für
und für
keine Lösung.
eine
3.
Rechtwinklige Dreiecke
5.
Potenzgesetze
3.1. Satz des Pythagoras
5.1. n-te Wurzel
mit
ist die nicht-negative Zahl, für die
gilt
.
5.2. Potenzgleichungen
Im rechtwinkligen Dreieck mit Katheten
und Hypotenuse gilt:
und
Festlegung:
und
5.3. Potenzen mit rationalen Exponenten
Es gelten weiter die bekannten Potenzgesetze:
3.2. Höhensatz und Kathetensatz
gleiche
Basis
gleicher
Exponent
Produkt
Quotient
Sind und die Hypotenusenabschnitte und ist
die Höhe zur Seite gilt weiter:
Potenz
Addition und Subtraktion: Gleichartige Terme
dürfen zusammengefasst werden:
(Höhensatz)
und
(Kathetensatz)
z.B.:
3.3. Trigonometrische Definitionen
Im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die
einem Winkel gegenüberliegende Kathete als
Gegenkathete, die an ihm anliegende als
Ankathete.
Man legt fest:
Kosinus:
6.
Raumgeometrie
6.1. Mantel, Oberfläche, Netz
Die Seitenflächen eines Körpers bilden zusammen
den Mantel. Mantel- und Grund-, bzw. Deckfläche
bilden gemeinsam die Oberfläche des Körpers.
Schneidet man den Körper entlang passender
kanten auf und klappt man alle Flächen in eine
Ebene, so erhält man ein Netz des Körpers.
6.2. Prisma und Zylinder
;
Sinus:
und
Tangens:
Es gelten folgende Beziehungen:
und
6.3. Pyramide
4.
Stochastik – Pfadregeln (für Baumdiagramm)
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gleich dem
Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des
zugehörigen Pfades. (Produktregel)
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die
Wahrscheinlichkeit eines Ereigsnisses die Summe der
Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem
Ereignis gehören. (Summenregel)
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;
6.4. Kegel