Vorlesungsskript - Universität Kassel

Theoretische Mechanik
Martin E. Garcia
Fachbereich 10, Universität Kassel
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Vorlesungsübersicht
1) Grundlagen der Klassischen Mechanik:
-Newtonsche Gesetze. Axiome. Annahmen. Bewegungsgleichung
-Grundbegriffe der Mechanik. Inertialsysteme.
Galileitransformationen
-Impuls, Drehimpuls, Energie. Erhaltungssätze
-Arbeit. Konservative Kraftfelder.
-Reibung. Stokessche und newtonsche Reibung. Beispiele
- Die Mechanik eines Systems von Teilchen
2) Zwangsbedingungen und generalisierte Koordinaten
- Generalisierte Koordinaten
- Klassifikation der Zwangsbedingungen
3) Variationsprinzipien und Lagrange-Gleichungen
- Das Hamiltonsche Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung)
- Zur Technik der Variationsrechnung
- Ableitung der Lagrangeschen Gleichungen
- Die Lagrange-Funktion eines freien Massenpunktes
- System von Massenpunkten
- Erhaltungsgrößen und Symmetrieeigenschaften. Das Noether-Theorem
4) Integration der Bewegungsgleichungen
- Eindimensionale Bewegung.
- Lagrangeformalismus mit Reibung
5) Bewegung im Zentralfeld: Zweikörper-Zentralkräfteproblem
- Bewegungsgleichungen. Effektives Potential
- Klassifikation der Bahnen. Differentialgleichung für die Bahn
- Der Virialsatz
- Das Keplerproblem
- Streeuung im Zentralfeld (Laborsystem).
6) Beschleunigte Bezugssysteme:
- Rotierende Bezugssysteme: Corioliskraft. Erdrotation
7) Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:
- Legendre-Transformationen. Hamiltonfunktion. Erhaltungsgrößen
- Kanonische Transformationen. Lagrange- und Poisson-Klammern
später
8) Der starre Körper:
- Die Eulerschen Winkel. Der Trägheitstensor und das
Trägtheitsmoment. Hauptachsen.
7) Kleine Schwingungen:
- Formulierung des Problems. Eigenwertgleichung und
Hauptachsentransformation
- Erzwungene Schwingungen.
7) Nichtlineare Schwingungen, Chaostheorie:
- Nichtlineare Schwingungen. Phasendiagramme.
Hysterese.
- Chaos in einem Pendulum. Poincaré-Schnitte.
- Grundlagen der Chaostheorie
- Nichtintegrable Systeme
8) Die spezielle Relativitätstheorie in der klassischan Mechanik
- Einführung. Lorenz-Transformationen
- Kovariante vierdimensionale Formulierungen.
- Kraft- und Energiegleichungen.
- Kovariante Lagrangesche Formulierung. Der Doppler-Effekt.
Das Zwillingsparadoxon
9) Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:
- Legendre-Transformationen. Hamiltonfunktion. Erhaltungsgrößen
- Kanonische Transformationen. Lagrange- und Poisson-Klammern
10) Der starre Körper:
- Die Eulerschen Winkel. Der Trägheitstensor und das
Trägtheitsmoment. Hauptachsen.
Literatur:
H. Goldstein: Classical Mechanics (Addison Wesley)
Klassische Mechanik (Akad. Verlagsgesells. Wiesbaden)
L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Mechanik (Akad. Verlag Berlin)
Mechanics (Pergamon)
W. Nolting: klassische Mechanik
W. Greiner: klassische Mechanik I und II
S. Thornton: Classical Dynamics of Particles and Systems (Thomson)
MECHANIK
Thermodynamik
Klassische makroskopische
Physik
Mechanik
Elektrodynamik
Klassische Mechanik
Mechanik
Quantenmechanik
Klassische Mechanik
Einfache Begriffe
Koordinatentransformation:
x 'i =
3
ål x
ij
j =1
j
æ l
ç 11
l = ç l21
çç
è l31
l12
l22
l32
x = (x1, x2 , x3 ) ® x ' = (x '1, x '2 , x '3 )
l13
l23
l33
ö
÷
÷
÷÷
ø
l T = l -1
Klassische Mechanik
Einfache Begriffe
Skalare Größen:
Bleibt eine Größe f (x) invariant unter Koordinatentransformationen
x = (x1, x2 , x3 ) ® x ' = (x '1, x '2 , x '3 ) , dann ist f (x ') = f (x) eine skalare Größe.
Klassische Mechanik
Einfache Begriffe
Vektoren:
Wenn eine Größe
nach
A = (A1, A2 , A3 )
A ' = (A '1, A '2 , A '3 )
ein Vektor.
mit
unter einer Koordinatentransformation
A 'i =
3
å l A transformiert, dann
ij
j =1
j
A = (A1, A2 , A3 )
Klassische Mechanik
Einfache Begriffe
Massenpunkt:
Man ignoriert die Form, die Größe und den inneren Drehimpuls eines
Körpers und betrachte nur seine fortführende Bewegung
m
m
Koordinatentransformation:
Rotation des Bezugssystems um die z-Achse (q = p/4)
y-Achse
y’-Achse
y
P
q
x’-Achse
q
q
q
q
0
x-Achse
x
Grundlagen der klassischen Mechanik
Newtons Gesetz und einfache Bewegung
Die Newtonsche Mechanik basiert auf 3 „Gesetzen“, die nicht unabhängig
voneinander sind. Sie sind das Ergebnis einer langen Entwicklung des
physikalischen Denkens (Demokrit ~ 400 v.u.Z., Galilei ~1560, bis
Newton ~ 1650).
1) Das Trägheitsgesetz
Jeder Körper verharrt in Folge seiner Trägheit im Zustand der
Ruhe oder der geradlinig-gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht
durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu
ändern.
Grundlagen der klassischen Mechanik
2) Bewegungssatz
Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden
Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen
geraden Linie, nach welcher die Kraft wirkt.
3) Gegenwirkungsgesetz
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen
zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von
entgegengesetzter Richtung
Grundlagen der klassischen Mechanik
4) Zusatz zu den Bewegungsgesetzen: Superpositionsprinzip
Kräfte addieren sich wie Vektoren, d.h., die überlagern sich
ungestört im Sinne des Kräfte-Parallelogramms.
Voraussetzungen der Newtonschen Mechanik sind:
(i) Die absolute Zeit
(ii) Der absolute Raum
(iii) Die von der Geschwindigkeit unabhängige Masse
(iv) Die Masse eines abgeschlossenen Systems ist unabhängig von den
sich im System abspielenden Prozessen.
Der Zustand der Ruhe eines Körpers ist immer an ein festes BezugsSystem gebunden.
Beispiel: ein im Labor auf der Erdoberfläche auf einem Tisch
liegender Körper scheint für den dort anwesender Experimentator
in Ruhe zu sein. Für einen Beobachter auf dem Mond rotiert er mit
Der Erde.
Es fällt schwer, einen fundamentalen Unterschied
zwischen „Ruhe“ und „Bewegung“ zu konstruieren
Inertialsysteme