Lösungen

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6. und 7. Klasse
Lösungen zu den Aufgaben vom September 2006 (Nr. 5)
Liebe Schülerinnen und Schüler!
Hier sind nun Lösungsvorschläge zu den Aufgaben der
Nr.5, September 2006. Bitte lest
euch diese Lösungsvorschläge wie immer gut durch und versucht diese zu verstehen. Das kann euch
beim Lösen von anderen Aufgaben helfen.
Und noch einmal die dringende Bitte: Schreibt auf jedes eurer Blätter, die ihr abgebt, euren Namen und eure Klasse. Das erleichtert uns die Arbeit sehr, da wir dann wissen, welche
Lösungsblätter zusammengehören.
Lösung zu Aufgabe 1:
Bei dieser Aufgabe ging es darum, die Addition von Römischen Zahlen mit Hilfe eines Rechenschemas
nachzuvollziehen.
Ihr solltet die Römischen Zahlen entsprechend der Aufgabenstellung in die entsprechenden Felder
eintragen und dann ’Steinchen’ in die zugehörigen Stellenwertfelder legen. Dabei musstet ihr aufpassen,
denn z.B. die Zahl IV kann im Schema nur so veranschaulicht werden, indem vier Steinchen in das
Stellenwertfeld I gelegt werden.
Nun werden die Steinchen von oben nach unten in das graue Feld geschoben. Dort steht die Summe
der beiden Zahlen. Diese Summe muss noch ein wenig bearbeitet werden, damit sie den Römischen
Zahlen entspricht. Ein dunkler Stein, der auf der unteren Linie des grauen Feldes liegt ist dabei ein
Übertrag aus der rechts daneben stehenden Spalte.
Dann solltet ihr die Römischen Zahlen zur Kontrolle in unser Zahlensystem übertragen und überprüfen,
ob die Rechnung mit den Römischen Zahlen richtig ist.
Unten sind die drei Rechnungen abgebildet, die euch zeigen, wie die Römer mit diesem Schema gerechnet haben.
Oktober 2006
Lösung zu Aufgabe 2:
Diese Aufgabe war wieder dazu gedacht, dass ihr Möglichkeiten seht, wie ihr euch große Zahlen besser
veranschaulichen könnt, um von deren Größe ein ungefähres Gefühl zu bekommen.
Also legen wir Reiskörner auf die Felder eines Schachbrettes. Das
Bild rechts stammt aus dem Buch 100 Eier des Kolumbus von G.Niese
aus dem Kinderbuchverlag.
Für die weitere Arbeit ist natürlich eine Tabelle sinnvoll.
1. Feld: 1 Reiskorn
2. Feld: 2 · 1 Reiskorn = 2 Reiskörner
3. Feld: 2 · 2 Reiskörner = 4 Reiskörner
4. Feld: 2 · 4 Reiskörner = 8 Reiskörner
5. Feld: 2 · 8 Reiskörner = 16 Reiskörner
Dieses Verfahren könnten wir natürlich bis zum 64. Feld so fortsetzen. Das ist aber sehr mühevoll. Auf Grund der ständigen Verdopplung der Anzahl der Reiskörner bemerken wir nämlich, dass z.B. die
Anzahl der Reiskörner auf dem 5. Feld auch als 16 = 2 · 2 · 2 · 2
geschrieben werden kann. Das kann man aber auch als 24 notieren,
wie ihr wisst. Die Anzahl der Reiskörner auf einem Feld entspricht
einer Potenz mit der Basis 2 und einem Exponenten, der um 1 kleiner ist als die Feldnummer.
Mit dieser Überlegung ergibt sich sofort die Anzahl der Reiskörner auf dem
64. Feld: 263 Reiskörner. – Ist das viel?
Benutzt ihr euren Taschenrechner (entweder benutzt ihr die Taste y x oder ihr führt die Multiplikation
mit 2 tatsächlich am Rechner 62 mal aus), so stößt euer Rechner sehr schnell an Grenzen. Als Ergebnis
haben wir mit unserem Taschenrechner die Ausgabe 9, 223372037 · 1018 erhalten. Also kein genaues
Ergebnis, sondern nur ein gerundetes. Aber wir wissen, dass wir eine 19 stellige Zahl erhalten, die mit
922337... anfängt. Die genaue Zahl der Reiskörner auf dem 64. Feld ist 9 223 372 036 854 775 808 – auf
das Korn genau. Dieses Ergebnis erhält man dann doch mit ‘Handrechnung’. Also:
a) Auf dem 64. Feld des Schachbrettes müssen 9 223 372 036 854 775 808 Reiskörner liegen.
b) Um die Anzahl aller Körner auf dem Schachbrett zu bestimmen, muss man nun doch die Anzahl
für jedes einzelne Feld ausrechnen und dann alle Zahlen addieren. Dies ist wieder der mühevolle Weg,
der aber natürlich zum Ziel führt. Aber auch hier gibt es eine mathematische Überlegung die uns die
Arbeit vereinfacht. Dazu bezeichnen wir mit S die Summe aller Reiskörner auf dem Schachbrett.
Es ist folglich S = 1 + 21 + 22 + 23 + 24 + ... + 263 .
Von dieser Summe bestimmen wir das Doppelte:
2S
=
=
=
2 · (1 + 21 + 22 + 23 + 24 + ... + 263 ), also
2 · 1 + 2 · 21 + 2 · 22 + 2 · 23 + 2 · 24 + ... + 2 · 263 oder
21 + 22 + 23 + 24 + ... + 264 .
Und nun das Überraschende: Zieht man vom Doppelten der Summe S die Summe S wieder ab, so
erhält man wieder die Summe S. Mit unseren Summen ergibt sich:
– 2–
Oktober 2006
S
=
=
=
=
2S − S
(21 + 22 + 23 + 24 + ... + 264 ) − (1 + 21 + 22 + 23 + 24 + ... + 263 )
21 + 22 + 23 + 24 + ... + 264 − 1 − 21 − 22 − 23 − 24 − ... − 263
264 − 1.
Damit haben wir die Möglichkeit, die Summe der Reiskörner auf dem gesamten Schachbrett sehr schnell
auszurechen. Wir müssen nur die Zahl aus a), das ist ja 263 , verdoppeln und erhalten 264 . Davon müssen
wir nur noch 1 Reiskorn abziehen – um auf das Reiskorn genau zu bleiben. Wir erhalten damit, dass
der König dem weisen Brahmanen 18 446 744 073 709 551 615 Reiskörner hätte zur Verfügung stellen
müssen. Das sind 18 Trillionen 446 Billiarden 73 Milliarden 709 Millionen 551 Tausend 615 Reiskörner,
falls es jemanden interessiert, wie man diese Zahl ausspricht.
c) Wir betrachten nun einen Würfel mit der Kantenlänge von 1 m. Das Volumen dieses Würfels beträgt
1 m3 = 1 000 000 cm3 .
Weil 1 000 000 : 25 = 40 000 ist, passen in einen solchen Würfel 40 000 · 1 000 = 40 000 000 Reiskörner.
Die Masse eines solchen Würfels beträgt dann 40 000 · 20 g = 800 000 g = 800 kg.
d) Die Anzahl der Würfel, in die man die Reiskörner vom 64. Feld verpacken müsste,
beträgt 9 223 372 036 854 775 808 : 40 000 000 ≈ 230 584 300 922.
Für alle Reiskörner auf dem Schachbrett würde man ca. 461 168 601 843 Würfel benötigen.
e) Würde man alle Würfel, die man für die Reiskörner des 64. Feldes benötigt, übereinander stapeln,
so wäre dieser Turm 230 584 300 921 m ≈ 230 584 301 km hoch. Das ist ca. 600 mal die mittlere
Entfernung von der Erde zum Mond.
f) Die Masse der Reiskörner auf dem 64. Feld würde 230 584 300 921·800 kg = 184 467 440 736 800 kg ≈
184 467 440 737 t betragen. Das ist fast das 300fache der Weltjahresproduktion an Reis aus dem Jahr
2005.
Lösung zu Aufgabe 3:
Nun zu den Dreieckskonstruktionen: Die fertigen Konstruktionen werden euch weiter unten gezeigt.
Das allein reicht aber im Allgemeinen zur Lösung nicht aus. Denn es gehören eine Konstruktionsbeschreibung und Überlegungen zur Möglichkeit bzw. Eindeutigkeit der Konstruktion dazu.
Bevor ihr allerdings mit der Konstruktion beginnt, solltet ihr euch eine Skizze eines Dreiecks ABC
machen, in dem ihr die Bezeichnungen von benötigten Eckpunkten, Seiten und Winkeln eintragt. Außerdem sollten dort auch die gegebenen Stücke deutlich hervorgehoben werden. Das ist hier in den
beiden Bildern gezeigt.
An dieser Stelle wird es auch Zeit, dass ihr euch über die Reihenfolge der Konstruktionsschritte
Gedanken machen solltet. Für beide Konstruktionen ist sicher das Zeichnen der Strecke AB als Anfang
möglich. Auch der gegebene Winkel α lässt sich problemlos an die Strecke AB im Punkt A antragen.
Dann haben wir also die Strecke AB und den Winkel α konstruiert. Von α haben wir noch einen
‘freien’ Schenkel, auf dem noch ein Punkt C so bestimmt werden muss, dass ABC den Vorgaben der
gesuchten Dreiecke entspricht. Dies ist nun für beide Teilaufgaben unterschiedlich:
– 3–
Oktober 2006
Bei a) muss C so auf dem freien Schenkel von
α gewählt werden, dass sein Abstand zu B der
geforderten Länge a = 3 cm entspricht. Solltest
du nun versuchen wollen, dein Lineal solange hin
und her zu verschieben, bis du eine Stelle gefunden hast, die der geforderten Bedingung genügt,
so ist das keine Lösung im Sinne einer Konstruktion. Besser geht es mit einem Zirkel, an dem
du die Zirkelspanne 3 cm einstellst und um B
einen Kreis zeichnest. Weil jeder Punkt auf dem
Kreis von B genau 3 cm entfernt ist, sind es insbesondere die Schnittpunkte dieses Kreises mit
dem freien Schenkel des Winkels α. Dort findest
du dann auch die gesuchten Punkte, falls dieser
Kreis diesen freien Schenkel schneidet.
Hier entscheidet es sich, ob die Konstruktion
überhaupt möglich ist. Wenn nämlich die Seite a
mit einer zu kleinen Länge vorgegeben war, dann
ist die Aufgabe nicht lösbar.
Bei b) muss C so auf dem freien Schenkel von
α gewählt werden, dass sein Abstand zur Seite
AB der geforderten Länge hc = 2 cm entspricht.
Auch hier ist das Hin- und Herschieben des Geodreiecks nicht im Sinne einer Konstruktion. Wir
überlegen uns, dass wegen hc = 2 cm der Punkt
C von der Geraden durch die Punkte A und B
den Abstand 2 cm haben muss. Alle Punkte, die
diese Bedingung erfüllen, liegen auf einer Parallelen zu dieser Geraden im gegebenen Abstand.
Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem freien Schenkel von α liefert dann den gesuchten
Punkt C.
Im Unterschied zu a) gibt es diesen Punkt immer,
egal wie die Größen des Winkels und der Höhe
vorgegeben sind. Es gibt auch hier immer nur
einen einzigen Schnittpunkt. Damit gibt es bei
dieser Aufgabe immer eine eindeutig bestimmte
Lösung.
a) Konstruktionsbeschreibung:
Zuerst zeichnen wir die Strecke AB mit der Länge
c = 5 cm. Dann tragen wir im Punkt A den Winkel α mit der Größe von 30◦ an. Nun wird um
B ein Kreis mit dem Radius a = 3 cm gezeichnet. Dieser Kreis schneidet den freien Schenkel
des Winkels α in den beiden Punkten C1 und
C2 .
ABC1 und ABC2 sind zwei verschiedene Dreiecke, die die Vorgaben erfüllen.
b) Konstruktionsbeschreibung:
Zuerst zeichnen wir die Strecke AB mit der Länge
c = 5 cm. Dann tragen wir im Punkt A den
Winkel α mit der Größe von 30◦ an. Nun zeichnen wir die Parallele p zu AB, die den Abstand
hc = 2 cm von dieser Strecke hat. Diese Parallele
schneidet den freien Schenkel des Winkels α in
dem Punkt C.
ABC ist das gesuchte Dreieck, das die Vorgaben
erfüllt. Dieses Dreieck ist eindeutig bestimmt.
Vorhergehende Ausgaben der
gibt es zusammen mit den Lösungen im Internet unter
www.minet.uni-jena.de/∼schmitzm/gedankenblitze.
Die GedankenBlitze sind per E-mail unter
Michael.Schmitz@mathematik.uni-jena.de zu erreichen.
– 4–
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