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Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Teil 4a: Wahrscheinlichkeitstheorie
Marco Boßle
Jörg Hörner
Mathematik–Online
Frühjahr 2010
Boßle/Hörner (MO)
PV-Kurs HM 3
1/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Wahrscheinlichkeitsraum (WR):
Ergebnismenge Ω
Ereignismenge M ⊆ P(Ω) (σ-Algebra)
Wahrscheinlichkeitsverteilung p : M → [0, 1]
I
Endlicher oder abzählbarer WR:
Elementarwahrscheinlichkeiten p({ω})
X
X
p({ω}) , p(Ω) =
p({ω}) = 1
p(M) =
ω∈M
I
ω∈Ω
Ω ⊆ R: Verteilungsfunktion F oder Dichte f
Z∞
Zx
F (x) = p((−∞, x]) ,
F (x) =
f (y ) dy ,
−∞
Boßle/Hörner (MO)
PV-Kurs HM 3
f (y ) dy = 1
−∞
2/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Laplace-Verteilung L(Ω): p(M) =
#(M)
(Gleichverteilung)
#(Ω)
Binomial-Verteilung B(n, q): Ω = {0, . . . , n} , p({`}) = n` q ` (1 − q)n−`
Hypergeometrische-Verteilung H(n, m, k) :
n
m
Ω = {0, . . . , k} , p({`}) =
`
k−`
n+m
k
Geometrische-Verteilung G (q) : Ω = N , p({`}) = (1 − q)`−1 q
λ`
Poisson-Verteilung P(λ) : Ω = N0 , p({`}) = e −λ
`!
Gleichverteilung: Ω = [a, b] , p([c, d]) = (d − c)/(b − a)
−λx
Exponential-Verteilung: Ω = R+
0 , f (x) = λe
Normal-Verteilung: N(µ, σ 2 ) , Ω = R , f (x) =
Boßle/Hörner (MO)
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2
2
√1 e −(x−µ) /(2σ )
σ 2π
2/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Andere Verteilungen
Urnenexperimente
Kombinationsmöglichkeiten bei Auswahl von k aus n Elementen:
sortiert
nicht sortiert
n+k −1
k
mit Wiederholungen
n
k n
ohne Wiederholungen n(n − 1) · · · (n − k + 1)
k
Modellierung durch Zufallsvariablen
X : Ω → Ω̃ ,
Boßle/Hörner (MO)
pX (A) = p({ω ∈ Ω|X (ω) ∈ A})
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2/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Erwartungswert und Varianz reellwertiger Zufallsvariablen :
Erwartungswert:
Z∞
X
E (X ) =
x pX ({x}) , E (X ) =
x fX (x) dx
x∈Ω̃
−∞
Varianz:
V (X ) = E ((X − E (X ))2 ) = E (X 2 ) − (E (X ))2
Rechenregeln:
Linearität des Erwartungswertes: E (αX + βY ) = αE (X ) + βE (Y )
Varianz: V (αX + β) = α2 V (X )
Abbildung zwischen Zufallsvariablen Y = Φ(X ):
Z∞
E (Y ) =
Φ(x) fX (x) dx
−∞
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2/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Erwartungswert und Varianz spezieller Verteilungen:
Binomial-Verteilung B(n, q) : E (X ) = nq , V (X ) = nq(1 − q)
Geometrische-Verteilung G (q) : E (X ) = 1/q , V (X ) = (1 − q)/q 2
Poisson-Verteilung P(λ) : E (X ) = λ , V (X ) = λ
Gleichverteilung auf [a, b] : E (X ) = (a + b)/2 , V (X ) = (b − a)2 /12
Exponential-λ-Verteilung: E (X ) = 1/λ , V (X ) = 1/λ2
Normal-Verteilung N(µ, σ 2 ) : E (X ) = µ , V (X ) = σ 2
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2/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
p(A|B) =
p(A ∩ B)
p(B)
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit:
B1 ∪ B2 = Ω , B1 ∩ B2 = ∅ : p(A) = p(A|B1 )p(B1 ) + p(A|B2 )p(B2 )
Bk : Zerlegung von Ω in disjunkte Teilmengen:
X
p(A) =
p(A|Bk )p(Bk )
k
Formel von Bayes:
p(B1 |A) =
p(A|B1 )p(B1 )
,
p(A|B1 )p(B1 ) + p(A|B2 )p(B2 )
Stochastische Unabhängigkeit:
Boßle/Hörner (MO)
p(A|B` )p(B` )
p(B` |A) = P
k p(A|Bk )p(Bk )
p(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) =
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Qn
k=1 p(Ak )
2/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Mehrdimensionale Verteilungen:
X1 , . . . , Xn reellwertig, stochastisch unabhängig
mit Dichten fX1 , . . . fXn bzw. Verteilfunktionen FX1 , . . . , FXn
⇒ X = (X1 , . . . , Xn ) ∈ Rn hat Dichte
fX (x) = fX1 (x1 ) · · · · · fXn (xn )
bzw. Verteilfunktion
FX (x) = FX1 (x1 ) · · · · · FXn (xn )
Y = X1 + X2 hat Dichte fY = fX1 ? fX2 , d.h.
Z∞
fX1 (x) fX2 (y − x) dx
fY (y ) =
−∞
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2/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Aufgabe 5.3 (I1439 V2)
Bei einem Würfelspiel wird mit zwei sechsseitigen Würfeln gewürfelt, bis
eine Sieben erscheint. Alle Augenzahlen (einschließlich der Sieben) werden
zusammengezählt. Bestimmen Sie den Erwartungswert E für die Summe.
Wie verändert sich der Erwartungswert, wenn anstatt der Sieben eine
andere Zahl zur Beendigung des Spiels verwendet wird?
Boßle/Hörner (MO)
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3/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (I1439 V2)
X Zufallsvariable der Gesamtaugenzahl ⇒ Erwartungswert:
∞
X
E (X ) =
g · P({X = g })
g =1
Aufteilung nach Wurfzahl W mit Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
P({X = g }) =
∞
X
P({X = g |W = w })P({W = w })
w =1
Vertauschung der Summation (absolute Konvergenz)


∞
∞
X
X

E (X ) =
g · P({X = g |W = w }) P({W = w })
w =1
g =1
|
{z
E (Sw )
}
Sw : Gesamtaugenzahl bei genau w Würfen
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4/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (I1439 V2)
(w − 1)-mal: Nichtsieben“ + einmal Sieben“
”
”
Yk : ZV für Würfeln einer Nichtsieben“
”
E (Sw ) = E (Y1 + · · · + Yw −1 ) + E (7) = (w − 1)E (Y1 ) + 7
E (Y1 ) = 2
1
2
5
5
1
+3
+···+6
+8
+ · · · + 12
= 7 ⇒ E (Sw ) = 7w
30
30
30
30
30
E (X ) = 7
∞
X
wP({W = w })
w =1
Wurfzahl (erster Wurf einer 7) ist G (q) verteilt mit q = 6/36 = 1/6
E (X ) = 7E (G (1/6)) = 7 · 6 = 42
Boßle/Hörner (MO)
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4/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (I1439 V2)
Analoge Betrachtung für andere Endzahl z
Wahrscheinlichkeit für z: p = (6 − |z − 7|)/36
Erwartungswert für Nicht z“:
”
E (Y ) = (252 − z(6 − |z − 7|))/(36 − 6 + |z − 7|)
Erwartungswert für Summe bei Wurfzahl w : E (Sw ) = z + (w − 1)E (Y )
E (X )
= z + (E (W ) − 1)E (Y )
1
36
252 − z(6 − |z − 7|)
= z+
− 1 E (Y ) = z +
−1
q
6 − |z − 7|
36 − 6 + |z − 7|
36 − 6 + |z − 7| 252 − z(6 − |z − 7|)
= z+
6 − |z − 7|
36 − 6 + |z − 7|
z(6 − |z − 7|) 252 − z(6 − |z − 7|)
252
=
+
=
6 − |z − 7|
6 − |z − 7|
6 − |z − 7|
⇒ minimal für z = 7 .
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4/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Aufgabe 5.5 (I1442)
Bei der Herstellung eines TFT-Monitors ist ein Pixel mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1/(25 · 216 ) defekt.
Schätzen Sie mit Hilfe der Approximation mit einer Poisson-Verteilung die
Wahrscheinlichkeit p, dass ein Monitor mit einer Auflösung von 1280x960
Pixeln mehr als 2 Pixelfehler hat und somit unbrauchbar ist.
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5/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (I1442)
1280 · 960 Pixel ⇒ n = 1228800 Zufallsexperimente
Wahrscheinlichkeit für Fehler: q = 1/(25 · 216 )
Anzahl der Fehler: Binomial(n, q)-verteilt
Abschätzung: Poisson-Verteilung mit λ = nq
1228800 = 52 · 3 · 214 ⇒ λ = 3/4
p({X > 2}) = 1 − p({0, 1, 2})
Poisson-Verteilung: p({k}) =
λk
k!
e −λ
p({0, 1, 2}) = p({0}) + p({1}) + p({2}) = e
−λ
λ0
λ1
λ2
+
+
0!
1!
2!
65
= e −λ 1 + λ + λ2 /2 = e −3/4
32
Wahrscheinlichkeit für Ausschussmonitor: 1 − e −3/4
Boßle/Hörner (MO)
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65
≈ 0.0405 .
32
6/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Probeklausur 2 Aufgabe 6
Seien X und Y zwei stochastisch unabhängige, auf [0, 1) gleichverteilte
Zufallsvariablen.
Bestimmen Sie für 0 < α ≤ β die Verteilungsfunktion FZ , die Dichte fZ
und den Erwartungswert E (Z ) der Zufallssvariable Z = αX + βY .
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7/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (Probeklausur)
X auf [0, 1) gleichverteilt
⇒ fX (x) =
x ∈ [0, 1)
sonst
1,
0,
Erwartungswert
Z
∞
E (X ) =
Z
x fX (x) dx =
−∞
1
x dx =
0
1
= E (Y )
2
Linearität des Erwartungswertes:
E (Z ) = E (αX + βY ) = αE (X ) + βE (Y ) =
α+β
2
Dichte für X̃ = αX
1
fX̃ (x̃) = fX (x̃/α) =
α
Boßle/Hörner (MO)
1/α ,
0,
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x̃ ∈ [0, α)
sonst
8/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (Probeklausur)
Dichte für Ỹ = βY
1
fỸ (ỹ ) = fY (ỹ /β) =
β
1/β ,
0,
ỹ ∈ [0, β)
sonst
Die Dichte der Summe erhält man durch Faltung der Dichten:
Z ∞
1
|[0, β] ∩ [z − α, z]|
fZ (z) =
fX̃ (x)fỸ (z − x) dx =
αβ
−∞

0,
z ≤0



z


,
0<z ≤α



αβ

 1
,
α<z ≤β
fZ (z) =
β



(β + α − z)


, β <z ≤α+β



αβ


0,
z >α+β
Boßle/Hörner (MO)
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8/8
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (Probeklausur)
Verteilungsfunktion mit Integration: FZ (z) =
Rz
fZ (x) dx
−∞

0,
z ≤0



2

z



,
0<z ≤α


2αβ

 (2z − α)
FZ (z) =
,
α<z ≤β

2β


2


 1 − (α + β − z) , β < z ≤ α + β



2αβ


1,
z >α+β
Boßle/Hörner (MO)
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8/8