Aufgabe 1 (2 + 3 + 1 + 2 Punkte) Ein Landwirt weiß, dass die

Aufgabe 1
(2 + 3 + 1 + 2 Punkte)
Ein Landwirt weiß, dass die Getreidesorte, die er letztes Jahr gepflanzt hatte im Durchschnitt
25 Körner pro Ähre erbrachte. Dieses Jahr pflanzte er eine andere, Sorte und betrachtet nun
eine Stichprobe von 16 Kornähren. Er zählt die Körner pro Ähre und erhält folgende Stichprobe:
i
bi
1
41
2
36
3
25
4
36
5
41
6
32
7
41
8
36
9
32
10
25
11
36
12
36
13
41
14
25
15
36
16
25
a) Geben Sie die empirische Verteilungsfunktion der Körner pro Ähre an.

0
x < 25



4

25 ≤ x < 32
 16 = 0.25
6
= 0.375
32 ≤ x < 36
F (x) =
16

12

=
0.75
36
≤ x < 41


 16
1
x ≥ 41
b) Bestimmen Sie das durchschnittliche Anzahl und die empirische Varianz der Anzahl an
Körnern pro Ähre.
P
x = 4j=1 fj xj = 0.25 · 25 + 0.125 · 32 + 0.375 · 36 + 0.25 · 41 = 34
P
s2 = x2 − x2 = 4j=1 fj xj − x2 = 1190.5 − 342 = 34.5
c) Wie hoch ist der Anteil der beobachteten Ähren, die die selbe Anzahl an Körner wie im
letzten Jahr haben?
f (25) = 0.25
d) Bestimmen Sie den Modus sowie den Median des Datensatzes.
xM od = 36
xM ed = 36
Aufgabe 2
(8 Punkte)
Zur Untersuchung der Konzentration eines Telekommunikationsmarktes stehen Ihnen folgende
Daten über die Anzahl der vergebenen Telefonanschlüsse der im Markt agierenden Unternehmen
zur Verfügung:
Unternehmen
Anzahl an Anschlüssen (in Tausend)
Schland-Com
2300
Starcor
1500
u3
100
F-Minus
200
Stotterphone
900
Berechnen und interpretieren Sie den Gini-Koeffizienten und zeichnen Sie die Lorenzkurve.
S = 100
200 + 900 + 1500 + 2300 = 5000
 +100
= 0.02
i=1

5000


300

i=2
 5000 = 0.06
1200
=
0.24
i=3
Mi =
5000

2700

= 0.54
i=4


 5000
1
i=5

0.2
i=1




i=2
 0.4
0.6
i=3
Hi =


0.8
i=4



1
i=5
P5 ni
1
1
K = 2 − 2 i=1 n (Mi−1 + Mi ) =
1
− 12 [0.2(0.02 + 0) + 0.2(0.06 + 0.02) + 0.2(0.24 + 0.06) + 0.2(0.54 + 0.24) + 0.2(1 + 0.54)] = 0.228
2
2·5
2n
= 0.228 5−1
= 0.57
G = K · n−1
Ein Ginikoeffizient von 0.57 bedeutet eine mittelstarke Konzentration in diesem Telekommunikationsmarkt.
Aufgabe 3
(2 + 4 + 2 Punkte)
Die Produktion eines Produktes läuft über drei parallele Fertigungsstraßen. Die fertigen Teile
werden im Lager gesammelt. Für die drei Straßen gelten folgende Werte:
• Straße 1: 700 Teile pro Stunde, wobei 80% einwandfrei sind,
• Straße 2: 800 Teile pro Stunde, wobei 85% einwandfrei sind,
• Straße 3: 1000 Teile pro Stunde, wobei 65% einwandfrei sind.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig herausgenommenes Teil defekt ist.
P (D) = P (D|S1 )P (S1 ) + P (D|S2 )P (S2 ) + P (D|S3 )P (S3 ) = 0.2 · 0.28 + 0.15 · 0.32 + 0.35 ·
0.4 = 0.244
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig herausgenommenes intaktes Teil
von der ersten Fertigungsstraße stammt.
P (S1 |D) =
P (D|S1 )P (S1 )
1−P (D)
=
0.8·0.28
1−0.244
= 0.296
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig herausgenommenes Teil defekt ist
und auf Fertigungsstraße zwei gefertigt wurde?
P (D ∩ S2 ) = P (D|S2 )P (S2 ) = 0.15 · 0.32 = 0.048
Aufgabe 4
(2 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 Punkte)
Gegeben sei folgende Funktion f (x):
f (x) =
ax − 0.5
0
1≤x≤3
sonst.
a) Für welchen Wert der Konstanten a ist f (x) die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X?
(Hinweis: Sollten Sie kein Ergebnis erhalten so verwenden Sie im Folgenden a = 0.5.)
! R3
1 = 1 (ax − 0.55) dx = [ 12 ax2 − 0.55x]31 = 4a − 1
⇔ a = 0.5
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X und zeichnen Sie diese.

x<1
 0
2
0.25x − 0.5x + 0.25
1≤x≤3
F (x) =

1
x>3
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X).
R∞
E(X) = −∞ xf (x) dx = [ 61 x3 − x2 ]31 = 2 31
d) Bestimmen Sie die Varianz von X.
R∞
E(X 2 ) = −∞ x2 f (x) dx = [ 18 x4 − 61 x3 ]31 = 5 23
var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 ≈ 0.222
e) Berechnen Sie P (X > 2).
P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − F (2) = 0.5
f) Berechnen Sie P (X = 2).
P (X = 2) = 0
Aufgabe 5
(3 + 3 + 3 Punkte)
Das Schlachtgewicht von Schafen sei normalverteilt mit µ = 60[kg] und σ = 10[kg].
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Schlachtgewicht größer als 70[kg] ist?
P (X > 70) = 1 − P (Z ≤
70−60
)
10
= 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Schlachtgewicht zwischen 50[kg] und 65[kg]
liegt?
P (50 < X < 65) = P (X ≤ 65) − P (X ≤ 50) = P (Z ≤
Φ(0.5) − Φ(−1) ≈ 0.6915 − (1 − 0.8413) = 0.5328
65−60
)
10
− P (Z ≤
50−60
)
10
=
c) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Mindestschlachtgewicht unterschritten wird, beträgt 5%.
Bestimmen Sie das Mindestschlachtgewicht.
) = Φ( M SG−60
)
0.05 = P (X < M SG) = P (Z < M SG−60
10
10
M SG−60
−1
⇔ Φ (0.05) =
10
⇔ M SG = Φ−1 (0.05) · 10 + 60 ≈ 43.55
Aufgabe 6
(1 + 2 + 4 Punkte)
Anna angelt an einem großen See durchschnittlich zwei Fische pro Stunde.
a) Geben Sie das zugehörige Verteilungsmodell an und begründen Sie diese Wahl.
Poisson-Verteilung: Ereignisse in festem Zeitintervall.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Anna in einer Stunde genau drei Fische fängt.
3
X ∼ Pois(2),P (X = 3) = e−2 23! = 0.180447
c) Nun nimmt Anna am Weltrekordversuch im Dauerangeln teil und schafft es 50 Stunden lang zu angeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens 120 Fische
angelt?
Z ∼ Pois(100) ⇒ Z
approx
∼ N (100, 100), da λ = 100 ≥ 9.
P (Z ≥ 120) = 1 − P (Z < 120) = 1 − P (Z ≤ 119)
119.5 − 100
= 1 − Φ(
) = 1 − Φ(1.95) = 1 − 0.9744 = 0.0256
10