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Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Wahrscheinlichkeitstheorie
Marcel Bliem
Marco Boßle
Jörg Hörner
Mathematik–Online
Herbst 2010
Bliem/Boßle/Hörner (MO)
PV-Kurs HM 3
1 / 10
Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Wahrscheinlichkeitsraum (WR):
Ergebnismenge Ω
Ereignismenge M ⊆ P(Ω) (σ-Algebra)
Wahrscheinlichkeitsverteilung p : M → [0, 1]
I
Endlicher oder abzählbarer WR:
Elementarwahrscheinlichkeiten p({ω})
X
X
p({ω}) , p(Ω) =
p({ω}) = 1
p(M) =
ω∈M
I
ω∈Ω
Ω ⊆ R: Verteilungsfunktion F oder Dichte f
Z∞
Zx
F (x) = p((−∞, x]) ,
F (x) =
f (y ) dy ,
−∞
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f (y ) dy = 1
−∞
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Laplaceverteilung L(Ω): p(M) =
#(M)
(Gleichverteilung)
#(Ω)
Binomialverteilung B(n, q): Ω = {0, . . . , n} , p({`}) = n` q ` (1 − q)n−`
Hypergeometrische Verteilung H(n, m, k) :
n
m
Ω = {0, . . . , k} , p({`}) =
`
k−`
n+m
k
Geometrische Verteilung G (q) : Ω = N , p({`}) = (1 − q)`−1 q
λ`
Poissonverteilung P(λ) : Ω = N0 , p({`}) = e −λ
`!
Gleichverteilung: Ω = [a, b] , p([c, d]) = (d − c)/(b − a)
−λx
Exponentialverteilung: Ω = R+
0 , f (x) = λe
Normalverteilung: N(µ, σ 2 ) , Ω = R , f (x) =
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2
2
√1 e −(x−µ) /(2σ )
σ 2π
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Andere Verteilungen
Urnenexperimente
Kombinationsmöglichkeiten bei Auswahl von k aus n Elementen:
Reihenfolge
relevant
nicht relevant
n+k −1
k
mit Wiederholungen
n
k n
ohne Wiederholungen n(n − 1) · · · (n − k + 1)
k
Modellierung durch Zufallsvariablen
X : Ω → Ω̃ ,
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pX (A) = p({ω ∈ Ω|X (ω) ∈ A})
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Erwartungswert und Varianz reellwertiger Zufallsvariablen :
Erwartungswert:
Z∞
X
E (X ) =
x pX ({x}) , E (X ) =
x fX (x) dx
x∈Ω̃
−∞
Varianz:
V (X ) = E ((X − E (X ))2 ) = E (X 2 ) − (E (X ))2
Rechenregeln:
Linearität des Erwartungswertes: E (αX + βY ) = αE (X ) + βE (Y )
Varianz: V (αX + β) = α2 V (X )
Abbildung zwischen Zufallsvariablen Y = Φ(X ):
Z∞
E (Y ) =
Φ(x) fX (x) dx
−∞
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Erwartungswert und Varianz spezieller Verteilungen:
Binomialverteilung B(n, q) : E (X ) = nq , V (X ) = nq(1 − q)
Geometrische Verteilung G (q) : E (X ) = 1/q , V (X ) = (1 − q)/q 2
Poissonverteilung P(λ) : E (X ) = λ , V (X ) = λ
Gleichverteilung auf [a, b] : E (X ) = (a + b)/2 , V (X ) = (b − a)2 /12
Exponential-λ-Verteilung: E (X ) = 1/λ , V (X ) = 1/λ2
Normalverteilung N(µ, σ 2 ) : E (X ) = µ , V (X ) = σ 2
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
p(A|B) =
p(A ∩ B)
p(B)
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit:
B1 ∪ B2 = Ω , B1 ∩ B2 = ∅ : p(A) = p(A|B1 )p(B1 ) + p(A|B2 )p(B2 )
Bk : Zerlegung von Ω in disjunkte Teilmengen:
X
p(A) =
p(A|Bk )p(Bk )
k
Formel von Bayes:
p(B1 |A) =
p(A|B1 )p(B1 )
,
p(A|B1 )p(B1 ) + p(A|B2 )p(B2 )
Stochastische Unabhängigkeit:
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p(A|B` )p(B` )
p(B` |A) = P
k p(A|Bk )p(Bk )
p(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) =
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Qn
k=1 p(Ak )
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Zusammenfassung
Mehrdimensionale Verteilungen:
X1 , . . . , Xn reellwertig, stochastisch unabhängig
mit Dichten fX1 , . . . fXn bzw. Verteilfunktionen FX1 , . . . , FXn
⇒ X = (X1 , . . . , Xn ) ∈ Rn hat Dichte
fX (x) = fX1 (x1 ) · · · · · fXn (xn )
bzw. Verteilfunktion
FX (x) = FX1 (x1 ) · · · · · FXn (xn )
Y = X1 + X2 hat Dichte fY = fX1 ? fX2 , d.h.
Z∞
fX1 (x) fX2 (y − x) dx
fY (y ) =
−∞
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Probeklausur 2 Aufgabe 5
In einer Urne befinden sich eine rote, eine blaue und eine grüne Kugel.
a) Aus der Urne wird sechsmal eine Kugel gezogen und wieder
zurückgelegt.
Sei A das Ereignis, dass bei den ersten drei Ziehungen drei
unterschiedliche Farben gezogen werden und B das Ereignis, dass bei
den sechs Ziehungen jede Farbe zweimal gezogen wird.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten p(A) , p(B) und p(B|A). Sind
die Ereignisse stochastisch unabhängig?
b) Aus der Urne wird 450 mal eine Kugel gezogen und wieder
zurückgelegt. Schätzen Sie mit Hilfe der Normalverteilung die
Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 140 und weniger als 161 rote
Kugeln gezogen werden. (Es genügt als Ergebnis einen Ausdruck
anzugeben, der von einem Funktionswert der Verteilungsfunktion Φ
der Standard-Normalverteilung abhängt.)
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (Probeklausur)
Für Ereignis A sind die Ziehungen 4-6 nicht relevant
Geeigneter W-Raum
3-Tupel aus der Menge {R, G , B}: Ω = {R, G , B}3
Elemente: 33 = 27 (n = 3, k = 3, mit Wiederholung, Reihenfolge relevant)
Ereignis A: drei unterschiedliche Farben
3! = 6 Elemente (n = 3, k = 3, ohne Wiederholung, Reihenfolge relevant)
Wahrscheinlichkeit
p(A) =
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#A
6
=
= 2/9 ≈ .222 .
#Ω
27
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (Probeklausur)
Ereignis B: 6-Ziehungen, jede Farbe zweimal
W-Raum: Ω = {R, G , B}6 , #Ω = 36 = 729
Verteilung von 3 · 2 Kugeln auf 6 Stellen, je 2 sind nicht unterscheidbar
#B =
p(B) =
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6!
= 720/8 = 90
2! · 2! · 2!
#B
90
=
= 10/81 ≈ .123 .
#Ω
729
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (Probeklausur)
Ereignis B|A:
Jede Farbe zweimal wenn in den ersten drei Ziehungen jede Farbe einmal
Drei Farben in den Ziehungen 4 − 6 ⇒ entspricht Ereignis A
p(B|A) = p(A) = 2/9
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (Probeklausur)
Unabhängigkeit:
p(A) = 2/9 ,
p(B|A) =
p(B) = 10/81 ,
p(B|A) = 2/9
p(B ∩ A)
⇒ p(B ∩ A) = p(B|A) · p(A) = 4/81
p(A)
2 10
20
36
4
=
6=
=
= p(B ∩ A)
9 81
729
729
81
Die Ereignisse sind nicht unabhängig.
p(A) · p(B) =
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (Probeklausur)
Teil b)
Bernoulli-Experiment: (rote Kugel oder nicht)
I
I
Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/3 (eine von drei Kugeln ist rot)
n = 450 Wiederholungen
Anzahl der Erfolge: B(n, p) verteilt
Approximation durch Normalverteilung N(µ, σ 2 ):
I
I
µ = np
p = 450 · 1/3 =
p150
σ = np(1 − p) = 450 · 1/3 · 2/3 = 10
Mehr als 140 und weniger als 161 Erfolge
160 − 150
140 − 150
−Φ
p(140 < X ≤ 160) ≈ Φ
10
10
= Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1 ≈ .682 .
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Aufgabe 5.2 (I1441)
Eine Krankheit, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% in der
Bevölkerung auftritt, tritt bei einer bestimmten Berufsgruppe gehäuft auf.
Dieser Berufsgruppe gehören 5% der Bevölkerung an und dort liegt die
Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Krankheit bei 20%. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit p tritt die Krankheit bei jemandem auf, der der
Berufsgruppe nicht angehört?
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (I1441)
Ereignisse
K : Person ist krank
B : Person hat speziellen Beruf
NB : Person hat anderen Beruf
Gegebenen Größen
p(K ) = 2/100 ,
p(B) = 5/100 ,
p(NB) = 95/100 ,
p(K |B) = 20/100
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
p(K ) = p(K |B)p(B) + p(K |NB)p(NB)
Gesucht
p(K |NB) = (p(K ) − p(K |B)p(B)) /p(NB)
2
20 5
100
=
−
100
100 100
95
= 1/95
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Aufgabe 5.5 (I1442)
Bei der Herstellung eines TFT-Monitors ist ein Pixel mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1/(25 · 216 ) defekt.
Schätzen Sie mit Hilfe der Approximation mit einer Poisson-Verteilung die
Wahrscheinlichkeit p, dass ein Monitor mit einer Auflösung von 1280x960
Pixeln mehr als 2 Pixelfehler hat und somit unbrauchbar ist.
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (I1442)
1280 · 960 Pixel ⇒ n = 1228800 Zufallsexperimente
Wahrscheinlichkeit für Fehler: q = 1/(25 · 216 )
Anzahl der Fehler: Binomial(n, q)-verteilt
Abschätzung: Poisson-Verteilung mit λ = nq
1228800 = 52 · 3 · 214 ⇒ λ = 3/4
p({X > 2}) = 1 − p({0, 1, 2})
Poisson-Verteilung: p({k}) =
λk
k!
e −λ
p({0, 1, 2}) = p({0}) + p({1}) + p({2}) = e
−λ
λ0
λ1
λ2
+
+
0!
1!
2!
65
= e −λ 1 + λ + λ2 /2 = e −3/4
32
Wahrscheinlichkeit für Ausschussmonitor: 1 − e −3/4
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65
≈ 0.0405 .
32
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Aufgabe 5.3 (I1439 V2)
Bei einem Würfelspiel wird mit zwei sechsseitigen Würfeln gewürfelt, bis
eine Sieben erscheint. Alle Augenzahlen (einschließlich der Sieben) werden
zusammengezählt. Bestimmen Sie den Erwartungswert E für die Summe.
Wie verändert sich der Erwartungswert, wenn anstatt der Sieben eine
andere Zahl zur Beendigung des Spiels verwendet wird?
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (I1439 V2)
X Zufallsvariable der Gesamtaugenzahl ⇒ Erwartungswert:
∞
X
E (X ) =
g · P({X = g })
g =1
Aufteilung nach Wurfzahl W mit Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
P({X = g }) =
∞
X
P({X = g |W = w })P({W = w })
w =1
Vertauschung der Summation (absolute Konvergenz)


∞
∞
X
X

E (X ) =
g · P({X = g |W = w }) P({W = w })
w =1
g =1
|
{z
E (Sw )
}
Sw : Gesamtaugenzahl bei genau w Würfen
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (I1439 V2)
(w − 1)-mal: Nichtsieben“ + einmal Sieben“
”
”
Yk : ZV für Würfeln einer Nichtsieben“
”
E (Sw ) = E (Y1 + · · · + Yw −1 ) + E (7) = (w − 1)E (Y1 ) + 7
E (Y1 ) = 2
1
2
5
5
1
+3
+···+6
+8
+ · · · + 12
= 7 ⇒ E (Sw ) = 7w
30
30
30
30
30
E (X ) = 7
∞
X
wP({W = w })
w =1
Wurfzahl (erster Wurf einer 7) ist G (q) verteilt mit q = 6/36 = 1/6
E (X ) = 7E (G (1/6)) = 7 · 6 = 42
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Wahrscheinlichkeitsthoerie
Lösung (I1439 V2)
Analoge Betrachtung für andere Endzahl z
Wahrscheinlichkeit für z: p = (6 − |z − 7|)/36
Erwartungswert für Nicht z“:
”
E (Y ) = (252 − z(6 − |z − 7|))/(36 − 6 + |z − 7|)
Erwartungswert für Summe bei Wurfzahl w : E (Sw ) = z + (w − 1)E (Y )
E (X )
1
36
252 − z(6 − |z − 7|)
= z+
− 1 E (Y ) = z +
−1
q
6 − |z − 7|
36 − 6 + |z − 7|
36 − 6 + |z − 7| 252 − z(6 − |z − 7|)
= z+
6 − |z − 7|
36 − 6 + |z − 7|
z(6 − |z − 7|) 252 − z(6 − |z − 7|)
252
=
+
=
6 − |z − 7|
6 − |z − 7|
6 − |z − 7|
⇒ minimal für z = 7 .
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