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Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Wahrscheinlichkeitstheorie (Klausuraufgaben)
Marcel Bliem
Marco Boßle
Jörg Hörner
Mathematik–Online
Herbst 2010
Bliem/Boßle/Hörner (MO)
PV-Kurs HM 3
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Klausur 1 Aufgabe 6
Bei der Herstellung von Glühbirnen werden diese in zwei Qualitätsklassen
eingeteilt. Die beiden Qualitätsklassen unterscheiden sich dadurch, dass
die Wahrscheinlichkeit für die Lebensdauer einer Glühbirne von mehr als
1000 Stunden gleich
0.80 für die Qualitätsklasse 1,
0.20 für die Qualitätsklasse 2
beträgt. Von der Gesamtproduktion sei jede vierte Glühbirne aus der
Qualitätsklasse 1.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebig ausgewählte
Glühbirne länger als 1000 Stunden brennt?
b) Eine Glühbirne ist innerhalb von 1000 Stunden durchgebrannt. Wie
groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, daß diese Glühbirne der
Qualitätsklasse 1 angehört?
c) Die (in Stunden gemessene) Lebensdauer einer Glühbirne der Klasse 1
sei exponentialverteilt mit Parameter λ. Berechnen Sie λ.
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Lösung (K1 A6)
Teil a) Bezeichnungen
A = Lebensdauer ist > 1000 Stunden
B1 = Glühbirne ist in Qualitätsklasse 1
B2 = Glühbirne ist in Qualitätsklasse 2
Gesucht
P(A)
Bekannte Wahrscheinlichkeiten
1
4
4
P(A|B1 ) =
5
P(B1 ) =
Bliem/Boßle/Hörner (MO)
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P(B2 ) =
3
4
P(A|B2 ) =
1
5
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Lösung (K1 A6)
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
P(A) = P(A|B1 )P(B1 ) + P(A|B2 )P(B2 ) =
Bliem/Boßle/Hörner (MO)
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7
4 1 1 3
+
=
5 4 5 4
20
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Lösung (K1 A6)
Teil b)
Gesucht
P(B1 |¬A)
Formel von Bayes
P(B1 |¬A) =
a)
=
P(¬A|B1 )P(B1 )
(1 − P(A|B1 ))P(B1 )
=
P(¬A)
1 − P(A)
4 1
(1 − 5 ) 4
1
=
7
13
1 − 20
Insgesamt
P(B1 |¬A) =
Bliem/Boßle/Hörner (MO)
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1
13
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Lösung (K1 A6)
Teil c)
Die Lebensdauer L ist exponentialverteilt:
Z
1000
0.8 = P(L > 1000) = 1 − P(L ≤ 1000) = 1 − λ
1000
= 1 + e −λx 0 = 1 + e −1000λ − 1 = e
e −λx dx
0
−1000λ
Auflösen:
0.8 = e −1000λ
⇔
λ=−
ln 0.8
≈ 2.2314 · 10−4
1000
Insgesamt
λ=−
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ln 0.8
1000
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Klausur 2 Aufgabe 5
Ein Gerät bestehe aus 3 nacheinander angeordneten Teilsystemen, die
unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeiten 0.2, 0.4 und 0.5
ausfallen können. Das Gerät sei nur funktionsfähig, wenn alle Teilsysteme
funktionieren.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Gerät funktionsfähig?
b) Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit aus a), wenn dem dritten
Teilsystem noch zwei unabhängige Reservesysteme (ebenfalls mit der
Ausfallwahrscheinlichkeit 0.5) parallel geschaltet werden?
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Lösung (K2 A5)
Teil a)
Zur Bezeichnung
A =
Teilsystem 1 funktioniert
B
=
Teilsystem 2 funktioniert
C
=
Teilsystem 3 funktioniert
Gesucht
P(A ∩ B ∩ C )
Einzelne Wahrscheinlichkeiten für Funktionsfähigkeit
1
4
=
5
5
2
3
P(B) = 1 − P(¬B) = 1 − =
5
5
1
1
P(C ) = 1 − P(¬C ) = 1 − =
2
2
P(A) = 1 − P(¬A) = 1 −
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Lösung (K2 A5)
Die Ereignisse sind unabhängig:
P(A ∩ B ∩ C ) = P(A) · P(B) · P(C ) =
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6
= 0.24
25
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Lösung (K2 A5)
Teil b) Zur Bezeichnung
Cneu = irgend ein System im dritten Teilsystem funktioniert
ci
= i-tes Ersatzsystem funktioniert nicht
Gesucht
P(A ∩ B ∩ Cneu )
kein System des dritten Teilsystems funktioniert
1
1
=
3
2
8
eines der Systeme im dritten Teilsystems funktioniert
7
P(Cneu ) = 1 − P(c1 ∩ c2 ∩ c3 ) =
8
Insgesamt
P(c1 ∩ c2 ∩ c3 ) = P(c1 ) · P(c2 ) · P(c3 ) =
P(A ∩ B ∩ Cneu ) = P(A) · P(B) · P(Cneu ) =
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4 3 7
21
· · =
= 0.42
5 5 8
50
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Klausur 2 Aufgabe 6
Bei der Herstellung von Gewindestiften sei deren Länge eine normalverteilte
Zufallsgröße mit den Parametern µ = 30 mm und σ 2 = 0, 25 mm2 . Ein
Gewindestift ist für die Montage verwendbar, wenn er mindestens 29 mm
lang ist. Die Lieferung der Stifte erfolge in Packungen zu 1000 Stück.
a) Wie groß ist die mittlere Anzahl der verwendbaren Stifte einer
Packung?
b) Auf welchen Wert müsste der Mittelwert µ eingestellt werden, damit
der Anteil der nicht verwendbaren Stifte nur noch 1% beträgt?
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Lösung (K2 A6)
Teil a)
Erinnerung (Normalverteilung)
Sei X eine N (µ, σ 2 ) verteilte Zufallsvariable und Φ die
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Dann
gilt
„
«
P(X < x) = Φ x−µ
für alle x ∈ R.
σ
X ∼ N (30, 0.25) bezeichne die
Länge des Stiftes
Zu bestimmen P(X ≥ 29)
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
=
P(X ≥ 29) = 1 − P(X < 29)
29 − 30
1−Φ
0.5
= 1 − Φ(−2) = 1 − (1 − Φ(2)) = Φ(2)
Nachschlagen in der Tabelle
P(X ≥ 29) = Φ(2) = 0.9772
Insgesamt sind von 1000 Stiften im Mittel 977.2 Stifte brauchbar
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Wahrscheinlichkeitsthoerie (Klausuraufgaben)
Lösung (K2 A6)
Teil b)
Gesucht ist µ, so dass für Länge X ∼ N (µ, 0.25) gilt
Umformen
P(X ≥ 29) = 0.99
29 − µ
P(X ≥ 29) = 1 − P(X < 29) = 1 − Φ
0.5
µ − 29
µ − 29 !
= 1− 1−Φ
=Φ
= 0.99
0.5
0.5
Nachschlagen in der Tabelle
µ − 29 !
µ − 29 !
Φ
= 0.99 ⇒
= 2.33
0.5
0.5
Insgesamt
µ = 30.165
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