5. Rotationsbewegung

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6. Keplergesetze und Gravitation
6.1 Geo- und heliozentrisches Weltbild
Lies im Buch Basiswissen 1+2 Seite 98 und 99!
Tabelle mit der Gegenüberstellung der beiden WB.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
A2 Welche Mondphasen kennst du?
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
A3 Zu welchen Tageszeiten kann der Mond beobachtet
werden? Zu welchen Tageszeiten ist der zunehmende Mond
und zu welchen Tageszeiten ist der abnehmende Mond zu
beobachten?
•Bei Neumond geht der Mond in etwa zusammen mit der
Sonne am Morgen auf und am Abend unter.
•Im ersten Viertel geht der Mond gegen Mittag auf und gegen
Mitternacht unter.
•bei Vollmond geht er in der Abenddämmerung auf und in der
Morgendämmerung unter und ist die ganze Nacht sichtbar.
•im letzten Viertel geht er gegen Mitternacht auf und gegen
Mittag unter.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Aristoteles
384 – 322 v. Chr.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Geozent
risches
Weltbild
Claudius Ptolemäus (ca. 87 – 165 n. Chr.) – „Almagest“
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Nikolaus
Kopernikus
Nikolaus Kopernikus
(1473 – 1543)
1543
“De revolutionibus
orbium coelestium”
(“Über die Bewegungen im
Himmelsraum”)
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Heliozentri
sches
Weltbild
Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543)
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Beachte: Die angeführten WB sind geometrische
Modelle ohne Anspruch auf physikalische Erklärung.
Woran erkennt man, dass ein Himmelskörper zum Sonnensystem
gehört?
A: Schleifenbahnen.
Erklärung im ptolemäischen WB: mit Epizykeln
im Kopernikanischen: Kreisbahnen; Die Erde bewegt sich
schneller als Mars um die Sonne. Bewegt sich die Erde an
Mars vorbei, scheint dieser rückwärts zu laufen.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Planetenrückläufigkeit
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Mars retrograd
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Hinweise auf das Kopernikanische WB: nach Galilei:
Jupitermonde, also Erde nicht einziger Körper, um den sich andere
drehen.
Venusphasen
Problem bei Kopernikus: Die Vorausberechnungen waren ungenau,
er musste auch Epizykel dazunehmen. Grund: Verharren auf
Kreisbahnen.
Lösung:
Kepler. (1571-1630) ( Seit 1612 in Linz) Er wurde 1600 zu Tycho de
Brahe, einem damals berühmten Astronomen nach Prag gerufen, um
das Datenmaterial seiner Beobachtungen vom Mars auszuwerten. Er
ermittelte eine Ellipsenbahn.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Galileo Galilei
Galileo Galilei
(1564 – 1642)
Der
Dialogo
wurde
1632
gedruckt.
Aristoteles, Ptolemäus und
Kopernikus
Kapitel
6 Keplergesetze und Gravitation
Johannes Kepler
(1571 – 1630)
1596:
Mysterium Cosmographicum
1609: 1. und 2.
1619:
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Keplersches Gesetz
3. Keplersches Gesetz
1627:
Rudolphinische Tabellen
Keplergesetze:
1.
2.
3.
Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem
Brennpunkt die Sonne steht. (1605)
In gleichen Zeiten werden gleiche Flächen
überstrichen. (1605)
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten
verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen.
(1615)
Diese Gesetze beschreiben zwar den Planetenverlauf gut, lieferten
aber keine physikalische Erklärung.
Warum sind die Bahnen gekrümmt?
Die physikalische Erklärung lieferte Newton.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
6.2 Das Newtonsche Gravitationsgesetz.
Newton (1643 -1727)
Die Schwerkraft ist nicht nur auf der Erde wirksam,
sondern auch zwischen den Himmelskörpern.
Zwischen zwei beliebigen Massen herrscht eine Anziehungskraft.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Newtonsches Gravitationsgesetz
Newtonsches
Gravitationsgesetz:
F  G
Mm
r2
G=6,67·10–11Nm2kg–2 ... Gravitationskonstante
M, m … Massen
r … Abstand der beiden Massen
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Bestimmung der Gravitationskonstante
Drehwaage von Cavendish
Cavendish (1731-1810)



Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Messung der Gravitationskonstante - Drehwaage von Cavendish



Die Gravitationskonstante
ist sehr klein, daher sehr
schwierig im Labor zu
messen.
Die Massen sind in den jeweiligen Massenmittelpunkten zu denken.
Daher kann man die Entfernungen von diesen nehmen.
In der ersten Position heben sich die beiden Drehmomente auf.
In der zweiten Position wird die Masse auf der Waage von der größeren
Masse angezogen, weil die Entfernung kleiner geworden ist.
Der Torsionsfaden bewirkt ein Rückstellmoment.
Es stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein.
Θ·φ = 2·F·r
Setzt man für F die Gravitationskraft ein, lässt sich daraus die
Gravitationskonstante bestimmen. Sie ist vom Material unabhängig und
an jedem Ort gleich.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
6.3 Anwendungen des Gravitationsgesetzes
6.3.1 Bestimmung der Erdmasse:
Aus Fallmessungen wissen wir: FG = m·g
andrerseits gilt:
Mm
F G 2
r
Mm
Wir setzen gleich: m  g G 2 
r
g  r2
M
G
M = 5,98·1024· kg
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
bei r = 6,37·106m
Bestimme die Dichte der Erde!
Bestimmung der Erddichte :
M= V *
4 3
* r *   1,082696932* 1021 m3
3
9,80665 * (6,37 * 106 )2
24
M=

5
,
965868911
*
10
kg
11
6,67 * 10
V=

M
V

5,966 * 3
3

5510
,
192864
kg/m
4 * (6,37 * 106 )3 
Setzt man in die Formel für die Dichte, erhalten wir für sie obigen
Wert; auf der Erdoberfläche beträgt sie ca. 3000 kgm-3. → Der Kern
ist viel dichter.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
6.3.2 Bestimmung der Sonnenmasse:
Überlegung:
Zentripetalkraft = Gravitationskraft
m2r  G
M
m
2
r
│: m
4 2r 3
GM
2
T
4 2r 3
4 2 (1,496  1011 )3
M

= 1,9899.1030 kg
2
11
2
GT 6,67  10 .(86400  365,25)
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
6.3.3 Wie sind die Keplergesetze mit dem Newtonschen
Gravitationsgesetz vereinbar?
Zu 1. KG:
Nach Newton: Die Bahnen, die ein Körper unter dem Einfluss der
Gravitation ausführt, sind Kegelschnitte.
Modelle zeigen.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Wann beschreibt der Körper eine Kreisbahn?
Zentripetalkraft = Gravitationskraft
mv 2
Mm
G 2
r
r
GM
v 

r
2
│: m . r
GM 6,67  1011  5,96  1024
v

r
6,37  106
Kreisbahngeschwindigkeit
= 7,9 km/s
1. kosmische
Geschwindigkeit
Ist die Geschwindigkeit kleiner als die Kreisbahngeschw., ergibt sich eine
Ellipse., die zum Teil innerhalb der Erde verläuft (Annäherung
"Wurfparabel" (Voraussetzung g = konst.))
Ist die Geschwindigkeit größer als die Kreisbahngeschwindigkeit,
erhalten wir Ellipsen.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Aber: Ist sie zu groß, verlässt der Körper den Anziehungsbereich der
Erde.
Fluchtgeschwindigkeit:
Der Körper muss eine so große kinetische Energie haben, dass die
Gesamtenergie (Kin + Pot ) größer als 0 ist. (Herleitung der pot.
Energie später.)
mv 2 GMm

0
2
r
2GM 2  6,67  1011  5,96  1024
v

r
6,37  106
= 11,2 km/s
2. kosmische Geschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit.
Bei dieser Geschwindigkeit beschreibt der Körper eine Parabel.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Simulation der Keplerbahnen
y
Mm r
F  G 2 
r
r
r ( x, y ) Ort des Satelliten
(x,y)
x
r 
x y
2
2
G M  x
ax  
r3
G M  y
ay  
r3
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Abstand der
beiden Körper
Eingabe x0, y0, v,α, dt
G
ME
vx← v∙cos(α)
vy← v∙sin(α)
x ← x0
y ← y0
Wiederhole bis Abbruch
r  x
2
y
ax  GM
x
r
ay  GM
y
r
2

3
Wir rechnen der Einfachheit
halber r^3 aus und setzen es r !!
vx  vx  ax  dt
vy  vy  ay  dt
x  x  vx  dt
Bestandsvariable
y  y  vy  dt
Ausgabe x, y
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Satellitenbahnen
Der rote Kreis stellt die Erde dar.
Start unmittelbar auf der Erdoberfläche bei x = 6,37·106m, y = 0,
tangential zur Erdoberfläche.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Satellitenbahnen
Geschwindigkeit
Name
v < 7,9km/s
Ellipse
(Wurfparabel)
v = 7,9km/s
Kreisbahngeschw.
(1. kosm.)
7,9 km/s < v < 11,2 km/s
v = 11,2 km/s
Bahnform
Kreis
Ellipse
Fluchtgeschw.
(2. kosm.)
v > 11,2 km/s
Parabel
Hyperbel
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Ergänzung: Berechne den Ort eines geostationären
Satelliten
Mm
m r G 2
r
2
4 2r 3
GM
2
T
2
11
24
2
GMT
6
,
67

10
5
,
96

10
86160
3
r 3

4 2
4 2
= 42125,13 km
42125,13 - 6370 = 35755,13km über der Erdoberfläche muss sich ein
geost. Sat. befinden.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Zum 2. Kepler-Gesetz:
Der physikalische Hintergrund ist hier der Drehimpulserhaltungssatz.

b
L = Jω = konst
mr2 ω = konst
r2 ω = const
r2Δφ/Δt = const
r2 Δφ = const · Δ t
r.r Δφ. = const ·Δt
r ·Δb = const · Δt
2·ΔA = const . Δ t
ΔA = k·Δt
In gleichen Zeiten finden gleiche Flächenänderungen
statt.
Vgl. den Versuch mit dem Drehschemel und den Hanteln.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Zum 3. KG
Wir betrachten noch einmal die Berechnung der Sonnenmasse:
42r 3
M
GT 2

r 3 MG
 2
2
T 4
Der Quotient bleibt für alle Planeten gleich.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
6.4 Das Gravitationsfeld
Der Feldbegriff
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Feldbegriff:
Theaterplätze, Temperaturwerte in Wetterkarten,
Helligkeitsfeld einer Lampe
Ein Feld ist ein Raum, in dem jedem Punkt ein bestimmter Wert einer
physikalischen Größe zugeordnet wird.
Es gibt Vektor- und Skalarfelder.
Wirkt in jedem Punkt eine Kraft,
sprechen wir von einem Kraftfeld.
z. B. Magnetfeld eines Stabmagneten.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Das Gravitationsfeld der Erde:
Wie beim Magneten können
wir das Gravitationsfeld durch
Feldlinien darstellen.
F
M
 g  G 2
m
r
Gravitationsfeldstärke = Fallbeschleunigung
Jedem Punkt des Gravitationsfeldes ist eine bestimmte Gravitationsbeschleunigung zugeordnet.
Die Feldliniendichte nimmt nach außen hin ab. ( Feldstärke kann als
Maß für die Feldliniendichte angesehen werden. (Modell))
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Arbeit zum Verschieben eines Körpers im Gravitationsfeld:
Mm
1 1
W  G 2 drGMm (  )
r
ra rb
a
b
Sie hängt also nur vom
Anfangs- und Endpunkt ab.
Dabei ändert sich die kinetische Energie des Körpers:
2
2
mv a
mv b
1 1

 GMm(  )
2
2
ra rb
Wir formen um:
2
2
mv a
Mm mv b
Mm
G

G
2
ra
2
rb
Das heißt diese Terme bleiben
immer konstant.
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
mv 2
Mm
E
G
2
r
Gesamtenergie
Der zweite Term entspricht der potentiellen Energie
Mm
Epot  G
r
Potentielle Energie eines Körpers im Abstand r
von der Masse M.
Im Unendlichen ist sie demnach 0. (Festlegung)
Das negative Vorzeichen erklären wir uns als gebundenen Zustand.
Je näher der Körper der Erde ist, desto kleiner ist seine potentielle
Energie, ganz in Übereinstimmung mit früheren Überlegungen.
Ebenso nimmt die kinetische Energie beim Nähern zu.
Anwendungsbeispiel: Berechnen der Fluchtgeschwindigkeit (vgl.
Seite 4) bei Nachweis des 1. Keplergesetzes.
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