5. Rotationsbewegung
Werbung
6. Keplergesetze und Gravitation 6.1 Geo- und heliozentrisches Weltbild Lies im Buch Basiswissen 1+2 Seite 98 und 99! Tabelle mit der Gegenüberstellung der beiden WB. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation A2 Welche Mondphasen kennst du? Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation A3 Zu welchen Tageszeiten kann der Mond beobachtet werden? Zu welchen Tageszeiten ist der zunehmende Mond und zu welchen Tageszeiten ist der abnehmende Mond zu beobachten? •Bei Neumond geht der Mond in etwa zusammen mit der Sonne am Morgen auf und am Abend unter. •Im ersten Viertel geht der Mond gegen Mittag auf und gegen Mitternacht unter. •bei Vollmond geht er in der Abenddämmerung auf und in der Morgendämmerung unter und ist die ganze Nacht sichtbar. •im letzten Viertel geht er gegen Mitternacht auf und gegen Mittag unter. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Aristoteles 384 – 322 v. Chr. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Geozent risches Weltbild Claudius Ptolemäus (ca. 87 – 165 n. Chr.) – „Almagest“ Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Nikolaus Kopernikus Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) 1543 “De revolutionibus orbium coelestium” (“Über die Bewegungen im Himmelsraum”) Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Heliozentri sches Weltbild Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Beachte: Die angeführten WB sind geometrische Modelle ohne Anspruch auf physikalische Erklärung. Woran erkennt man, dass ein Himmelskörper zum Sonnensystem gehört? A: Schleifenbahnen. Erklärung im ptolemäischen WB: mit Epizykeln im Kopernikanischen: Kreisbahnen; Die Erde bewegt sich schneller als Mars um die Sonne. Bewegt sich die Erde an Mars vorbei, scheint dieser rückwärts zu laufen. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Planetenrückläufigkeit Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Mars retrograd Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Hinweise auf das Kopernikanische WB: nach Galilei: Jupitermonde, also Erde nicht einziger Körper, um den sich andere drehen. Venusphasen Problem bei Kopernikus: Die Vorausberechnungen waren ungenau, er musste auch Epizykel dazunehmen. Grund: Verharren auf Kreisbahnen. Lösung: Kepler. (1571-1630) ( Seit 1612 in Linz) Er wurde 1600 zu Tycho de Brahe, einem damals berühmten Astronomen nach Prag gerufen, um das Datenmaterial seiner Beobachtungen vom Mars auszuwerten. Er ermittelte eine Ellipsenbahn. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Galileo Galilei Galileo Galilei (1564 – 1642) Der Dialogo wurde 1632 gedruckt. Aristoteles, Ptolemäus und Kopernikus Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Johannes Kepler (1571 – 1630) 1596: Mysterium Cosmographicum 1609: 1. und 2. 1619: Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Keplersches Gesetz 3. Keplersches Gesetz 1627: Rudolphinische Tabellen Keplergesetze: 1. 2. 3. Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. (1605) In gleichen Zeiten werden gleiche Flächen überstrichen. (1605) Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen. (1615) Diese Gesetze beschreiben zwar den Planetenverlauf gut, lieferten aber keine physikalische Erklärung. Warum sind die Bahnen gekrümmt? Die physikalische Erklärung lieferte Newton. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation 6.2 Das Newtonsche Gravitationsgesetz. Newton (1643 -1727) Die Schwerkraft ist nicht nur auf der Erde wirksam, sondern auch zwischen den Himmelskörpern. Zwischen zwei beliebigen Massen herrscht eine Anziehungskraft. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Newtonsches Gravitationsgesetz Newtonsches Gravitationsgesetz: F G Mm r2 G=6,67·10–11Nm2kg–2 ... Gravitationskonstante M, m … Massen r … Abstand der beiden Massen Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Bestimmung der Gravitationskonstante Drehwaage von Cavendish Cavendish (1731-1810) Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Messung der Gravitationskonstante - Drehwaage von Cavendish Die Gravitationskonstante ist sehr klein, daher sehr schwierig im Labor zu messen. Die Massen sind in den jeweiligen Massenmittelpunkten zu denken. Daher kann man die Entfernungen von diesen nehmen. In der ersten Position heben sich die beiden Drehmomente auf. In der zweiten Position wird die Masse auf der Waage von der größeren Masse angezogen, weil die Entfernung kleiner geworden ist. Der Torsionsfaden bewirkt ein Rückstellmoment. Es stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein. Θ·φ = 2·F·r Setzt man für F die Gravitationskraft ein, lässt sich daraus die Gravitationskonstante bestimmen. Sie ist vom Material unabhängig und an jedem Ort gleich. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation 6.3 Anwendungen des Gravitationsgesetzes 6.3.1 Bestimmung der Erdmasse: Aus Fallmessungen wissen wir: FG = m·g andrerseits gilt: Mm F G 2 r Mm Wir setzen gleich: m g G 2 r g r2 M G M = 5,98·1024· kg Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation bei r = 6,37·106m Bestimme die Dichte der Erde! Bestimmung der Erddichte : M= V * 4 3 * r * 1,082696932* 1021 m3 3 9,80665 * (6,37 * 106 )2 24 M= 5 , 965868911 * 10 kg 11 6,67 * 10 V= M V 5,966 * 3 3 5510 , 192864 kg/m 4 * (6,37 * 106 )3 Setzt man in die Formel für die Dichte, erhalten wir für sie obigen Wert; auf der Erdoberfläche beträgt sie ca. 3000 kgm-3. → Der Kern ist viel dichter. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation 6.3.2 Bestimmung der Sonnenmasse: Überlegung: Zentripetalkraft = Gravitationskraft m2r G M m 2 r │: m 4 2r 3 GM 2 T 4 2r 3 4 2 (1,496 1011 )3 M = 1,9899.1030 kg 2 11 2 GT 6,67 10 .(86400 365,25) Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation 6.3.3 Wie sind die Keplergesetze mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz vereinbar? Zu 1. KG: Nach Newton: Die Bahnen, die ein Körper unter dem Einfluss der Gravitation ausführt, sind Kegelschnitte. Modelle zeigen. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Wann beschreibt der Körper eine Kreisbahn? Zentripetalkraft = Gravitationskraft mv 2 Mm G 2 r r GM v r 2 │: m . r GM 6,67 1011 5,96 1024 v r 6,37 106 Kreisbahngeschwindigkeit = 7,9 km/s 1. kosmische Geschwindigkeit Ist die Geschwindigkeit kleiner als die Kreisbahngeschw., ergibt sich eine Ellipse., die zum Teil innerhalb der Erde verläuft (Annäherung "Wurfparabel" (Voraussetzung g = konst.)) Ist die Geschwindigkeit größer als die Kreisbahngeschwindigkeit, erhalten wir Ellipsen. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Aber: Ist sie zu groß, verlässt der Körper den Anziehungsbereich der Erde. Fluchtgeschwindigkeit: Der Körper muss eine so große kinetische Energie haben, dass die Gesamtenergie (Kin + Pot ) größer als 0 ist. (Herleitung der pot. Energie später.) mv 2 GMm 0 2 r 2GM 2 6,67 1011 5,96 1024 v r 6,37 106 = 11,2 km/s 2. kosmische Geschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit. Bei dieser Geschwindigkeit beschreibt der Körper eine Parabel. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Simulation der Keplerbahnen y Mm r F G 2 r r r ( x, y ) Ort des Satelliten (x,y) x r x y 2 2 G M x ax r3 G M y ay r3 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Abstand der beiden Körper Eingabe x0, y0, v,α, dt G ME vx← v∙cos(α) vy← v∙sin(α) x ← x0 y ← y0 Wiederhole bis Abbruch r x 2 y ax GM x r ay GM y r 2 3 Wir rechnen der Einfachheit halber r^3 aus und setzen es r !! vx vx ax dt vy vy ay dt x x vx dt Bestandsvariable y y vy dt Ausgabe x, y Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Satellitenbahnen Der rote Kreis stellt die Erde dar. Start unmittelbar auf der Erdoberfläche bei x = 6,37·106m, y = 0, tangential zur Erdoberfläche. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Satellitenbahnen Geschwindigkeit Name v < 7,9km/s Ellipse (Wurfparabel) v = 7,9km/s Kreisbahngeschw. (1. kosm.) 7,9 km/s < v < 11,2 km/s v = 11,2 km/s Bahnform Kreis Ellipse Fluchtgeschw. (2. kosm.) v > 11,2 km/s Parabel Hyperbel Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Ergänzung: Berechne den Ort eines geostationären Satelliten Mm m r G 2 r 2 4 2r 3 GM 2 T 2 11 24 2 GMT 6 , 67 10 5 , 96 10 86160 3 r 3 4 2 4 2 = 42125,13 km 42125,13 - 6370 = 35755,13km über der Erdoberfläche muss sich ein geost. Sat. befinden. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Zum 2. Kepler-Gesetz: Der physikalische Hintergrund ist hier der Drehimpulserhaltungssatz. b L = Jω = konst mr2 ω = konst r2 ω = const r2Δφ/Δt = const r2 Δφ = const · Δ t r.r Δφ. = const ·Δt r ·Δb = const · Δt 2·ΔA = const . Δ t ΔA = k·Δt In gleichen Zeiten finden gleiche Flächenänderungen statt. Vgl. den Versuch mit dem Drehschemel und den Hanteln. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Zum 3. KG Wir betrachten noch einmal die Berechnung der Sonnenmasse: 42r 3 M GT 2 r 3 MG 2 2 T 4 Der Quotient bleibt für alle Planeten gleich. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation 6.4 Das Gravitationsfeld Der Feldbegriff Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Feldbegriff: Theaterplätze, Temperaturwerte in Wetterkarten, Helligkeitsfeld einer Lampe Ein Feld ist ein Raum, in dem jedem Punkt ein bestimmter Wert einer physikalischen Größe zugeordnet wird. Es gibt Vektor- und Skalarfelder. Wirkt in jedem Punkt eine Kraft, sprechen wir von einem Kraftfeld. z. B. Magnetfeld eines Stabmagneten. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Das Gravitationsfeld der Erde: Wie beim Magneten können wir das Gravitationsfeld durch Feldlinien darstellen. F M g G 2 m r Gravitationsfeldstärke = Fallbeschleunigung Jedem Punkt des Gravitationsfeldes ist eine bestimmte Gravitationsbeschleunigung zugeordnet. Die Feldliniendichte nimmt nach außen hin ab. ( Feldstärke kann als Maß für die Feldliniendichte angesehen werden. (Modell)) Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation Arbeit zum Verschieben eines Körpers im Gravitationsfeld: Mm 1 1 W G 2 drGMm ( ) r ra rb a b Sie hängt also nur vom Anfangs- und Endpunkt ab. Dabei ändert sich die kinetische Energie des Körpers: 2 2 mv a mv b 1 1 GMm( ) 2 2 ra rb Wir formen um: 2 2 mv a Mm mv b Mm G G 2 ra 2 rb Das heißt diese Terme bleiben immer konstant. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation mv 2 Mm E G 2 r Gesamtenergie Der zweite Term entspricht der potentiellen Energie Mm Epot G r Potentielle Energie eines Körpers im Abstand r von der Masse M. Im Unendlichen ist sie demnach 0. (Festlegung) Das negative Vorzeichen erklären wir uns als gebundenen Zustand. Je näher der Körper der Erde ist, desto kleiner ist seine potentielle Energie, ganz in Übereinstimmung mit früheren Überlegungen. Ebenso nimmt die kinetische Energie beim Nähern zu. Anwendungsbeispiel: Berechnen der Fluchtgeschwindigkeit (vgl. Seite 4) bei Nachweis des 1. Keplergesetzes. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
