Formelsammlung Statistik - Schmidt

Fachbereich Wirtschaft
Volkswirtschaftslehre und Statistik
: (0421) 5905-4691
Telefax: (0421) 5905-4862
email: [email protected]
Internet: http://www.fbw.hs-bremen.de/pschmidt
Prof. Dr. Peter Schmidt
5. Auflage 2002
Dies ist die fünfte, überarbeitete, Auflage der Formelsammlung. Trotz aller Bemühungen, den
Druckfelerteuffel fernzuhalten, dürften einzelne Stellen Anlass zu konstruktiver Kritik  bieten. Für
diese bin ich dankbar.
This is the first “bilingual” edition. Most of the statistical terms have been translated. The idea was to present the international
terms and abbreviations, you may need them when studying abroad - or simply in reading literature in English Language.
There may occur (translation-) errors. Please let me know any mistakes, missing topics, comments, … Thank you!
 Durch die Änderungen im Vergleich zu den vorherigen Auflagen haben sich die Nummerierungen
der Formeln teilweise geändert. In der Vorlesung wird nur mit den aktuellen Nummern gearbeitet.
 Wenn bei Summen kein expliziter Laufindex angegeben ist, läuft die Summe von i=1 bis n.
 Diese Formelsammlung ist für Prüfungen zugelassen - allerdings nur in der Originalheftung.
Es dürfen daher KEINE Erläuterungen, Kommentare, Beispiele usw. hinzugefügt werden.
Zusätzliche Formeln (Umformungen) sind zulässig.
Anregungen und Hinweise
sind sehr willkommen
Nachdruck und Vervielfältigung nur mit
ausdrücklicher Genehmigung des Autors
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Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
1 Grundlagen – Fundamentals
X, Y, ... Merkmal (Variable) mit einzelnen Beobachtungen (Ausprägungen)
Variable with single observation
N
Anzahl der Elemente einer Population (Grundgesamtheit)
Number of elements of a population
n
Anzahl der Elemente einer Stichprobe (Anzahl der Beobachtungen)
Number of elements of a sample (number of observations)
Merkmalsausprägungen
Values
X = ( x1, x2, ... xn )  xi mit i = 1,2, ...., n
2
Auswertung und Darstellung eindimensionaler Daten – Analysing and Displaying Onedimensional Data
2.1 Häufigkeiten – Frequencies
Absolute Häufigkeiten von k verschiedenen Merkmalsausprägungen – Absolute Frequencies
ni = h(xi)  Anzahl der Werte mit der Merkmalsausprägung xi.
Relative Häufigkeiten von k Merkmalsausprägungen (Klassen) – Relative Frequencies
ni
= fi [oder auch f(xi)] mit i = 1, ... k(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you wan
n
messen den Anteil der Merkmalsausprägung xi an allen Merkmalsausprägungen.
k
Daher ist
f
i 1
i
 1 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-2)
Prozentuale Häufigkeit (Prozentanteil) der Merkmalsausprägung xi – Percentage (proportion)
ni
100  f i 100 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-3)
n
Klassierte Daten – Classes
xi*  Klassenmitte: (Untergrenze + Obergrenze) / 2
Häufigkeitsdichte (für Histogramm) – Frequency Density
D
h( xi* ) ni
Häufigkeit
also

Klassenbre ite
xi
xi
oder
f ( xi* )
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the te
xi
Klassenbreite  xi = Obergrenze xi - Obergrenze xi-1(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that
Summenhäufigkeiten  "kumulierte" Häufigkeiten „bis zu“ einem vorgegebenen Wert xj
Cumulative Frequency  cumulated frequencies (counts) „up to“ a given value xj
Absolute Summenhäufigkeit – cumulated absolute frequencies
j
j
i 1
i 1
H ( x j )   h( xi )   ni (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear h
Relative Summenhäufigkeit – cumulated relative frequencies
j
F(xj) =
 f ( xi )  f ( xi ) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear
xi  x j
i 1
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Konzentrationsmessung:
Measuring Concentration
(Ermittlung der Zwischenschritte sinnvollerweise in Prozent)
mi  xi  ni (Error! Use the Home tab to apply Üb
Merkmalssumme der einzelnen Merkmalsausprägungen:
Merkmalssumme aller Merkmalsausprägungen:
m   mi (Error! Use the Home tab to apply Übe
Relative Merkmalssumme:
gi 
Kumulierte relative Merkmalssumme:
G j   g i (Error! Use the Home tab to apply Übe
mi
(Error! Use the Home tab to apply Übers
m
j
i 1
Fli   f i  Gi 1  
Einzelfläche unter der Lorenzkurve:
fi  gi
(Error! Use the Home tab to ap
2
Fl   Fli (Error! Use the Home tab to apply Üb
Gesamtfläche unter der Lorenzkurve:
LKM  1 
Lorenz‘sches Konzentrationsmaß (LKM):
Fl
(Error! Use the Home tab to apply Übe
5000
2.2 Lagemaße (Mittelwerte) – Measures of Central Tendency (Averages)
Arithmetisches Mittel:
 arithmetisches Mittel einer Grundgesamtheit
Arithmetic Mean
x  arithmetisches Mittel einer Stichprobe
Einfaches arithmetisches Mittel bei
(diskreten) Einzelwerten
x
simple arithmetic Mean
1 n
  xi
n i 1
(Population)
(Sample)
(Error! Use the Home tab to apply
Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-15)
Gewichtetes arithmetisches Mittel
(bei Häufigkeitsverteilungen)
Weighted arithmetic Mean
x
k
n
1 k
x

n
x

xi  i (Error! Use



i
i
n i 1
n
i 1
the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that
you want to appear here.-16)
Im Fall von Klassen Klassenmitte x*i verwenden.
Zentralwert (Median) – Median
1) Zentralwert = ZW = 50%-Anteil (Percentil) = 2. Quartil
2) i) sortieren aller Ausprägungen x1, ..., xn nach Größe
ii) Suchen der Position von ZW 
Ermittlung des Index m, für den xm in der Mitte aller Werte steht
3)
ungerades n:
ZW = xm
mit m 
n 1
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the
2
ZW1  ZW2
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text th
2
n
n2
ZW1 = xm
mit m 
und ZW2 = xu mit u 
(Error! Use the Home tab to
2
2
ZW 
gerades n:
mit:
Quantile (Percentile) – Quantiles (Percentiles)
p-Quantil: x Qp = xi
mit: F(xi) > p und F(xi-1) < p(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that
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Häufigster Wert (Modus) – Mode
xmod = xi mit max f ( xi ) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here
i
Schiefe – Skewness
x = ZW  symmetrische Verteilung
x > ZW  rechtsschiefe Verteilung(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text th
x < ZW  linksschiefe Verteilung
Geometrisches Mittel
– Geometric Mean
GM  n x1  x2 ...  xn   n
n
x
i
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to app
i 1
Endniveau
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you w
Anfangsniveau
oder alternativ: GM  n
2.3 Streuungsmaße – Measures of Variability / Deviation
Spannweite
– Range:
SW = xMax – xMin (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you wa
Durchschnittliche (mittlere) absolute Abweichung
1 n
 xi  x
n i 1
n
n
DAA   xi  x  i
n
i 1
DAA 
Anm.: Es kann auch ZW statt
– Mean Absolute Deviation (MAD)
(Einzelwerte)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want
(Häufigkeitsauszählungen)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text th
x verwendet werden.
Hilfsgröße:
Varianz – Variance
(auxiliary measure)
Population – ² – Population
Stichprobe – s² – Sample
a) Einzelwerte
2
s2 
1 n
 xi  x  (Error! Use the
n  1 i 1
Home tab to apply Überschrift 1 to the text
that you want to appear here.-28)
2 
1
N
n
 xi
2
   (Error! Use the
i 1
Home tab to apply Überschrift 1 to the text
that you want to appear here.-29)
b) Klassierte Werte / Häufigkeiten
1 k
2
  x i     ni
N i 1
(Error! Use
k
2 ni
xi    


N
i 1
k
1
2
   x i  x   ni
n  1 i 1
(Error!
k
ni
2
xi  x  


n 1
i 1
2 
s2 
Use the Home tab to apply Überschrift 1 to
the text that you want to appear here.-30)
the Home tab to apply Überschrift 1 to the
text that you want to appear here.-31)
Standardabweichung – Standard Deviation

s  s 2 
   2 Error! Use the Home tab to
apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
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Variationskoeffizient – Coefficient of Variance
s
x
VC 
VC 

(Error! Use the Home tab to

apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-33)
(Standardisierter) Z-Score – Z-Score
xi  x
s
z
z
xi  
(Error! Use the Home tab

to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-34)
3 Zusammenhänge zwischen mehrdimensionalen Daten – Relations between MultiDimensional Variables
3.1 Allgemeine Grundbegriffe – Basic Concepts
Randverteilungen (Zeilen / Spalten) – Marginal Distributions (Columns / Rows)
q
Zeilensumme h(x j ) =
 h( x ; y
j
k
)  Zeilenprozente f ( x j ; y k ) 
h( x j ; y k )
k =1
m
Spaltensumme h(y k ) =
 h( x ; y
j
k
)  Spaltenprozente f ( x j ; y k ) 
h(x j )
h( x j ; y k )
j=1
m
q
j=1
k =1
(100) (Error! Use the Home tab to
h(y k )
(100) (Error! Use the Home tab to
n =  h( x j ) =  h( y k ) ist die Anzahl der Beobachtungen(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the
3.2 Zusammenhänge zwischen metrisch skalierten Merkmalen –
Correlation of metrically scaled Variables
Cov( X , Y ) 
Kovarianz – Covariance
– Correlation Coefficient (Bravais-Pearson)
Korrelationskoeffizient
r
Cov( X , Y )
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-5)
s X sY
n
r
1 n
 ( xi  x )( yi  y ) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to
n i 1
 (x
i 1
n
 (x
i 1
i
i
 x )( y i  y )
 x)
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to app
n
2
(y
i 1
i
 y)
2
Lineare Regression – Linear Regression
Regressionsfunktion:
Beobachtungswerte:
Residuen:
yˆ  a  b  x (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want
y  a  b  x  e (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you w
e  y  yˆ (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to
Lineare Einfachregression nach der Methode der Kleinsten Quadrate (KQ) :
Ordinary Least Squares Regression (OLS):
 e 
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i
 Min ! 
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Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
x  y x x y
n  x   x 
n x y   x  y
b
n  x   x 
2
i
a
i
i
i
i
i
2
2
i
i
i
i
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear
i
2
2
i
i
alternative Ermittlung der Koeffizienten a und b:
a  y  bx
n
b
 (x
i 1
i
 x )( yi  y ) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-1
n
 (x
i 1
i
 x)2
Bestimmtheitsmaß / Gütemaß R² – Goodness of Fit / Coefficient of Determination R2
R
2
  yˆ

 y
R 
2
s y2ˆ
s y2
 y
2
i
2
i
 y
1
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-12)
s e2
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-13)
s y2
Bei linearer Einfachregression gilt:
R² = r² (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you
(Vorhergesagte) Schätzwerte – Estimated (predicted) Values
ŷ
Die geschätzten (vorhergesagten) Werte, d.h. die Werte auf der Regressionsgerade, können
unmittelbar aus der Regressionsfunktion yˆ i  a  b  xi (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text
errechnet werden, indem die ermittelten Werte von a und b sowie jedes einzelne
xi eingesetzt werden.
Dies ist etwa zur Ermittlung des R², für Prognosen und Glättung von Zeitreihen erforderlich.
3.3 Rangkorrelationen für ordinal skalierte Merkmale (nach Spearman) –
Rank Correlation for ordinal Variables (Spearman’s )
rs  1 
6 d i2


n n2 1
[mit: di = xi - yi](Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to
3.4 Kontingenzanalyse bei nominal skalierten Variablen – Contingency Measures (Association
of nominal Variables)
Der 2-Wert als Hilfsgröße (für den Unabhängigkeitstest siehe Kapitel 8.3.4)
1. Schritt: Ermittlung der erwarteten Häufigkeiten he in der Kontingenztabelle:
he 
h( x j )  h ( y k )
n
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-17)
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Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
2. Schritt: Errechnen von 2 durch Summieren aller Felder:
m
q
 
2
h( x ; y
j 1 k 1
j
)  he ( x j ; y k ) 
2
k
he ( x j ; y k )
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want
Kontingenzkoeffizient – Coefficient of Contingency
einfacher: C 
2
2 n
korrigierter: Ckorr  C 
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear he
K*
2
K*
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text


K * 1
 2  n K * 1
mit: K* = Min(m;q)
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Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
4 Elemente der Zeitreihenanalyse – Time Series Analysis (TSA)
4.1 Komponenten einer Zeitreihe – Components of a Time Series
Yt = TK + KK + SK + RK (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appe
4.2 Glättung durch Gleitende Durchschnitte – Smoothing with Moving Averages (MA)
Gegeben sei eine Zeitreihe von T Werten yt (t=1, ..., T)
a) Gleitende Durchschnitte ungerader Ordnung
y kt 

1
 y k 1  y k 3  ...  y t  ...  y k 3  y k 1 

t
t
t
k  t  2
2
2
2 
t

1
k
k 1
2

i t 
y
für t 
i
k 1
2
k 1
k 1
, ... , T 
2
2
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the tex
b) Gleitende Durchschnitte gerader Ordnung
k

t  1

2

11
1
ykt   y k   y i 
y k
k  2 t  2 i t  k 1
2 t 2 
2


für t 
k
k
 1, ... , T  (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1
2
2
4.3 Glättung durch lineare Trendfunktion – Smoothing with a Linear Trend Function
yˆ  f (t )
yˆ  a  b  t
Allgemeine Trendfunktion:
Lineare Trendfunktion:
Es ergibt sich die Formel zur Ermittlung von a und b analog (Error! Use the Home tab to apply
Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-10):
t  y  t t y
a
n t   t 
n t y   t  y
b
n t   t 
2
i
i
i
2
i
i
i
i
i
2
i
i
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appea
i
2
2
i
i
Hinweis:
Durch Transformation des Zeitindex t, so dass
z.B. mittels:
t
*
i
 0 wird
t  ti  t (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear her
*
i
vereinfacht sich (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to
appear here.-4) zu:
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a*  y
t
b*  b 
t
*
i
y i (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-6)
*2
i
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Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
4.4 Ermittlung der (additiven) Saisonkomponente und Saisonbereinigung – Analysis of
Seasonality
1. Schritt: Saisonale Abweichung aller Einzelwerte vom Trend ( y kt oder ŷt )
SK t  yt  y kt
SK t  yt  yˆ t
(bei GD)
oder
(bei KQ)(Error!
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want
Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear
2. Schritt: durchschnittliche saisonale Abweichung der Zeiteinheiten
Saisonkomponente – Seasonal Component: SK j 
1
Q*
 SK
t  Zeiteinheit j
t
(Error! Use the Home tab to apply
Q* = Anzahl der Beobachtungen in der jeweiligen SKj (Tertiale, Quartale, Monate, ....)
3. Schritt: saisonbereinigte Reihe
– seasonally adjusted series
~
yt  yt  SK j (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-9
es verbleibt die Irreguläre oder Rest-Komponente
RK t  y kt  ~
yt
RK t  yˆ t  ~
y t (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text tha
bzw.
4.5 Prognosen – Forecasting
Einfache Prognosen – Simple Forecasts
Konstante Entwicklung
y t*1  y t (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that
Additive Entwicklung
yt*1  yt   yt  yt 1  (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to
Multiplikative Entwicklung
yt*1  yt 
yt
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the tex
yt 1
Prognosen auf Basis von Trendfunktionen – Forecasts based on Trend Analysis
können auf Basis der Fortschreibung der vorhergesagten Werte yˆ t*  f (t )
(vergleiche (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear
here.-15)) ermittelt werden, indem für t zukünftige Werte eingesetzt werden:
yˆ t*  a  b  t (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text
Saisonale Einflüsse bei linearer Trendprognose – Forecasts considering Seasonality
Für die Prognose wird die SK addiert (analog mit t* und a*):
yˆ t*  a  b  t   SK j (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to
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5 Maß- und Indexzahlen – Indices
5.1 Verhältniszahlen – Ratios
ni
 f ( xi ) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the
n
Summe der Merkmalsausprägungen  xi
BZ 

 x (Error! Use the Home tab to apply
Anzahl der statistischen Einheiten
n
(5.1.1.) Gliederungszahl  relative Häufigkeit
Beziehungszahl:
(5.1.2.) Messziffern oder Messzahlen:
X = Reihe von Werten xt mit t = 0, ..., T.
0 = Basisperiode
t = Berichtsperiode.
M 0t 
Messzahl für die „Periode t zur Basis 0“
xt
x0
(100) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 t
Reihen von Messziffern – Series of Measures
Verschiedene M 0t Werte für laufendes t (d.h. in Bezug zur Vorperiode):
Zuwachsrate:
Zt 
Wachstumsfaktor:
Wt 
M 0t  M 0t 1
M
t 1
0

xt  x t 1
x
 t  1 ( 100 [%]) (Error! Use the Home tab to app
x t 1
xt 1
xt
 Zt 1
xt 1
Growth Rate (Error! Use the Home tab to apply Übe
Durchschnittlicher Wachstumsfaktor zwischen zwei Zeitpunkten:
W  GM Wt   n
n
xt
x
t 1
( 100 [%])
[vgl. auch (Error! Use the Home tab to apply
t 1
Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-23)] (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to th
Umbasierung und Verketten von Messziffern:
(A = altes Basisjahr; N = neues Basisjahr)
M Nt 
M At
M AN
( 100 [%])
oder (wenn
M AN nicht bekannt)
M Nt  M At  M NA
( 100 [%])
(Error! Use the Home tab t
5.2 Preis- und Mengenindizes – Price and Quantity Indices
pti  Preis des Produktes (Faktors) i zum Zeitpunkt t
qti  Menge des Produktes (Faktors) i zum Zeitpunkt t
Preisindex
Laspeyres
LP 
p
p
1i
q 0i
0i
q 0i
 100
Mengenindex
(Error! Use the
Home tab to apply Überschrift 1 to the
text that you want to appear here.-8)
Paasche
PP 
p
p
q
1i 1i
q
 100
(Error! Use the
LM 
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1i
p0 i
0i
p0 i
 100
(Error! Use the
Home tab to apply Überschrift 1 to the
text that you want to appear here.-9)
PM 
0i 1i
Home tab to apply Überschrift 1 to the
text that you want to appear here.-10)
q
q
q
q
1i
p1i
0i
p1i
 100 (Error! Use the
Home tab to apply Überschrift 1 to the
text that you want to appear here.-11)
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Wertindex:
WI  LP PM  PP LM 
p
p
q
1i 1i
0i q0i
 100(Error! Use the Home tab to apply Übe
Aus diesen – jeweils zwei Perioden vergleichenden – Messzahlen werden in der Regel Indexreihen
gebildet, mit denen wie im Abschnitt 5.1 beschrieben verfahren werden kann.
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6 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeitsrechnung – Theory of Combination & Probabilities
6.1 Kombinatorik – Combination Theory
Anzahl der Permutationen (Anordnungen) von n Elementen  Fakultäten:
n! = 1  2 3  ...  n
(wobei: 0! = 1) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want t
Binomialkoeffizient:
 N  N  ( N  1)  ( N  2)... ( N  n  1)
N!
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the te

  
n!
n!( N  n )!
n
Anzahl der Kombinationen n-ter Ordnung aus N Elementen:
mit Zurücklegen
Berücksichtigung
Reihenfolge
Nn (Error! Use the
Home tab to apply
Überschrift 1 to the text
that you want to appear
here.-3)
keine Berücksichtigung
der Reihenfolge
 N  n  1

 (Error! Use
n


the Home tab to apply
Überschrift 1 to the text
that you want to appear
here.-5)
ohne Zurücklegen
N!
(Error! Use the
( N  n)!
Home tab to apply
Überschrift 1 to the text
that you want to appear
here.-4)
 N
  (Error! Use the
 n
Home tab to apply
Überschrift 1 to the text
that you want to appear
here.-6)
6.2 Grundbegriffe und Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung – Basic Concepts
and Definitions of Calculus of Probabilities
e1, e2, e3, ...}
A, B, C, ...
A, B, C, ...
 Menge der Elementarereignisse – Events
 Ereignisse:
alle Untermengen von E (Kombinationen der ei)
 Ereignisraum:
Menge aller möglichen Ereignisse
W(A)
 Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis A eintritt
A
 komplementäres Ereignis zu A
mit: W( A ) = 1 – W(A)
W  A  B
W  A  B
Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A oder Ereignis B eintreten
Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A und Ereignis B eintreten
Definitionen von Wahrscheinlichkeiten – Definitions of Probabilities
Klassische Definition nach Laplace (a-priori-Wahrscheinlichkeiten)
W ( A) 
Anzahl der " günstigen" Ereignisse
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text th
Anzahl der gleichmöglichen Ereignisse
Empirische Wahrscheinlichkeiten (statistische Definition nach Mises) (a-posteriori-Wlk)
W(A) = f (A)  relative Häufigkeit (Anteil) des Ereignisses A (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to t
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bei großen Stichproben (Grenzwert) als Anhalt für die realisierte Wahrscheinlichkeit
Axiomatische Definition nach Kolmogoroff []
Axiom 1:
Axiom 2:
Axiom 3:
W(A)  0
W() =1 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that
W(A  B) = W(A) + W(B) für W(A  B) = 0
W ist nichtnegativ:
W ist normiert:
W ist additiv:
6.3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten – Calculation with Probabilities
Wahrscheinlichkeiten zusammengesetzter Ereignisse – Probabilities of Unions of Events
Allgemeiner Additionssatz
W(A  B) = W(A) + W(B) – W(A  B)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want
W(ABC) = W(A) + W(B) + W(C) - W(AB) - W(AC) - W(BC) + W(ABC) (Error! Use the Home tab to ap
Dieser vereinfacht sich für sich ausschließende Ereignisse (W(A  B) = 0) zu:
Spezieller Additionssatz
W(A  B) = W(A) + W(B)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear he
W(A  B  C) = W(A) + W(B) + W(C)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want t
Bedingte Wahrscheinlichkeiten – Conditional Probabilities
W ( B| A) 
W ( A  B)
mit W ( A)  0 lies: „W von B gegeben A“)(Error! Use the Home tab to apply Überschri
W ( A)
W ( A| B) 
W ( A  B)
mit W ( B)  0 lies: „W von A gegeben B“)(Error! Use the Home tab to apply Überschri
W ( B)




Allgemeiner Multiplikationssatz
W(A  B) = W(A)  W(B|A) = W(B)  W(A|B)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you
W(A  B  C) = W(A)  W(B|A)  W(C| A  B)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that yo
(Stochastische) Unabhängigkeit – stochastic Independence
Es seien die Ereignisse A, B, C mit W(A) >0, W(B) > 0 und W(C) > 0,
dann sind die Ereignisse A und B voneinander (stochastisch) unabhängig,
wenn A unabhängig von B ist (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you
want to appear here.-18 a) und B unabhängig von A (Error! Use the Home tab to apply
Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-18 b):
W(B | A) = W(B | A ) = W( B ) und(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to a
W(A | B) = W(A | B ) = W( A )(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear
Analog sind die Ereignisse A, B und C voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:
W(A | B) = W(A | C) = W(A | B  C) = W(A)
und(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text tha
W(B | A) = W(B | C) = W(B | A  C) = W(B)
und(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text tha
W(C | A) = W(C | B) = W(C | A  B) = W(C)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you wa
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Spezieller Multiplikationssatz
für stochastisch unabhängige Ereignisse vereinfacht sich der Multiplikationssatz wie folgt:
W(A  B) = W(A)  W(B)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear her
W(A  B  C) = W(A)  W(B)  W(C)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want t
7 Theoretische Verteilungen – Theoretical Distributions
7.1 Zufallsvariablen – Random Variables
X – Zufallsvariable (ZV) mit den Ausprägungen x1, x2, ... xn
7.1.1 Dichte- und Verteilungsfunktion – Density and Distribution Function (Cumulated Density
function - cdf)
Diskrete ZV – Discrete Random Variables
Wahrscheinlichkeitsfunktion  Wahrscheinlichkeit, dass die ZV X den Wert x annimmt
f(x) = W(X = x)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-1)
Verteilungsfunktion  Wahrscheinlichkeit, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt
F(x) = W(X  x) =  f ( xi ) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appea
xi  x
Stetige ZV – Continuous Random Variables
Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte):  Wahrscheinlichkeit, dass die ZV X
einen Wert annimmt, der in einem infinitesimal kleinen Intervall um x liegt
[für  0](Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to
f(x) = W(x-  X  x+

 f ( x)dx  1 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to
mit: f(x)  0 und

b
Intervall: W (a  X  b) 
 f ( x) dx (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want
a
Verteilungsfunktion  Wahrscheinlichkeit, dass die ZVX höchstens den Wert x annimmt
x
F ( x)  W ( X  x) 
 f (v) dv (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to app

7.1.2 Parameter von Verteilungen – Parameters of Distributions
Erwartungswert E einer diskreten ZV – Expected Value of a Discrete Random Variable
EX =  =
x
i
 f ( xi ) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
Erwartungswert E einer stetigen ZV – Expected Value of a Continuous Random Variable

EX =  =
 x  f ( x) dx (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.

Varianz einer ZV (allgemeine Form) – Variance
VX = 2 = E(X – EX)2 = EX2 – (EX)2 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to
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Varianz einer diskreten ZV
VX = 2 =
 x
 EX   f ( xi ) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to ap
2
i
Varianz einer stetigen ZV

VX = 2 =
 x  EX 
2
 f ( x )dx (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to app

7.2 Einige spezielle Verteilungen – Specific Distributions
7.2.1 Diskrete Verteilungen – Discrete Distributions
Binomialverteilung – Binomial Probability Distribution
N  Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit – Elements of the population
n  Anzahl der (unabhängigen) Experimente = Stichprobenumfang – sample size
p  Wahrscheinlichkeit des Erfolgs („günstigen“ Ausganges) eines Experiments,
bei dem nur zwei Ereignisse möglich sind.
x  Anzahl der Erfolge („günstigen“ Ereignisse) in der Stichprobe
n
nx
f ( x | n ; p )  W ( X  x )     p x  1  p  (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that yo
x
 
EX = n  p (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-13)
VX = n  p  (1-p) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-14)
Multinomialverteilung – Multinomial Probability Distribution
f1,2,...k (x1, x2, ... xk) = W(X1 = x1, ... Xk = xk) 
k
mit:
 xi  n und
i 1
k
p
i 1
i
n!
 p1x1  p 2x 2  ...  p kxk (Error! Use the Home tab to apply Übe
x1! x 2 !...  x k !
1
EX = n  pi (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-16)
VX = n  pi  (1-pi) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-17)
Hypergeometrische Verteilung – Binomial Probability Distribution
n  Stichprobenumfang
N  Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit
M  Anzahl der Erfolge in der Grundgesamtheit
=> p 
M
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-18)
N
 N  p  N  (1  p) 
 M N  M



 

f (x | n ; N ; p) =  x  n  x  =  x   n  x  (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that
 N
N
 
 
 n
n
EX = n  p (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-20)
VX = n  p  (1-p) 
N n
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear her
N 1
Poissonverteilung – Poisson Probability Distribution
f (x | ) =
x
x!
 e 
(mit: e = 2,7183...  Euler’sche Zahl)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the tex
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EX = VX = (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-23)
Gleichverteilung – Uniform Distribution
f (x) = 1 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-24)
N
EX =  =
x
i
 f ( xi )
VX = 2 =
 x
 EX   f ( xi ) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the
2
i
7.2.2 Stetige Verteilungen – Continuous Distributions
Normal Distribution
Normalverteilung
1
f ( x | , ) 
2  
1  x 
 

 e 2  
2
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want
x
F ( x|  ,  ) 
 f (v| , ) dv (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to app

EX = (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-28)
VX =  (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-29)
Die übliche Schreibweise dafür, dass eine Zufallsvariable X einer Normalverteilung
mit Mittelwert  und Standardabweichung  folgt, ist:
X  N () (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-30)
Standardnormalverteilung
– Standard Normal Distribution
Wenn X normalverteilt ist mit N(), dann ist
Z
X 

standardnormalverteilt [Z  N (0, 1)](Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text
mit:
EX = 0(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-32)
VX = 1 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-33)
–Verteilung [„Chi-Quadrat“] – Distribution
Seien Z1, Z2, ... Z unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariable,
dann ist die Summe:
Z12  Z 22  ...  Z2 - verteilt mit:(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to
E( Z12  Z 22  ...  Z2 ) = (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear h
V( Z12  Z 22  ...  Z2 ) = 2 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear
t –Verteilung (Studentverteilung) – t–Distribution (Student’s Distribution)
Ist Z eine standardnormalverteilte und Y eine mit  Freiheitsgraden -verteilte
Zufallsvariable und sind Z und Y unabhängig, dann ist die Zufallsvariable
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T
Z
t – verteilt mit:(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear he
Y

für   2(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear
ET = 0
VT =

 2
für   3(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear
7.2.3 Zentraler Grenzwertsatz – Central Limit Theorem
Seien X1, X2, ...., Xn als Stichproben aus einer Grundgesamtheit mit Mittelwert  und
Standardabweichung  gleich verteilte Zufallsvariablen, dann ist der arithmetische Mittelwert
dieser Verteilungen:
X
X 1  X 2  ...  X n
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text th
n
als Stichprobenfunktion normalverteilt mit
EX   und (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want t
VX 
2
n
,(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to a
so dass sich die Stichprobenstandardabweichung ergibt:
X 

n
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to ap
7.2.4 Approximationen von Verteilungen – Approximation of Distributions
Bei Vorliegen der angegebenen Bedingungen können Verteilungen und ihre
Parameter durch andere Verteilungen angenähert (approximiert) werden.
Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die Binomialverteilung
n
 0,05 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-44)
N
Approximation der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung
n  100 ; p  0,05(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-45)
Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die Poissonverteilung
n
 0,05 ; n  100 ; p  0,05(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appe
N
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
n  p  (1-p) > 9


9
 n 
 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want
p  1  p 

Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die Normalverteilung
n  p  (1-p) > 9 und
n
 0,05(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appea
N
Approximation der Poissonverteilung durch die Normalverteilung
 > 9(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-49)
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Approximation der –Verteilung durch die Normalverteilung
  100(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-50)
Approximation der t –Verteilung durch die Standardnormalverteilung
  30
  50
bei normalverteilten Grundgesamtheiten(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that y
bei nicht normalverteilten Grundgesamtheiten(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text
8 Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit – Statistical Inference
8.1 Schätztheorie: Stichprobenfunktionen – Estimation Theory
Stichprobenmittel – Sample Mean
X
x
Schätzfunktion „Stichprobenmittel“ (vgl. Abschnitt 7.2.3) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift
Stichprobenmittelwert (einer Stichprobe)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text tha


Mittelwert der Grundgesamtheit (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you wa

2
Varianz der Grundgesamtheit (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want
N n
N 1
Endlichkeitskorrektur - nur wenn
n
 0,05 .(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text
N
EX =  (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-6)
VX   X2 
2
n
[ggf. zu multiplizieren mit Endlichkeitskorrektur, vgl.(Error! Use the Home tab
to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-5)](Error! Use the Home tab to apply Überschrif
Stichprobenanteil – Sample Proportion
P
p̂
p
Schätzfunktion „Stichprobenanteil“ (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you wan
Stichprobenanteil (einer Stichprobe)(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you wan
Anteil der relevanten Elemente in der Grundgesamtheit
= Anteil der Erfolge = „empirische Wahrscheinlichkeit“(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to th
EP = p(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-11)
p  (1  p)
VP   P2 
[ggf. zu multiplizieren mit Endlichkeitskorrektur, vgl. (Error! Use the Home
n
tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-5)](Error! Use the Home tab to apply Übersc
8.2 Konfidenzintervalle zur Parameterschätzung – Confidence Intervals
gu / go
Untere / obere Grenze des Vertrauensbereiches(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the te
1-
Sicherheitsgrad (Konfidenzniveau) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you
8.2.1 Konfidenzintervall für den Mittelwert – Confidence Interval for the Mean
( = „wahrer“ Mittelwert der Population)
gu  x  zc X (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-15)
g o  x  zc X (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-16)
Konfidenzintervall – Confidence Interval
W ( x  z c X 
  x  z c X )  1   (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text t
mit:
zc kritischer Z-Wert
– critical value
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(Standardnormalverteilung Z  N (0, 1)) für den vor gegebenen Sicherheitsgrad 1-

Tabellierung der Standardnormalverteilung, Tafel 4
Achtung, für zc wird immer nur der positive Wert verwendet
 X die Standardabweichung des Stichprobenmittels
– standard error of the mean (SEM)
für diese ist eine Fallunterscheidung erforderlich
Fallunterscheidung zur Ermittlung der Stichprobenstandardabweichung –
Standard Error of the Mean (SEM)

X
1. Fall:  bekannt; Grundgesamtheit normalverteilt oder n  50
X 
X 

bei Stichproben mit Zurücklegen oder n  0,05 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 t
N
n

n
N n
bei Stichproben ohne Zurücklegen und
N 1
n
 0,05 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 t
N
[Vergleiche zur Endlichkeitskorrektur (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that
you want to appear here.-5)]
2. Fall:  unbekannt; Verteilung der Grundgesamtheit unbekannt; n  50 und
3. Fall:  unbekannt; Grundgesamtheit normalverteilt; n > 30
Verwendung der Stichprobenstandardabweichung s statt 
2
s
mit
1 n
 xi  x  (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear
n  1 i 1
so dass für die Standardabweichung des Stichprobenmittels gilt:
X 
s
n
X 
s
n
bei Stichproben mit Zurücklegen oder n  0,05 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1
N
N n
N 1
bei Stichproben ohne Zurücklegen und n  0,05 (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1
N
[Vergleiche zur Endlichkeitskorrektur (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that
you want to appear here.-5)]
4. Fall:  unbekannt; Grundgesamtheit normalverteilt; n  30
Verwendung der Stichprobenstandardabweichung s (nach (Error! Use the Home tab to apply
Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-20)) statt 
Verwendung der Studentverteilung statt der Standardnormalverteilung, d.h. tc statt zc:
tc

der kritische (critical) t-Wert (Studentverteilung) für
den vorgegebenen Sicherheitsgrad 1-
Tabellierung der Studentverteilung, Tafel 6 mit  = n – 1 Freiheitsgraden
Ablesen von tc jeweils an der Stelle:
 zweiseitiger Test:
F ( tc | ) = 1 – oder D ( tc | ) = 1 – 
 einseitiger Test:
F ( tc | ) = 1 – 
Überblick über Fälle für Stichprobenstandardabweichung  X (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to th
Standardabweichung  der Grundgesamtheit
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bekannt
X 
Stichprobe mit
Zurücklegen
Stichprobe
ohne
Zurücklegen
n
 0,05
N
n
 0,05
N
X 
X 

n
unbekannt

n
X 

s
n
n
N n
N 1
X 
s
n
N n
N 1
8.2.2 Konfidenzintervall für den Anteilswert – Confidence Interval for the Proportion
9
Bei einem ausreichend großen Stichprobenumfang: n 
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 t
p(1  p )
ist der Stichprobenanteil p̂ annähernd normalverteilt.
gu  pˆ  zc pˆ (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-25)
g o  pˆ  z c  pˆ (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-26)
Konfidenzintervall – Confidence Interval
W ( pˆ  z c  Pˆ  p  pˆ  z c  Pˆ )  1   (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text tha
Dabei ist (analog zum Vertrauensbereich für den Mittelwert):
 Pˆ 
pˆ 1  pˆ 
n
 Pˆ 
pˆ 1  pˆ 
n
bei Stichproben mit Zurücklegen oder n  0,05 (Error! Use the Home tab to apply Übersc
N
N n
N 1
bei Stichproben ohne Zurücklegen und n  0,05 (Error! Use the Home tab to apply Übersc
N
[Vergleiche zur Endlichkeitskorrektur (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that
you want to appear here.-5)]
8.2.3 Notwendiger Stichprobenumfang – Sample Size
 maximaler absoluten Fehler
Schätzung des Mittelwertes :
Bei bekannter Standardabweichung :
n
zc2 2
bei Stichproben mit Zurücklegen(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the t
2
zc2 N 2
n 2
 ( N  1)  zc2 2
bei Stichproben ohne Zurücklegen(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the
Wenn Standardabweichung nicht bekannt ist:
Verwendung von s (nach (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you
want to appear here.-20)) statt  und der Studentverteilung  tc statt zc:
n
tc2 s 2
2
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-32)
Mindestens muss in diesem Fall jedoch n > 50 sein.
Schätzung des Anteilswertes p:
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Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the
Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
z c2 pˆ (1  pˆ )
n
bei Stichproben mit Zurücklegen(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to th
2
z c2 N pˆ (1  pˆ )
 2 ( N  1)  z c2 pˆ (1  pˆ )
n
bei Stichproben ohne Zurücklegen(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to
Für p wird wieder der Stichprobenanteil p̂ oder p (1-p) = 0,25 (vgl. Error! Reference source not
found.)
Erratum: In der gedruckten Auflage findet sich auf der Seite 17 unten eine Fehlermeldung. Der
betreffende Satz kann gestrichen werden. In den beiden Formeln (8-33) und (8-34) sind die
Buchstaben p jeweils mit einem "Dach" (^) zu versehen.
8.3 Hypothesentests – Hypothesis Testing
H0
H1
1-

Nullhypothese (zu testende Ausgangshypothese) – null hypothesis
Alternativhypothese
Sicherheitsgrad (Konfidenzniveau - aber auch „Signifikanzniveau“ s.u.) – significance
Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit - Achtung, Bezeichnung von  und 1- in der Literatur uneinheitlich)
zc
kritischer Wert (bzw. tc oder  c2 )
 aus Tabelle abzulesen
zX
Prüfgröße (bzw. t oder 2)
 zu errechnen
critical value
Schritte eines Hypothesentests
1. Aufstellen von H0 und H1
2. Festlegen des Signifikanzniveaus (hier i.d. Aufgabenstellung - in der Praxis selbst zu tun)
3. Bestimmen von  X (Fallunterscheidung)
4. Aufstellen der Entscheidungsregeln über die Ablehnung von H0:
Ermittlung der Testgröße durch Ablesen in der entsprechenden Tabelle
 kritischer Wert zc (bzw. tc oder  c2 )
Variante A: Testentscheidung auf Basis absoluter Werte: kritischen Grenzen c (bzw. pc):
5. Ermittlung der kritischen Grenzen (Unter- und Obergrenze) für x bzw. p̂ 
 cu   0  z c   X
bzw.
pcu  p0  z c   pˆ
(Error! Use the Home tab to apply
Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-35)
bzw. pcu  p0  z c   pˆ
(Error! Use the Home tab to apply
 co   0  z c   X
Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-36)
6. Entscheidungsregel: Ablehnung von H0, wenn:
(analog für Testwerte t und 2)
x >  co
bzw. pˆ  p co
bei rechts- oder zweiseitigem Test oder (Error! Use the Home
tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-37)
x <  cu
bzw. pˆ  p cu
bei links- oder zweiseitigem Test (Error! Use the Home tab to
apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-38)
7. Interpretation des Ergebnisses
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Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
Variante B: (einfacher aber fehleranfälliger) „Z-Test“
Testentscheidung auf Basis der standardisierten Z-Werte
(bzw. t x , z pˆ , 2 oder t – siehe Kapitel 8.4 bis 8.4.4)
5. Berechnung der Prüfgröße z X
6. Anwendung der Entscheidungsregel
(analog für die anderen Prüfgrößen)
wenn | z X | > | zc |  Ablehnung von H0
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that y
7. Interpretation des Ergebnisses
Bei Verwendung von Variante B muss die entsprechende Prüfgröße
(je nach Fragestellung aus Kapitel 8.4 bis 8.4.4) ermittelt werden:
8.4 Parametrische Tests – Parametric Tests
8.4.1 Testen von Mittelwerten – Testing Means
0
vermuteter bzw. angegebener Wert, von dem mit dem statistischen Test untersucht
werden soll, ob er – auf Basis der Daten – der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit
sein kann.
Prüfgröße:
zX 
x  0
X
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-40)
Ablesen von zc jeweils an der Stelle:
 zweiseitiger Test – two-tailed test:
dies entspricht:
 einseitiger Test – one-tailed test:
(einseitiger Test, linksseitig kritischer Bereich
kann auch abgelesen werden mittels:

D ( zc )
FSN ( zc )
=1–
= 1 – 
FSN ( zc )
= 1 – 
FSN (–zc)
=
Tabellierung der Standardnormalverteilung, Tafel 4.
Für die Ermittlung von  X ist die in Punkt „Konfidenzintervalle“ dargestellte Fallunterscheidung
notwendig (vgl. Abschnitt 8.2.1).
Dabei ergibt sich im 4. Fall ( unbekannt; Grundgesamtheit normalverteilt; n  30) die
Prüfgröße:
tx 
x  0
s
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-41)
n
8.4.2 Testen von Anteilswerten – Testing Proportions
p0
vermuteter bzw. angegebener Anteilswert, von dem mit dem statistischen Test unter-
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Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
sucht werden soll, ob er – auf Basis der Daten – der wahre Anteilswert der
Grundgesamtheit sein kann.
Für n 
9
ergibt sich die (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appe
p(1  p )
Prüfgröße:
z pˆ 
pˆ  p0
 pˆ
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-42)
Dabei ist wiederum die in Abschnitt 8.2.2 vorgenommene Fallunterscheidung für  p̂ zu beachten.
8.4.3 Zweistichprobentests – Two Sample Tests
Es liegen zwei unabhängige Stichproben X1, X2 vor. Die Frage ist, ob die beiden aus gleichen
Grundgesamtheiten stammen können oder ob sich die Populationen signifikant unterscheiden.
H0: Die Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit.
Mittelwertdifferenz zweier unabhängiger Stichproben („t-Test“)
H0: 1 = 2  1 – 2 = 0(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear h
Prüfgröße: t 
x1  x2
s12 s 22

n1 n2
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear
ist t-verteilt mit  = n1 + n2 - 2 Freiheitsgraden
Differenzen von Anteilswerten zweier unabhängiger Stichproben
H0:p1 = p2  p1 – p2 = 0(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear h
Prüfgröße: z 
8.4.4
pˆ 1  pˆ 2
n  n2
P  (1  P)  1
n1  n 2
mit : P 
pˆ 1 n1  pˆ 2 n 2
n1  n 2
(für n1 > 30 und n2 > 30)(Error!
Use the Home tab
Testen der Regressionskoeffizienten bei Mehrfachregression – Testing Coefficients
of Multivariate Regressions
Wird das Modell der linearen Einfachregression (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1
to the text that you want to appear here.-7) um die Berücksichtigung mehrerer Einflussfaktoren
erweitert, so sprechen wir von multipler Regression oder Mehrfachregression:
yˆ  b0  b1 x1  b2 x2  ...  bk xk (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want
Es ergeben sich für die k einzelnen Schätzkoeffizienten bi (die gesuchten „wahren“ Werte)
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Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.
jeweils Schätzwerte b̂i und Standardabweichungen sbi.
Es ist zu testen, ob die einzelnen xi einen signifikanten Einfluss auf y haben.
Ausgangshypothesen:
kein signifikanter Einfluss:
(  i = 1, …. k )(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to ap
H0 : bi = 0
Daraus ergibt sich als
Prüfgröße:
ti 
bˆi
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-4
s bi
die mit  = n – k Freiheitsgraden studentverteilt ist.
Tabellierung der Studentverteilung, Tafel 6
Der Test wird für jedes bi einzeln durchgeführt.
8.5 Nicht-Parametrische Tests – Non-Parametric Tests
8.5.1 Chi-Quadrat Unabhängigkeitstest – Chi-Square Test of Independence
Test der Hypothese H0, dass zwei Zufallsvariable X und Y voneinander unabhängig sind.
Anwendbar ab dem Mindestwert für erwartete Häufigkeiten: he(xj , yk) > 5  j, k (Error! Use the Home tab to app
Ermittlung des 2-Wertes mit Hilfe der erwarteten Häufigkeiten he aus der Kontingenztabelle:
Prüfgröße:  
2
q
m

h( x ; y
j
)  he ( x j ; y k ) 
2
k
he ( x j ; y k )
j 1 k 1
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text tha
Ablesen des kritischen 2-Wertes  c2 in der Tabelle mit
 = (m-1)  (q-1)
Freiheitsgraden – degrees of freedom (dof) (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the
8.5.2 Chi-Quadrat Anpassungstest – Chi-Square Test for Distributions
H0: Die Grundgesamtheit folgt einer bestimmten Verteilung.
(für hei > 5  i - vgl. (Error! Use the
Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here.-50))
Ermittlung des 2-Wertes mit Hilfe der erwarteten Häufigkeiten he aus der Kontingenztabelle:
Prüfgröße:  
2
n

i 1
h  h 
e 2
i
i
hie
(Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appe
Ablesen des kritischen 2-Wertes  c2 in der Tabelle mit  = (n-1) Freiheitsgraden.(Error! Use the Home tab to appl
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9 Tabellenanhang
Dieser Tabellenanhang wurde weitgehend entnommen aus: Puhani, Josef: „Kleine Formelsammlung
zur Statistik“ 1994, BVB Bamberg. Vgl. die weiteren Quellenangaben (s.u.).
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Ablesen der Tabellen der Standardnormalverteilung:
FSN(z) = 1 

2
misst die Fläche links des positiven Wertes z:
z
FSN ( z ) 
 f ( x) dx  W (Z  z ) , d.h. die Wahrscheinlichkeit,

dass die standardisierte Zufallsvariable Z höchstens den
Wert z annimmt.
D(z) = 1-
misst die Fläche des symmetrischen Sicherheitsbereiches:
z
D( z ) 
 f ( x) dx
 W (  z  Z  z )  FSN ( z )  FSN (  z ) ,
z
d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die standardisierte Zufallsvariable Z
einen Wert zwischen –z und z annimmt.
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Tafel 6 a
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Tafel 6 b
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Inhaltsverzeichnis
Inhalt der
Formelsammlung – Formulary
Table of Contents
Teil I Deskriptive (beschreibende) Statistik
Descriptive Statistics
1 Grundlagen – Fundamentals .............................................................................................. 1
2 Auswertung und Darstellung eindimensionaler Daten –
Analysing and Displaying One-dimensional Data ................................................................... 1
2.1 Häufigkeiten – Frequencies .......................................................................................................... 1
2.2 Lagemaße (Mittelwerte) – Measures of Central Tendency (Averages)................................................ 2
2.3 Streuungsmaße – Measures of Variability / Deviation ................................................................... 3
3 Zusammenhänge zwischen mehrdimensionalen Daten –
Relations between Multi-Dimensional Variables ..................................................................... 4
3.1 Allgemeine Grundbegriffe – Basic Concepts ............................................................................. 4
3.2 Zusammenhänge zwischen metrisch skalierten Merkmalen –
Correlation of metrically scaled Variables ............................................................................................... 4
3.3 Rangkorrelationen für ordinal skalierte Merkmale (nach Spearman) –
Rank Correlation for ordinal Variables (Spearman’s ) ......................................................................... 5
3.4 Kontingenzanalyse bei nominal skalierten Variablen – Contingency Measures (Association of
nominal Variables) ............................................................................................................................ 5
4 Elemente der Zeitreihenanalyse – Time Series Analysis (TSA) ...................................... 6
4.1 Komponenten einer Zeitreihe – Components of a Time Series ....................................................... 6
4.2 Glättung durch Gleitende Durchschnitte – Smoothing with Moving Averages (MA) ........................... 6
4.3 Glättung durch lineare Trendfunktion – Smoothing with a Linear Trend Function .............................. 6
4.4 Ermittlung der (additiven) Saisonkomponente und Saisonbereinigung –
Analysis of Seasonality ...................................................................................................................... 7
4.5 Prognosen – Forecasting .............................................................................................................. 7
5 Maß- und Indexzahlen – Index Numbers ......................................................................... 8
5.1 Verhältniszahlen – Ratios .......................................................................................................... 8
5.2 Preis- und Mengenindizes – Price and Quantity Indices ................................................................. 8
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Seite i
Inhaltsverzeichnis – Table of contents
Teil II Induktive (schließende) Statistik
Statistical Inference
6 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeitsrechnung – Combination Theory &
Probabilities ........................................................................................................................... 9
6.1 Kombinatorik – Combination Theory ............................................................................................. 9
6.2 Grundbegriffe und Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung –
Basic Concepts and Definitions of Calculus of Probabilities ........................................................................ 9
6.3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten – Calculation with Probabilities.............................................. 10
7 Theoretische Verteilungen – Theoretical Distributions ................................................... 11
7.1 Zufallsvariablen – Random Variables .......................................................................................... 11
7.1.1 Dichte- und Verteilungsfunktion –
Density and Distribution Function (Cumulated Density function - cdf) .................................................... 11
7.1.2 Parameter von Verteilungen – Parameters of Distributions ........................................................... 11
7.2 Einige spezielle Verteilungen – Specific Distributions .................................................................. 12
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
Diskrete Verteilungen – Discrete Distributions .............................................................................. 12
Stetige Verteilungen – Continuous Distributions ............................................................................ 13
Zentraler Grenzwertsatz – Central Limit Theorem ......................................................................... 14
Approximationen von Verteilungen – Approximation of Distributions ........................................... 14
8 Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit – Statistical Inference ............. 15
8.1 Schätztheorie: Stichprobenfunktionen – Estimation Theory ....................................................... 15
8.2 Konfidenzintervalle zur Parameterschätzung – Confidence Intervals .......................................... 15
8.2.1 Konfidenzintervall für den Mittelwert – Confidence Interval for the Mean..................................... 15
8.2.2 Konfidenzintervall für den Anteilswert – Confidence Interval for the Proportion ........................... 17
8.2.3 Notwendiger Stichprobenumfang – Sample Size........................................................................ 17
8.3 Hypothesentests – Hypothesis Testing ..................................................................................... 18
8.4 Parametrische Tests – Parametric Tests ..................................................................................... 19
8.4.1
8.4.2
8.4.3
8.4.4
Testen von Mittelwerten – Testing Means .................................................................................. 19
Testen von Anteilswerten – Testing Proportions .......................................................................... 19
Zweistichprobentests – Two Sample Tests .................................................................................. 20
Testen der Regressionskoeffizienten bei Mehrfachregression –
Testing Coefficients of Multivariate Regressions ................................................................................. 20
8.5 Nicht-Parametrische Tests – Non-Parametric Tests .................................................................... 21
8.5.1 Chi-Quadrat Unabhängigkeitstest – Chi-Square Test of Independence ......................................... 21
8.5.2 Chi-Quadrat Anpassungstest – Chi-Square Test for Distributions ................................................... 21
9 Tabellenanhang ................................................................................................................. 22
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Seite ii
Inhaltsverzeichnis – Table of contents
******* HIERVOR EINMAL EDITIERT *****
Inhalt der
Formelsammlung – Formulary
Table of Contents
1 Grundlagen – Fundamentals .................................................................................................. 1
2 Auswertung und Darstellung eindimensionaler Daten – Analysing and Displaying
One-dimensional Data .................................................................................................................. 1
2.1 Häufigkeiten – Frequencies .......................................................................................................... 1
2.2 Lagemaße (Mittelwerte) – Measures of Central Tendency (Averages)................................................ 2
2.3 Streuungsmaße – Measures of Variability / Deviation ................................................................... 3
3 Zusammenhänge zwischen mehrdimensionalen Daten – Relations between MultiDimensional Variables .................................................................................................................. 4
3.1 Allgemeine Grundbegriffe – Basic Concepts ............................................................................. 4
3.2 Zusammenhänge zwischen metrisch skalierten Merkmalen – Correlation of metrically scaled
Variables ........................................................................................................................................ 4
3.3 Rangkorrelationen für ordinal skalierte Merkmale (nach Spearman) – Rank Correlation for
ordinal Variables (Spearman’s ) .................................................................................................... 5
3.4 Kontingenzanalyse bei nominal skalierten Variablen – Contingency Measures (Association of
nominal Variables) ............................................................................................................................ 5
4 Elemente der Zeitreihenanalyse – Time Series Analysis (TSA) .............................................. 6
4.1 Komponenten einer Zeitreihe – Components of a Time Series ....................................................... 6
4.2 Glättung durch Gleitende Durchschnitte – Smoothing with Moving Averages (MA) ........................... 6
4.3 Glättung durch lineare Trendfunktion – Smoothing with a Linear Trend Function .............................. 6
4.4 Ermittlung der (additiven) Saisonkomponente und Saisonbereinigung – Analysis of
Seasonality ..................................................................................................................................... 7
4.5 Prognosen – Forecasting .............................................................................................................. 7
5 Maß- und Indexzahlen – Indices........................................................................................ 8
5.1 Verhältniszahlen – Ratios .......................................................................................................... 8
5.2 Preis- und Mengenindizes – Price and Quantity Indices ................................................................. 8
6 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeitsrechnung – Theory of Combination & Probabilities ...... 9
6.1 Kombinatorik – Combination Theory ............................................................................................. 9
6.2 Grundbegriffe und Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung – Basic Concepts and
Definitions of Calculus of Probabilities ................................................................................................... 9
6.3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten – Calculation with Probabilities.............................................. 10
7 Theoretische Verteilungen – Theoretical Distributions .......................................................... 11
7.1 Zufallsvariablen – Random Variables .......................................................................................... 11
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Seite iii
Inhaltsverzeichnis – Table of contents
7.1.1 Dichte- und Verteilungsfunktion – Density and Distribution Function (Cumulated Density
function - cdf) .................................................................................................................................. 11
7.1.2 Parameter von Verteilungen – Parameters of Distributions ........................................................... 11
7.2 Einige spezielle Verteilungen – Specific Distributions .................................................................. 12
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
Diskrete Verteilungen – Discrete Distributions .............................................................................. 12
Stetige Verteilungen – Continuous Distributions ............................................................................ 13
Zentraler Grenzwertsatz – Central Limit Theorem ......................................................................... 14
Approximationen von Verteilungen – Approximation of Distributions ........................................... 14
8 Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit – Statistical Inference ............. 15
8.1 Schätztheorie: Stichprobenfunktionen – Estimation Theory ....................................................... 15
8.2 Konfidenzintervalle zur Parameterschätzung – Confidence Intervals .......................................... 15
8.2.1 Konfidenzintervall für den Mittelwert – Confidence Interval for the Mean..................................... 15
8.2.2 Konfidenzintervall für den Anteilswert – Confidence Interval for the Proportion ........................... 17
8.2.3 Notwendiger Stichprobenumfang – Sample Size........................................................................ 17
8.3 Hypothesentests – Hypothesis Testing ..................................................................... 18
8.4 Parametrische Tests – Parametric Tests ..................................................................................... 19
8.4.1
8.4.2
8.4.3
8.4.4
Testen von Mittelwerten – Testing Means .................................................................................. 19
Testen von Anteilswerten – Testing Proportions .......................................................................... 19
Zweistichprobentests – Two Sample Tests .................................................................................. 20
Testen der Regressionskoeffizienten bei Mehrfachregression – Testing Coefficients of
Multivariate Regressions .................................................................................................................. 20
8.5 Nicht-Parametrische Tests – Non-Parametric Tests .................................................................... 21
8.5.1 Chi-Quadrat Unabhängigkeitstest – Chi-Square Test of Independence ......................................... 21
8.5.2 Chi-Quadrat Anpassungstest – Chi-Square Test for Distributions ................................................... 21
9 Tabellenanhang ................................................................................................................. 22
******* HIERVOR EINMAL EDITIERT *****
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