1 - Dirk Berghaus, Friday May 05, 2006 Friday May 05, 2006, 20:25

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Dirk Berghaus, Samstag,
April 08,
Aufgabe 1: Definitionen
Geben Sie für folgende Konstrukte die entsprechenden Definitionen an:
1. Ungerichteter Graph, Gerichteter Graph, Kantengewichteter und Ungerichteter Graph,
Knotengewichteter und Gerichteter Graph
Definition: Ungerichteter Graph
G = (V, E) heißt ungerichteter Graph 
(i)
V ≠ Ø ist endliche Menge von Knoten.
(ii)
E ist eine Menge ein- und zweielementiger Teilmengen von V.
E heißt Kantenmenge, ein Paar {u, v} E heißt Kante. Eine Kante {u} heißt
Schlinge.
Definition: Gerichteter Graph
G = (V, E) heißt gerichteter Graph 
(i)
V ≠ Ø ist endliche Menge von Knoten. (V: Vertices)
(ii)
E V x V heißt Kantenmenge. Elemente von E heißen Kanten. (E: Edges)
Schreibweise: (u, v) oder u → v.
Definition: Kantengewichteter ungerichteter Graph
f: E → ME
G = (V, E, f) mit G’ = (V, E) ist ungerichteter Graph
Definition: Knotengewichteter gerichteter Graph
f: V → MV
G = (V, E, f) mit G’ = (V, E) ist gerichteter Graph
2. Kantenfolge, Kantenzug, Weg, Zyklus
Definition: Kantenfolge
 Sei G = (V, E) ein (un)gerichteter Graph und k = (v0, ..., vn) Vn+1 eine Folge von n+1
Knoten
 k heißt Kantenfolge der Länge n (also |k| = n) von v0 nach vn, wenn für alle i {0, ...,
n-1} gilt: (vi, vi+1) E.
v1, ..., vn-1 sind die inneren Knoten der Kantenfolge k.
Ist v0 = vn, so ist die Kantenfolge geschlossen.
Definition: Kantenzug
 Sei G = (V, E) ein (un)gerichteter Graph und k = (v0, ..., vn) Vn+1 eine Folge von n+1
Knoten
 k heißt Kantenzug der Länge n von v0 nach vn, wenn k Kantenfolge der Länge n von
v0 nach vn ist und wenn für alle i, j {0, ..., n-1} mit i ≠ j gilt:
(vi, vi+1) ≠ (vj, vj+1). Im Kantenzug kommt also keine Kante mehrfach vor.
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April 08,
Definition: Weg
 Sei G = (V, E) ein (un)gerichteter Graph und k = (v0, ..., vn) Vn+1 eine Folge von n+1
Knoten
 k heißt Weg der Länge n von v0 nach vn, wenn k Kantenfolge der Länge n von v0 nach
vn ist und wenn für alle i, j {0, ..., n} mit i ≠ j gilt: vi ≠ vj. In einem Weg kommt also
kein Knoten mehrfach vor.
Definition: Zyklus
 Sei G = (V, E) ein (un)gerichteter Graph und k = (v0, ..., vn) Vn+1 eine Folge von n+1
Knoten
 k heißt Zyklus oder Kreis der Länge n, wenn k geschlossene Kantenfolge der Länge n
von v0 nach vn und wenn k' = (v0, ..., vn-1) ein Weg ist. Ein Graph ohne Zyklus heißt
kreisfrei, zyklenfrei oder azyklisch.
Aufgabe 2: Kantenfolge, Kantenzug, Weg, Pfad, Zyklus
Überprüfen Sie für jede der angegebenen Sequenzen von Knoten (für den gegebenen
Graphen) die folgenden Aussagen:
 Die Sequenz ist eine Kantenzug (evtl. geschlossen?)
 Die Sequenz ist eine Kantenfolge
 Die Sequenz ist ein Weg
 Die Sequenz ist ein Zyklus
k1 = (1, 2, 4, 7), k2 = (1, 2, 6, 8, 9), k3 = (2, 6, 9, 8, 4, 2, 6, 3), k4 = (6, 3, 2, 6, 9, 8, 6)
k5 = (2, 6, 9, 8, 4), k6 = (2, 6, 3, 2, 6, 9, 8, 4, 2), k7 = (2, 6, 3), k8 = (2, 6, 9, 8, 4, 2)
k1: nichts
k2: nichts
k3: Kantenfolge
k4: Geschlossener Kantenzug, Geschlossene Kantenfolge
k5: Kantenzug, Weg, Kantenfolge
k6: Geschlossene Kantenfolge
k7: Kantenzug, Weg, Kantenfolge
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k8: Geschlossener Kantenzug, Zyklus, Kantenfolge
Aufgabe 3: Binäre Suchbäume
Bauen Sie für die folgenden Schlüssel einen binären Suchbaum auf und stellen Sie diesen
graphisch dar. Die Schlüssel sind genau in der vorgegebenen Reihenfolge einzufügen:
Schlüsselfolge: 17, 4, 15, 20, 22, 21, 23, 18, 2, 0, 19, 1, 5, 7
a) Durchlaufen Sie den Baum nach den drei Strategien Preorder, Inorder und Postorder.
Preorder (Wurzel, Links, Rechts):
Inorder (Links, Wurzel, Rechts):
Postorder (Links, Rechts, Wurzel):
17, 4, 2, 0, 1, 15, 5, 7, 20, 18, 19, 22, 21, 23
0, 1, 2, 4, 5, 7, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
1, 0, 2, 7, 5, 15, 4, 19, 18, 21, 23, 22, 20, 17
b) Es soll die Wurzel (Knoten 17) gelöscht werden, ohne dass der Baum völlig neu
aufgebaut wird. Verwenden Sie die beiden hierfür existierenden Möglichkeiten, und
erläutern Sie diese jeweils kurz.
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Möglichkeiten:
 Ersetzung durch den größten Wert aus dem linken Teilbaum
 Ersetzung durch den kleinsten Wert aus dem rechten Teilbaum
 Anhängung des rechten Teilbaums an das größte Element des linken Teilbaums
 Anhängung des linken Teilbaums an das kleinste Element des rechten Teilbaums
Aufgabe 4: Traversierung ungerichteter Graphen
Geben Sie die Definitionen der graphisch repräsentierten Graphen an. Führen Sie bei jeden
Graphen je einen Tiefen-, und einen Breitendurchlauf durch, beginnend bei den Knoten 1 und
9.
Breitendurchlauf = BFS
G1: 1, 2, 4, 6, 7, 8, 3, 5, 9
G2: 9, 8, 6, 7, 5, 3, 4, 2, 1
Tiefendurchlauf = DFS
G1: 1, 2, 6, 8, 9, 5, 4, 7, 3
G2: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 1, 2, 3