Ergänzungen zum Kapitel 2b

Vorlesung: Physik II
Ergänzungen zum Kapitel 2b. Gedämpfte Schwingungen
Die Lösung des Schwingungsproblems
Die komplexe Schwingungsgleichung hat die Form:
zt   2    zt    02  z t   0 ,
(1)
die durch eine komplexe Funktion z t  gelöst werden muss. Man bezeichnet  0 als die
Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung und  als Abklingkonstante der
Schwingung. In der Vorlesung werden Schwingungen am Beispiel des Federpendels
behandelt. Für ein Federpendel gilt: Die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung ist
gegeben durch:
0 
D
,
m
(2)
wobei D die Federkonstante und m die Masse des Pendels bezeichnet. Die Abklingkonstante 
ist gegeben durch:

b
,
2m
(3)
wobei b die Dämpfungskonstante der geschwindigkeitsabhängigen Reibungskraft
FRe ibung darstellt. Es gilt:
FRe ibung  b  vt   b  x t  .
(4)
Hierbei ist: vt   xt   Rezt  der Realteil der komplexen Geschwindigkeitsfunktion zt  .
Die Differentialgleichung (1) kann mit Hilfe einer komplexen Exponentialfunktion gelöst
werden:
zt   z0  e t .
(5)
Dabei sind z(t), z0 und  Elemente der Menge der komplexen Zahlen. Wie in der Vorlesung
gezeigt, ergibt sich mit Hilfe dieses Ansatzes die folgen charakteristische Gleichung für den
(komplexen) Exponenten  :
      2   02 .
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(6)
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Beachte: Sowohl die Abklingkonstante  als auch die Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften
Schwingung  0 sind reelle Zahlen. Da der Radikand aber sowohl positiv als auch negativ
sein kann, ist die Wurzel je nach Vorzeichen entweder reell oder imaginär und der Exponent
 wird dadurch im allgemeinen Fall eine komplexe Zahl. Zur Beschreibung der
physikalischen Größen der Schwingung, wie Auslenkung (Amplitude) oder Geschwindigkeit,
benötigt man aber reelle Lösungsfunktionen. Im folgenden werden diese reellen Lösungen für
einige spezielle Anfangsbedingungen bestimmt.
Zur Vereinfachung der Diskussion der Lösungen unterscheidet man zunächst die drei
folgenden Fälle: 1.  2   02 , 2.  2   02 und 3.  2   02 .
1.
 2   02 : Schwingfall
1.1.
Bestimmung der allgemeinen Schwingfalllösungen
Dieser Fall tritt auf, wenn die Abklingkonstante  kleiner ist als die Eigenfrequenz der
ungedämpften Schwingung  0 , d. h.  2   02 . Der Radikand unter der Wurzel in der
Gleichung (6) ist mit dieser Nebenbedingung immer eine negativ und deshalb kann die
Wurzel nur durch eine rein imaginäre Zahl gelöst werden. Man definiert deshalb als reelle
Größe:
 e   02   2
(7)
die als Eigen(kreis)frequenz der gedämpften Schwingung bezeichnet wird, wobei wegen der
Bedingung, dass  02   2 gelten soll,  e2 eine positive reelle Zahl ist und deshalb die Wurzel
durch die reellen Zahlen   e gelöst wird. Durch Umstellen der Gleichung (6) kann der
Exponent  in der folgenden Form dargestellt werden:
1, 2   
 1   02   2      1   e2
   i   e
(8)
(Beachte: 1,2 entspricht den beiden komplexe Lösungen 1 und 2. In beiden Fällen ist der
Realteil  gleich, die Imaginärteile  i   e und  i   e unterscheiden sich durch das
Vorzeichen: 1      e und 1      e .)
Die allgemeine komplexe Lösung der Differentialgleichung für den Schwingfall ist eine
Linearkombination der beiden linear unabhängigen Teillösungen: z1 t   z01  e   t ie t und
z 2 t   z 02  e   t i e t :
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
1.2.
zt   z01  e   t ie t  z02  e   t ie  t  e   t  z01  e ie t  z02  e ie t
Bestimmung der reellen Schwingfalllösungen

(9)
Zur Bestimmung der reellen Lösungsfunktionen drückt man die komplexen Amplituden z01
und z02 als Summe von Real- und Imaginärteil aus:
z 01  u1  i  v1 und z 02  u 2  i  v2 ,
(10)
wobei u1, u2, v1 und v2 reelle Zahlen sind.
Man verwendet außerdem die Eulersche Gleichung:
e  i e t  cos  e t  i  sin  e t
(11)
Mit Hilfe der Gleichungen (10) und (11) kann man die komplexe Exponentialfunktion
Funktion z(t) in ihren Real- und ihren Imaginärteil trennen.
u1  i  v1   cos  e t  u1  i  v1   i  sin  e t 

z (t )  e   t 










u

i

v

cos

t

u

i

v


i

sin

t
2
2
e
2
2
e


u1  cos  e t  i  v1  cos  e t  i  u1  sin  e t  v1  sin  e t  
 e   t 

 u 2  cos  e t  i  v 2  cos  e t  i  u 2  sin  e t  v 2  sin  e t 
(12)
u1  cos  e t  u 2  cos  e t  v1  sin  e t  v 2  sin  e t 

 e   t 

 i  v1  cos  e t  u1  sin  e t  v 2  cos  e t  u 2  sin  e t 
u1  u 2   cos  e t  v 2  v1   sin  e t 

 e   t 

 i  v1  v 2   cos  e t  u1  u 2   sin  e t 
Der Realteil xt  von z t  ist also:
xt   Rez(t )  e   t u1  u 2  cos  e t  v2  v1  sin  e t 
(13)
Zur Vereinfachung der Darstellung definiert man a und b als neue reelle Amplituden durch:
a : v2  v1 und b : u1  u2 . Die allgemeine Form der reellen Auslenkung (Amplitude) für
den Schwingfall ist eine Überlagerung einer Exponentialfunktion und einer
Linearkombination von trigonometrischen Funktionen:
xt   e   t a  sin  e t  b  cos  e t 
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Die (reelle) Geschwindigkeit v(t )  x (t ) wird durch Ableitung der (reellen) Auslenkung
(Amplitude) nach der Zeit gewonnen:
vt   x t  


d   t
e a  sin  e t  b  cos  e t  
dt

 

 e   t      a  sin  e t  e   t  a  cos  e t   e  e   t      b  cos  e t  e   t  b  sin  e t   e 
(15)
 e   t a   e  b     cos  e t  b   e  a   sin  e t 
Zusammenfassung:
Die allgemeinen (reellen) Lösungen für die Auslenkung (Amplitude) x(t ) und
Geschwindigkeit x (t ) beim Schwingfall lauten:
Auslenkung:
xt   e   t a  sin  e t  b  cos  e t 
(16)
Geschwindigkeit:
xt   e   t a   e  b     cos  e t  b   e  a   sin  e t 
(17)
Die beiden Faktoren a und b sind reelle Konstanten, die durch die Wahl von speziellen
Anfangsbedingungen, d. h. einer Anfangsauslenkung, xt 0  0 , und einer
Anfangsgeschwindigkeit, x t 0  0 , festgelegt werden können.
1.3.
Lösung für die Anfangsbedingungen: xt 0  0  x0 und x t 0  0  0
Das Federpendel soll zum Zeitpunkt t0 = 0 eine bestimmte feste Auslenkung xt 0  0  x0
haben und mit der Geschwindigkeit x t 0  0  0 losgelassen werden. Die
Bedingungsgleichungen lauten:
xt 0  0  x0 und xt 0  0  0
(18)
Zum Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:
sin  e t 0  0 und cos  e t 0  1
(19)
Für die Exponentialfunktion gilt bei t  t 0  0 :
e   t0  e0  1
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(20)
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Setzt man die Bedingungen (18) und die Beziehungen (19) und (20) in die Gleichung (16) ein,
so erhält man die Lösung für b:
xt 0  0  x0  1 a  0  b 1  b
(20)
Setzt man die Bedingungen (18) und die Beziehungen (19) und (20) in die Gleichung (17) ein,
so erhält man:
xt 0  0  0  1a   e  b   1  b   e  a  0  a   e  b  
(21)
Es folgt durch Einsetzen von (20) in die Gleichung (21) die Lösung für a:
a   e  b    x0  ß
(22)
Die Lösungen für a und b lauten also:
a  x0 

und b  x0
e
(23)
Für die Anfangsbedingungen xt 0   x0 und x t 0   0 ergibt sich als Endergebnis für die
Auslenkung x(t ) :
 

xt   x0  e   t 
 sin  e t  cos  e t 
e

(24)
Das Ergebnis für die Geschwindigkeit lautet:




ß
ß 
v(t )  x t   e   t  x 0 
  e  x 0     cos  e t   x 0   e  x 0 
   sin  e t  
e
e 








ß2 
  sin  e t  
 e   t x 0    x 0     cos  e t   x 0   e e  x 0 

e
e 



 
2
ß2
 e   t   x 0  e  x 0 

e
e
 

  2   2

  sin  e t    x 0  e   t  e



  e

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25)


  sin  e t 



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Für die Anfangsbedingungen xt 0   x0 und x t 0   0 erhält man unter Verwendung der
Gleichung (7) die folgende Lösung für die Geschwindigkeit x t  :
v(t )  x t    x 0  e   t
1.4.
 02
 sin  e t
e
(26)
Lösung für die Anfangsbedingungen: xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0
In diesem Fall soll das Federpendel zum Zeitpunkt t0 = 0 keine Auslenkung haben, also soll
xt 0  0  0 sein. Es soll aber mit einer festen Anfangsgeschwindigkeit x t 0  0  x 0  v0
starten. Diese Bedingung kann zum Beispiel dadurch realisiert werden, dass man dem Pendel
in der Ruhelage einen Stoß versetzt. Die Anfangsbedingungen lauten:
xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0
(27)
Für den Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:
sin  e t 0  0 und cos  e t 0  1
(28)
Für die Exponentialfunktion gilt:
e   t0  e0  1
(29)
Setzt man die Bedingungen (27) und die Beziehungen (28) und (29) in die Gleichung (16) ein,
so erhält man die Lösung für b:
xt 0  0  0  1 a  0  b 1  b
(30)
Setzt man die Bedingungen (27) und die Beziehungen (28) und (29) in die Gleichung (17) ein,
so erhält man eine Bedingung für a:
x t 0  0  v0  1a   e  b   1  b   e  a  0  a   e  b  
(31)
Es folgt durch Einsetzen von (30) in die Gleichung (31) erhält man:
v0  a   e
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(32)
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Die Lösungen für a und b lauten also:
a
v0
e
 und b  0
(33)
Für die Anfangsbedingungen xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0 ergibt sich als
Endergebnis für die Auslenkung x(t ) :
xt  
v0
e
 e   t  sin  e t
(34)
Das Ergebnis für die Geschwindigkeit lautet:
 v




v
v(t )  x t   e   t  0   e  0     cos  e t   0   e  0    sin  e t  
e 


  e

v

v
 e   t  0   e  cos  e t  0   sin  e t  
e
 e

35)



 v 0  e   t cos  e t 
 sin  e t 
e


Für die Anfangsbedingungen xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0 erhält man das
Endergebnis für die Geschwindigkeit x t  :



v(t )  x t   v0  e   t cos  e t 
 sin  e t 
e


2.
(36)
 2   02 : Aperiodischer Grenzfall
Dieser Fall tritt auf, wenn die Abklingkonstante  gleich der Eigenfrequenz der
ungedämpften Schwingung  0 ist, d. h.  2   02 . Der Radikand unter der Wurzel in der
Gleichung (6) ist in diesem Fall null. Die Lösung für  lautet:
  
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(37)
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Eine (reelle) Teillösung für die Auslenkung x1 t  der Differentialgleichung für den
aperiodischen Grenzfall lautet:
x1 t   a  e   t ,
(38)
wobei a eine (reelle) Konstante darstellt, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt
werden muss. Neben der Lösung x1 t  existiert aber eine weitere Lösung der
Differentialgleichung:
x2 t   t  b  e   t .
(39)
Im Vorlesungsskript wird auf Seite 157 bis 159 bewiesen, dass x2 t  tatsächlich Lösung der
Dgl (1) ist. Die beiden Teillösungen x1 t  und x2 t  sind linear unabhängig. Die allgemeine
Lösung für die Auslenkung kann als Linearkombination der linear unabhängigen
Teillösungen ausgedrückt werden:
xt   e   t a  t  b 
(40)
Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableitung der Funktion xt  nach der Zeit.
vt   x t  


d   t
e a  t  b   a  e   t      b  e   t  t  b  e   t     
dt
 e   t b  1    t   a   
(41)
Zusammenfassung:
Die allgemeinen (reellen) Lösungen für die Auslenkung (Amplitude) x(t ) und
Geschwindigkeit x (t ) beim aperiodischen Grenzfall lauten:
Auslenkung:
xt   e   t a  t  b 
(42)
Geschwindigkeit:
vt   xt   e   t b  1    t   a   
(43)
Die beiden Faktoren a und b sind reelle Konstanten, die durch die Wahl von speziellen
Anfangsbedingungen, d. h. einer Anfangsauslenkung, xt 0  0 , und einer
Anfangsgeschwindigkeit, x t 0  0 , festgelegt werden können.
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2.1.
Lösung für die Anfangsbedingungen: xt 0  0  x0 und x t 0  0  0
Das Federpendel soll zum Zeitpunkt t0 = 0 eine bestimmte feste Auslenkung xt 0  0  x0
haben und mit der Geschwindigkeit x t 0  0  0 losgelassen werden. Die
Bedingungsgleichungen lauten:
xt 0  0  x0 und xt 0  0  0
(44)
Zum Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:
sin  e t 0  0 und cos  e t 0  1
(45)
Für die Exponentialfunktion gilt bei t  t 0  0 :
e   t0  e0  1
(46)
Setzt man die Bedingungen (44) und die Beziehungen (45) und (46) in die Gleichung (42) ein,
so erhält man die Lösung für a:
xt 0  0  x0  1 a  b  0  a
(47)
Setzt man die Bedingungen (44) und die Beziehungen (45) und (46) in die Gleichung (43) ein,
so erhält man:
x t 0  0  0  1b  1    0 e  a     b  a  
(48)
Es folgt durch Einsetzen von (47) in die Gleichung (48) die Lösung für b:
b  x0  ß
(49)
Die Lösungen für a und b lauten also:
a  x0 und b  x0  
(50)
Für die Anfangsbedingungen xt 0   x0 und x t 0   0 ergibt sich als Endergebnis für die
Auslenkung x(t ) :
xt   x 0  e   t 1    t 
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(51)
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Das Ergebnis für die Geschwindigkeit lautet:
v(t )  x t   e   t x 0  ß  1    t   x 0    
(52)
  x 0   2  t  e   t
Für die Anfangsbedingungen xt 0   x0 und x t 0   0 erhält man unter Verwendung der
Gleichung (7) die folgende Lösung für die Geschwindigkeit x t  :
v(t )  x t    x 0   2  t  e   t
2.2.
(53)
Lösung für die Anfangsbedingungen: xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0
In diesem Fall soll das Federpendel zum Zeitpunkt t0 = 0 keine Auslenkung haben, also soll
xt 0  0  0 sein. Es soll aber mit einer festen Anfangsgeschwindigkeit x t 0  0  x 0  v0
starten. Diese Bedingung kann zum Beispiel dadurch realisiert werden, dass man dem Pendel
in der Ruhelage einen Stoß versetzt. Die Anfangsbedingungen lauten:
xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0
(54)
Für den Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:
sin  e t 0  0 und cos  e t 0  1
(55)
Für die Exponentialfunktion gilt:
e   t0  e0  1
(56)
Setzt man die Bedingungen (54) und die Beziehungen (55) und (56) in die Gleichung (42) ein,
so erhält man die Lösung für a:
xt 0  0  0  1 a  b  0  a
(57)
Setzt man die Bedingungen (54) und die Beziehungen (55) und (56) in die Gleichung (43) ein,
so erhält man eine Bedingung für b:
x t 0  0  v0  1b  1    0  0     b
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(58)
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Die Lösungen für a und b lauten also:
a  0  und b  v0
(59)
Für die Anfangsbedingungen xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0 ergibt sich als
Endergebnis für die Auslenkung x(t ) :
xt   v 0  t  e   t
(60)
Für die Anfangsbedingungen xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0 erhält man das
Endergebnis für die Geschwindigkeit vt   xt  :
v(t )  x t   v 0  1    t   e   t
2.
(61)
 2   02 : Kriechfall
Dieser Fall tritt auf, wenn die Abklingkonstante  größer als die Eigenfrequenz der
ungedämpften Schwingung  0 ist, d. h.  2   02 . Der Radikand unter der Wurzel in der
Gleichung (6) ist in diesem Fall positiv. Die Lösung für  lautet:
    ß 2   02 ,
(62)
wobei die Wurzel Element der Menge der reellen Zahlen ist. Zur Vereinfachung definiert
man:
 2  ß 2   02 ,
(63)
Die (reellen) Teillösungen für die Auslenkung x1 t  und x2 t  für den Kriechfall lauten:
x1 t   a  e   t  t und x2 t   b  e   t  t
(64)
wobei a und b (reelle) Konstanten darstellen, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt
werden müssen.
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Die beiden Teillösungen x1 t  und x2 t  sind linear unabhängig. Die allgemeine Lösung für
die Auslenkung kann als Linearkombination der linear unabhängigen Teillösungen
ausgedrückt werden:

xt   e   t a  e  t  b  e  t

(65)
Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableitung der Funktion xt  nach der Zeit.

vt   x t  






d   t
d   t
d   t
e  a  e  t  b  e  t 
e  a  e  t 
e  b  e  t 
dt
dt
dt
  t
 t
  t
 t
  t
 e      a  e  e  a  e    e      b  e  t  e   t  b  e  t     


 e   t      a  e  t

 
       b  e  
      b  e 

 t
 e   t      a  e  t
 t
(66)
Zusammenfassung:
Die allgemeinen (reellen) Lösungen für die Auslenkung (Amplitude) x(t ) und
Geschwindigkeit x (t ) beim Kriechfall lauten:


Auslenkung:
xt   e   t a  e  t  b  e  t
Geschwindigkeit:
vt   x t   e   t      a  e  t       b  e  t
(67)


(68)
Die beiden Faktoren a und b sind reelle Konstanten, die durch die Wahl von speziellen
Anfangsbedingungen, d. h. einer Anfangsauslenkung, xt 0  0 , und einer
Anfangsgeschwindigkeit, x t 0  0 , festgelegt werden können.
3.1.
Lösung für die Anfangsbedingungen: xt 0  0  x0 und x t 0  0  0
Das Federpendel soll zum Zeitpunkt t0 = 0 eine bestimmte feste Auslenkung xt 0  0  x0
haben und mit der Geschwindigkeit x t 0  0  0 losgelassen werden. Die
Bedingungsgleichungen lauten:
xt 0  0  x0 und xt 0  0  0
(69)
Zum Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:
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sin  e t 0  0 und cos  e t 0  1
(70)
Für die Exponentialfunktion gilt bei t  t 0  0 :
e   t0  e0  1
(71)
Setzt man die Bedingungen (69) und die Beziehungen (70) und (71) in die Gleichung (67) ein,
so erhält man für a und b:
xt 0  0  x0  1 a 1  b 1  a  b
(72)
Setzt man die Bedingungen (69) und die Beziehungen (70) und (71) in die Gleichung (68) ein,
so erhält man:
xt 0  0  0  1  ß    a 1   ß    b 1   ß    a   ß    b
(73)
Es folgt durch Kombination der Gleichungen (72) und (73) die Lösungen für a und b:
a  x0 
   und
 
b   x0 
2 
2 
(74)
Für die Anfangsbedingungen xt 0   x0 und x t 0   0 ergibt sich als Endergebnis für die
Auslenkung x(t ) :
     t     t 
xt   x 0  e   t 
e 
 e 
2 
 2 

(75)
Das Ergebnis für die Geschwindigkeit lautet:

    t
     t 
v(t )  x t   e   t       x 0 
 e        1  x 0 
e  
2 
2 


2
2
2
2
 

 
  x 0  e   t  
 e  t 
 e  t  
2 
 2 

  x 0  e   t 
(76)
 2   2   t
e  e  t 
2 
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Für die Anfangsbedingungen xt 0   x0 und x t 0   0 erhält man unter Verwendung der
Gleichung (7) die folgende Lösung für die Geschwindigkeit x t  :
v(t )  x t    x 0  e   t 
3.2.
 2   2  t
e  e  t 
2 
(77)
Lösung für die Anfangsbedingungen: xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0
In diesem Fall soll das Federpendel zum Zeitpunkt t0 = 0 keine Auslenkung haben, also soll
xt 0  0  0 sein. Es soll aber mit einer festen Anfangsgeschwindigkeit x t 0  0  x 0  v0
starten. Diese Bedingung kann zum Beispiel dadurch realisiert werden, dass man dem Pendel
in der Ruhelage einen Stoß versetzt. Die Anfangsbedingungen lauten:
xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0
(78)
Für den Zeitpunkt t0 = 0 haben die trigonometrischen Funktionen folgende Werte:
sin  e t 0  0 und cos  e t 0  1
(79)
Für die Exponentialfunktion gilt:
e   t0  e0  1
(80)
Setzt man die Bedingungen (78) und die Beziehungen (79) und (80) in die Gleichung (67) ein,
so erhält man eine Beziehung für a und b:
xt 0  0  0  1 a 1  b 1  a  b
(81)
Setzt man die Bedingungen (78) und die Beziehungen (79) und (80) in die Gleichung (68) ein,
so erhält man eine weitere Beziehung für a und b:
x t 0  0  v0  1    a 1      b 1      a      b
(82)
Aus der Beziehung (81) folgt, dass b  a ist. Setz man in Gleichung (82), so folgt:
v 0      a      a    a    a    a    a  2    a
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(83)
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Die Lösungen für a und b lauten also:
a
v0
v
und b   0
2 
2 
(84)
Für die Anfangsbedingungen xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0 ergibt sich als
Endergebnis für die Auslenkung x(t ) :
x  t   e  t 
v0
 e t  e t 
2 
(85)
Für die Anfangsbedingungen xt 0  0  0 und x t 0  0  x 0  v0 erhält man das
Endergebnis für die Geschwindigkeit vt   xt  :
     t     t 
xt   v0  e   t  
e 
e 
2 
 2 

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