SS 2003 - Physik

Fachhochschule Hannover
Fachbereich Maschinenbau
Fach: Physik II
vorgezogen Wiederholungsklausur
10.10.2003
Zeit: 90 min
Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung
1. Eine Schwimmboje bestehe aus einem Schwimmkörper in der Form eines Zylinders
(Durchmesser: 2 m und Höhe: 3 m), auf dem ein 15 m hoher Mast (Durchmesser: 0,20 m)
befestigt ist. Die Masse der Boje einschließlich Mast und Ballast des Schwimmkörpers betrage
9,8 t.
a. Wie hoch ragt die Mastspitze beim Normalbetrieb im Meerwasser (M = 1,038 g cm-3) aus dem
Wasser?
b. Die Boje werde in eine Flussmündung mit Süßwasser (S = 1,0 g cm-3) geschleppt. Wie hoch
ragt jetzt die Mastspitze aus dem Wasser?
c. Was passiert mit der Boje, wenn die Wasserdichte in der Flussmündung durch Temperaturoder Strömungsänderungen um 1% sinkt?
2. Ein Heißluftballon mit einem Volumen von 3500 m3, einer Rüstmasse von 220 kg für Hülle,
Korb und Brenner und einer Zuladung von (maximal) 800 kg soll gestartet werden. Am Startort
herrscht eine Lufttemperatur 5°C und ein Luftdruck von 980 hPa.
a. Berechnen Sie zunächst die tatsächliche Luftdichte am Startort, wenn unter Normalbedingungen
0
( p 0  1013,25 hPa und T0  273,15 K ) die Luftdichte  Luft
 1,293 kg m 3 beträgt.
b. Beim Startvorgang soll der Ballon mit maximaler Zuladung gerade schweben. Berechnen Sie
für diese Bedingungen die Luftdichte und die Lufttemperatur innerhalb des Ballons.
c. Welche Lufttemperatur im Ballon würde benötigt, wenn der Start in der Mittagszeit, z. B. bei
einer Außentemperatur von 25 °C erfolgen soll?
d. Wie groß wäre ein Wasserstoffballon, der unter gleichen äußeren Bedingungen wie in 2a. die
0
 0,0899 kg m 3 )
gleiche Tragkraft (für Rüstmasse plus maximale Zuladung) hätte? (  He
3. Betrachten Sie ein Pendel, dass aus drei Kugeln
gleicher Masse mK und gleichem Radius
R  5 cm und Verbindungsstangen der Länge
L = 2R gebildet wird, die als masselos betrachtet
werden können. Die Drehachse D verlaufe durch
den Mittelpunkt der oberen Kugel. Berechnen Sie:
a. das Trägheitsmoment,
b. die Eigen(kreis)frequenz  0 und die
Schwingungsdauer T0 für eine ungedämpfte
Schwingung,
c. und die Länge l M , die ein mathematisches Pendel
mit der gleichen Schwingungsdauer hätte.
Error!
R
L = 2R
4. Eine Kugel mit Durchmesser 1 m und der Masse 2000 kg soll mit einem 2 m langen Seil an
einer Laufkatze hängen. (Die Masse des Seils kann vernachlässigt werden.)
a. Die Laufkatze bewegt die Kugel mit v0  2 m s 1 . Nach dem Abstoppen der Laufkatze beginnt
die Kugel zu schwingen. Berechnen Sie den Auslenkungswinkel  max .
b. Berechnen Sie die Eigen(kreis)frequenz  0 und die Schwingungsdauer T0 (Annahme: Die
Kugel besitzt eine homogene Masseverteilung).
c. Zur Dämpfung der Abbremsschwingung werden Dämpfungskomponenten verwendet, die pro
Schwingung die Amplitude um 75% verringern. Wie groß ist die Abklingkonstante  ? Wie
groß ist die Eigen(kreis)frequenz  e der gedämpften Schwingung?
d. Welchen Wert hat die Resonanzfrequenz  R ?
e. Wie groß ist für die in 4c. beschriebene Dämpfung die Amplitudenüberhöhung im Resonanzfall?
Lösungen:
1.a
Auftriebsvolumen im Meerwasser:
V AM 
A
m
9,8 3


m  9,4412 m 3
 M  g  M 1,038
VZ    RB2  H  9,4248 m 3
VM  V AM  VZ  9,4412  9,4248 m 3  0,0164 m 3
VM
Mastlänge unter Oberfläche:
HM 
 0,52 m
  RM2
Die Mastspitze ragt 15,00 m – 0,52 m = 14,48 m aus dem Wasser.
Volumen des Schwimmkörpers:
Auftriebsvolumen des Mastes:
1.b Auftriebsvolumen im Süßwasser:
V AS 
A
m

 9,8 m 3
S  g S
VS  V AS  VZ  9,8000  9,4248 m 3  0,3752 m 3
Auftriebsvolumen des Mastes:
VS
 11,94 m
  RM2
Die Mastspitze ragt 15,00 m – 11,94 m = 3,06 m aus dem Wasser.
1.c
Mastlänge unter Oberfläche:
HS 
Auftriebsvolumen im Süßwasser:
V AS 
Auftriebsvolumen des Mastes:
VS  V AS  VZ  9,8989  9,4248 m 3  0,4741 m 3
A
m

 9,8989 m 3
S  g S
VS
 15,09 m
  RM2
Der Mast sinkt unter die Wasseroberfläche, die Boje sinkt.
Mastlänge unter Oberfläche:
2a.
Allgem. Gasgleichung:
Luftdichte am Startort:
HS 
p0
p1

T1  1 T0   0
T p
273,15 980
1  0 1  0 
1,293 kg m 3  1,228 kg m 3
T1 p0
278,15 1013,25
2b. Schwebebedingung: Auftrieb = Gewichtskraft
Auftrieb:
A  V 1 g
Fg  m R  mZ  m gas   g  m R  mZ  V  i  g
Gewichtskraft:
Dichte der Luft im Ballon:
Temperatur im Ballon:
oder:
2c.
mR  mZ 
1020 
3
3
 1,228 
 kg m  0,9365 kg m
V
3500 

p 
980
1,293
Ti  1 0  T0 

273,15K  364,8 K
p0  i
1013,25 0,9365
Ti  91,6C
 i  1 
Bei einer Außentemperatur von 25°C:
T p
273,15 980
Luftdichte am Startort:
1  0 1  0 
1,293 kg m 3  1,146 kg m 3
T1 p0
298,15 1013,25
m  mZ 
1020 
3
3
 i  1  R
 1,146 
Dichte der Luft im Ballon:
 kg m  0,8546 kg m
V
3500 

p 
980
1,293
Temperatur im Ballon:
Ti  1 0  T0 

273,15K  399,7 K
p0  i
1013,25 0,8546
oder:
Ti  126,6C
Eine um 20°C höhere Lufttemperatur erfordert also eine 35°C höhere Gastemperatur im
Ballon. Heißluftballonfahrer bevorzugen deshalb kühlere Wetterbedingungen.
2.d Dichte des Wasserstoffs am Startort:
T p
273,15 980
1H  0  1   0 
0,0899 kg m 3  0,08538 kg m 3
T1 p0
278,15 1013,25
m R  mZ
1020
Gasballonvolumen:
V  Luft

m 3  892,7 m 3
H
1,228  0,08538
1  1
Gasballone sind also deutlich kleiner als Heißluftballone.
3a.
Die drei Kugeln bilden ein gleichseitiges Dreieck. Für die Höhe im Dreieck gilt:
2
Höhe:
D
h  D    mit D  R  2 R  R  4 R
2
Höhe:
h  16 R 2  4 R 2  12  R  0,1732 m
2
Der Schwerpunkt liegt auf der Höhe des gleichseitigen Dreiecks. Für den Abstand zwischen
Drehpunkt und Schwerpunkt gilt:
Dreh-/ Schwerpunkt:
d
2
48
h
R  2,309 R  0,11547 m .
3
9
Das Trägheitsmoment ist die Summe des Trägheitsmoments der oberen Kugel (J1) und der
beiden unteren Kugeln (J2 und J3).
2
mK R 2
5
Obere Kugel
J1 
Untere Kugel
J 2  J 3  mK D 2 
Trägheitsmoment:
J ges  J 1  J 2  J 3 
3b. Eigenkreisfrequenz
0 
m ges g d
J ges
0  0,20865 
3c.

2
82
mK R 2 
m K R 2  16,4m K R 2
5
5

3 mK g 0,2309 R
166
mK R 2
5
g
g
 0,45678
 6.3981 s 1
R
R
Schwingungsdauer:
T0 
Länge des mathematischen Pendels:
lM 

166
m K R 2  33,2 m K R 2  0,083 m 2  m K
5
2
 0,98203 s
w0
g
 02
 0,2396 m
4a.
Der Abstand zwischen Drehpunkt und dem Schwerpunkt der Kugel beträgt l  2,5 m . Die
Kugel bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v 0  2
trans
E kin

Translation beträgt:
m
. Die kinetische Energie der
s
1
m v 2  4 kJ .
2
Die Translationsenergie wird nach dem Abstoppen zunächst in Rotationsenergie verwandelt:
Kinetische Energie der Rotation:
Gesamtträgheitsmoment:
1
2
J ges max
 4 kJ
2
rot
E kin

2
m R 2  12500  200 kg m 2  12700 kg m 2
5
J ges  m l 2 
 max
Winkelgeschwindigkeit nach Stoppen:
  max 
rot
2 E kin
 0,79367 s 1
J ges
Mit der anfänglichen Rotationsenergie wird Arbeit gegen
das Drehmoment:
M  l  Ftan  l  m g  sin   l  m g  
Die geleistete Arbeit:
W
 max

max
1
2


M

d


l
m
g
0
0  d  2 l m g max
entspricht der potentiellen Energie im Umkehrpunkt.
 max 
Alternativer (kürzerer) Ansatz:
trans
E pot  m g h  E kin

Die Steighöhe beträgt:
v2
h
 0,20387 m
2g
Es gilt:
 )
h  l (1  cos  max
und für den Auslenkungswinkel:
  arccos1    23,3
 max
4b. Eigen(kreis)frequenz:
Schwingungsdauer:
4c.
rot
2  E kin
 0,40385  23,1
lmg
Für die Maximalamplitude gilt:


h
l
mgl
 1,9652 s 1
J ges
0 
T0 
1
m v2
2
2
0
 3,197 s
Für die Maximalamplituden zweier aufeinander folgender Schwingungen gilt:
 max n 
 max n  1
Abklingkonstante:
 
 e   T0
ln  max n  max n  1
ln 4

 0,4336 s 1
T0
T0
Abklingkonstante/Eigenfrequenz:
 ln 4

 0,2206
 0 2
Gedämpfte Schwingung:
e  02  ß 2  1,9168 s 1
4d. Resonanzfrequenz:
 R  02  2  2  1,8671 s 1
4.e. Die Resonanzüberhöhung ist das Verhältnis der Resonanzamplitude  Rmax bezogen die
Amplitude  0err , die ein Erreger an dem schwingenden System bei  a  0 erzeugt.
fa
Für die Resonanzamplitude gilt:
 Rmax 
Im statischen Fall gilt:
M a  D *  0err
Es folgt:

Da gilt:
 02 
folgt für die Resonanzüberhöhung:
 02
 Rmax


 0err
4  2 02  4 ß 4
 02 
Lösung:
max
R
4   4 ß
2
2
0
4
fa

4 2 02  4 ß 4
fa 
mit:

Ma
J
D *  0err
J  4  2 02  4 ß 4
D*
J
 Rmax

 0err
1
 
2  
 0
2
   
   
  0 
4
 02
1
 04
4
 2,323
2
 02  4 ß 4 