Jens Keienburg Seminar Optimierung (Dr. M. Diehl)

Jens Keienburg
Seminar Optimierung (Dr. M. Diehl)
Mol. Biotechnologie
SS04 / 4 FS
Analytische Lösung des brachistochronen (griech.: „kurze Zeit“) Problems :
Beschreibung des Problems :
Gegeben seien zwei Punkte im (zweidimensionalen) Raum und ein Kraftvektor (Schwerkraft). Gesucht
ist die Kurve, die die beiden Punkte so miteinander verbindet, so dass eine punktförmige Masse unter
Ausnutzung der Schwerkraft aus dem Ruhezustand entlang dieser Kurve von einem Punkt zum
anderen in geringster Zeit gelangt. Die Reibung soll dabei vernachlässigt werden. Anschaulich lässt
sich dies anhand einer Kugel vorstellen, die über ein Loch entlang eines Drahtes von einem Punkt
zum anderen herunterrutscht.
Mathematische Formulierung :
Gegeben seien die Punkte p1, p2 und der Kraftvektor F. Die beiden Punkte und der Kraftvektor
spannen genau eine Ebene auf, in der die Lösungskurve liegen soll (keine Begründung). Es reicht
also aus das Problem im zweidimensionalen Raum zu betrachten. Wegen der freien Wählbarkeit des
Koordinatensystems seien alle Komponenten von p 1 gleich 0. Die Variablen x und y sollen den
Abstand vom Ursprung in orthogonalen Richtungen wiedergeben. Der Vektor der Schwerkraft soll
dabei entgegen der y-Richtung verlaufen. Das Minimierungsproblem lautet :
p2
min
x( y)
 dt
s.t. x’(t=0) = 0 ; y’(t=0) = 0
p1
Hierbei wird das Integral über die Zeit, die durch Variation der Kurve x(y) variiert wird, minimiert. Es
handelt sich also um ein Zielfunktional. Durch Umformung des Integrals ergibt sich ein äquivalentes,
analytisch und numerisch lösbares Zielfunktional.
Umformung des Zielfunktionals :
Sei m die Masse, v die Momentangeschwindigkeit eines Körpers, g eine konstante Kraft (Gravitation)
und s die Wegstrecke für die s² = x² + y² gilt.
1
1
 ds 
kinetischeEnergie  * m * v 2  * m *  
2
2
 dt 
potentielleEnergie  m * g * y
2
(Weil der Kraftvektor in – y Richtung zeigt)
Nach der Energieerhaltung ist die Summe aller Energien stets gleich null. Also :
0.5 * m * v 2 - m * g * y = 0
<=>
v  2* g * y
ds
ds


v
2* g * y
 dt 
1
2* g
*
dx 2  dy 2
y
dx 
1  y' 2
*
dx
2* g
y

 

1
:I
y' 
wobei
dy
dx
Das Optimierungsproblem lautet damit :
min
x( y)
p2
1
2* g
*
p1
1  y' 2
y
dx
Analytische Lösung :
Dieses Integral lässt sich mit Hilfe der Eulergleichung lösen. Sie soll auf diesem Handout als gegeben
vorausgesetzt werden und lautet :
d  F   F 


0
dy  x'   x 
Durch Umformung erhält man
1  y ' 2 dx  1  y ' 2 x' dy  1  x' 2 dy

1  x' 2
y
dy   F ( y, x' )dy
 F 
  0 (,weil x in der Gleichung nicht vorkommt);
 x 
Offensichlich ist 
d  F  d 
x'


dy  x'  dy  y 1  x' 2


0


Weil die Ableitung des letzten Termes null ist, muss derAusdruck konstant sein.
x'
y 1  x' 2
 const  x' 
wobei c = const 2
dx
c* y
c* y

 dx 
dy
dy
1 c * y
1 c * y
Integration über beide Integrale ergibt :
x
y
1
 y2 
* arccos1  2 * c * y   c'
c
2*c
Diese Funktion ist zykloid, wobei auf den Beweis hier verzichtet wird. Zykloidische Funktionen lassen
sich zeichnen, indem man einen Kreis entlang einer Strecke rollen lässt und dabei den ursprünglichen
Kontaktpunkt verfolgt. Interessant ist, dass es genau eine zykloide Funktion gibt, die durch die Punkte
p1 und p2 verläuft.
Abbildung 1 : Verschiedene Zykloide mit
Ausgangspunkt A. Sie verlaufen alle
durch verschiedene Punkte.