Anja Wagner: Die Potenzgerade

Fachbereich 17; Mathematik/ Informatik
Veranstaltung: Fachwissenschaftliches Seminar, WS 2004/05
Veranstaltungsleiter: Dr. Andreas Klein
Potenzen und Potenzgeraden
y
P
8
7
6
d
p
5
4
M
3
R
2
1
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
Vorgelegt von:
Anja Wagner
Tel.: 05651 - 40372
[email protected]
Studiengang: Lehramt an Grundschulen
Studienfächer: Mathematik, Deutsch, Englisch
Inhaltsverzeichnis
1.
Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises ............................................. 3
1.1
2.
3.
Die Definition der Potenz .............................................................................. 3
Die Potenzgerade zweier Kreise ......................................................................... 4
2.1
Beweis des Satzes über die Potenzgerade .................................................. 4
2.2
Geometrische Deutung und Definition der Potenzgerade ............................ 6
2.3
Lösung zweier Aufgaben .............................................................................. 9
Literaturverzeichnis ........................................................................................... 11
2
1.
Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises
1.1
Die Definition der Potenz
Definition 1:
Für Kreise mit dem Radius R und Punkte P mit dem Abstand d zum Kreismittelpunkt
nennt man die Zahl p 2  d 2  R 2 die Potenz von P bezüglich des Kreises.
Fallunterscheidung:
1. Die Potenz ist positiv, falls P außerhalb des Kreises liegt.
Mit dem Satz des Pythagoras gilt nämlich d 2  R 2  p 2  p 2  d 2  R 2 .
Da d  R folgt auch d 2  R 2 und damit ist d 2  R 2  0 .
y
P
8
7
6
d
p
5
4
M
3
R
2
1
x
-1
1
2
3
4
5
6
-1
7
8
Abb. 1
2. Die Potenz ist 0, falls P auf dem Kreis liegt, denn dann gilt d  R , also auch
d 2  R 2 und damit ist p 2  d 2  R 2  0 .
3. Die Potenz ist negativ, falls P im Inneren des Kreises liegt.
Da d  R  d 2  R 2 und damit ist p 2  d 2  R 2  0 .
3
2.
Die Potenzgerade zweier Kreise
2.1
Beweis des Satzes über die Potenzgerade
Satz 1:
Der geometrische Ort aller Punkte, deren Potenzen bezüglich zweier nicht
konzentrischer Kreise1 gleich sind, ist eine Senkrechte zur Verbindungsgeraden der
Kreismittelpunkte.
Beweis:
Zu zeigen ist:
a) Der geometrische Ort der oben genannten Punkte ist eine Gerade.
b) Diese Gerade ist senkrecht zur Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte.
Zu a):
In einem kartesischen Koordinatensystem gilt für das Quadrat des Abstands zweier
Punkte (x;y) und (a;b) mit dem Satz von Pythagoras d 2  x  a    y  b  .
2
2
Abb. 2
1
Nicht konzentrische Kreise sind Kreise, deren Mittelpunkte voneinander verschieden sind.
4
Die Potenz von (x;y) bezüglich eines Kreises mit Mittelpunkt (a;b) und Radius R ist
daher
d 2  R 2  x  a    y  b   R 2 .
2
2
Insbesondere hat der Kreis als geometrischer Ort aller Punkte mit Potenz 0 (siehe
Definition 1, S. 3) die Gleichung
x  a 2   y  b 2  R 2  0  x  a 2   y  b 2  R 2 .
Die umgeformte Gleichung beschreibt den Kreis als geometrischen Ort aller Punkte,
die von (a,b) den Abstand R haben.
Durch Ausmultiplizieren erhält man x 2  y 2  2ax  2by  a 2  b 2  R 2  0 .
Ersetzt man nun a 2  b 2  R 2 durch c, so folgt x 2  y 2  2ax  2by  c  0 .
c ist offenbar die Potenz des Punktes (0;0) bezüglich des Kreises um den Mittelpunkt
(a;b) mit Radius R und umgekehrt ebenso die Potenz des Punktes (a;b) bezüglich
des Kreises mit dem Radius R um (0;0), denn
c  a2  b2  R2
und da
a2  b2  d 2  c  d 2  R2 .
Lemma 1:
Die Potenz eines beliebigen Punktes (x;y) bezüglich des Kreise mit Mittelpunkt (a;b)
wird durch folgenden Term ausgedrückt: x 2  y 2  2ax  2by  c .
Wählt man nun einen anderen Kreis mit demselben Mittelpunkt, aber einem anderen
Radius, so ändert sich in diesem Term nur die Konstante c. Bei einem anderen
Mittelpunkt (a’;b’) hat die Kreisgleichung die Form x 2  y 2  2a' x  2b' y  c'  0 , wobei
entweder a  a'b  b'a  a'b  b' gilt.
Mit x 2  y 2  2ax  2by  c  0 und x 2  y 2  2a' x  2b' y  c'  0 haben wir also zwei
Gleichungen für die
Potenzen
des
Punktes
(x;y)
bezüglich
zweier
nicht
konzentrischer Kreise.
Alle Punkte (x;y), deren Potenzen bezüglich dieser beiden Kreise gleich sind,
müssen also folgende Gleichung erfüllen:
5
x 2  y 2  2ax  2by  c  x 2  y 2  2a' x  2b' y  c'
 2a' x  2ax  2b' y  2by  c'c
 a'a x  b'b  y 
1
c'c 
2
Die letzte Gleichung beschreibt eine Gerade, womit Teil a) gezeigt wurde.
Zu b):
Legt man nun die beiden Kreismittelpunkte auf die x-Achse, so folgt, da b=b’=0 und
daher a  a' . Also gilt:
a'a x  1 c'c   x  c'c 
2
2a'a 
Die Gerade ist also eine Parallele zur y-Achse und damit senkrecht zur x-Achse,
welche die Verbindungsgerade der Kreismittelpunkte darstellt. Damit ist auch Teil b)
gezeigt.
2.2
Geometrische Deutung und Definition der Potenzgerade
Ausgehend von den Kreisen kann man die Gerade auch rein geometrisch als Ort
aller Punkte mit gleichen Potenzen bezüglich beider Kreise definieren. Somit kann
man die y-Achse selbst wählen, also die Gerade x=0, und die beiden nicht
konzentrischen Kreise in der einfacheren Form
x 2  y 2  2ax  2by  c  0 und
x 2  y 2  2a' x  2b' y  c'  0 darstellen. Der geometrische Ort ist nun also die Gerade
x=0 (siehe Abbildung 3).
Umgekehrt hat jeder Punkt (0;y) auf der Geraden x=0 die gleiche Potenz y 2  c
bezüglich beider Kreise, denn d 2  a 2  y 2  d 2  R 2  y 2  a 2  R 2  y 2  c , da b=0
und daher gilt c  a 2  b 2  R 2  a 2  R 2 .
6
y
10
9
0y
8
7
p
6
5
4
d
3
R
2
1
x
-12 -11 -10
-9
-8
-7
a0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
a'0
6
7
8
9
10
11
12
13
14
-2
-3
-4
-5
Abb. 3
Definition 2:
Den geometrischen Ort aller Punkte mit gleicher Potenz bezüglich zweier nicht
konzentrischer Kreise nennt man die Potenzgerade oder die Potenzachse.
Fallunterscheidung:
1. Schneiden sich die beiden Kreise in den Punkten A und A’, so haben beide
Punkte die Potenz 0 bezüglich beider Kreise, da sie Element beider Kreise
sind (vgl. Definition 1 und zugehörige Fallunterscheidung, S.3). Die
Potenzgerade ist also einfach die Verbindungsgerade AA’.
7
A
A'
Abb. 4
2. Berühren sich die beiden Kreise, so gilt A=A’. Da die Potenz des
Berührpunktes bezüglich beider Kreise wiederum
0 ist, so ist die
Potenzgerade die gemeinsame Tangente im Berührpunkt.
A'
A
Abb. 5
8
2.3
Lösung zweier Aufgaben
Aufgabe 1:
Welches ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Tangenten an zwei gegebene
Kreise gleich lang sind?
Lösung:
Der gesuchte geometrische Ort ist die Potenzgerade bezüglich der beiden Kreise, da
alle Punkte auf der Potenzgeraden bezüglich beider Kreise dieselbe Potenz haben
und die Wurzel aus der Potenz als Länge der Tangentenabschnitte vom Punkt aus
an die beiden Kreise gedeutet werden kann.
Schneiden sich die beiden Kreise, so sind es nur die Punkte der Potenzgerade, die
nicht auf der gemeinsamen Sehne liegen. Zu den Punkten, die auf der gemeinsamen
Sehne liegen existieren nämlich keine Tangenten an die Kreise.
4,533 cm
4,533 cm
90 °
90 °
A'
A
Abb. 6
9
Aufgabe 2:
PAB, AQB, ABR, P’BA, BQ’A, BAR’ seien sechs ähnliche Dreiecke, die alle in
derselben durch ihre gemeinsame Seite AB bestimmte Halbebene liegen.
Zu zeigen: Die nicht auf AB liegenden Ecken der Dreiecke (nämlich P, Q, R, P’, Q’,
R’) liegen auf einem Kreis!
Hinweis: Vergleiche die Potenzen von A und B bezüglich des Kreises, der durch P,Q,
R bestimmt ist.
Lösung:
Da das Dreieck ∆PAB ähnlich ist zum Dreieck ∆AQB und somit gilt  PBA=  ABQ,
liegt Q auf BP und es folgt mit der Längenverhältnistreue:
PB AB
.

AB QB
Da zudem nach Voraussetzung gilt, dass ∆AQB ~ ∆ABR und somit  BAQ=  RAB
gilt, liegt R auf AQ und es folgt wieder mit der Längenverhältnistreue:
AQ AB

.
AB AR
P
M
Q
R
B
A
Abb. 7
Da PB*QB = AB 2 = AQ*AR, haben A und B den gleichen Abstand zum Mittelpunkt
des Kreises durch die Punkte P, Q und R. Das heißt, dass der Mittelpunkt M des
Kreises auf der Mittelsenkrechten zur Strecke AB liegt und der Kreis daher bei der
Spiegelung an dieser Mittelsenkrechten auf sich selbst abgebildet wird. Daher liegen
10
P’, Q’ und R’ alle auf diesem Kreis und diese Punkte sind die restlichen Schnittpunkte
mit den Geraden BR, AP’ und AP.
P
P'
M
Q
Q'
R'
R
B
A
m
Abb.8
3.
Literaturverzeichnis
Coxeter, H. S. M./ Greitzer, S. L.: Zeitlose Geometrie. Stuttgart: Ernst Klett Verlag
1983.
11