Eine Folge aus sechs aufeinander folgenden Zahlen

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Ulf Schaper
Eine Folge aus sechs aufeinander folgenden Zahlen
Hypothese: Mindestens eine von sechs aufeinander folgenden Zahlen hat einen
Primfaktor, der in keiner der anderen fünf Zahlen vorkommt.
Die erste Zahl der Folge sei n (wobei n 
). Die Folge sieht damit so aus:
n; n  1; n  2; n  3; n  4; n  5
Für n = 1 sind die sechs Folgeglieder:
1; 2;3; 4;5;6
Hierbei ist die „5“ selber eine Primzahl und kommt nicht als Teiler einer der
anderen Zahlen vor.
Ich beweise nun für n > 1,
(1) dass mindestens ein Folgeglied m einen Primfaktor  7 beinhalten muss und
(2) dieser Primfaktor nur in diesem Folgenglied m vorkommen kann.
Teilbeweis (1)
Hypothese: Eine Folge aus sechs Zahlen n; n  1;...n  5 mit n > 1 beinhaltet
mindestens einen Primfaktor  7.
Die Hypothese ist bestätigt, wenn gezeigt wird, dass die Primfaktoren  7 (also
„2“, „3“ und „5“) nicht ausreichen, um die Folge darzustellen.
Weiterhin ist die Hypothese bestätigt, wenn gezeigt wird, dass diese Primfaktoren
 7 nicht ausreichen, die drei ungeraden Elemente der Folge darzustellen. Alle
Vielfache von „2“ sind gerade; daher bleiben zur Darstellung der drei ungeraden
Folgeglieder nur die Primfaktoren „3“ und „5“.
Die „3“ und die „5“ können jeweils maximal zweimal in der Folge als Teiler
vorkommen: Wenn n durch „3“ teilbar ist, so ist auch n + 3 durch „3“ teilbar. Das
nächste Vielfache von „3“ ist dann n + 6 und liegt außerhalb der Folge. Ist das
erste Folgenglied n durch „5“ teilbar, so teilt die „5“ auch das Folgenglied n + 5
und dann erst wieder n + 10 (außerhalb der Folge). Ist erst n + 1 durch „5“ teilbar,
so liegt das nächste Vielfache von „5“ (n + 6) außerhalb der Folge und die „5“
kommt nur als Teiler eines Folgengliedes vor (für diesen speziellen Fall wäre die
Ursprungsbehauptung schon bewiesen).
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Ulf Schaper
Von zwei aufeinander folgenden Vielfachen einer Zahl ist eines gerade und das
andere ungerade. Damit kann sowohl die „5“ als auch die „3“ nur in jeweils einem
ungeraden Folgeglied als Teiler enthalten sein.
Für das übrig gebliebene ungerade Folgeglied m steht weder die „3“ noch die „5“
als Primfaktor zur Verfügung. Die „2“ scheidet bereits aus, weil ihre Vielfachen
immer gerade sind. Somit wird ein Primfaktor  7 benötigt.
Teilbeweis (2)
Sei die Primzahl p ein Teiler von n, so ist ihr nächstes Vielfaches n + p. Damit
liegt dieses nächste Vielfache von p für alle p  7 außerhalb der Folge (welche
bis n + 5 reicht).
Alle Primzahlen ab „7“, d.h. z.B. die „7“, die „11“, die „13“ (…) können folglich
maximal in einer der sechs Zahlen ( n; n  1;...n  5 ) vorkommen.