Mathetti gerecht teilen
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Lernpfad Funktionen Lösungen zu ausgewählten Aufgaben Teil A: Vorwissen Aufgabe 5 Teil B: Funktionen Aufgabe 7 Die Kosten für SMS hängen von der Gesprächsdauer/vom Tarif ab. Die Anzahl der Badegäste im Freibad hängt von der Temperatur/ von den Eintrittspreisen ab. Der Flächeninhalt eines Quadrates hängt von der Seitenlänge ab. Das Volumen des Würfels hängt von der Kantenlänge ab. Aufgabe 11 a) f: N → N mit f(n) = 2n oder n 2n b) u: [1, 10] → R+ mit u(s) = 4s oder s c) g: R- → R+ mit g(x) = |x| oder x |x| 4s Aufgabe 12 a) Die Funktion h mit den natürlichen Zahlen als Definitionsmenge und den reellen Zahlen als Zielmenge ordnet jeder Zahl x ihre Quadratwurzel zu. b) Die Funktion A mit den positiven reellen Zahlen als Definitionsmenge und den reellen Zahlen als Zielmenge ordnet jedem Radius eines Kreises den Flächeninhalt des Kreises zu. c) Die Funktion f von R nach R bildet jede Zahl x auf ihre Gegenzahl ab. www.mathematik-digital.de © 2009 http://rfdz.ph-noe.ac.at Lernpfad Funktionen Teil C: Grundtypen Aufgabe 38 a) d = 80; k = 4 b) f(x) = 4x + 80 c) f(x) = 5x + 60 Aufgabe 39 a) a = 1,04 und c = 80 b) f(x)=80*1,04^x c) f(x) = 60*1,05^x Aufgabe 40 Angebot A Angebot B nach 1 Monat 84,00 83,20 nach 2 Monaten 88,00 86,53 nach 3 Monaten 92,00 89,99 nach 4 Monaten 96,00 93,59 nach 5 Monaten 100,00 97,33 nach 6 Monaten 104,00 101,23 nach 7 Monaten 108,00 105,27 nach 8 Monaten 112,00 109,49 nach 9 Monaten 116,00 113,86 nach 10 Monaten 120,00 118,42 nach 11 Monaten 124,00 123,16 nach 12 Monaten 128,00 128,08 Summe 1272,00 1250,15 Im ersten Jahr ist Angebot A besser. www.mathematik-digital.de © 2009 http://rfdz.ph-noe.ac.at Lernpfad Funktionen Aufgabe 41 nach … Monaten Angebot A Angebot B 1 84,00 83,20 2 88,00 86,53 3 92,00 89,99 4 96,00 93,59 5 100,00 97,33 6 104,00 101,23 7 108,00 105,27 8 112,00 109,49 9 116,00 113,86 10 120,00 118,42 11 124,00 123,16 12 128,00 128,08 13 129,00 133,21 14 130,00 138,53 15 131,00 144,08 16 132,00 149,84 17 133,00 155,83 18 134,00 162,07 19 135,00 168,55 20 136,00 175,29 21 137,00 182,30 22 138,00 189,59 23 139,00 197,18 24 140,00 205,06 25 141,00 213,27 26 142,00 221,80 27 143,00 230,67 28 144,00 239,90 29 145,00 249,49 30 146,00 259,47 31 147,00 269,85 32 148,00 280,64 33 149,00 291,87 34 150,00 303,55 35 151,00 315,69 36 152,00 328,31 37 153,00 341,45 38 154,00 355,11 39 155,00 369,31 40 156,00 384,08 41 157,00 399,44 42 158,00 415,42 43 159,00 432,04 44 160,00 449,32 www.mathematik-digital.de © 2009 http://rfdz.ph-noe.ac.at Lernpfad Funktionen 45 46 47 48 161,00 162,00 163,00 163,00 467,29 485,99 505,43 525,64 Angebot B ist langfristig besser. Aufgabe 42 (1) Kapitalwachstum bei Anlage mit Zinseszins => exponentiell (2) Handytarif mit Grundgebühr und sekundengenauer Abrechnung => linear (3) Fortgesetzte Verdopplung eines Wetteinsatzes => exponentiell (4) Gesamtkosten einer Produktionsmaschine mit Anschaffungskosten und laufenden Materialund Wartungskosten => kann nicht entschieden werden www.mathematik-digital.de © 2009 http://rfdz.ph-noe.ac.at Lernpfad Funktionen Lernzielkontrolle 1) a) R(t) = 15 + 0,05t Zeit t 0 1 2 3 4 5 6 Kosten R 15,00 15,05 15,10 15,15 15,20 15,25 15,30 b) Kein indirektes Verhältnis, da mit der Zeit auch die Kosten zunehmen. Kein direktes Verhältnis, da die Gerade nicht durch den Ursprung geht, die Konstante d nicht null ist und dem k-Fachen von t nicht das k-Fache von R entspricht. 2) a) Steigung, Anstieg b) durch den Punkt (0|d) c) wenn k > 0 d) wenn k < 0 e) eine zur x-Achse parallele Gerade 3) Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Argument eindeutig einen Funktionswert zuordnet Definitionsmenge Zielmenge 4) (4) ist direkt proportional. (1) ist indirekt proportional. (2) und (4) wachsen linear. (3) wächst exponentiell. www.mathematik-digital.de © 2009 http://rfdz.ph-noe.ac.at Lernpfad Funktionen Teil D: Anwendungen Aufgabe 47 Anm.: Kostenfunktion f(x) = 0.01 x³ - 9 x² + 3000 x + 100000 a) f(200) = 420 000 f(400) = 500 000 f(600) = 820 000 f(800) = 1 860 000 f(1000) = 4 100 000 Die Kosten nehmen mit höheren Stückzahlen zu. b) Auch wenn nichts produziert wird, gibt es Fixkosten: 100 000 Euro. Aufgabe 48 c) d = Fixkosten, k = variable Kosten pro Stück Aufgabe 49 a) d = 0; k ist positiv b) 4000 Euro c) bei x = 64,9 (also bei etwa 65 Stück) und bei x = 990,7 (also bei etwa 991 Stück); Kosten und Erlös sind gleich groß;, kein Verlust/kein Gewinn Aufgabe 50 a) Die Stellen der Schnittpunkte von Kosten- und Erlösfunktion entsprechen den Nullstellen der Gewinnfunktion. b) Break-even-Point: ab hier wird Gewinn gemacht. Schnittpunkt zwischen Kosten- und Erlösfunktion, ab dem der Erlös größer als die Kosten ist. c) Gewinnzone von 65 (aufrunden!) bis 990 (abrunden!) Stück d) mindestens 65 Stück Aufgabe 51 Höherer Preis => bei geringerer Stückzahl bereits Gewinn Gewinnzone ist breiter größerer Gewinn Produkt wird weniger gekauft, da es teurer ist. Aufgabe 52 Senkung der Fixkosten => größerer Gewinn, Gewinnzone breiter Aufgabe 53 K(x) = 100 000 + 2x E(x) = 6x www.mathematik-digital.de © 2009 http://rfdz.ph-noe.ac.at Lernpfad Funktionen K(x) = E(x) => x = 25 000 => Der Break-even-Point liegt bei 25 000 Stück. Aufgabe 54 Preis 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 Menge 19000 18000 17000 16000 15000 14000 13000 12000 11000 10000 9000 8000 7000 Aufgabe 55 a) je höher der Preis desto geringer die Nachfrage b) bei Prestige-Produkten, je teurer desto exklusiver www.mathematik-digital.de © 2009 http://rfdz.ph-noe.ac.at Lernpfad Funktionen Aufgabe 56 a) (0|21 000) Nachfrage, wenn das Produkt nichts kostet (1050|0) Preis, bei dem niemand mehr das Produkt kauft b) Preis und Nachfrage können nur positive Werte annehmen. Aufgabe 57 Sättigungsmenge bei 21 000 Stück; Höchstpreis bei 1050,- €. Aufgabe 58 n(300) = 15 000; n(350) = 14 000 Aufgabe 59 Der Höchstpreis, bei welchem die Nachfrage gleich null ist, liegt bei 1050,-€. Die Sättigungsmenge, also jene Menge, die bei einem Preis von 0,- € nachgefragt wird, beträgt 21 000 Stück. Aufgabe 60 a) Abnahme um 250 Packungen b) Preis (Euro) 1 Nachfrage (Stück) 1750 c) www.mathematik-digital.de 2 1500 © 2009 3 1250 4 1000 5 750 6 500 http://rfdz.ph-noe.ac.at Lernpfad Funktionen d) n(p) = 2000 – 250p, D = [0,8], Zielmenge = R+0 e) Sättigungsmenge n(0) = 2000 => Es werden maximal 2000 Stück nachgefragt. Höchstpreis n(p) = 0 => p = 8 => Der Höchstpreis, bei dem niemand mehr das Produkt kauft, beträgt 8 Euro. www.mathematik-digital.de © 2009 http://rfdz.ph-noe.ac.at
