1 Mathematik - Kernstoff NOWO Fettdruck Kernstoff, Kursivdruck

1
Mathematik - Kernstoff
NOWO
Fettdruck ... Kernstoff, Kursivdruck ... Erweiterter (wahlweiser) Kernstoff
1. GRUNDLAGEN
1.1. Zahlenmengen _________________________________________________________________
Für Laien handelt Mathematik vom „Rechnen mit Zahlen“, für den Mathematiker sind Zahlen selbstverständliche
Voraussetzungen - und daher muss ich mich damit befassen:
Zahlenmenge
Beschreibung
Abkürzung unbeschränkt ausführbare Rechenoperationen
Natürliche Zahlen
{0,1,2,3, .... }
N
Addition und Multiplikation
Ganze Zahlen
{..-2,-1,0,1,2,..}
Z
-“- zzgl. Subtraktion
Rationale Zahlen
„alle Brüche“
Q
-“- zzgl. Division
Reelle Zahlen
„alle Wurzeln“
R
-“- zzgl. Wurzelziehen aus positiven Zahlen
Komplexe Zahlen
a + bi
C
Die Menge N ist mir ziemlich klar - ich erinnere mich an das
kleine Einmaleins und daran, dass ich in frühen
Volksschuljahren 3 - 5 = ? nicht berechnen konnte, erst später
schaffte ich 3 - 5 = -2 und war schon in der Menge Z.
Bei den rationalen Zahlen - beim „Bruchrechnen“ in der
Menge Q - muss ich beachten, dass die Division durch Null
(m. a. W. der „Nenner Null“) ausgeschlossen ist. Warum?
Weil sonst etwa folgendes passiert:
a=2b  4a=8b  5a=10b  4a-8b=5a-10b 
2.(2a-4b)=5a-10b  2.2.(a-2b)=5.(a-2b)
 2.2=5 ??? (Unzulässig ist der letzte Schritt; da ich
wegen a-2b=0 nicht Kürzen [Dividieren] darf!)
Weiters erinnere ich mich, dass jeder Bruch einer Division
entspricht und das Ergebnis (der Quotient!) entweder eine
endliche oder eine unendliche (rein oder gemischt
periodische) Dezimalzahl liefert - jedenfalls eine Dezimalzahl
„mit Gesetzmäßigkeit“.
Genau diese Gesetzmäßigkeit tritt beim Wurzelziehen
( 2 =1,41421356...) nicht mehr auf - ich benötige die neue
Zahlenmenge R, da kein Bruch dieser Wurzel entspricht.
(Gäbe es einen Bruch, der nach vollständigem Kürzen den
Zähler p und den Nenner q hätte und 2 entspräche, wäre
der Zähler p eine gerade Zahl - nachrechnen! Daher wäre p
durch 2r ersetzbar, woraus aber folgte, dass der Nenner q eine
gerade Zahl wäre. Beide Werte p und q sind also gerade - und
das ist ein Widerspruch zu meiner Ausgangsannahme, dass
mein Bruch „p durch q“ bereits soweit als möglich gekürzt
-“- zzgl. Wurzelziehen aus negativen Zahlen
ist.) Ein anderes Beispiel für eine unendliche, nicht
periodische und auch keiner Wurzel entsprechende
Dezimalzahl ist die hinlänglich bekannte „Kreiszahl“
=3,14159265...
Somit ist mein Vorstellungsbild von der Zahlengeraden
„dicht an dicht“ mit Punkten gefüllt, die entweder ganzen
Zahlen, endlichen oder periodischen Dezimalzahlen oder gar
unendlichen, nicht periodischen Dezimalzahlen entsprechen.
Wohin mit den „Komplexen Zahlen“ C? Überdies: Ich weiß,
Quadratwurzelziehen heißt jene Zahlen aufsuchen, die mit
sich selbst multipliziert wieder die Zahl unter der Wurzel
ergeben [ 9 =3, weil (+3).(+3)=9=(-3).(-3)]. Welches
9 haben? Hinsichtlich des
Vorzeichen soll dann
Vorzeichens glaube ich berühmten Mathematikern, die
erklären, dass es hier eben kein Vorzeichen (im engeren Sinn)
gäbe und daher 1 =i definieren, woraus sich i²=-1, i³=-1
und i4=1 ergibt. Was die „Lage“ auf der Zahlengeraden
betrifft, so verlasse ich (in meiner Vorstellung) die erste
Dimension und gestalte mein „Zahlenbild“ zweidimensional
in der „Gauß'schen Zahlenebene“, d.h.: Im x-yKoordinatensystem meiner vorgestellten Zahlenebene trage
ich in x-Richtung die rellen Werte (den „Realteil“) und in yRichtung die „Wurzeln aus negativen Zahlen“, also die iWerte (den „Imaginärteil“) auf - und schon entspricht jeder
komplexen Zahl z = a + bi ein Vektor (Vektorrechnung!)
meiner Zahlenebene. [Eine vertiefende Anwendung dessen
finde ich in der „Chaosforschung“ bzw. „Fraktalen
Geometrie“.]
1.2. Rechenoperationen _____________________________________________________________
Die Grundrechnungsarten (Addition und Subtraktion,
Multiplikation und Division) sind mir samt ihren Gesetzen
und Zusammenhängen („Punkt kommt vor Strich, wenn nicht
die Klammer sagt: 'Zuerst komm' ich!'„ - peinlich) hinlänglich
bekannt. Sicherheitshalber denke ich kurz daran, dass ich die
Multiplikation als fortgesetzte Addition (3.4=4+4+4)
auffassen kann. Analoges gilt für das Potenzieren als
fortgesetztes Multiplizieren (4³=4.4.4). Als Basis a will ich
jede Zahl zulassen, als Exponent x jede reelle Zahl: ax (die
Menge C schließe ich sicherheitshalber bei Exponenten aus).
Negative Exponenten stehen für Brüche und bewähren sich
bei der „Gleitkommadarstellung“ (3 mm = 3.10-6 km),
gebrochene Exponenten stehen für Wurzeln (3½ = 3 ) klar.
Bei ins Haus stehenden Problemen (Differential- und
Integralrechnung, Normalverteilung, ...) bin ich gezwungen,
mit Exponenten zu rechnen, d. h. statt einer Zahl (z.B. 100
oder 36) ihre Zehnerpotenz log 100 = 2, weil
10² = 100, log 36 = 1,5563..., weil 10 1,5663... = 36 anzugeben,
zu „logarithmieren“. Eine andere häufig verwendete Basis
2
(anstelle von „10“) ist die „Euler'sche Zahl“ e =
2,7182818... und mein TR liefert ln 8 = 2,07944..., weil
e2,07944... = 8. (Derselbe TR meldet beim Versuch, negative
Zahlen zu logarithmieren, korrekt „Error“.) Über das
Rechnen mit komplexen Zahlen z = a+bi denke ich erst
nach einigen Überlegungen zu Polarkoordinaten und
Winkelfunktionen nach (3.7.Rechnen in C).
1.3. Gleichungen ___________________________________________________________________
Das Umformen von Gleichungen erinnert mich an eine
Balkenwaage:
Was
ich
auf
der
einen
Seite
dazulege/wegnehme, muss ich auch auf der anderen Seite
tun, um das Gleichgewicht zu erhalten (als Mathematiker
spreche ich vornehm von Äquivalenzumformungen).
Eindeutig „lösen“ kann ich eine Gleichung, wenn in ihr eine
Unbekannte (Variable) auftritt; verallgemeinert gesagt,
benötige ich gleichviel Gleichungen wie Variable, um
eindeutige Lösungen zu erhalten. Dies gilt zumindest für
lineare Gleichungen (in denen die Variable nur ohne
Exponent vorkommt).
Für quadratische Gleichungen (ax² + bx + c = 0) hält
meine FS eine Lösungsformel bereit, es gibt höchstens 2
Lösungen. Die Lösungsformel für Gleichungen dritten
(oder höheren) Grades finde ich viel zu kompliziert, da
versuche ich lieber durch „Probieren“ am programmierbaren
TR zu einer (möglichst ganzzahligen) Lösung zu gelangen.
(Stolze Besitzer eines TI-68 verwenden bis zum 4. Grad die
[POLY]-Taste.) Gelingt mir dies, erhalte ich durch
Dividieren eine um einen Grad niedrigere Gleichung:
(ax³+bx²+cx+d):(x-x1) = ax²+ex+f, wobei x1 die von mir
(durch Zufall?) gefundene Lösung bezeichnet. Sollte ich
trotz halbstündiger Suche keine (ganzzahlige) Lösung
finden, bleibt mir immer noch das - in der FS zu findende Newton'sche Näherungsverfahren, das ja auch nichts
anderes als ein - allerdings gezieltes - „Lösungssuchen“ ist,
das der TR noch dazu beschleunigt.
1.4. Boole'sche Algebra______________________________________________________________
Wenn Mami oder Papi stöhnen, dass „die Mengenlehre“
etwas sei, das sie „nie begreifen“ würden, antworte ich
lächelnd, dass dies doch nur eine Anwendung der
Boole'schen Algebra (eines mathematischen Grundmodells)
sei und dass der Wechselschalter im Stiegenhaus ohne diese
nicht funktionieren würde. Aber ohne Erklärung glaubt mir
keiner: Wenn die „Verknüpfung zweier Elemente“
bestimmten
Gesetzen
gehorcht,
sprechen
„wir
Mathematiker“ von einer Boole'schen Algebra (dem
Erfinder zu Ehren); es kann sich dabei um die Verknüpfung
von Schaltungen handeln (vom Lichtschalter bis zum
Computer), um die Verknüpfung von (wahren oder
falschen) Aussagen im Hinblick auf ihren Wahrheitsgehalt,
um die (vielgeschmähten) Mengen und ihre Elemente, und
so fort. Vergleichbare Verknüpfungen verhalten sich
vergleichbar.
Das zeige ich an zwei Beispielen - der (allseits bekannten)
Serien- bzw. Parallelschaltung. Ich gehe von zwei Schaltern
(x und y) aus, bezeichne die Schalterstellung „ein“ mit „1“
und „aus“ mit „0“ und stelle mir je eine Tabelle für die
Serienschaltung (xy) bzw. Parallelschaltung (xy) auf:
x
1
1
0
0
y
1
0
1
0
xy
1
0
0
0
xy
1
1
1
0
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
AB
w
f
f
f
AB
w
w
w
f
A




B




AB




AB




... und schon haben alle kapiert, dass bei Serienschaltung nur
dann Strom fließt, wenn beide Schalter auf „ein“ stehen bzw.
bei Parallelschaltung nur dann kein Strom fließt, wenn beide
Schalter auf „aus“ stehen. Zwei Aussagen (A und B), die
wahr (w) oder falsch (f) sein können, kann ich z. B. mit den
Wörtchen „und“ (AB), „oder“ (AB), ..., verbinden. Die
„Wahrheitswerte der Aussagenverbindungen“ verhalten sich
genau so wie meine „Lichtschalter“ (siehe mittlere Tabelle
oben). Dass sich die Elemente zweier Mengen (A bzw. B)
hinsichtlich ihrer Zugehörigkeit zu A, B, deren Durchschnitt
AB bzw. Vereinigung AB analog verhalten, wundert
niemand mehr (rechte Tabelle)!
Mit der Analogie hinsichtlich weiterer Verknüpfungen (zB
entspricht das aussagenlogische „wenn-dann“ der
Teilmengenbeziehung [  ]) mag ich mich nur in einer
sehr stillen Stunde befassen. Wichtig für mich ist dass
Wissen um ein „Grundmodell“ von Verknüpfungen mit
Gesetzmäßigkeiten (siehe oben bzw. FS unter Assoziativ-,
Kommutativ-, Distributivgesetz).
2. VEKTOREN
Geographen versichern mir, dass sie mit Landkarte und
Kompass (zur Orts- bzw. Richtungsbestimmung) überall hin
kämen. Nun - das können wir Mathematiker auch: Mit
„Ortsvektoren“, die einen bestimmten Punkt in einem
Koordinatensystem festlegen und „Richtungsvektoren“ ,
die stets in die gleiche Richtung zeigend beliebig
verschiebbar sind (wie der Kompass). Ortsvektoren haben klarerweise - eine fixe Länge, hingegen spielt die Länge von
Richtungsvektoren keine Rolle. Mein Prinzip der
Vektorrechnung lautet: „Alles, was ich zeichnen
(konstruieren) kann, kann ich auch rechnen“ (...und der
Konstruktionsgang gibt mir den Rechenweg an).
3
2.1. Gerade ________________________________________________________________________
Eine Gerade kann ich zeichnen, wenn ich entweder zwei
Punkte oder einen Punkt und eine Richtung gegeben habe;
unter denselben Voraussetzungen kann ich „mit Geraden
rechnen“: g: X = P + t. PQ bzw. X = P + t. g
(„Parameterform“), wobei der „Parameter“ t angibt, dass
ich mich (in der festgelegten Richtung PQ bzw. g )
beliebig weit vom gegebenen Geradenpunkt P entfernen
kann. Eine Gerade in der Ebene („im R²“) kann ich mir auch
als linearen Zusammenhang zwischen den x- und yKoordinaten der Geradenpunkte vorstellen: ax + by = c
(„Parameterfreie oder Normalvektorform“), wobei ich
die „Koeffizienten“ a und b als Normalvektor des
Richtungsvektors g erhalte („umdrehen und ein Vorzeichen
ändern“), und sich die rechte Seite c durch Einsetzen der xy-Koordinaten des Punktes P in die linke Seite ergibt. Dies
funktioniert allerdings nur im R², da ich im Raum („im R³“)
zum
Geraden-Richtungsvektor
keinen
eindeutigen
Normalvektor, sondern nur eine Normalebene angeben kann.
Wenn ich die parameterfreie Geradengleichung nach y
umforme, erhalte ich die Geradengleichung in der Gestalt y
= kx + d, wobei k für die Steigung und d für den Abschnitt
auf der y-Achse steht (daher der Name „Abschnittsform“).
 sich schneiden (verschiedene Richtungen, aber einen
Punkt gemeinsam haben),
 parallel sein (gleiche Richtung und keinen Punkt
gemeinsam haben),
 identisch sein (gleiche Richtung und alle Punkte
gemeinsam haben).
Dies sind die 3 Möglichkeiten im Zweidimensionalen; im R³
können sie auch noch
 windschief sein (verschiedene Richtungen und keinen
Punkt gemeinsam haben).
Das „Berechnen der Lage“ liefert bereitwillig die benötigten
Informationen: Wenn der „rechnerische Schnittversuch“
(d.h. das Lösen eines zwei- oder dreizeiligen linearen
Gleichungssystems) eine eindeutige Lösung (für x, y und
ggf. z) liefert, liegt ein Schnittpunkt mit eben diesen
Koordinaten vor; das Auftreten einer falschen Aussage („die
Rechnung weigert sich, sinnvoll zu sein“) weist auf
Parallelität bzw. Windschiefe hin; erhalte ich statt einer
Lösung eine „wahre Aussage“, bringt die Rechnung nichts
Neues, d. h. die Geraden sind identisch. Logo
Die möglichen Lagebeziehungen zweier Geraden kann ich
mir gut vorstellen: Zwei Gerade können
2.2. Halbebenen ____________________________________________________________________
Nach so vielen Gleichungen hab' ich mir eine Ungleichung
verdient. Was passiert eigentlich, wenn ich in einer
(parameterfreien) Geradengleichung (zB g: 2x + 3y = 5) das
Gleichheitszeichen durch ein Ungleichheitszeichen (<,>,,)
ersetze (zB G: 2x + 3y  5)? Offensichtlich erfüllen nun
auch alle Punkte auf der einen Seite der „Grenzgeraden“ g
die Ungleichung G, alle Punkte auf der anderen Seite tun
dies nicht. Nur: Welche Seite ist gemeint?
Ich setze einen beliebigen Punkt [der Einfachheit halber den
„Ursprung“ (0/0), oder den Punkt (1/0), oder ...] in die
Ungleichung ein (2.0 + 3.0 = 0  5  falsche Aussage) und
schon weiß ich, ob die Seite des gewählten Punktes zur
„Halbebene“ gehört oder nicht (die falsche Aussage meines
Beispiels sagt, dass die den Ursprung enthaltende Halbebene
nicht die gewünschte ist, daher ist „die andere Seite“ der
Grenzgeraden gemeint). Die übliche Anwendung dieser
Erkenntnis nennt sich „Lineare Optimierung“.
Beispiel einer „Minimumaufgabe“:
Eine Legierung soll mindestens 31,5 kg Kupfer und
mindestens 33 kg Zink, jedoch höchstens 34 kg Nickel
enthalten. Zwei Sorten von Ausgangsmaterial stehen zur
Verfügung:
Sorte A: 15 % Kupfer, 30 % Zink, 20 % Nickel; Preis
pro kg S 40,- und
Sorte B: 45 % Kupfer, 15 % Zink, 20 % Nickel; Preis
pro kg S 60,-.
Wieviel kg der beiden Sorten sind zu verwenden, um die
gestellten Bedingungen zu einem möglichst niedrigen Preis
zu erfüllen? Ich will x kg der Sorte A und y kg der Sorte B
verwenden und erhalte daher die „Kupferungleichung“
I:0,15x+0,45y31,5  x+3y210.
Dieselbe Umformung liefert die „Zinkungleichung“
II: 2x + y  220 (nachrechnen!) und die
„Nickelungleichung“ III: x + y  170. Die
„Nichtnegativitätsbedingung“: x  0  y (eine negative
Menge ist wohl kaum sinnvoll!) ergänzt meine
Ungleichungssammlung. Jede der drei Grenzgeraden kann
ich durch zwei Punkte festlegen und und in ein geeignetes
Korrdinatensystem zeichnen (zB I durch die Punkte A(0/70)
und B(210/0)). Durch die „Nullpunktprobe“ (das Einsetzen
des Ursprungs) in die Ungleichungen erhalte ich die
Information über die „betroffene“ Seite der Grenzgeraden.
Wo treffen alle drei Bedingungen zu? In jenem Bereich, den
die drei Halbebenen gemeinsam haben - hier ein Dreieck.
Die x-y-Koordinaten aller Punkte dieses Dreiecks erfüllen als x kg der Sorte A und y kg der Sorte B - meine
Erwartungen.
Für mein Ziel, die Kosten möglichst niedrig zu halten, steht
die „Zielfunktion“ z=40x+60y mit der „Richtung“ z = (60/40)  (3/-2), und diese Richtung kann ich ebenfalls
zeichnen. Mein Ziel (möglichst niedrige Kosten) bedeutet
graphisch, dass sich meine „Zielgerade“ einerseits möglichst
nahe dem Ursprung befinden soll, andererseits aber
(mindestens) einen Punkt meines „Bedingungsdreieckes“
(vornehm: „Lösungspolygons“) enthalten soll. Erraten, es ist
der Schnittpunkt P(90/40) der Grenzgeraden I und II. D.h.
mit 90 kg der Sorte A und 40 kg der Sorte B kann ich zum
Minimalpreis von S 6.000,- (nachrechnen!) die gestellten
Bedingungen erfüllen.
Sollte eine abgeänderte Angabe einen möglichst hohen
Gewinn fordern - liegt also eine „Maximumaufgabe“ vor ist natürlich der vom Ursprung am weitesten entfernte Punkt
4
des Lösungspolygons [hier der Punkt R(50/120)] als Schnitt
von II und III der gesuchte.
2.3. Ebenen _______________________________________________________________________
Zwei (Richtungs-)Vektoren im R³ benötigen zur „Fixierung“
noch einen Ortsvektor (=Punkt), und schon spannen sie eine
Ebene auf: E: X = P + r. g + s. h , wobei die beiden
Richtungsvektoren g und h darauf hinweisen, dass ich mir
dasselbe auch mittels zweier sich im Punkt P schneidenden
Geraden vorstellen kann. Aus dieser „Parameterform der
Ebenengleichung“ erhalte ich - analog zur Geraden - die
„parameterfreie
oder
Normalvektorform“
durch
Einsetzen des Normalvektors als Koeffizienten a, b und c
bzw.
der
Koordinaten
des
Punktes
P:
ax + by + cz = d.
Nur: Wie komme ich zum Normalvektor einer Ebene? Dazu
fallen mir zwei Begriffe ein: „Skalarprodukt“ und
„Vektorprodukt“ und ich erinnere mich: Das
Skalarprodukt zweier im rechten Winkel aufeinander
stehenden Vektoren ist Null ( Trigonometrie); weil mir
das Berechnen eines zu zwei anderen Vektoren rechtwinklig
stehenden Vektors mit dem „Skalarprodukt Null setzen“
lästig ist, habe ich diesen Vorgang „formalisiert“ und
Vektor- oder Kreuzprodukt genannt („Du kannst mich
kreuzweise!“ - Pardon). g normal n und h normal n
 g.n = 0 = h.n bzw. n = gh (...Blättern in der FS).
wahre Aussage
falsche
Aussage
2 Gleichungen in 2 Variablen
2 lin.Gleichg.
in 2 Var.
L1={}
1 Variable eliminieren
1 Variable eliminieren
w.A.
f.A.
L={Eb
ene}
L3={}
L={Punk
t}
L2={}
1 Variable als Parameter setzen 
L={Gerade}

L1 ={}: Wenn der erste Versuch, die Ebenen zu schneiden,
bereits „schiefgeht“, kann das wohl nur heißen, dass
(mindestens) zwei Ebenen parallel sind.

L2 = {}: Der erfolgreich verlaufene erste „Schnittversuch“ zeigt
mir, dass sich die Ebenen (paarweise) in Geraden schneiden die sich nun allerdings als windschief erweisen. Geometrisch
kann ich mir solche Ebenen z. B. als Mantelflächen eines
Prismas vorstellen.

L3 = {}: Die wahre Aussage zu Beginn dieses „Lösungsastes“
weist darauf hin, dass zwei Ebenen identisch sind. Liegen also
nur zwei Ebenen vor, die sich „nicht schneiden wollen“, so
müssen sie wohl parallel sein.

L = {Schnittpunkt}: Meine zugehörige Raumvorstellung
gaukelt mir die Spitze einer dreiseitigen Pyramide
(„Tetraëder“) vor.

L = {Ebene}: Alle drei Ebenen sind identisch - das hätte ich
schon früher bemerken können, wenn ich beachtet hätte, dass
jede der drei vorliegenden Gleichungen durch Multiplizieren
aus den beiden anderen hervorgeht.

L = {Gerade}: Anschaulich handelt es sich um ein
(dreiblättriges) Heft und der Heftrücken steht für die
gemeinsame Schnittgerade.
3 lineare Gleichungen in 3 Variablen x,y,z
Eine Variable zweimal eliminieren
1 Gleichung in 2 Variablen
f.A.
Die (grau unterlegten) Lösungsfälle will ich noch kurz
überdenken:
Die möglichen Lagen zweier Ebenen sind rasch vorgestellt
und aufgezählt: Schnitt (nach einer Geraden); Parallelität;
Identität.
Die Lagebeziehungen dreier Ebenen sind etwas
umfangreicher, deshalb schärfe ich meinen Geist und
versuche einem „Ablaufdiagramm“ die möglichen Fälle zu
entlocken. Mein Ausgangspunkt sind drei (parameterfreie
oder mittels Kreuzprodukt parameterfrei gemachte)
Ebenengleichungen:
w.A.
2.4. „Maßaufgaben“ ... _____________________________________________________________
... heißen jene ach so lebensnahen Beispiele, in denen es
(vektoriell)
um
Längen-,
Flächenund
Volumsberechnungen geht. Die Länge eines Vektors (oder
den Abstand zweier Punkte) berechne ich locker mit dem
Pythagoräischen Lehrsatz. Lästiger sind jene Probleme, wo
ein Punkt P vorgegeben ist, von dem aus in einer bestimmten
Richtung g eine bestimmte Länge d abzutragen ist. Dazu
benötige ich den „Einheitsvektor“ go der gewünschten
Richtung, d.h. dieser Vektor soll die „Länge 1“ haben, ich

g

muss ihn also durch seine Länge dividieren: g 0   ; der
g
Was gab`s da noch? Den Inkreismittelpunkt als
Schnittpunkt der Winkelsymmetralen. Wie berechne ich die
Richtung der Winkelsymmetrale zB des von den Seiten b
und c eingeschlossenen Winkels  beim Punkt A? Ich weiß,
in einem Rhombus (= Raute) ist die Diagonale gleichzeitig
Winkelsymmetrale; das heißt, für mein Beispiel müssten die
Richtungsvektoren der Seiten b und c gleich lang sein, dann
würde ihre Summe der Winkelsymmetralenrichtung w
entsprechen. Die Seitenvektoren gleich lang zu machen,
schaffe ich - siehe Einheitsvektor - und ich erhalte:
w = bo + co.
neue Punkt Q errechnet sich daher: Q = P + d.go.
Die Maßzahl für den Flächeninhalt eines von zwei
verschiedenen Vektoren aufgespannten Parallelogrammes
(vornehm
formuliert!) liefert der Betrag des
Kreuzproduktes: A = ab. Was soll ich aber tun, wenn
mein Dreieck zweidimensional ist und ich das Kreuzprodukt
nur im R3 beherrsche? Antwort: Durch das Einführen einer
durchgehenden z-Koordinate z=0 „dreidimensional“
machen!) Vornehm formuliert geht's weiter: Die Maßzahl für
das Volumen eines von drei (nicht in derselben Ebene
liegenden) Vektoren aufgespannten „Parallelepipedes“ (=
Die „Euler'sche Gerade“ HSU eines Dreiecks zu ermitteln,
darf mir nicht mehr schwerfallen: Die Schwerpunktsformel
steht in der FS (falls ich sie vergessen haben sollte), die
Höhen sind Normale auf die Seiten durch die
gegenüberliegenden Eckpunkte und der Umkreismittelpunkt
ergibt sich als Schnittpunkt der Seitensymmetralen (=
Normale auf die Seitenmittelpunkte).
5
Prisma mit Parallelogramm-Grundfläche) berechne ich: V =
(a  b).c . Achtung: Zuerst Kreuzprodukt, dann
Sakalarprodukt! (Ein Tetraëder ist natürlich nur ein Sechstel
davon...).
2.5. Kurven zweiten Grades _________________________________________________________
Nach soviel „Eckigem“ will ich endlich etwas „Rundes“, und
dazu wende ich mich zuerst etwas „Spitzigem“ zu - einem
Kegel (genauer gesagt, einem theoretischen Doppelkegel,
der sich von der Spitze ausgehend in beide Richtungen
unbegrenzt fortsetzt).
Diesen Kegel zerschneide ich (weil das so hübsche Kurven
liefert) und zwar mittels Ebenen (weil ich die schon kenne).
Zuerst befasse ich mich aber mit der „Idealkurve“
schlechthin - dem Kreis und seinem „räumlichen Pendant“ der Kugel.
Kreis und Kugel ___________________________________________________________________________________
Unterricht habe ich vor Jahren gelernt, dass „Tangente und
Ich zeichne ein (zweidimensionales) x-y-Achsenkreuz auf
Berührradius zueinander normal sind“; daher erhalte ich die
ein Blatt Papier, ergreife meinen Zirkel, steche im Ursprung
Tangente (in Normalvektorform) durch Einsetzen der
des Koordinatensystems ein und konstruiere einen Kreis mit
Koordinaten des Berührpunktes T(x1/y1) in die
beliebigem Radius r. Ich markiere einen (beliebigen) Punkt
Kreisgleichung: xx1 + yy1 = r².
irgendwo auf der Kreislinie, zeichne je eine Waagrechte
bzw. Senkrechte durch diesen Punkt und habe damit seine
Am selben Weg (und mit derselben Formel) ermittle ich die
Koordinaten x und y (nicht mehr ganz beliebig, da der Punkt
Gleichung der beiden Tangenten von einem Punkt
auf dem Kreis liegt). Wenn ich noch den Radius vom
P(x1 /y1 ) außerhalb des Kreises an den Kreis ( FS: Pol
Ursprung = Kreismittelpunkt zu meinem Kreispunkt
und Polare): Das Einsetzen der Koordinaten des „Poles“ P
einzeichne, habe ich ein rechtwinkliges Dreieck vor mir,
liefert folgsam die Gleichung jener Geraden, die die beiden
wende stolz den „Pythagoriäschen Lehrsatz“ an - und damit
Berührpunkte verbindet („Polare“). Der Schnitt der Polaren
die „Kreisgleichung“ abgeleitet: x² + y² = r² . Sollte ich mit
mit dem Kreis ergibt die Berührpunkte - ich bin fertig.
meiner Zirkelspitze den „Ursprung“ nicht getroffen haben,
Freunde des „Thaleskreises“ lösen dieses Problem durch den
lege ich eben ein neues Koordinatensystem durch meinen
Schnitt zweier Kreise: Der Kreis, der die Verbindung des
„verrutschten“ Mittelpunkt - das ist die Rechtfertigung für
Poles mit dem gegebenen Kreis als Durchmesser hat (eben
die „allgemeine Kreisgleichung“ in der FS.
ein „Thaleskreis“), wird mit dem gegebenen Kreis
Wenn ich meinen Kreis mit einer Geraden zu schneiden
geschnitten; die Schnittpunkte sind die Berührpunkte. Ein
versuche, so kann dies - je nach Lage der Geraden - 2
weiterer gedanklicher Zugang zum „Kreis-TangentenSchnittpunkte (Gerade = „Sekante“) oder 1 Schnittpunkt
Problem“
verwendet
die
„Tangentensteigung“
(Gerade = „Tangente“) liefern oder die Gerade geht am
[Differentialrechnung].
Kreis vorbei („Passante“). Rechnerisch erlebe ich hier durch
Die Kugel im R³ behandle ich analog (wie den Kreis im R²).
das Einsetzen der Geradengleichung y = kx + d in die
Die
(Normalvektorform
der)
Gleichung
der
Kreisgleichung x² + y² = r² die drei Lösungsfälle der
„Tangentialebene“
im
Punkt
T(x
/y
/z
)
der
Kugel
x²+y²+z²
1 1 1
quadratischen Gleichung x² (k+1) + 2kdx + d² -r² =0,
= r² lautet daher: xx1 + yy1 + zz1 = r² (klar, oder?).
nämlich zwei oder eine oder keine Lösung. (Vorschlag:
Nachrechnen anhand konkreter Beispiele aus dem
Zurück zur Idee des Doppelkegels, der von einer Ebene
Mathematik-Buch der 6. Klasse!) Wenn ich nur eine Lösung
geschnitten
wird: Wenn dies Ebene normal zur
wünsche - die Gerade also Tangente sein soll - setze ich die
Symmetrieachse des Kegels liegt, ist die „Schnittfigur“
„Diskriminante“ dieser quadratischen Gleichung gleich Null
offensichtlich ein Kreis. Alle anderen Lagen werden sicher
und erhalte die „Berührbedingung“ r².(1+k²)=d² (FS).
keine Kreise erzeugen können, wohl aber meinem geliebten
Kreis „ähnliche“ Figuren - sodass meine Überlegungen am
Ich kann mir aber auch folgendes überlegen: Der
Kreis auch darauf angewandt werden können.
„Berührpunkt“ (der „einzige Schnittpunkt“) liegt am Kreis
und auf der Geraden - er erfüllt beide Gleichungen; im GZEllipse ___________________________________________________________________________________________
„Ähnlichkeit“ zwischen Kreis und Ellipse hergestellt und
Die meinen Doppelkegel schneidende Ebene kippt aus ihrer
kann meine vorhin angestellten Überlegungen zum Kreis auf
bisherigen Lage (normal zur Symmetrieachse), allerdings
die Ellipse anwenden (ich glaube, zur Sicherheit arbeite ich
nicht soweit, dass sie zur „Umrisserzeugenden“ (d. h. zur
die „Kreisproblematik“ vorher nochmals durch):
Mantellinie) des Kegels parallel würde. Mein inneres Auge
liefert das Bild einer schräggeschnittenen (wohlgefüllten)
Die Gerade y = kx + d berührt die Ellipse b²x²+a²y²= a²b²,
Eistüte. So wird aus dem (allseits symmetrischen) Kreis eine
wenn sie die Berührbedingung a²k² + b² = d² erfüllt; die
(nur mehr zweiachsig symmetrische) „Ellipse“, d. h. der
Tangente im Punkt T(x1 /y1) - und genauso die Polare zum
„große“ bzw. „kleine Durchmesser“ der Ellipse entstehen
Pol P(x1/y1) - hat die Gleichung a²xx1 + b²yy1 = a²b². (FS)
aus dem Kreisdurchmesser durch Streckung bzw.
Schrumpfung um die Faktoren a bzw. b. Damit habe ich die
Parabel __________________________________________________________________________________________
Meine „Doppelkegel-Schnittebene“ ist jetzt soweit gekippt,
dass sie parallel zu den Umrisserzeugenden zu liegen
kommt. Was passiert? Die Schnittkurve (bisher eine Ellipse)
kann sich nicht mehr „schließen“, sondern setzt sich
unbegrenzt fort - es entsteht eine Parabel.
An meinen prinzipiellen rechnerischen Überlegungen ändert
das wenig: Die Gerade y = kx + d berührt die Parabel y² =
2px, wenn sie die Berührbedingung p = 2kd erfüllt; die
Tangente im Punkt T(x1 /y1) - und genauso die Polare zum
6
Pol P(x1 /y1) - hat die Gestalt yy1 = p(x+x1). [Klar: Aus x²
wird xx1, aus 2x wird daher x+x1 ]
Hyperbel _________________________________________________________________________________________
schneidende Gerade entgegen. Sowie ich meine Ebene ein
Darunter verstehe ich (erwartungsgemäß) jene Schnittkurve,
wenig von der Kegelspitze entferne, wird aus dem Grenzfall
die beim Weiterkippen meiner Schnittebene entsteht, wenn
der beiden Geraden die erwartete Schnittkurve namens
also sowohl der „oberen“ als auch der „unteren“
Hyperbel - die sich aber stets innerhalb der beiden
Doppelkegelhälfte je ein Stück fehlen. Gleichung,
„Grenzgeraden“ befinden muss (schließlich kann sie den
Berührbedingung, Tangente und Polare stehen in der FS
Kegel wohl schwer „verlassen“). Für solche „Grenzgeraden“
(weil ich es bisher verstanden habe, erspare ich mir eine
(oder auch „Grenzkurven“ [Kurvendiskussion)], denen
dritte Wiederholung). Allerdings muss ich mich kurz mit
sich andere Kurven beliebig nähern, sie aber nie ganz
dem Begriff der „Asymptote“ befassen: Lege ich meine
erreichen, verwende ich das beeindruckende Wort
„Doppelkegel-Schnittebene“ genau durch die Kegelspitze,
„Asymptote“.
springen mir als Schnittfigur zwei sich in der Kegelspitze
2.6. Polarkoordinaten ______________________________________________________________
Inzwischen beherrsche ich die Vektorrechnung im R² (und z.
T. auch im R³) schon so perfekt, dass ich übermütig werde
und mich frage, ob denn die „Rechnerei mit x, y (und z)“ der
Weisheit einzigen Schluss darstellt? Könnte ich nicht Punkte
und Richtungen (Orts- und Richtungsvektoren) auch anders
festlegen? Mein Freund - von Beruf Geometer - meinte
einmal, mein rechtwinkliges x-y-Koordinatensystem würde
er „verheizen“, da er zur Festlegung eines Punktes P eine
„Standlinie“, einen Winkel und eine Entfernung benötige.
Also: Ich erkläre meine x-Achse zur Standlinie, gebe den
darauf bezogenen Winkel an und erreiche ausgehend vom
Ursprung in einer angegebenen
Entfernung den
 x
 y
 r
 
festzulegenden Punkt P     P    .
Konstruktiv habe ich meinen geometrischen Freund
eingeholt - als Mathematiker will ich aber alles
„Zeichenbare“ auch rechnen können. Ein neues Kapitel steht
ins Haus, die ...
3. TRIGONOMETRIE
..., was wörtlich „Winkel messen“ heißt. Da bei
Vermessungsaufgaben zB in der Natur Winkel von einem
bestimmten Standpunkt aus leichter zu vermessen sind als
tatsächliche Entfernungen (ich hab' kein kilometerlanges
Maßband), ziehe ich Winkel zur Berechnung (unmessbarer)
Längen heran. Allerdings komme ich nicht ohne das Maß
einer Länge aus, da Winkel allein über die Größe nichts
aussagen (die Dachneigung eines Hauses lässt sich von
einem Foto ermitteln, doch kann ich ohne „Vergleichsmaß“
nichts über die Höhe des Hauses aussagen).
3.1. Winkelfunktionen __________________________________________________________________________
Zur rechnerischen Lösung trigonometrischer Aufgaben
definiere ich (hört, hört!) drei Winkelfunktionen: Sinus
(sin), Cosinus (cos) und Tangens (tan) eines Winkels. Diese
Beschreibung
der
Winkelfunktionen
kann
am
„Einheitskreis“ (ein Kreis mit dem Radius von 1
Längeneinheit [mm, cm, dm,...]) oder in rechtwinkligen
Dreiecken (Pythagoras schau oba!) oder - wie soeben schon
angedeutet - mittels Polarkoordinaten erfolgen.
einem rechtwinkligen Dreieck wegen ++ = 180º nicht
werden), desto größer ist die dem Winkel gegenüberliegende
Dreiecksseite; weiters hängt deren Größe noch von der
„Basis“ des Winkels - hier sinnvollerweise „Hypotenuse“
genannt - ab. Dieses „Verhältnis“ eines Winkels  nenne ich
„Sinus“: sin  = Gegenkathete durch Hypotenuse.
Hemmungslos und folgerichtig definiere ich weiter:
cos  = Ankathete durch Hypotenuse und schließlich
tan  = Gegenkathete durch Ankathete.
Im Hinblick auf meinen nächsten Griechenland-Urlaub
wähle ich den „pythagoräischen Weg“: Je größer ein
Dreieckswinkel (zwischen 0º und 90º - größer kann er in
3.2. Der Sinussatz __________________________________________________________________
Da
bei
„lebensnahen“
(Vermessungs-)Aufgaben
rechtwinklige Dreiecke eher selten vorkommen, erweitere
ich den Anwendungsbereich auf alle Dreiecke - unabhängig
von der Größe ihrer Winkel. Den Beweis für die Richtigkeit
dieser Erweiterung führen Denksportler über die Erkenntnis
aus, dass ja jedes Dreieck durch das Einzeichnen der Höhe
in zwei rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt werden kann ...: a :
sin  = b : sin  = c : sin , wobei a, b und c die
Dreiecksseiten und ,  und  in dieser Reihenfolge die den
Seiten gegenüberliegenden Winkel bezeichnen. Die
Gleichung (a : sin  = b : sin ) kann ich dann lösen, wenn
von den vier „Variablen“ a, b,  und  drei bekannt sind. D.
h.: Den Sinussatz wende ich dann an, wenn in einem
Dreieck zwei Winkel und eine Seite (WSW) oder zwei
Seiten und ein den gegebenen Seiten anliegender Winkel
(SSW) gegeben sind.
3.3. Der Cosinussatz ... ______________________________________________________________
... ist der verallgemeinerte „Pythagoräische Lehrsatz“
(a² +b² =c² gilt ja nur in rechtwinkligen Dreiecken, wo ja
auch sin² + cos² = 1 gilt): a² = b² + c² - 2bc.cos.
(SSS) ein Winkel zu berechnen ist oder die Angabe zwei
Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel umfasst
(SWS).
Der Cosinussatz findet (überlege ich wie vorhin) dann
Verwendung, wenn aus der Angabe aller drei Seiten
3.4. Flächenberechnung _____________________________________________________________
7
Da jede geradlinig begrenzte Fläche in Dreiecke
aufgeteilt werden kann (deren Anzahl nur vom Geschick
des „Aufteilers“ abhängt), findet die „trigonometrische
Dreiecksflächenformel“
A
a. b
a. c
b. c
sin  
sin  
sin 
2
2
2
häufige
Verwendung
Grundstücksflächenberechnungen).
(z.B.
für
3.5. Die „Summensätze“ ... __________________________________________________________
... entnehme ich - sollte ich sie jemals brauchen - meiner Formelsammlung.
Zum Abschluss dieses Kapitels kehre ich nochmals zu meinem Ausgangspunkt zurück, zur ...
3.6. Anwendung der Winkelfunktionen in der Vektorrechnung ____________________________
Seit ich weiß, was die Mathematiker unter dem Sinus bzw.
Cosinus eines Winkels verstehen, ist mir auch klar, dass ich
die rechtwinkligen x-y-Koordinaten eines Punktes P(x/y)
durch x = r.cos  bzw. y = r.sin  aus seinen
Polarkoordinaten P(r/) erhalte. Weiters akzeptiere ich
locker die Formel für den Winkel zweier Vektoren a und b

a.b
: cos     .
a.b
3.7. Rechnen in C __________________________________________________________________
Zu Beginn meines mathematischen Endspurts habe ich mit
Zahlenmengen „gehandelt“ und dabei den Zahlenstrahl zur
Gauß'schen Zahlenebene erweitert, in der ich für jede
komplexe Zahl z=a+bi den zugehörigen Punkt finden kann;
seine Koordinaten kann ich in cartesischer oder PolarSchreibweise angeben:
 a
 b
 r
 
z=a+bi = r.(cos+i.sin)  P       .
Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren in der
Schreibweise z=a+bi funktioniert problemlos. Beim
Dividieren entferne ich trickreich die komplexe Zahl im
Nenner durch Erweitern mit seiner „konjugiert-komplexen“
Zahl [(a+bi).(a-bi) = a²-b²i² = a²+b²]:
Daher gehe ich zur Polarkoordinaten-Darstellung über,
führe dort mit den Radien die verlangten Rechenoperationen
durch und reduziere bei den Winkeln die Rechenoperationen
um eine Stufe (Winkel benehmen sich wie Exponenten!):
3
 53 
 125   117
 3
(3  4i)3      o   
 
  117  44i .
 4
159o   44 
 53 .3
Unter Beachtung des eben angeführten Prinzips führe ich
alle
Rechenoperationen
(außer
Addieren
und
Subtrahieren) in C locker in Polar-Schreibweise aus.
(Nebenbei bin ich froh über die P>R-Taste meines TR, die
das Verwandeln von und in Polarkoordinaten enorm
beschleunigt.)
3  4i (3  4i). (2  i) 6  3i  8i  4i 2 2  11i



 0,4  5,5i
2i
(2  i). (2  i)
5
4  i2
Das Potenzieren artet vom Umfang her bereits aus und beim
Wurzelziehen raufe ich mir endgültig die letzten (?) Haare.
4. GEOMETRISCHE FOLGEN
4.1. Reich werden? ______________________________________________________________________________
Nach so viel geistiger Anstrengung will ich endlich reich
werden, gehe auf die Bank und erfahre, dass der derzeit
höchste Zinssatz für (gesperrte) Einlagen 7 % beträgt.
Wegen des hohen Zeitaufwandes für mein MathematikStudium habe ich mir S 100.000,- angespart (wann hätte ich
das Geld schon ausgeben sollen?). In Kenntnis des Begriffes
„Prozent“ ist mir klar, dass ich bei Einlage auf ein Sparbuch
nach einem Jahr nicht nur mein Kapital (=100%), sondern
auch noch 7 % Zinsen davon (= 7.000,-) besitze, also
insgesamt S 107.000,- (=107%). Allerdings verwirrt mich
die charmante Bankangestellte mit der Bemerkung, dass
„halbjährlich kapitalisiert“ würde. Ich sinniere:
 Wenn ich pro Jahr 7 % Zinsen erhalte, dann im Halbjahr
natürlich 3,5 %.
 Nach einem halben Jahr hab' ich also S 103.500,(entspricht 103,5 %), also das 1,035fache meiner
Einlage.
 Im 2. Halbjahr vermehrt sich mein Kapital wieder um
das 1,035fache, ich verfüge also über S 100.000,- (mein
Kapital) mal 1,035 (für das erste Halbjahr) mal 1,035
(für das zweite Halbjahr).
 Nach einem Jahr besitze ich somit 100000 . 1,035<M^>2
= 107.122,50 S (wovon allerdings der Finanzminister
noch die KESt kassiert ...).
 Nach 2 Jahren sind es bereits 100000 . 1,035 4 =
114.752,30 S
[bei „ganzjähriger Kapitalisierung“ wären es 100000 . 1,07²
= 114.490,- S].
Hurra, ich hab's begriffen!
8
4.2. Mathematische Sprechweise ______________________________________________________
Eine
reelle
a n n  N mit a n  c. q n
Zahlenfolge
heißt
geometrische Folge und es gilt: an+1 =an .q (...und ich dachte,
ich hätte es begriffen!). Was heißt das? Wenn eine geordnete
Menge von Zahlen vorliegt, wobei das jeweils nachfolgende
Element aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit
einem gleichbleibenden Faktor entsteht, so ist dieser
Sachverhalt gegeben - siehe Bankbesuch:
a0 = mein Kapital = S 100.000,a1 = mein Kapital nach einem Halbjahr = 100000 .
1,035 = S 103.500,a2 = mein Kapital nach zwei Halbjahren = 100000 .
1,035² = S 107.122,50
a3 = mein Kapital nach drei Halbjahren = 100000 .
1,0353 = S 110.871,79
a4 = u.s.f....
an = mein Kapital nach n Halbjahren = 100000 .
1,035n (hochgelobt sei der TR !).
4.3. Noch reicher werden? Die Summenformel __________________________________________
Auf den Geschmack gekommen, plane ich, jeweils am
Monatsletzten S 1.000,- einzuzahlen - allerdings erhalte ich
dafür wegen des erhöhten Verwaltungsaufwandes nur 6 %
Zinsen pro Jahr, also 0,5 % pro Monat. Meine
Jännereinzahlung wertet zu Jahresende 1000 . 1,00511 = S
1.056,40 - sie wurde 11 Monate verzinst.
Februareinzahlung: 1000 . 1,00510 = S 1.051,14 - und so fort
bis in den Dezember: S 1.000,- Einzahlung ohne Zinsen. Ich
verfüge also über die Summe von 12 verschieden verzinsten
Einzahlungen:
s12 = 1000.1,00511
1000.1,005 + 1000
+
1000.1,00510
+...
+
Hätte ich meine Einzahlungen statt am Monatsletzten am
Monatsersten vorgenommen (oder am Monatsletzten des
Vormonates begonnen), würden sich meine Einzahlungen
natürlich um einen Monatszins vermehren:
1000.1,00512 + 1000.1,00511 +...+ 1000.1,005 =
s12 .1,005
Da ich keine Lust habe, solche „Würste“ in den
Taschenrechner zu tippen, versuche ich mich im Denksport,
ziehe einfach die beiden „Würste“ voneinander ab und siehe da: s12 - s12 .1,005 = 1000 - 1000.1,00512..
Herausheben kann ich: s12. (1 - 1,005) = 1000 . (1 1,00512). Die „Wurst“ ist geschrumpft auf: s12 =
1000.(1 - 1,00512):(1 - 1,005) = S 12.335,56
Allgemein: Die Summe von n Gliedern einer
geometrischen Reihe sn = b1 + b2 + b3 +...+ bn errechne ich
mit s n  b1.
1  qn
. Der Reichtum kommt ...
1 q
5. KURVENDISKUSSION
Auf dieser Welt wird es normalerweise morgens hell und
abends dunkel. Der Übergang vom Tag zur Nacht und
umgekehrt erfolgt allerdings in den Tropen rascher als in
gemäßigten Breiten. Geht es mir nicht um einen reinen
(Helligkeits-)Unterschied (sprich „Differenz“), sondern um
das Tempo der Veränderung (sprich „Differential“),
verwende ich die „Differentialrechnung“ zur Ermittlung der
„Änderungsrate“.
5.1. Der Funktionsbegriff ___________________________________________________________
Im Alltag stoße ich häufig auf „zusammenhängende
Größen“: Zu einem bestimmten Zeitpunkt stelle ich eine
bestimmte Helligkeit fest (s.o.), nach einer gewissen
Zeitspanne habe ich (sogar als Autofahrer im Stau) eine
bestimmte Wegstrecke zurückgelegt, usw. Kann ich - wie in
diesen Beispielen - einer Größe genau eine andere Größe
zuordnen, sprechen die Mathematiker von einer „Funktion“
(z.B. von Helligkeit oder Wegstrecke als „Funktion der
Zeit“). Die übliche Darstellung solcher Funktionen erfolgt
zeichnerisch (durch einen „Funktionsgraphen“) in einem
(üblicherweise rechtwinkligen) Koordinatensystem. In der
Schulmathematik auftretende Beispiele [z.B. f(x)=34x-5x²]
liefern als Zeichnung im Normalfall Kurven.
5.2. Die Ableitung einer Funktion _____________________________________________________
Frage ich mich nun nach der „Änderungsrate“ einer Funktion
(bei der o.a. Zeit-Weg-Funktion entspräche dies der
Geschwindigkeit - je schneller ich fahre, umso größer ist die
zurückgelegte Strecke), stoße ich zuerst auf die „mittlere
Änderung“ (die „Durchschnittsgeschwindigkeit“) als
„Quotient zweier Differenzen“: Entfernung Zell/Wien minus
Entfernung Zell/Salzburg dividiert durch Zeit des Eintreffens
in Wien minus Zeit der Abfahrt von Salzburg ergibt meine
mittlere Geschwindigkeit zwischen Salzburg und Wien
(„Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit“, sprach der
Physiklehrer).
Frage ich mich nach der „Momentangeschwindigkeit“ zu
einem bestimmten Zeitpunkt, geht obige Überlegung schief:
Ich müsste durch eine Zeitspanne dividieren, die ist „im
Moment“ gleich Null - und eine Division durch Null ist nicht
9
möglich.
Geschicktes
Zerlegen
der
zugehörigen
Funktionsgleichung vermeidet aber dieses Desaster.
5.3. Zum Beispiel Steine werfen _________________________________________________________________
Mein Physiklehrer hat mich überzeugt, dass ich die Höhe
eines mit 34 m/s lotrecht nach oben geworfenen Steines nach
t Sekunden mit der Formel s(t) = 34t - 5t² berechnen kann;
ich schreibe mir diesen Spezialfall des „Weges s als
Funktion der Zeit t“ in der allgemeinen Schreibweise mit x
und f(x) an und frage mich nach der „Änderungsrate der
Funktion f(x) = 34x - 5x² an der Stelle x“, was für den
v(t, z) 
Physiker der Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t
entspricht. Für die mittlere Änderungsrate (= mittlere
Geschwindigkeit) in einem Intervall (= Zeitspanne zwischen
dem Zeitpunkt t und dem Zeitpunkt z) schaffe ich es mit
obiger Überlegung zum Differenzenquotienten und erhalte
die „mittlere Geschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten t
und z“ mit
s(z)  s(t ) 34z  5z2  (34t  5t 2 ) 34. (z  t )  5. (z2  t 2 )


 34  5. (z  t )
zt
zt
zt
Durch mein raffiniertes Herausheben und Kürzen [z²-t² = (zt).(z+t)] tritt nunmehr das Gespenst einer Division durch
Null gar nicht mehr auf! Es kann problemlos z=t, also z+t=2t
und damit die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t zu v(t) = 34
- 5.2t werden. Anders formuliert erhalte ich die
Änderungsrate f'(x) der Funktion f(x)= 4x-5x² mit
f'(x)=34-10x.
5.4. Die erste Ableitung f'(x) _________________________________________________________
Eine „Potenzfunktion“ f(x) = xn hat die Änderungsrate
f'(x) = n.xn-1. Zeichne ich die Funktion f(x) als Kurve in ein
Koordinatensystem, dann gibt die erste Ableitung f'(x) die
Steigung der Kurve an jeder Stelle x an. Von besonderer
Bedeutung (Extremwertaufgaben) sind jene Stellen, wo
die Kurve waagrecht verläuft - wo f'(x) = 0 ist -, da ein Blick
auf den Graphen genügt, um zu erkennen, dass in diesem
Fall ein Hochpunkt („Maximum“) bzw. Tiefpunkt
(„Minimum“) der Funktion vorliegen könnte.
5.5. Die zweite Ableitung f“(x) ________________________________________________________
In meinem physikalischen Beispiel hängt die Änderung des
zurückgelegten
Weges
(der
„Zeit-Weg-Funktion“)
klarerweise von der Geschwindigkeit ab. Wovon hängt nun
eine Änderung der Geschwindigkeit ab? Motorsportfreaks
haben die Antwort sofort parat: Natürlich von der
Beschleunigung (mathematisch gesprochen: von der
„zweiten Ableitung“ der usprünglichen Zeit-Weg-Funktion).
Auf allgemeine Funktionen f(x) angewendet heißt dies:
Wenn die 1. Ableitung f'(x) die Steigung beschreibt, so gibt
die „Ableitung der Ableitung“ f“(x) die Änderungsrate der
Steigung - also die „Krümmung“ - der Kurve an; ist f“(x)
> 0, so ist die Kurve linksgekrümmt (weil die Steigung
zunimmt), ist f“(x) < 0, so ist sie rechtsgekrümmt und für
f“(x) = 0 geht eine Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung
über (es liegt ein „Wendepunkt“ vor).
5.6. Vorgangsweise bei einer Kurvendiskussion _________________________________________
Wenn ich - einem oft geäußerten Wunsch meines
Mathematik-Lehrers entsprechend - das exakte Verhalten
des Graphen einer Funktion (üblicherweise eine Kurve)
besprechen („diskutieren“) soll - also vor einer
„Kurvendiskussion“ stehe, ist folgende Vorgangsweise
angebracht:
 Definitionsmenge feststellen (gibt es Zahlen, die in die
Funktionsgleichung nicht eingesetzt werden dürfen, z. B.
weil sie einen „Nenner Null“ ergäben).
 f' und f“ berechnen.
 Daraus die Hochpunkte [f'(x) = 0 und f“(x) < 0],
Tiefpunkte [f'(x) = 0 und f“(x) > 0] sowie
Wendepunkte [f“(x) = 0] mit ihrer Steigung [f'(x) für
den x-Wert des Wendepunktes] ermitteln.
 Ggf.
Asymptoten
(Hyperbel)
ermitteln:
„Grenzgerade“ (oder „Grenzkurven“) treten in der
Schulmathematik nur bei „gebrochen rationalen
Funktionen“ auf, also dann, wenn die Variable x in der
Funktionsgleichung auch im Nenner vorkommt.
Ich unterscheide zwei Arten von Asymptoten:
a) Beim Festlegen der Definitionsmenge (s.o.) habe ich mich
bereits mit „Nenner-Nullstellen“ befasst - der Nenner eines
Bruches darf ja nicht Null werden - also zeichne ich für
solche x-Werte senkrechte Gerade im Koordinatensystem
dieses
Funktionsgraphen
ein;
diese
„senkrechten
Asymptoten“ stellen unüberwindliche Hindernisse für den
Graphen dar - er kann sich beliebig knapp annähern, sie aber
nie erreichen (da sonst der Nenner gleich Null wäre).
b) Ich führe die Division in der Funktionsgleichung aus und
nehme den „ganzzahligen Teil“ als Asymptote. Warum?
Ein Beispiel schafft mir Klarheit:
Ich ermittle die Asymptoten der Funktion mit der Gleichung
x3
3x  2
f (x) 
 x 3 : ( x 2  2x  1)  x  2 
( x  1)2
( x  1)2
(nachrechnen!)
Dass für x =1 eine „Nenner-Nullstelle“ vorliegt, sehe ich auf
den ersten Blick - ich zeichne eine senkrechte Asymptote x
=1. Nach der „Polynomdivision“ hat die Funktionsgleichung
eine etwas andere Gestalt, aus der ich erkenne: Für große xWerte wird der Wert des verbleibenden Bruches
verschwindend klein (weil sein Zähler nur „linear“, sein
Nenner hingegen „quadratisch“ wächst). Daher wird sich für
große x-Werte der Funktionsgraph wohl notgedrungen der
„Asymptotenfunktion“ a(x) = x+2 annähern (sie allerdings
nie erreichen).
10
5.7. Extremwertaufgaben ____________________________________________________________
Eine „Maximumaufgabe“:
wie möglich. Ich überlege: Der Umfang ist u = y + 2x; die
biologisch notwendige Fläche ist
Ich möchte - anschließend an meine Garagenwand - einen
Hühnerhof umzäunen. Zum Umzäunen möchte ich einen
Rest von 20 m Maschenzaun verwenden (der beim
Grundstück einzäunen überblieb). Wie soll ich die Länge y
und die Breite x meines Hühnerhofes wählen, damit seine
Fläche möglichst groß wird?
A = x.y = 72 m; also ist y = 72:x. Sofort setze ich diese
„Flächenformel“ in die „Umfangsformel“ ein, wodurch der
72
72
 2 x  f (x)  72 x 1 mit f' (x) 
2
Umfang u 
x
x2
zu einer Funktion der Breite x wird. Aus f'(x) = 0 folgt x = 6
Ich überlege: Eine Rechtecksfläche kann ich mit A = x.y
berechnen. Der Umfang beträgt y + 2x = 20 m - oder anders
ausgedrückt y = 20 - 2x. Setze ich diese „Umfangsformel“ in
die „Flächenformel“ ein, erhalte ich
A = x.(20 - 2x) = 20x - 2x².
Nach den bisherigen Überlegungen erkenne ich, dass ich so
die Fläche als „Funktion der Breite x“ auffassen kann: f(x)
= 20x - 2x². Sofort berechne ich f'(x) = 20 - 4x = 0,
d. h. x = 5 m und aus y = 20 - 2x erhalte ich y = 10 m.
Wegen f“(x) = -4 kann nur ein Hochpunkt des
Funktionsgraphen, d. h. für mich mit diesen Maßen (Länge
10m und Breite 5m) die größtmögliche Fläche vorliegen nämlich Amax= 5 m . 10 m = 50 m² .
Eine „Minimumaufgabe“:
Ein Biologe erklärt mir, dass bei der von mir gewünschten
Hühnerzahl eine Fläche von 72 m² erforderlich sei. Nun
reicht mein vorhandener Drahtzaun nicht mehr, ich muss
neuen kaufen - als sparsamer Mensch allerdings so wenig
m bzw. y = 72 : 6 = 12 m. f " (x) 
144
ist für x = 6 positiv,
x3
der Funktionsgraph weist hier einen Tiefpunkt auf und der
minimale Umfang beträgt
umin= 12 m + 2 . 5 m = 22 m .
Allgemeine Vorgangsweise:
Das, was „möglichst groß bzw. klein“ werden soll, schreibe
ich als Formel an - diese Formel soll „Hauptbedingung“
heißen. Diese Formel muss ich nun durch weitere sog.
„Nebenbedingungen“ auf eine einzige Unbekannte
reduzieren - denn so kann ich meine „Hauptbedingung“ als
Funktion auffassen. Von dieser Funktion bilde ich die 1.
Ableitung und setze diese gleich Null - weil für f'(x) = 0 der
Verdacht auf einen „Extremwert“ besteht. Zur Überprüfung
setze ich das so erhaltene Ergebnis in f“(x) ein, weil dann
feststeht, dass für f“(x)<0 ein Maximum bzw. für f“(x)>0 ein
Minimum vorliegt.
5.8. Differentiationsregeln ___________________________________________________________
Die zum Ableiten mancher Funktion notwendigen Regeln finde ich in meiner FS als „Potenz-, Produkt-, Quotienten- und
Kettenregel“.
6. INTEGRALRECHNUNG
Am Beginn meiner mathematischen Karriere habe ich als
erstes Zusammenzählen („Addieren“) gelernt, bald darauf
das Wegzählen („Subtrahieren“) und rasch kapiert, dass sich
diese beiden Rechenarten gegenseitig aufheben: 5+10-10 =
5. Etwas später ist mir dasselbe am Multiplizieren und
Dividieren aufgefallen und schließlich gar am Quadrieren
und (Quadrat-)Wurzelziehen. Daher erwarte ich, dass auch
zur „Rechenoperation Differenzieren“ eine Umkehrung
existiert.
6.1. Bezeichnungen _________________________________________________________________
Differenzieren umkehren heißt, jene Funktion F(x) suchen,
die differenziert wieder f(x) ergibt: F'(x) = f(x). F(x) heißt
„Stammfunktion von f(x)“ und das Aufsuchen der
Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion f(x) nenne ich
„Integrieren“. Ein Beispiel:
f (x)  x2  F(x) 
x3
 c [weil F' (x)  x2  f (x)]
3
D. h. beim Integrieren (einer Potenzfunktion) erhöhe ich die
Hochzahl um eins (weil sie umgekehrt beim Ableiten um
eins erniedrigt wird) und dividiere durch die neue Hochzahl
durch (weil ich umgekehrt beim Differenzieren damit
multipliziere) und schließlich addiere ich eine beliebige Zahl
c (weil die beim Differenzieren ohnehin verschwindet).
6.2. Anwendungen__________________________________________________________________
Ähnlich hochgeistige Überlegungen wie beim Differenzieren
führen dazu, dass ich die Stammfunktion [die integrierte
Funktion f(x)] zum Berechnen des Flächeninhaltes zwischen
dem Funktionsgraphen (der „Kurve“) und der x-Achse
heranziehen kann: Die Fläche, die vom Graphen, der xAchse und den x-Werten a und b begrenzt wird, hat den
Inhalt F(b) - F(a). [Lieber glaub' ich das meinem
Mathematik-Lehrer, bevor ich mich mit dem „Grenzwert
von Treppenfunktionen“ beschäftige...]
b

 Also: Wenn ich „Längen integriere“ [ f (x) dx ], erhalte
a
ich die „Maßzahl“ für die vom Funktionsgraphen und
den Senkrechten bei x=a bzw. x=b begrenzten Fläche.
Diese Maßzahl ist für Flächen oberhalb der x-Achse
positiv, für Flächen unterhalb der x-Achse negativ - für
den Flächeninhalt ich muss also den Betrag der Maßzahl
nehmen. Sollten sich im „Integrationsbereich“ (also für a
< x < b) Nullstellen der Funktion „herumtreiben“ (d.h.
11
die Lage der Fläche sich von oberhalb zu unterhalb der
x-Achse ändert), muss ich wegen des soeben erwähnten
„Vorzeichenwechsels der Maßzahl“ den einen
Integrationsbereich in mehrere (je nach Anzahl der
Nullstellen)
[wobei
f(c) = 0 gilt].
aufteilen:
b
c
b
a
a
c
 f (x) dx   f (x) dx   f (x) dx
a<c<b
und
 Weiters: Wenn ich „Flächen integriere“, erwarte ich eine
Maßzahl für ein Volumen (weil Längen eindimensional,
Flächen zwei- und Volumina dreidimensional sind und
ich beim Integrieren Hochzahl - sozusagen die
Dimension - um eins erhöhe). Ich brauche also eine
Funktion A(x), die mir - abhängig nur von der Variablen
x - die Querschnittsfläche eines Körpers angibt. Körper,
deren Volumen ich mit dieser Methode berechnen kann,
müssen also Querschnittsflächen aufweisen, die in jeder
beliebigen Höhe zumindest ähnliche Gestalt haben.
Beispiele mit hübschen (?) anschaulichen Darstellungen
der zu berechnenden Körper finde ich in meinem
Mathematik-Buch der 8. Klasse. Meine Aufgabe hiebei
ist stets dieselbe: Ich stelle - abhängig von der Gestalt
der Querschnittsfläche (Quadrat, Rechteck, Sechseck,
Kreis, ...) - die Querschnittsflächenfunktion auf und
b
erhalte das Volumen durch V 
 A(x) dx , wobei a und b
a
für die „Grund- bzw. Deckflächenhöhe“ stehen.
 Manche Mathematik-Lehrer scheinen eine Vorliebe für
Funktionsgraphen zu haben, die sich um die x-Achse
(oder y-Achse) drehen, sodass vasenähnliche Körper mit
verschieden großen kreisförmigen Querschnitten
entstehen, deren Volumen ich besonders leicht
b
ausrechnen

V  . f 2 (x) dx ,
kann:
weil
die
a
Querschnittsfläche überall ein Kreis mit A=r². ist und
daher
A(x) = .f²(x) gilt.
Weitere Anwendungen des Integrierens finden sich als
Stoffgebiet für die „Spezialfrage“ oder im WPG a)
Mathematik: Die Bogenlänge einer Kurve, die Oberfläche
des soeben erwähnten Drehkörpers (der „Vase“) sowie
Schwerpunkte von Flächen und Körpern. Auf die
Flächeninhaltsberechnung werde ich aber unter dem
Schlagwort
„Normalverteilung“
bei
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung nochmals zurückkommen.
6.3. Exponential- und natürliche Logarithmusfunktion ___________________________________
Mein Integrationsprinzip („Hochzahl plus eins und in den
Nenner schreiben“) verweigert sich für
x
1
dx , da hier
einmal mehr der „Nenner Null“ auftreten würde. Mehrere
e
geistig eher strapaziöse Wege - z.B. über
x
1
dx  1 (hier
1
taucht
wieder
die
„Eulersche
Zahl
e“
auf
Rechenoperationen) - führen zum jeder FS zu
entnehmenden Ergebnis
x
1
dx = ln|x|+c bzw. umgekehrt (ln x)' = x-1.
Die Eulersche Zahl (sensible Gemüter überspringen die
nächste Zeile)
e
zeigt sich beim Differenzieren und Integrieren von ihrer
besten (?) Seite; die zugehörige „Exponentialfunktion“ f(x)
= ex ist sozusagen das „neutrale Element“ dieser beiden
Rechenoperationen:
 e dx  e
x
x
 c bzw. (ex )'  ex ,
d. h.
diese Funktion hat zum einen die Eigenschaft, dass der
Funktionswert f(x) überall gleich der Steigung f'(x) in
diesem Punkt P(x|f(x)) des Funktionsgraphen ist und zum
anderen ist der Funktionswert an einer Stelle x gleich dem
Flächeninhalt der vom Funktionsgraph bis zur Stelle x
begrenzten Fläche.
Nun kann ich (mit der Kettenregel) sogar selber beweisen,
was ohnehin in der FS steht: f(x) = ax  f'(x) = ax.ln a.
1 n
1
1
1
lim 1    1  1  

...  2,718... mit e2i  1


n
2
2
.
3
2
.
3
.
4
n
6.4. Differentialgleichungen __________________________________________________________
Wenn mein Mathematik-Lehrer außerdem der Physik frönt,
kann mir passieren, von dieser Seite mit der
„Zerfallsfunktion“ N(t) = No.e-rt konfrontiert zu werden.
Mathematisch versteckt sich hier „nur“ das Lösen der
„Differentialgleichung“ f'(x) = k.f(x)  f(x) = c.ekx.
Wenn also die Steigung f'(x) stets ein gleichbleibendes
Vielfaches des Funktionswertes f(x) ist, liegt prinzipiell eine
Exponentialfunktion vor. [Z.B. der Idealfall von vorhin: Die
Steigung der Funktion f(x)=ex ist an jeder Stelle gleich dem
Funktionswert, weil f'(x)=ex .]
7. WAHRSCHEINLICHKEIT
Da gibt es doch tatsächlich „Spielsüchtige“, die glauben,
Würfeln könne „mit Geschick“ beeinflusst werden
(demnächst
reden
sie
gar
von „telekinetischer
Manipulation“!). Ich hingegen weiß: Würfeln (mit nicht
„gezinkten“ Würfeln) ist ein „Zufallsexperiment“, bei
angenommenen 6000 Würfen kann ich ungefähr 1000
Einser, 1000 Zweier, usf. erwarten. Genau 1000 Einser,
1000 Zweier, usf. ist wohl höchst unwahrscheinlich, da hätte
sich die Wahrscheinlichkeit zur Gesetzmäßigkeit gewandelt.
Ich kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch
seine „relative Häufigkeit“ definieren: 6000 mal würfeln,
Protokoll führen und das Auftreten der Einser, Zweier, usf.
12
in Prozenten angeben. Ich würfle aber nicht, weil mir klar
ist, dass (nicht „gezinkter“ Würfel vorausgesetzt) die
Prozentanteile der einzelnen Ziffern jeweils rund 17 %
betragen werden: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =
1
/6  17 %.
Allgemein gilt für Wahrscheinlichkeiten:
Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E ist der
Quotient aus der Maßzahl des „interessierenden“
(„günstigen“, „zu untersuchenden“,...) Ereignisses durch
die Maßzahl der überhaupt möglichen Ereignisse.
Diese Maßzahlen können Anzahlen sein - wie
wahrscheinlich ist es, eine gerade Zahl zu würfeln?
P(Gerade Zahl) = 3/6, weil es 3 gerade Ziffern und insgesamt
6 Ziffern am Würfel gibt.
Diese Maßzahlen können Flächeninhalte sein - wie
wahrscheinlich ist es, dass ein die Erde treffender Meteorit
in Österreich „landet“? P(Österreich) = Fläche Österreichs
dividiert durch Erdoberfläche (ich bin kein Geograph...).
Die Maßzahlen für die „günstigen“ bzw. „möglichen“ Fälle
können verschiedenster Art sein und nur dem jeweiligen
Beispiel entnommen werden.
7.1. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ________________________________________________
Wahrscheinlichkeiten
(abgekürzt
mit
P
wegen
„Probabilitas“) können sich - als relative Häufigkeiten
aufgefasst - nur zwischen 0 % und 100 % bewegen; als
Quotient „günstige durch mögliche Fälle“ zwischen Null und
Eins (weil es höchstens gleich viel „günstige wie mögliche“
Fälle geben kann:
0P1  0%P100%.
Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten aller möglichen
„Ausfälle“ eines Zufallsexperimentes muss natürlich Eins
sein: P = 1 steht für das „sichere“ Ereignis (dass „irgendwas
passiert“, ist sicher!).
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist
daher die Differenz seiner Eintrittswahrscheinlichkeit auf 1
(oder 100 %): P(E) = 1 - P(E).
Daraus folgt sofort: Die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei
möglichen Ereignissen, das eine oder das andere eintritt, ist
die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: P(E1E2) =
P(E1)+P(E2), der „Additionssatz“, falls E1 und E2 „nichts
gemeinsam“ haben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl das eine als auch das
andere Ereignis eintreten (E1 und E2) ist das Produkt der
Einzelwahrscheinlichkeiten:
P(E1E2) = P(E1).P(E2), der „Multiplikationssatz“, wobei
ein etwaiger „Einfluss“ des ersten Ereignisses auf das zweite
nicht außer Acht gelassen werden darf.
In der „klassischen“ Wahrscheinlichkeitsrechnung kommt es
nur darauf an, die Fragestellung logisch exakt zu formulieren
(mit logischen Verbindungen durch „und“, „oder“, „nicht“)
und die den logisch-verbalen Verbindungen entsprechenden
Rechenoperationen
(Produkt,
Summe,
Differenz)
anzuwenden.
Ein Beispiel (nach Bürger 3/8.40): Meine Chemie-Lehrerin
führt hintereinander vier chemische Versuche vor. Ich weiß
aus Erfahrung, dass ihr (im Mittel) nur 40% aller Versuche
gelingen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
 alle Versuche misslingen? Ich formuliere exakt: Der 1.
Versuch gelingt nicht P(E) = 1-P(E) = 1-0,4 = 0,6 und
der 2. Versuch misslingt P(E1E2) = P(E1).P(E2 )
= 0,6.0,6 und der 3. Versuch misslingt (...) und der vierte
ebenso, also P(alle 4 misslingen) = P(V=0) =
0,6.0,6.0,6.0,6 13 %;
 wenigstens 1 Versuch gelingt? Exakt: Das Gelingen
mindestens eines Versuches ist doch das genaue
Gegenteil der soeben beantworteten Frage nach dem
Gelingen keines Versuches, ich muss die Differenz auf
100 % heranziehen: P(V1) = 1 - P(V=0) 87 %;
 wenigstens 2 Versuche gelingen? Exakt: Es sollen 2 oder
3 oder 4 Versuche gelingen; kürzer wird die Rechnung,
wenn ich formuliere „es sollen nicht keiner oder einer“
gelingen:
P(V2)
=
1-P(V<2)
=
1-[P(V=0)+P(V=1)] 1-0,13-P(V=1); dass genau ein
Versuch gelingt [P(V=1)] heißt: der erste gelingt und die
anderen drei nicht oder der zweite gelingt und die
anderen drei nicht oder der dritte ..., also: P(V=1) =
0,4.0,6.0,6.0,6 + 0,6.0,4.0,6.0,6 + 0,6.0,6.0,4.0,6 +
0,6.0,6.0,6.0,4 = 4.0,4.0,6³ 35 %  P(V2) 1 - 0,13 0,35 = 52 %. In dieser Form („nicht keiner oder einer“)
ist die Rechnung sicher kürzer als in der Form „zwei
oder drei oder vier“; allein für den Fall des Gelingens
von zwei Versuchen gibt es schließlich die 6
Möglichkeiten: 1. und 2. oder 1. und 3. oder 1. und 4.
oder 2. und 3. oder 2. und 4. oder 3. und 4. Versuch
gelingen, die jeweils anderen gehen schief. Mir scheint,
für das Berechnen einer solchen „Anzahl von
Möglichkeiten“ sollte ich mir ein Verfahren überlegen, ...
7.2. Binomialverteilung _____________________________________________________________
... besonders dann, wenn ich die Anzahl der Versuche auf zB
6 vergrößere. Wieviele Möglichkeiten gibt es nun, dass zB
genau 2 Versuche klappen? Ich lege eine Tabelle an:
n=1 . . . . . . 1
1 d.h.1 Möglichkeit, dass bei 1
Versuch 1 klappt
n=2 . . . . . 1 2 1 d.h.2 Möglichkeiten,dass
bei 2 Versuchen 1 klappt
n=3 . . . . 1 3 3 1 d.h. 3 Mögl.1 klappt
n=4 . . . 1 4 6 4 1 d.h.4 Mögl.1
klappt(4x1),6 Mögl.2klappen,...
n=5 . . 1 5 10 10 5 1 d.h. 5x1, 10x2,
10x3, 5x4 (natürlich 1x5)
n=6 . 1 6 15 20 15 6 1 d.h.
1x0,6x1,15x2,20x3,15x4,6x5,1x6
n=7 ... u.s.f.
Dieses „Pascalsche Dreieck“ liefert mir die Antwort auf eine
Frage - es gibt 15 verschiedene Möglichkeiten. Die übliche
Schreibweise für diesen „Binomialkoeffizienten“
(Zungenbrecher) - nämlich der Anzahl der Möglichkeiten,
dass bei n Versuchen k klappen - gleicht einem Vektor; die
zugehörigen Werte finden sich tabellarisch in der FS, sind
13
den meisten TR „eingebaut“,können aber auch berechnet
 n
n!
werden   
...und schon leite ich mir aus
 k k !. (n  k )!
obigem Beispiel die Formel für die Wahrscheinlichkeit ab,
dass ein Ereignis mit der Einzelwahrscheinlichkeit p bei n
Versuchen genau k-mal auftritt [es darf gleichzeitig (n-k)n
mal nicht auftreten]: P(H  k )   .p k .(1  p) n  k
k
Nochmals zurück zur Chemie-Lehrerin: Wenn 40 % ihrer
Versuche gelingen, ist bei 10 Versuchen am
„wahrscheinlichsten“, dass 10.0,4 = 4 Versuche gelingen.
Diesen
„wahrscheinlichsten“
Wert
nenne
ich
„Erwartungswert“ ; dass 3 oder 5 Versuche gelingen, ist
auch nicht „unwahrscheinlich“, 9 oder gar 10
„Erfolgserlebnisse“ (unter diesen Voraussetzungen) aber
schon. Jener um den Erwartungswert  gelegene Bereich, in
dem sich die „wahrscheinlichen“ Resultate „herumtreiben“,
wird von der „Standardabweichung“  abgedeckt und es gilt:
 = n.p und = n. p. (1  p) .
a) Wieviel Tore sind bei meinen nächsten 15 Strafstößen zu
erwarten? Natürlich zwischen 13 und 14, weil  = n.p =
15.0,9 = 13,5;
b) Wie wahrscheinlich ist es, dass ich nur genau 10 Treffer
erziele?
Sehr
unwahrscheinlich,
nämlich
nur
15  10 5
P(H  10 )   .0,9 .0,1  3003 .0,910.0,15  1% ;
10 
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treffe ich höchstens 10
mal? Jetzt wird's langwierig. Entweder ich rechne P(H10) =
P(H=0) + P(H=1) + P(H=2) + P(H=3) +...+ P(H=9) + P(H=10)
oder P(H10) = 1 - P(H>10) = 1-P(H=11)-P(H=12)-...-P(H=15).
Zu Übungszwecken kann ich mir das bei Gelegenheit
ausrechnen.
Ich stelle fest, bei großen Versuchsanzahlen n und bei
Erfolgszahlen k, die mit der Beifügung „mindestens“ oder
„höchstens“ gesegnet sind, wird meine Rechenmethode zum
Dauerlauf. Daher bringe ich noch eine (letzte)
Vereinfachung unter.
Die soeben gewonnen Erkenntnisse wende ich auf eine
meiner Freizeitbeschäftigungen an: Ich weiß aus Erfahrung,
dass ich beim Fußball 9 von 10 Elfmeterschüssen „im Netz
versenke“:
7.3. Normalverteilung _______________________________________________________________
Ein vertrauenswürdiger Herr namens Laplace meinte, wenn
die Standardabweichung einer Binomialverteilung größer als
drei sei [   n. p. (1  p) >3], könne man ruhigen Gewissens
eine „Normalverteilung“ genannte Näherungsmethode
verwenden.
Mein Mathematikbuch birgt eine Reihe von Diagrammen,
die die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten „auf die
einzelnen k bei großen n“ zeigen; die sehen alle wie der
Querschnitt des Sandhäufchens in einer Sanduhr aus abgesehen von ihrer „eckigen“ Obergrenze. Solche
„Treppenfunktionen“ kenne ich von der Anwendung des
Integrals zur Flächenberechnung. Leider schon lange vor
meiner Zeit kam ein bewundernswerter Herr names Gauß
bereits auf die Idee, diese „Treppen“ durch eine Kurve
anzunähern; diese Kurve sollte darüberhinaus die
Eigenschaft haben, dass die zwischen ihr und der x-Achse
liegende Fläche den Inhalt 1 hat, weil dadurch „Teilflächen“
bis zu einer bestimmten senkrechten Grenze z der
Wahrscheinlichkeit des „höchstens z-maligen Eintretens“
entsprächen.
Die Schwerarbeit, die Gleichung dieser Kurve zu
entwickeln, wurde mir vom erwähnten Herrn abgenommen,
weshalb ich sie ihm zu Ehren als „Gauß'sche Glockenkurve“
bezeichnen möchte: ( x ) 
1
2
.e

x2
2
.
Weil leider auch das Integrieren solcher Funktionen meine
bescheidenen Fähigkeiten übersteigt, bietet mir die FS eine
Tabelle für alle Flächeninhalte (z) zwischen Gauß-Kurve
und x-Achse im Intervall ]-;z] für 0 z 4.
Was bleibt mir zu tun? Ein konkretes Beispiel hat eine
konkrete binomiale „Treppenfunktion“, die der Gauß-Kurve
ähnelt. Ich muss die konkrete Treppenfunktion
„zurechtstauchen“, sie „standardisieren“, um den Gauß'schen
Flächeninhalt als gute Näherung verwenden zu dürfen:
z
x
oder x=+z., wobei =n.p und   n. p. (1  p)

wie gehabt
Ich gehe bei jedem Beispiel gleich vor (und probiere es
parallel an einem Beispiel aus dem Buch):
 Skizze der Gauß-Kurve.
 Eintragen der bekannten Werte.
 Standardisieren konkreter x-Werte des Beispiels, um
„Gauß-taugliche“
z-Werte
zu
erhalten
oder
Entstandardisieren von z-Werten, um konkrete x-Werte
zu erhalten.
 Zu ermittelten z-Werten die „Wahrscheinlichkeiten“
(z) aus der Tabelle der FS entnehmen oder aus
gegebenem (z) auf die z-Werte rückschließen.
 Ggf. nochmals entstandardisieren.
Ggf. beachten, dass (-z) = 1-(z) gilt. Die von Lehrplan,
Mathematikbuch und -lehrer (?) noch mir abverlangte
Fähigkeit zum „Testen und Schätzen von Hypothesen“
besteht aus einer Mischung von Binomial- und
Normalverteilung - das Üben anhand von Beispielen nimmt
mir ohnehin niemand ab, das prinzipielle Verständnis habe
ich mir soeben erarbeitet.
Wahrscheinlich bin ich am Weg zur mathematischen Reife - nur, wie hoch ist diese Wahrscheinlichkeit?
Zell am See, 08.04.17
14
KernstoffKurzbezeichnung
1.1. Zahlenmengen
1.2.
Rechenoperationen
1.3. Gleichungen
5.
Kl
bis
R
6.
Kl
7.
Kl
C
log
in
C

1.4. Boole’sche
Algebra
2.1. Gerade

2.2. Halbebenen



2.3. Ebenen

2.4. Maßaufgaben

KernstoffKurzbezeichnung
2.5. Kurven 2.
Grades
2.6.
Polarkoordinaten
3.1.-3.6.
Trigonometrie
3.7. Rechnen in C
4. Folgen
5.
Kurvendiskussion
6.
Integralrechnung
7.
Wahrscheinlichkeit
5.
Kl
8.
Kl
6.
Kl
7.
Kl

8.
Kl







