Mathematik Formelsammlung

Mathematik Formelsammlung
Kantonsschule Zug
1. Algebra
1.1 Termumformungen
Binomische Regeln
a  b 2  a 2  2ab  b 2
a  ba  b  a 2  b 2
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
Binomischer Lehrsatz
n
 n n 1
 n n  2 2
 n nk k
n
n
n
a

b

a

a
b

a
b

...

b



 
 
 a b

1 
 2
k 0  k
1.2 Binomialkoeffizienten
 n
 n 
 n   n  1  n  1
n!

 
 ;   
 

 k  k !n  k  !  n  k 
 k   k   k  1
1.3 Potenzen, Wurzeln
ap 
p
q
1
ap
a a  a
x
a :a  a
x
a  ap
q
y
y
x y
x y
a x  b x   ab
 a
a x :b x   
 b
x
a 
x y
x
1.4 Logarithmen
log a b  x  a x  b
log a (uv )  log a u  log a v
 u
log a    log a u  log a v
 v
log a ( u x )  x  log a u
Basiswechsel
log b x
log a x 
log b a
ln x  log e x

mit e:  lim 1 
n  
Seite 1
n
1
  2.71828...
n
 a xy
1.5 Folgen und Reihen
Arithmetische Folge
an 1  an  d
an  a1  n  1d
Arithmetische Reihe
a a
sn  n  1 n
2
Geometrische Folge
a n+1
=q
a n  a1  q n1
an
Abbrechende geometrische Reihe
qn  1
sn  a1 
q 1
Unendliche geometrische Reihe
a
lim sn  1
 unter der Voraussetzung q  1
n 
1 q
Summe der ersten n natürlichen Zahlen
nn  1
1  2  3  ....  n 
2
Summe der ersten n Kubikzahlen
2
n2 n  1
3
3
3
3
1  2  3 ....n 
4
Summe der ersten n quadratischen Zahlen
nn  12n  1
12  22  32 ....n2 
6
Konvergenz
Monotoniekriterium für Folgen
Jede monoton wachsende (bzw. fallende) nach oben (bzw. nach unten) beschränkte
Folge hat einen Grenzwert.
Leibnizkriterium für alternierende Reihen
Jede alternierende Reihe a1  a2  a3  a4  ... , deren Glieder eine Nullfolge bilden, hat
einen Grenzwert s. Es gilt die Abschätzung s  sn  an1
1.6 Quadratische Gleichung
b  b 2  4ac
2a
Die Diskriminante D  b 2  4 ac entscheidet über die Anzahl der reellen Lösungen.
ax2  bx  c  0

Satz von Viëta
b
x1  x2  
a
x1  x2 
x1,2 
c
a
Seite 2
2. Planimetrie
2.1 Rechtwinkliges Dreieck
Satz des Pythagoras
a 2  b2  c2
Kathetensatz (oder Satz des Euklid)
a 2  cp und b 2  cq
Höhensatz
h 2  pq
2.2 Gleichseitiges Dreieck
A
3 2
a
4
h
3
a
2
2.3 Dreieck
A
gh
a bc
 s s  a  s  b s  c mit s 
2
2
2.4 Quadrat
A  a2
d a 2
2.5 Parallelogramm
A  gh
2.6 Trapez
A
ac
h  mh
2
2.7 Kreis
u  2r
Bogen
r
b
180
A  r 2
Einheitskreis:
x

180
 arc
Sektor
r 2  r 2 x r  b
A


360
2
2
Seite 3
Segment
2
r2
 
r
A
 sin     x  sin  
 180
 2
2
Zentriwinkelsatz
  2
Umfangwinkelsatz
  '
Sehnen-Tangenten-Winkelsatz
  '
3. Stereometrie
Volumen V
Oberfläche A
Mantelfläche
M
Würfel
V  a3
A  6a 2
Quader
V  abc
A  2(ab  ac  bc)
Prisma
V  Gh
Pyramide
V
Pyramidenstumpf
h
V  (G1  G1G2  G2 )
3
Zylinder
V  Gh  r 2h
Kegel
V
M  rs
Kegelstumpf
V
M  s(r1  r2 )
Kugel
V
Kugelsegment
V
Kugelsektor
V
a,b,c
Seiten
G
Grundfläche
h Höhe
Gh
3
Gh r 2 h

3
3
h 2

(r1  r1r2  r22 )
3
4 3

r
3
h 2

( 3r  h )
3
2 2

r h
3
G1
Grundfläche
G2
Deckfläche
M  2 rh
s Mantellinie
A  4r 2
A  2rh ( Kappe)
h Höhe der
Kugelkappe
h Höhe der
dazugehörige
n Kugelkappe
Seite 4
Kugelschicht
V
Drehparaboloid
V
h
6

(3r12  3r22  h2 )
r1, r2 Radien
der
Schnittkreise
A  2rh ( Zone )
r 2h
2
4
V
abc
3
Ellipsoid
a, b, c,
Achsen
4. Trigonometrie
Einheitskreis
Rechtwinkliges Dreieck
sin
Gegenkathete
Ankathete
cos
Hypotenuse
Hypotenuse
tan
Ankathete
Gegenkathete
cot
Gegenkathete
Ankathete
sin   cos(90)
sin 2   cos2   1
sin 
tan  
cos 
tan   cot   1
cot  
cos 
sin 
1  tan 2  
1
cos2 
1  cot 2  
4.1 Additionssätze:
sin     sin   cos   cos   sin 
cos     cos   cos   sin   sin 
tan    
tan   tan 
1  tan   tan 
Formeln für doppelte, dreifache und halbe Winkel
sin ( 2 )  2  sin   cos 
cos( 2 )  cos2   sin 2   1  2 sin 2   2  cos2   1
2  tan 
tan( 2 ) 
1  tan 2 
Seite 5
1
sin 2 
sin ( 3 )  3  sin   4  sin 3 
cos( 3 )  4  cos3   3  cos 
1  cos 
1  cos 
cos2  2  
2
2
1  cos 
sin 
tan 2  

sin 
1  cos 
sin 2  2  
Umformen von Summen in Produkte
sin   sin   2  sin
 
cos   cos   2  cos
2
 cos
 
cos   cos   2  sin 
2
 cos
 
2

2
 
 sin
2
 
2
4.2 Sinussatz (Gilt für beliebige Dreiecke)
a
b
c


 2r
sin  sin  sin 
(r = Umkreisradius )
sin  : sin  : sin   a:b: c
4.3 Cosinussatz (Gilt für beliebige Dreiecke)
a 2  b 2  c2  2bc cos 
b 2  c2  a 2  2ca cos 
c2  a 2  b 2  2ab cos 
5. Analytische Geometrie der Ebene
5.1 Abstand zweier Punkte

P1 P2 
 x2  x1  2   y2  y1  2
5.2 Parametergleichung der Geraden
  x   x 0   a1 
r        t 
 y  y 0   a 2 

Richtungsvektor
Ortspfeil eines beliebigen Punktes
Seite 6
5.3 Koordinatengleichung der Geraden
y  mx  q
(Normalform ),
m Steigung , q y - Achsenabschnitt
y  y1  m   x  x1 
y - y1 y2  y1

x - x1
x2  x1
m = tan =
y
x
(Punkt - Steigungs - Form) x  y  1
p q
(Zwei - Punkte - Form)
ax + by +c = 0
(Achsenabschnittsform )
(allgemeine Form )
5.4 Abstand-Punkt-Gerade
P1  x1 / y1 
 d  P1 , g  
g: ax  by  c  0:
ax1  by1  c
a 2  b2
5.5 Schnittwinkel zweier Geraden mit den Steigungen m1 und m2
tan  
m2  m1
1  m1m2
5.6 Kreis mit Mittelpunkt M(u,v) und Radius r
 x  u 2   y  v  2
 r2
Tangente im Punkt P1  x1 / y1  des Kreises
 x1  u x  u   y1  v y  v  r 2
Polare des Kreises k bezgl. des Punktes P1 x1 / y1  k
 x1  u x  u   y1  v y  v  r 2
5.7 Parabel mit Scheitelpunkt S(u / v) und Parameter p
 y  v 2  2  p   x  u
Tangente im Punkt P1 ( x1 / y1 ) der Parabel
 y1  v y  v  p x1  u  p x  u
5.8 Ellipse/Hyperbel mit den Halbachsen a und b (Mittelpunkt. M(u/v))
 x  u 2   y  v  2
a2
b2
1
c
2
 a 2  b2

Seite 7
6. Vektorgeometrie im Raum
6.1 Punkt, Ortspfeil
 x
 
P( x / y / z), OP  r   y
 
 z



6.2 Abstand zweier Punkte P1 P2  r2  r1  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
6.3 Gerade durch P1 und P2




r  r1  t  ( r2  r1 )


g:

mit Richtungsvektor
a
a
6.4 Ebene durch P1 , P2 , P3






: r  r1  u  (r2  r1 )  v  (r3  r1 )

Richtungsvektoren(u,v Parameter )
Normalenform der Ebenengleichung




: ( r  r1 )  n  0

n Normalenvektor zu  , P1 ( r1 ) 
Hessesche Normalform





n
n
: ( r  r1 )  ne  0 ne   (Normaleneinheitsvektor )
:
Ax  By  Cz  D
A2  B 2  C 2
 A
 
 0 n   B
 
 C

 x
 
r   y
 
 z

Allgemeine Form
: Ax  By  Cz  D  0
Ax 1  By 1  Cz1  D
6.5 Abstand Punkt P1 ( x1 / y1 / z1 ) / Ebene
 d ( P1 ,  ) 
6.6 Winkel zwischen 2 Ebenen
n n
cos    1 2
n1  n2

Seite 8
A2  B 2  C 2

7. Determinanten und Vektoren
7.1 Determinanten
a b
c d
a1
: ad  bc (zweireihige Determinante)
b1
a2 b2
a3 b3
c1
c2 : a1b2 c3  b1c2 a3  c1a2b3 - b1a2 c3 - a1c2b3 - c1b2 a3 (dreireihige Determinante)
c3
7.2 Vektoren
 a1 
 
a   a2 
 
 a3 

 b1 
 
b   b2 
 
 b3 


Betrag: a  a  a12  a 22  a 32
Skalarprodukt = dotp()
 
Vektorprodukt = crossp()
 a 2 b3  a 3b2 

 
 


c  a  b   a 3b1  a1b3    b  a


 a1b2  a 2 b1 
 
a  b  ab cos( a , b )  a1b1  a2 b2  a3b3

b 
a
 
a b 
a
a2
 


 
 
c  a  b = ab sin (a , b )

a b  0  a  b
 

    
c  a , c  b und a , b , c  a  b bilden in
dieser Reihenfolge ein Rechtssystem

Spatprodukt
a1


 

 







 a  b  c   b  c   a   c  a   b  a2






a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Seite 9
8. Differential- und Integralrechnung
8.1 Ableitung
y ':  f '( x ): 
dy
f ( x  h)  f ( x )
:  lim
h
0
dx
h
8.2 Ableitungsregeln
Konstantenregel
(c  f ( x))'  c  f '( x)
Summenregel
( u  v )'  u'  v '
Produktregel
( u  v )'  u' v  uv '
Quotientenregel

u' v  uv '
 u
  
 v
v2
(mit u(x) und v(x))
Kettenregel

u v x   u  v x   v  x 


8.3 Integrationsregeln
 c  f ( x)dx  c   f ( x)dx
Integration durch Substitution
 f (u( x))  u' ( x) dx   f ( z) dz mit z  u( x)
 (u  v)dx   udx   vdx
b
u (b )
a
u(a )
 f (u( x))  u' ( x) dx   f ( z) dz
Partielle Integration
 uv' dx  uv   u' vdx
Bestimmtes Integral
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
wobei F'(x) = f(x)
a
b
a
c
b
a
b
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
8.4 Anwendungen der Integralrechnung: Formeln
Volumenberechnung
b
Körper mit bekannter Querschnittsfunktion Q(x):
V   Q( x) dx
a
Rotationskörper:
Graph von f rotiert über [a;b] um x-Achse:
V 
b
  f ( x) 
2
dx
a
Rotation um y-Achse (f monoton wachsend oder fallend):
f (b )
V 
x
f (a)
Seite 10
2
dy  
b
x
a
2
f ( x) dx
Bogenlängen
b
l   1   f ( x)  dx
2
Länge des Graphen von f über [a;b]:
a
Mantelflächen
Mantelfläche des Rotationskörpers zu f über [a;b]:
M  2
b
 f ( x)
1   f ( x)  dx
2
a
Schwerpunkte
(Die Dichte ρ ist je nach Zusammenhang bezogen auf eine Längen-, Flächen- oder
Volumeneinheit, hier ist ρ = 1 gesetzt.)
b
1
2
Kurvenstück über [a;b]:
x S   x 1   f ( x)  dx
l a
b
(l = Länge)
1
2
y S   f ( x) 1   f ( x) dx
l a
Fläche unter dem Graphen über [a;b]:
1
x S   x f ( x) dx
Aa
(A = Flächeninhalt)
yS 
b
Rotationskörper (um x-Achse, V = Volumen):
xS 
b
11
2A
  f ( x) 
1

V
b
2
dx
a
 x  f ( x) 
2
dx
a
Trägheitsmomente
   r 2 dm   r 2  dV
K
K
(r = Abstand des Massenelements dm des Körpers K von der Rotationsachse,
ρ = Dichte)
8.5 Taylorentwicklung
Taylorformel mit Restglied (Entwicklungspunkt x 0 ):
1
1
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 2  ...  f ( n ) ( x0 )( x  x0 ) n  Rn 1 ( x, x0 )
2
n!
n
1 (k )
f ( x0 )( x  x0 ) k Taylorpolynom n-ten Grades von f

k
!
k 0
x
Formen des Restglieds:
Rn 1 ( x, x0 ) 
1
( x  t ) n f ( n 1) (t ) dt

n! x0
(Cauchy)
f ( n1) (ξ )
Rn1 ( x, x0 ) 
( x  x0 ) n1 für ein  zwischen x und x0 (Lagrange)
(n  1)!
Seite 11
Einige Taylorreihen:

xk
ex  
 1  x  21! x 2  31! x 3  41! x 4  ....
k 0 k!

( 1) k 2 k
cos( x)  
x  1  21! x 2  41! x 4  61! x 6 ....
k  0 (2 k )!

(1) k 2 k 1
sin( x)  
x
 x  31! x 3  51! x 5  71! x 7  ....
(
2
k

1
)!
k 0
8.6 Zusammenstellung einiger Funktionen
f(x)
F(x)




f '(x)
f(x)
xn
n  x n 1
x n1
n 1
xn
sin x
cos x
cos x
-sin x
tan x
1
 1  tan 2 x
cos2 x
cot x

f(x)


f '(x)
F(x)


f(x)
ex
ex
ax
a x ln a
ln x
1
x


1
x ln a
log a x
x(ln (x)-1)
1
 1  cot 2 x
2
sin x
arc sin x
arc tan x
ln u( x )


u' ( x )
u( x )
( u( x )) 2
2
Seite 12
ln x
1
1 x2
1
1 x2
u( x )  u' ( x )
9. Differentialgleichungen
9.1 Differentialgleichung 1. Ordnung
Trennbare (separierbare) DGL
In y   f ( x)  g ( y ) können die Variabeln getrennt werden:
1
dy  f ( x)dx
g ( y)
y   a ( x ) y  b( x )
Lineare inhomogene DGL
Lösungsverfahren „Variation der Konstanten“:
Man bestimmt zuerst die Lösung y h (x) der zugehörigen homogenen DGL
y   a( x) y durch Trennung der Variablen und variiert dann die Integrationskonstante
C in y h (x) .
10. Kombinatorik
10.1 Permutationen von n Elementen
(Anzahl der Anordnungen ohne Wiederholungen)
1 2  3.........n  n!
10.2 Permutation mit Wiederholungen
(Jeweils
ki Elemente sind gleich)
n!
,
k1 ! k2 !..........k j !
wobei k1  k2 ...  k j  n
10.3 Variationen ohne Wiederholungen
(geordnete k-Tupel ohne Wiederholungen aus n Zeichen;
Anzahl geordneter k-Stichproben ohne Zurücklegen aus einer Menge von n Elementen)
n  n  1  n  2...... n  k  1  n k 
n!
(n  k )!
10.4 Variationen mit Wiederholungen
(geordnete k-Tupel mit Wiederholungen aus n Zeichen;
Anzahl geordneter k-Stichproben mit Zurücklegen aus einer Menge von n Elementen)
nk
10.5 Kombinationen ohne Wiederholungen
(k-Teilmengen aus einer n- Menge;
Anzahl ungeordneter k-Stichproben ohne Zurücklegen aus einer Menge von n Elementen)
n  n  1  n  2..... n  k  1
k!
 n
n!
  
 k  k ! (n  k )!
Seite 13
10.6 Kombinationen mit Wiederholungen
(ungeordnete k-Tupel mit Wiederholungen aus n Zeichen;
Anzahl ungeordneter k-Stichproben mit Zurücklegen aus einer Menge von n Elementen)
 n  k  1


k


11. Statistik
11.1 Stichprobe vom Umfang n mit den Einzelwerten x1 , x2 ,......, xn
Mittelwert
1 n
x   xi
n i 1
Standardabweichung
s
1 n
 xi  x  2

n  1 i 1
11.2 Klasseneinteilung
Einteilung der Einzelwerte in k Klassen mit den Klassenmitten xi
Die absolute Häufigkeit der Werte in das Klasse i ist ni . Die relative Häufigkeit ist
hi  ni / n:
k
 ni  n
i 1
k
h
i
1
i 1
Mittelwert
1 k
x   ni xi
n i 1
Standardabweichung
s
1 k
2
ni  xi  x 

n  1 i 1
12. Wahrscheinlichkeitsrechnung
12. 1. Sätze über Wahrscheinlichkeiten
Additionssatz
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P( A  B)
(ev. auch mit P( A B) bezeichnet)
PB ( A) 
P( B)
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist.
Unabhängige Ereignisse
A, B sind unabhängig  P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
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12. 2. Zufallsvariablen / Zufallsgrössen
Voraussetzungen
 = Grundmenge des Zufallsversuchs, Zufallsvariablen X :   R, Y:   R
X    x1 ......, x m 
Definitionen
Erwartungswert
m
E ( X )   x i  P X  x i  = 
i 1
Varianz
n
V ( X )    E ( X )  x i   P X  x i    2
2
i 1
Formeln
E (aX  bY )  a  E ( X )  b  E (Y )
V (aX )  a 2  V ( X )
V ( X  a)  V ( X )
X , Y unabhängig  E ( XY ) = E ( X )  E (Y )V ( X + Y ) = V ( X ) + V (Y )
Tschebyschev:
P X    c  
2
c2
12. 3. Spezielle Verteilungen
Binomialverteilung
X = Anzahl Erfolge beim n-fachen Münzenwurf
(Erfolg = Ausfall 1, Wahrscheinlichkeit von 1: p(1)= p,
Fehlschlag = Ausfall 0, Wahrscheinlichkeit von 0: p(0) = q = 1-p)
n
P( X  k )     p k q nk : Bn, p (k )
k 
Erwartungswert E ( X )  np ,
Standardabweichung σ( X )  npq
Poisson-Verteilung und Exponentialverteilung
Poissonprozess mit Intensität : Von einander unabhängige Ereignisse, die über den
Beobachtungszeitraum zufällig verteilt sind.
X : Anzahl Ereignisse in einem Intervall der Länge t ist poissonverteilt.
T : Wartezeit auf ein Ereignis ist exponentialverteilt.
( λt ) k  λt
P( X  k ) 
e ,
P(T  t )  1  e  λt
k!
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Normalverteilung
X = normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert  und Standardabweichung 
 P(a  X  b)  (u2 )  (u1 )
wobei u1 
a

, u2 
b

und (u) 
1
2
u
e

Tabelle der standardisierten Normalverteilung (u)
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2
 z2
dz
13. Komplexe Zahlen
14. Angewandte Mathematik
wie in der „alten“ Formelsammlung
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