Aufgabe 410

Westfälische Wilhelms – Universität zu Münster
Physikalisches Institut
Experimentelle Übungen für Fortgeschrittene
Sommersemester 2004
Aufgabe 410
Bestimmung von
Dipolmomenten
Durchgeführt am:
13. Juli 2004
Durchgeführt und ausgewertet von:
Martin Stadlbauer
[email protected]
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I Theorie
Wird Materie in ein elektrische Feld gebracht, so ändert sich die Feldstärke zu
Eε = E0/εr
Für einen Kondensator gilt dann:
Cε = εr·C0
Dabei ist die Permitivitätszahl εr eine Stoffkonstante.
Diese makroskopischen Auswirkungen können weiter mikroskopisch untersucht werden.
Es wird dazu die Polarisation eingeführt, die das gesamte Dipolmoment pro Volumen definiert.
P = n·p = -ε0·Ep’
EP ist die durch Polarisationsladungen erzeugte Polarisationsfeldstärke. Die im Dialektrikum
resultierende Feldstärke ergibt sich aus Überlagerung von E0 und EP:
Eε = E0 + EP = E0 – P/ε0
Mit der Abkürzung χe = εr – 1 für die elektrische Suzeptibilität lässt sich auch schreiben:
P = χeε0Ee
Es werden im wesentlichen drei Arten der Polarisation unterschieden:
Bei der elektronischen Verschiebungspolarisation PE wird die negative Elektronenhülle gegen den
positiven Atomkern verschoben.
Bei der ionischen Verschiebungspolarisation PI werden die Ionen gegenseitig verschoben.
Die Orientierungspolarisation PO tritt bei Molekülen auf, die einen ständigen Dipol besitzen.
Die Beiden Verschiebungspolarisationen können zu PV zusammengefasst werden. Für das Feld am
Orte des Atoms gilt dann nach Lorentz:
E’ = Eε + 1/3 PV/ε0
und
PV = n αV E’
Zusammen mit den vorhergegangenen Gleichungen erhält man so die Clausius-Mosotti-Beziehung:
 r  1  N A V


 r  2 M 3 0
Die Orientierungspolarisation errechnet sich aus statistischen Betrachtungen zu:
PO = n·ε0·αO·E’
mit
O 
p0 ²
3kT
3
Im allgemeinen Fall stellt die Polarisation die Summe der drei Polarisationsarten dar. Für die
Gesamtpolarisierbarkeit α und Gesamtpolarisation P gelten:
α = αE + αI + αO
P = n α E’
Damit erhält man die Langevin-Debye-Beziehung:
30
p ²
r 1 M

 N A  ( E   A  0 )
r  2 
3kT
Betrachtet man nun statt der mittleren atomaren Polarisierbarkeit α die molare Polarisierbarkeit Q =
α·NA, so lässt sich diese darstellen als:
Q3
r 1 M

r  2 
Im sichtbaren Spektralbereich kann man aufgrund der maxwellschen Beziehung εr = n² die molare
Polarisierbarkeit, die in diesem Bereich als molare Refraktion R bezeichnet wird wie folgt
darstellen:
R3
n²  1 M

n²  2 
Befindet sich die Materie in einem elektrischen Wechselfeld ausreichend hoher Frequenz, so wird
die Orientierungspolarisation ausgeblendet, da die Moleküle sich nicht so schnell drehen können,
wie es die Frequenz vorgibt. Dies ist beispielsweise im Bereich des sichtbaren Lichtes der Fall. Die
Differenz Q-R wird demnach ausschließlich auf die Orientierungspolarisation zurückgeführt.
Für das Dipolmoment einer mit dem Molenbruch x1 verdünnten Lösung erhält man dann:
p0   0 3kT (Q  R ) /( x1 N A )
II Versuchsdurchführung
Von Cyclohexan und fünf Aceton-Cyclohexan-Gemischen werden die Permitivität εr mit Hilfe
eines Zylinderkondensators, die Dichte ρ mit der Mohrschen Waage und die Brechzahl mit dem
Abbe-Refraktometer bestimmt.
Zunächst wird die Kapazität C0+CZ des leeren Zylinderkondensators (C0) und dessen Zuleitungen
(CZ) bestimmt. Im nächsten Schritt wird der Zylinderkondensator mit Cyclohexan gefüllt. Die nun
gemessene Kapazität ist εCyclohexan·C0 + CZ. Die Messungen ergaben:
C0+CZ
= 25,5 pF ± 0,1 pF
εCyclohexan·C0 + CZ
= 45,9 pF ± 0,1 pF
εCyclohexan ist aus den Literaturwerten bekannt und beträgt 2,023 bei 20°C. Subtraktion ergibt nun:
(εCyclohexan -1)·C0
= 20,4 pF ± 0,2 pF
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=>
C0 = 19,9 pF ± 0,2 pF => CZ = 5,6 pF ± 0,3 pF
Für jede Flüssigkeit berechnet sich somit εr durch
εr = (C – CZ)/C0
Die Dichte ρ wird an der Mohrschen Waage bestimmt. Der Fehler beträgt ±0,0001 g/cm³.
Die Brechzahl n wird mit dem Abbe-Refraktiometer bestimmt. Der Fehler beträgt ± 0,001.
Das Dipolmoment wird nach der Formel
p0   0 3kT (Q  R ) /( x1 N A )
berechnet.
Dabei ist ε0 = 8,85·10-12 C/Vm die Dielektrizitätskonstante, k = 1,38·10-23 J/K die BoltzmannKonstante. T = 293 K. Weiter gilt:
Q 3
r 1 M

r  2 
und
R 3
n² 1 M

n²  2 
,
M  x1 M 1  x2 M 2
x1 bezeichne den Molenbruch Aceton, M1 und M2 die Molekülmassen von Aceton und Cyclohexan.
Durch Auftragen von εr, n, ρ und d gegen den Molenbruch Aceton können diese Werte auch für
unendliche Verdünnung von Aceton in Cyclohexan aus den Diagrammen abgelesen werden.
Ergebnis:
εr = 2,02
(Den Berechnungen zugrunde gelegter Literaturwert)
n = 1,423 ± 0,001
Literaturwert nCyclohexan = 1,42662
ρ = (0,7790 ± 0,0001) g/cm³ Literaturwert ρ Cyclohexan = 0,77855 g/cm³
p = (8,75 ± 0,21)·10-30 C·m Ungenauigkeit: 2,4 %
Diskussion
Die ermittelten Werte decken sich durchaus mit den Literaturwerten. Doch was kann über das
ermittelte Dipolmoment gesagt werden?
Es wird angenommen, dass der Ionenradius von C4+ 0,16 Ǻ beträgt und das sich durch die
Polarisation zwei Elektronen in der Ketongruppe des Aceton von der einen auf die andere Seite des
C-Atoms verlagert hat. Das Dipolmoment beträgt dann:
p = q · a = 2e · 2rC4+ = 2·1,6·10-19C · 2·0,16·10-10 m = 10,3·10-30 C·m
Literaturwert pAceton = 9,6·10-30 C·m
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Da das Cyclohexan praktisch kein Dipolmoment hat, müsste der approximierte Wert aus dem
Dipolmoment des Aceton her rühren. Die ermittelten (8,75 ± 0,21)·10-30 C·m liegen tatsächlich
recht nahe bei 9,6·10-30 C·m.