Teil 1: Deskriptive Statistik

maturajahrgang 07
Teil 1:
Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
Deskriptive Statistik
101
Verkehrsdichte und Unfälle
Verwenden Sie für die Berechnung jeweils das geeignete Zentralmaß:
a) Die Schadenssumme für eine bestimmte Versicherungssparte zeigt folgende Verteilung:
Schadenssumme
Häufigkeit in Prozent
25
5
75
30
125
40
175
20
225
5
in EUR 1.000,-in Prozent
Berechnen Sie den Mittelwert und die Streuung dieser Verteilung. Wie groß sind Modus, Median und
Interquartilspannweite?
µ = 120 = 47,17
Modus =
125 = Median Inter: 75
b) Welchen Anteil der Gesamtschadenssumme machen die teuersten 10 % der Unfälle aus?
16,7 %
c) Die Zuwachsrate der Verkehrsdichte auf einer Straße betrug 3 Jahre lang 25 % und 5 Jahre lang 90 %. Wie
hoch ist die mittlere Zuwachsrate? Wie groß ist das Verkehrsaufkommen jetzt, wenn die Verkehrsdichte vor
8 Jahren 1.300 Fahrzeuge pro Tag war?
62,4 % durchschnittliches Wachstum
62.870
d) Wie hoch ist die mittlere Geschwindigkeit für folgende Situation:
70 % der Strecke werden mit
120 km/h
10 % der Strecke mit
20 km/h und
20 % der Strecke mit
80 km/h befahren.
75 km/h
102
Verwenden Sie für die folgenden Beispiele das geeignete Zentralmaß:
a. Die folgende Liste gibt die Einkommensverteilung einer Firma an:
Jahreseinkommen in 1.000 €
400
500
600
Häufigkeit in %
13
24
33
700
12
800
8
900
6
1000
?
Berechnen Sie die fehlende relative Häufigkeit, das arithmetische Mittel, die Streuung, den Modus und den
Median! (4 612 153,8
600
600)
b. Eine schnellwachsende Pflanze wächst in 8 warmen, lichtreichen Monaten jeweils um 20 % pro Monat und
in den 4 kühlen um 10 % pro Monat. Wie hoch ist die mittlere Wachstumsrate? 16,6
c. Ein Eisenbahnzug fährt 80 % einer Strecke mit 90 km/h, 15 % mit 40 km/h und den Rest mit 70 km/h. Wie
hoch ist seine mittlere Geschwindigkeit? 74,9
d. Ein Sparbuch wird die ersten 4 Jahre lang mit 3,4 %, im 5. Jahr mit 5 % und im 6. Jahr mit 8 % verzinst. Wie
hoch ist die durchschnittliche Verzinsung? 4,4
103
Verwenden Sie für die folgenden Beispiele das geeignete Zentralmaß und geben Sie den Rechengang an:
a. Die folgende Liste gibt die Einkommensverteilung in einer Firma an:
Jahreseinkommen in 1.000 €
40
50
60
70
80
90
Häufigkeit in %
13
24
33
12
8
6
100
?
Berechnen Sie die fehlende relative Häufigkeit, das arithmetische Mittel, die Streuung, den Modus, den
Median und die Interquartilspannweite! 4 61,2 15,4 60,0 60,0 20,0
b. Die Inflationsrate in einer Volkswirtschaft betrug 3 Jahre lang 5,5 %, ein Jahr lang – 2 % und 3 Jahre lang 8
%. Wie hoch ist die durchschnittliche Inflationsrate? 5,44 %
c. Ein Eisenbahnzug fährt 70 % einer Strecke mit 100 km/h, 15 % mit 30 km/h und den Rest mit 70 km/h. Wie
hoch ist seine mittlere Geschwindigkeit? 70,7
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
107
Wetter
a) Die Niederschlagsmengen in einer bestimmten Region wurden wie folgt bestimmt:
Menge
0 - 10
10 - 20
20 - 30
30 - 40
in cm/h
Häufigkeit
5
12
15
8
absolut
Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und die Streuung dieser Daten. Als Merkmalswert ist das jeweilige
Klassenmittel zu nehmen!
n = 40 µ = 21,5
=
9,37
b) Ermitteln Sie für folgende vollständige Liste den Modus und Median:
Merkmalswert
5
10
15
rel. Häufigkeit
14
35
6
fehlende Häufigkeit
20
?
in Prozent
45 % daher Modus = 20 Median = 15
c) Wüstengebiete wachsen in manchen Gegenden exponentiell: Die Ausbreitung dieser Wüstengebiete war 4
Jahre lang 27 % pro Jahr und 6 Jahre lang 12 % pro Jahr. Wie hoch war die mittlere Wachstumsrate dieser
Wüsten (verwenden Sie das geeignete Zentralmaß)? 17,8 %
108
a) Die Umsatzzahlen steigen 3 Jahre lang um je 26 % und 2 Jahre lang um 12 %. Wie hoch ist die
durchschnittliche Steigerungsrate? 20,2 %
b) Wie groß müssen die relativen Häufigkeiten der Merkmalswerte 200 und 500 sein, damit das
harmonische Mittel 400 beträgt?
16,6 % und
83,4 %
109
a) Der Holzzuwachs eines Baumes ist in den 8 Sommermonaten jeweils 4 % pro Monat, im Winter steigt die
Holzmasse nur um 0,5 %. Wie hoch ist der durchschnittliche Zuwachs pro Jahr? Verwenden Sie das
geeignete Zentralmaß! (2,8 %)
b) Wie groß müssen die relativen Häufigkeiten der Merkmalswerte 200 und 500 sein, damit das
geometrische Mittel 400 beträgt? (24,4 u. 75,6)
111
Verwenden Sie für folgende Berechnungen das geeignete Zentralmaß:
Der Index für den Nutzholzpreis betrug im Jahr 1991 115,2 (fiktiv). Die relativen Zuwachsraten betrugen 3
Jahre lang um 9 % und 4 Jahre lang 7 % zu. Ein Jahr lang sanken die Kosten um 9 %. Wie hoch war die
mittlere Zunahme in diesen 8 Jahren. Welchen Wert hatte der Index am Ende des Jahres 1999? 5.6 %
178,0
114
Gegeben seien folgende Liste mit absoluten Häufigkeiten:
Wert:
2
4
6
Häufigkeit
5
8
3
8
9
Berechnen Sie: arithmetisches und harmonisches Mittel, Streuung, Modus und Median.
5,28 2,32 4,08 8 4
115
Landwirtschaft
a) Ermitteln Sie aus der nachfolgenden Tabelle der relativen Häufigkeiten der Hektarerträge das arithmetische
Mittel, die Streuung, den Modus und den Median:
Ertrag pro Hektar in t/ha
relative Häufigkeit in Prozent
3
5
4
15
5
32
6
27
7
?
5,44 1,125 5 5
b) Die Ernteerträge ergaben in den angeführten Jahren folgende Änderungsraten:
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Jahr
Änderung
Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
1998
+3%
1999
–2%
2000
+ 10 %
2001
+5%
2002
–4%
Ermitteln Sie mit Hilfe des geeigneten Zentralmaßes die durchschnittliche Änderungsrate (Rechnung
anschreiben). Wie hoch ist der Index (bezogen auf 2000, dh. im Jahr 2000 ist der Index 100) im Jahr 2010,
wenn man die durchschnittliche Änderungsrate fortschreibt? 2,28 % 125,3
116
Das harmonische Mittel der Merkmalswerte 1000 und 700 ist 850. Mit welchen Häufigkeiten kommen die
Werte vor?
58,8 % 41,2 %
117
Die Inflationsraten betragen 5 mal 8 % und 3 mal 2 %. Wie hoch ist die mittlere Inflationsrate. Benützen Sie
das geeignete Zentralmaß. 5,7 %
Teil 3:
Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
303
Ein Produkt wird auf 2 Maschinen A und B erzeugt. Die Produktionsanteile und Ausschussanteile sind:
Maschine
A
B
Anteil
60 %
40 %
Ausschuss
5%
?
Wie hoch ist der Ausschussanteil von B, wenn der Gesamtausschussanteil 6,2 % beträgt? (8)
304
70 % aller Bäume eines Waldes sind Nadelbäume, der Rest Laubbäume. 60 % der Laubbäume sind
geschädigt. Der Anteil der Nadelbäume unter den gesunden (nicht geschädigten) Bäumen ist 63,6 %. Wie
hoch ist der Anteil der gesunden Bäume unter den Nadelbäumen? 30 %
305
Auf einer Bundesstraße sind 70 % des Verkehrs Transit, davon 80 % Schwerverkehr, der Rest PKW‚s. Der
Anteil des Schwerverkehrs im Lokalverkehr ist 40 %.
Wie hoch ist der Anteil des Transitverkehrs im Schwerverkehr?
82,4 %
306
Ein Kassier erkennt Falschgeld mit einer Wahrscheinlichkeit von 97 %. Allerdings löst er auch in 1 % aller
ihm vorgelegten echten Geldscheine Alarm aus. 3 ‰ aller vorgelegten Geldscheine seien gefälscht! In einem
Monat werden ihm ca 7.000 Geldscheine vorgelegt.
a) Wie oft gibt dieser Kassier im Monat Alarm? 90 mal
b) Wie groß ist der Anteil der Fehlalarme (dh. wie groß ist der Anteil der Fälle: „echter Schein“ unter den
„Alarmfällen“?
77,4 %
307
Produktion
a) 3 Maschinen A, B und C mit den unten angeführten Produktionsanteilen erzeugen die folgenden
Ausschussanteile:
Maschine
Produktionsanteil
prod. Ausschuss
A
10 %
25 %
B
30 %
10 %
C
60 %
13 %
Es werden 200.000 Stück pro Monat erzeugt. Ein Ausschussstück verursacht Kosten von € 3,20.
groß ist die Ausschusswahrscheinlichkeit insgesamt und die Kosten pro Monat dafür?
13,3 %
b) Mit der Tabelle von a): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ausschussstück von A stammt?
%
Wie
85.120,-
18,8
c) Mit der Tabelle von a): Wie ist der Produktionanteil der Maschine A auf die beiden anderen Maschinen
aufzuteilen, damit die Ausschusswahrscheinlichkeit auf 12 % gesenkt werden kann? (im Verhältnis 1 : 2)
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
309
Nach der ersten Untersuchung werden die Wahrscheinlichkeiten für die Erkrankung eines Patienten an der
Krankheit A bzw. B mit 30 % und 70 % ermittelt. Ein Labortest ergibt ein positives Resultat, wenn die
Krankheit vorliegt, u. zw. mit:
A … 80 %, bei B … 5 % .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen dieser Krankheiten, wenn der Test ein positives Resultat
erbracht hat.
0,873
0,127
310
60 % der Aufnahmswerber für eine BHS kommen aus einer Hauptschule, 30 % aus einer AHS, der Rest aus
Sonderformen. 20 % der Haupschüler, 60 % der AHS-Schüler und 10 % der Schüler aus Sonderformen werden
aufgenommen. Wie hoch ist der Anteil der AHS-Absolventen unter den Aufgenommenen? Wie viele Schüler
werden insgesamt aufgenommen, wenn sich 200 Schüler bewerben? (58 % 62)
311
20 % des PKW-Verkehrs und 60 % des LKW-Verkehrs auf einer hochrangigen Straße ist Transitverkehr. Wie
hoch ist der Anteil des Schwerverkehrs (LKW), wenn 38 % des Gesamtverkehrsaufkommens (LKW und PKW)
auf den Transit entfällt? (45 %)
312
Industrielle Fertigung
Ein Produkt wird von drei Maschinen hergestellt. Die Produktionsanteile und die
Ausschusswahrscheinlichkeiten sind wie folgt:
Maschine
A
B
C
Anteil
20
60
20 %
Ausschuss
5
8
12 %
Wie hoch ist der Anteil der Ausschussstücke im Verkauf?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ausschussstück (vor der Kontrolle) von C stammt.
(8,2 % 29,3 %)
313
Bei der Diagnose einer Krankheit werden die Wahrscheinlichkeiten für A mit 60 %, für B mit 35 % und für C
mit 5 % bestimmt. Es wird ein Labortest gemacht, der bei Auftreten von A mit 20 %, bei B mit 80 % und bei
C mit 8 % positiv ausfällt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der einzelnen
Krankheiten, wenn der Test positiv ausgefallen ist! 29,7 69,3 1,0
314
80 % der Frauen und 70 Prozent der Männer haben eine Prüfung bestanden. Wie hoch ist der Anteil der
Frauen insgesamt, wenn 23 % von allen Antretenden die Prüfung nicht bestehen. 70
315
18 % der erwerbsfähigen Bevölkerung sind über 50-jährig. Die Arbeitslosenrate beträgt in der Gruppe der
unter 50-jährigen 8% und in der Gruppe der über 50-jährigen 23 %. Wie hoch ist die Arbeitslosenrate
überhaupt? Wie hoch ist der Anteil der über 50-jährigen unter den Arbeitslosen? 10,7
38,7
316
35 % einer Testgruppe waren starke Raucher, davon sind 60 % an Lungenkrebs erkrankt. Von den
Nichtrauchern erkrankten nur 6 % an Lungenkrebs. Wie hoch war der Anteil der an Lungenkrebs erkrankten
Personen ingesamt? Wie hoch der Anteil der Raucher unter den Lungenkrebserkrankten?
24,9
84,3
317
60 % des Straßenverkehrs auf einer Strecke entfallen auf den Schwerverkehr, davon 90 % Transit. Der Anteil
des Transitverkehrs am Gesamtverkehr beträgt 66 %. Wie groß ist der Anteil des Transits am PKW-Verkehr.
Wie hoch ist der Anteil des Schwerverkehr am Transit? 30 81,8
318
a) Die Besucherverteilung eines Schulballes umfasst 30 % Schüler, 8 % Lehrer, der Rest entfällt auf „Sonstige“.
50 % der Schüler, 80 % der Lehrer und 40 % des Restes kaufen Tombolalose. 70 % aller Lose sind
Gewinnlose. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler gewinnt. Wie hoch ist der Anteil der
Lehrer bei den Gewinnern? 10,5 13,9
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
325
60 % des PKW-Verkehrs entfällt auf Transitverkehr, aber 90 % des LKW-Verkehrsaufkommens. Wie hoch ist
der Anteil des LKW-Verkehrs, wenn 81 % des gesamten Verkehrsaufkommens Transitverkehr ist? Wie hoch
ist der Anteil des Schwerverkehrs am Transitverkehr? 70 % 78 %
326
20 % einer Population sind unter 25-jährig, 35 % über 50-jährig. Die Arbeitslosenraten betragen:
18 % bei den unter 25-jährigen, 12 % bei den über 50-jährigen und 6 % beim Rest. Wie hoch ist die
Arbeitslosenrate insgesamt? Wie hoch ist der Anteil der unter 25-jährigen unter den Arbeitslosen? 10,5 %
34,3 %
328
65 % des PKW-Verkehrs entfällt auf Transitverkehr, aber 88 % des LKW-Verkehrsaufkommens. Wie hoch ist
der Anteil des LKW-Verkehrs, wenn 74,2 % des gesamten Verkehrsaufkommens Transitverkehr ist? Wie
hoch ist der Anteil des Schwerverkehrs am Transitverkehr? 40 %
47,4 %
329
In einer Fabrik werden Werkstücke auf 3 Maschinenbänken hergestellt: A erzeugt 60 % aller
Werkstücke, B und C teilen sich den Rest. Die Ausschusswahrscheinlichkeiten betragen:
für A
20 %
für B
30 %
für C
10 %
nach der Produktion wird kontrolliert und die Kontrolle entdeckt 90 % aller Ausschussstücke, nimmt
allerdings auch 20 % der „guten“ irrtümlicherweise aus dem Verkauf.
Wie hoch ist die Ausschussquote vor der Kontrolle?
20 %
Wie hoch ist der Ausschussanteil in den verkauften Stücken?
3%
330
Eine Population von Arbeitsfähigen teilt sich in über 45-jährige (im Folgenden „Alte“) und unter 45jährige (im Folgenden „Junge“). 5 % der Jungen sind arbeitslos. Die Arbeitslosenrate bei den Alten ist 4
mal so groß. Wie hoch ist der Anteil der Alten in der Population, wenn die Gesamtarbeitslosenquote 8
% beträgt? 0,2
Teil 4:
Diskrete Verteilungen
401
Stadtverkehr und Staus
a) Die Wahrscheinlichkeit bei einer ampelgeregelten Kreuzung stehenbleiben zu müssen, sei 30 %. Auf einer
Strecke gibt es 4 Ampeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens dreimal stehenbleiben zu müssen.
Verwenden Sie eine geeignete Verteilung!
8,37 %
b) Die Anzahl der wartenden Fahrzeuge vor einer „roten“ Ampel ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 5. Wie
hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 3 Fahrzeuge vor dieser Ampel anzutreffen?
26,5 %
402
Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Fehler in der Bremsanlage eines Fahrzeuges bei einer Routineüberprüfung
entdeckt wird sei 15 %. Wie oft muß ein Fahrzeug überprüft werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens
einer Entdeckung mindestens 80 % beträgt? Verwenden Sie eine geeignete Verteilung!
n=
9,9
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403
Supermarkt
a) Die Anzahl der Personen in der Warteschlange eines Supermarktes ist poissonverteilt.
Wie groß ist der Mittelwert der Verteilung, wenn in 80 von 180 Fällen mehr als 3 Leute in der Warteschlange
zu finden sind? µ = 3,41
b) In einer Lieferung von 50 Orangen sind 10 verdorben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer
Stichprobe von 20 Orangen (Ziehung ohne Zurücklegen) mindestens 3 verdorbene zu finden?
86,1 %
c) Ungefähr 1 % der Konsumenten sind Ladendiebe. Wie oft muß man kontrollieren, damit man mit 90 %
Wahrscheinlichkeit mindestens einen Ladendieb faßt? (Binomialverteilung)
229,1
404
a) Aus einer Warenprobe mit 30 Stück Umfang wird eine Stichprobe von 4 Stück gezogen (ohne
Zurücklegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 Stück fehlerhafte Stücke zu erwischen,
wenn der Anteil der fehlerhaften Stücke in der Grundgesamtheit 20 % beträgt? 16,9 %
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im Beispiel 2.a), wenn man mit Zurücklegen zieht?
18,1 %
405
a) Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Stunde eines Sommergewitters mehr als 30 Blitze beobachtet
werden, ist 15 %. Wie groß ist der Mittelwert der zugrundeliegenden Verteilung? 25,3
b) Im Schnitt ist die Krankenstandsdauer eines Dienstnehmers 15,3 Tage / Jahr. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, zwischen 8 und 12 Tage (inklusive) lang krank zu sein? 22,9
406
a) Ein Spieler weiß, daß in einer großen Menge von Losen 20 % Gewinnlose sind. Wieviele Lose muß er
kaufen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % mindestens 4 Trefferlose erwischt? 32
b) Wie groß muß der Veranstalter die Trefferwahrscheinlichkeit machen, damit die Spieler bei 10 gekauften
Losen mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % mindestens 1 Treffer landen? 15
407
a) Ein Tennisspieler hat einen Anteil von 60 % „guter“ Aufschläge beim Service. Wie oft muss er aufschlagen,
damit er mit mindestenst 90 % Wahrscheinlichkeit mindestens 8 mal „gut“ aufschlägt?
17
b) Die Anzahl der Blitze in einem Sommergewitter ist poissonverteilt und in 95 % aller Gewitter gibt es
weniger als 18 Blitze. Wie groß ist der Mittelwert? µ = 11,63
408
Die Wahrscheinlichkeit, Ausschuss zu produzieren beträgt in einer Produktionsanlage 2 %. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit in einem Los von 100 Stück mindestens 3 Ausschussstücke zu erwischen.
32,3
%
409
. Bei einer Supermarktkassa warten Leute mit einem Mittelwert von 3,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass mehr als 6 Leute warten? 7,3 %
410
Die Anzahl der Blitze in einem Sommergewitter ist durchschnittlich 15,3. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass es weniger als 10 Blitze gibt?
6,1 %
411
Die Wahrscheinlichkeit, Ausschuss zu produzieren beträgt in einer Produktionsanlage 1 %. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit in einem Los von 160 Stück kein Ausschussstück zu erwischen. 20 %
412
a) Die Anzahl der Krankenstände pro Arbeitsstunde in einem Betrieb ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 13.
Wie groß ist der Anteil der Arbeitsstunden, in denen
mehr als 15 Krankenstände auftreten
zwischen 12 und 20 (incl.) Krankenstände auftreten?
23,6 %
62,2 %
b) Wie groß ist der Mittelwert der Krankenstände, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 20 Leute
krank sind 80 % beträgt? µ = 17,08
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c) 20 % einer Population leiden an einer infektiösen Krankheit. Nach mehr als 5 Kontakten mit infizierten
Personen erkrankt man selbst. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu erkranken, wenn man mit 15 Leuten in
Kontakt kommt?
Verwenden Sie die Binomialverteilung! 6,1 %
d) Nach wievielen Kontakten (sonstige Angaben wie c)) erkrankt man mit 90 % Wahrscheinlichkeit? n = 44
413
Die Anzahl der Blitze in einem Sommergewitter ist durchschnittlich 15,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass es mehr als 18 Blitze gibt? 20,2 %
414
Die Anzahl der Leute, die bei der Anmeldung angestellt sind, ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 15. Wie
hoch ist die Wahrscheinlichlichkeit auf nicht mehr als 10 Leute in der Warteschlange zu treffen? Wie hoch ist
der Mittelwert einer Poissonverteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass man sofort drankommt 8 % ist? (11,8
% 2,52)
415
22 % aller auftretenden Hagelgewitter vernichten die Ernte eines betroffenen Feldes. Man muss mit 14
Gewittern in einem bestimmten Gebiet rechnen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 5
Ernten zerstört werden. Mit welcher Maximalzahl an vernichteten Ernten muss der Bauer rechnen, wenn er
zu 99 % sicher sein will? Verwenden Sie die Binomialverteilung! (93,4 % 7 )
416
Auf einer bestimmten Fahrstrecke gibt es 7 Ampeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einer Ampel stoppen
muss ist 45 %. Berechnen Sie die gesamte Verteilung, d. h. die Wahrscheinlichkeiten,dass man 0 mal, 1 mal
usw. stehen bleiben muss! Wie hoch müsste die Einzelwahrscheinlichkeit sein, damit man mit 50 %-iger
Wahrscheinlichkeit nie stehenbleiben muss? (1,5 8,7 21,4 29,2 23,9 11,7 3,2 0,37
9,43 %)
417
Die Anzahl der Fehler in einem Werkstück ist poissonverteilt mit µ = 10. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
unter 6
über 13
zwischen 6 und 12 (incl.) Fehler
in einem Werkstück zu finden? (6,7 13,6 72,5)
419
a) Die Anzahl der Fehler in einer schriftlichen Arbeit ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 8. Wie groß sind
die Wahrscheinlichkeiten:
weniger als 5 Fehler zu finden
zwischen 3 und 10 Fehler zu finden
genau 8 Fehler zu finden
10
80,2
14
b) Bei einer Vokabelprüfung sollen mindestens 18 von 20 Vokabeln gewusst werden, um zu bestehen. Die
Wahrscheinlichkeit ein Vokabel zu wissen, sei 80 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Prüfung
bestanden? Welche Sicherheit muss man erreichen, wenn man die Prüfung mit 90 %-iger Wahrscheinlichkeit
bestehen will? Verwenden Sie die Binomialverteilung (welche Eigenschaft muss die Anzahl der zu
wissenden Vokabeln haben, damit man binomial rechnen kann?) 20,6 % 0,94
421
a) Die Anzahl der Fehler in einer Schularbeit sei poissonverteilt mit dem Mittelwert 4,2. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 6 und nicht weniger als 3 Fehler auftreten?
65,7
b) Wie hoch ist der Mittelwert einer Poissonverteilung, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % 0
Merkmalwerte auftreten?
0,223
422
In einem Krankenhaus werden pro Tag im Schnitt 3,7 Patienten mit der Krankheit A eingeliefert. Wie hoch
ist die Wahrscheinlichkeit, dass einmal mehr als 5 Patienten eingeliefert werden? Wieviele Tage im Jahr
werden 0 Patienten mit A eingeliefert? Verwenden Sie die Poissonverteilung. 17 % 9
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423
Supermarkt
a) In einer Lieferung von 20 Südfrüchten sind 8 verdorben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer
Stichprobe von 7 Stück höchstens 2 verdorbene Früchte gefunden werden. Verwenden Sie die
hypergeometrische Verteilung. 39,1 %
b) Die Anzahl der Leute, die bei der Kassa angestellt sind, ist poissonverteilt mit einem bestimmten Mittelwert.
Wie groß ist dieser Mittelwert, wenn die Wahrscheinlichkeit, an der Kassa niemand anzutreffen 10 % ist? 2,3
c) Ein Lebensmittelproduzent vereinbart mit dem Supermarkteinkäufer einen Ankaufstest: Es wird eine
Stichprobe vom Umfang 30 gezogen. Werden in dieser Stichprobe mehr als 3 Ausschussstücke gefunden,
wird die Lieferung abgelehnt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung angenommen wird,
wenn der Ausschussanteil des Produzenten 15 % beträgt? Verwenden Sie die Binomialverteilung.
32,2
424
a) Die Wahrscheinlichkeit einer Verkehrskontrolle ist bei einer Fahrt 2 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit
bei 60 Fahrten ohne Kontrolle durchzukommen? Verwenden Sie die Binomialverteilung! 29,8
b) Wie oft muss man fahren, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % mindestens einmal kontrolliert
wird? (p wie oben 2 %, binomial) 114
425
Von 50 Superlosen für die Verlosung der Hauptpreise sind nur 10 Gewinnlose. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Hauptpreis zu gewinnen, wenn man 15 Superlose gekauft hat? Verwenden
Sie die geeignete Verteilung. 98,2
426
Die Anzahl der Lose, die pro Person verkauft werden, ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 8. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass jemand zwischen 4 und 6 (inklusive) Losen kauft? 27,1
431
Die Anzahl der Regentage in den Sommermonaten ist poissonverteilt mit µ = 25,4. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass man mehr als 25 Regentage erlebt. Welche Maximalzahl von Regentagen kann in
der Werbung garantiert werden, wenn man nur in 1 % aller Fälle über diesem Wert liegen will? 48 % 38
432
Erfahrungsgemäß gibt es bei der Buchung von Reisen einen Anteil von 15 % Reklamationen. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 Reklamationen, bzw. keine Reklamation stattfindet, wenn man 80
Buchungen zufällig auswählt? 67 % 0 %
433
Aus einer Lieferung von 20 Stück wird eine Stichprobe von 5 Stück gezogen. In der Lieferung sind 4
Ausschussstücke. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe weniger als 2, bzw. kein
Ausschussstück enthalten ist? 75,2 % 28,2 %
434
Auf einem Straßenstück gibt es 6 geregelte Kreuzungen. Die Wahrscheinlichkeit, stoppen zu müssen ist bei
jeder Kreuzung 60 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nie stoppen zu müssen, bzw. mehr als 3 mal
stoppen zu müssen? 0,4 % 54,4 %
435
Die Wahrscheinlichkeit, zu einem nach einer Bewerbung zu einem Vorstellungsgespräch eingeladen zu
werden, sei 40 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird man zu mindestens drei Vorstellungen eingeladen,
wenn man 20 Bewerbungsschreiben versendet. Verwenden Sie die Binomialverteilung. Wie viele
Bewerbungen muss man schicken, wenn man mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % mindestens drei
Vorstellungen haben möchte?
99,6 % 12 Bewerbungen
436
Die Anzahl der FSME – Fälle pro Jahr in einer Population ist poissonverteilt. Wie hoch ist der Mittelwert der
Verteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 30 Fälle auftreten nur mehr 2 % ist? µ = 20,7
437
Aus einer Lieferung von 30 Stück wird eine Stichprobe von 6 Stück ohne Zurücklegen gezogen. In der
Lieferung sind 4 Ausschussstücke. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe weniger als 2,
bzw. kein Ausschussstück enthalten ist? Verwenden Sie die korrekte Verteilung!
83,1 % 38,8 %
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
maturajahrgang 07
Teil 5:
Stetige Verteilungen
501
Die Durchfahrtszeiten für ein Ortsgebiet sind stetig verteilt. Ermitteln Sie eine Gleichung für diese
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) (x … Durchfahrtszeit in Minuten) mit folgenden Bedingungen:
Dreifachnullstelle an der Stelle 0
Nullstelle bei x = 50
Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion für das Intervall [0 / 50 ] mit den üblichen Bedingungen für
Wahrscheinlichkeitsdichten!
F(x) = Error!
d) Die Durchfahrtszeiten für ein Ortsgebiet sind stetig verteilt. Die Gleichung für diese
Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x) (x … Durchfahrtszeit in Minuten) laute:
F(x) = Error! in [ 0 / 40 ]
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß man
mehr als 32 Minuten,
weniger als 12 Minuten,
zwischen 15 und 25 Minuten braucht!
26,3 %
3%
31 %
502
Verkehrsdichte und Unfälle
a) Die Geschwindigkeit von Autos bei Tempokontrollen ist mit der Dichte f(x) = k x (180 – x) in [0 / 180]
verteilt. Ermitteln Sie einen geeigneten Normierungsfaktor für diese Dichte!
k = Error! =
0,000001028
Rechnen Sie die folgenden Punkte mit F(x) = Error! in [0 / 200].
b) Welcher Anteil der Verkehrsteilnehmer fährt schneller als 150 km/h? 15,6 %
c) Welcher Anteil der Verkehrsteilnehmer fährt weniger als 80 km/h?
35,2 %
d) Welcher Anteil der Verkehrsteilnehmer fährt zwischen 90 und 110 km/h?
14,95 %
e) Welche Geschwindigkeit wird von 80 % der Verkehrsteilnehmer nicht überschritten?
142,6 km/h
f) Welches ist die häufgste Geschwindigkeit?
x = 100
503
a) Ermitteln Sie einen Normierungsfaktor für die Dichte f(x) = k x (8 – x) in [0 / 8 ]. k = 0,0117187
b) Die Abgabemenge Benzin bei einer Tankstelle ist mit der Verteilungsfunktion
F(x) = 1 – e – 0,1 x verteilt (x in 1.000 Liter). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß mehr als 4.000
Liter verkauft werden! 67 %
504
Die Funktion f(x) =
Error! ist eine Dichte im Bereich [0 /  ). Berechnen Sie den Normierungsfaktor k.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Merkmalswert zwischen 3 und 5 liegt?
10
10,3 %
505
Die Neuschneemenge x pro Tag gehorcht der stetigen Verteilung
f(x) = k (x3 – 230x2 + 12.600x).
Wo hat diese Funktion Nullstellen. Bestimmen Sie ein geeignetes vernünftiges Defintionsintervall für diese
Dichtefunktion und dann den Normierungsfaktor k! Stellen Sie k als Bruch dar!
bei x = 90 und x = 140. Intervall [0 / 90] k = 8,66 · 10 –8 = Error!
506
Volkswirtschaft
a) Die Einkommensverteilung in einer Volkswirtschaft ist stetig wie f(x) = k (x4 + bx3 + cx2) in [ 0 / 100].
Ermitteln Sie die Parameter b und c so, dass das häufigste Einkommen € 15.000,-- beträgt und das höchste
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
maturajahrgang 07
Einkommen € 100.000,-- beträgt (d.h. die Dichte f(x) soll bei x = 100 eine Nullstelle haben)! x in 1.000 EUR
b = – 123,225 und c = 2.322,58
b) Die Dichte von a) sei f(x) = k x2 (x – 100)2 in [ 0 / 100]. Ermitteln Sie einen geeigneten Normierungsfaktor
für diese Dichte! k = Error! = 3 · 10–9
c) Skizzieren Sie die Funktion f(x) = x2 (x – 100)2 in [ – 20 / 120]. Berechnen Sie dazu Nullstellen und
Extremwerte!
Doppelnullstellen bei (0/0);0 und (100;0);0 Extremwert bei (50/ 6.250.000);0
Es sei F(x) = Error! für das Intervall und die Bezeichnungen für a).
Berechnen Sie den Anteil der Bevölkerung, der
d) weniger als € 12.000,-1,4 %
e) mehr als € 40.000,-- verdient
68,3 %
f) Wie groß ist der Betrag, den ein Zehntel der Bevölkerung höchstens verdient?
x = 24,663
507
Die Neuschneemenge x pro Tag gehorcht der stetigen Verteilung f(x) = k x (x – 150). Wo hat diese Funktion
Nullstellen. Bestimmen Sie ein geeignetes vernünftiges Defintionsintervall für diese Dichtefunktion und dann
den Normierungsfaktor k! Stellen Sie k als Bruch dar!
k = – 1,777 … · 10–6 = – Error!
508
Volkswirtschaft
a) Die Einkommensverteilung in einer Volkswirtschaft ist stetig wie f(x) = k x 3 ebx in [ 0 /  ]. Ermitteln Sie den
Parameter b so, dass das häufigste Einkommen € 15.000,-- beträgt. x ist dabei das Jahreseinkommen in 1000
€.
– 0,2
b) Die Dichte von a) sei f(x) = k x3 e–0,15x in [ 0 /  ]. Ermitteln Sie einen geeigneten Normierungsfaktor für
1;11.851
diese Dichte!
k=
= 0,000084375
8
c) Skizzieren Sie die Funktion f(x) = x3 e–0,3x in [ –5 / 30 ]. Berechnen Sie dazu Nullstellen und Extremwerte!
Dreifachnullstelle bei (0 / 0);0 und E (10 / 49,8);0
e –0
für das Intervall und die Bezeichnungen für a).
(9x + 90x + 600x + 2.000);2.000
Berechnen Sie den Anteil der Bevölkerung, der
d) weniger als € 10.000,-35 %
Es sei F(x) = 1 – 3x
3
2
e) mehr als € 30.000,-- verdient
2,1 %
f) Wie groß ist der Betrag, den die Hälfte der Bevölkerung höchstens verdient?
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€ 12.240,--
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
510
Unwetter
Die Dauer von Unwettern ist mit f(x) = k x ebx ( x ist die Dauer in Stunden) verteilt. Ermitteln Sie den
Parameter b so, dass die häufigste Unwetterdauer bei 20 Minuten liegt.
Rechnen Sie mit f(x) = k x e–2x im Intervall [0 /  ) weiter:
Ermitteln Sie die häufigste Unwetterdauer!
Ermitteln Sie einen geeigneten Normierungsfaktor und eine geeignete Verteilungsfunktion! Welche
Unwetterdauer wird nur in 10 % aller Fälle überschritten? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Unwetter nicht mehr als 12 Minuten dauert? (b = – 3 0,5 h F(x) = 1 – e–2x (2x + 1) 1,94 6,2 %)
511
Die Verteilung der Staulängen sei mit der Dichte f(x) = Error! verteilt. (x ist die Staulänge in km).
Ermitteln Sie einen Normierungsfaktor im Bereich [0 / 15]. Gegen welchen Wert strebt die Dichte für x 
? Was geschieht, wenn man die Funktion über [0 /  ) normieren will?
(F(x) = 0,24707 ln(x2 + 4) – 0,34512 F(x) divergiert und kann daher nicht über [0 /  ) normiert werden!)
512
Volkswirtschaft
a) Die Einkommensverteilung in einer Volkswirtschaft ist mit f(x) = k · x · e bx verteilt. x ist das Einkommen in
GE. Ermitteln Sie den Parameter b so, dass der häufigste Wert bei x = 5 GE liegt.
Rechnen Sie mit f(x) = k x e– 0,1 x in [0 /  ) weiter:
Ermitteln Sie einen geeigneter Normierungsfaktor k für diesen Bereich. Wie hoch ist das Einkommen, das
nur von 1 % der Bevölkerung übertroffen wird? –0,2 66,4
b) Ermitteln Sie für die Dichtefunktion f(x) = Error! im Bereich [0 / 10] einen geeigneten Normierungsfaktor
k.
Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion. Kann F(x) = 0,03 x (x – 10) in [0 / 10] eine Verteilungsfunktion sein?
Begründen Sie Ihre Antwort.
0,16 ln (x3 + 2) – 0,11
nein, weil F(10)  1
513
Die Lebensdauer von Bauteilen ist mit einer Dichte von f(t) = Error! mit t  [ 0 /  ). t ist die
Betriebsdauer bis zum Ausfall in 1000 Stunden. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F(t) mit den üblichen
Normierungsbedingungen. Wann sind 90 % aller Bauteile ausgefallen. Welcher Anteil der Bauteile ist nach
10.000 Betriebsstunden noch nicht ausgefallen? F(t) = Error!
nach 92.434 h
0,56
514
Wetter
a) Die Niederschlagsmenge pro Zeiteinheit x in l/m2 gehorcht folgender stetiger Verteilung: f(x) = k x ebx in [0 /
). Ermitteln Sie den Parameter b so, dass die häufigste Regenmenge bei x = 8 l/m2 auftritt. Berechnen Sie
den Normierungsfaktor für diese Dichte! ( –0,125 k = Error! )
x e–0
b) Die Dichtefunktion f(x) für Teil a) sei f(x) = 1x
in [0 / ). Berechnen Sie die Verteilungsfunktion. Wie
;100
hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Niederschlagsmenge größer als 20 l/m2 ist? Welcher
Niederschlagswert wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % überschritten? (1 – 0,1 · e– 0,1x (x + 10)
40,6 % 5,3 l/m2
515
Die Funktion f(x) = Error! soll die Dichte einer stetigen Verteilung sein. Ist das für das Intervall x  [0 / )
möglich? Wenn ja, berechnen Sie k, wenn nein, begründen Sie Ihre Antwort! Wie ändert sich die Situation
für das x-Intervall [0 / 10]? (divergiert, nein 1,44 ln(x + 10) – 3,32 )
516
Die Anzahl der für Breitensport aufgewendeten Zeit (in Minuten) pro Tag ist mit F(x) = k x 3 (50 – x)2 verteilt
(Verteilungsfunktion). In welchem Intervall kann diese Funktion eine Verteilungsfunktion sein. Wie hoch ist
k? Bei welcher Sportausübungszeit liegt das Maximum der Verteilung. Welcher Anteil der Leute macht mehr
als 25 Minuten Sport pro Tag? [0 / 30] 1/10.800.000 17,8 min 9,6 %
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maturajahrgang 07
Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
518
Die Dichte f(x) = Error! hat den häufigsten Wert bei x = 10. Ermitteln Sie die Parameter k und b im
Bereich [0 / 20] und die Verteilungsfunktion. b = 100 k = 1,24266 F(x) = 0,621 ln(x 2 + 100) – 2,86135
519
Ermitteln Sie den Normierungsfaktor für die Dichte f(x) = Error! im Bereich [0 / 20]. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass x mindestens 13 ist?
k = 1,24266 38,5 %
520
Die Krankheitsdauer ist stetig verteilt mit folgender Dichte f(x) = Error!. Ermitteln Sie b so, dass die
maximale Krankheitsdauer bei x = 8 Tagen liegt. Ermitteln Sie einen geeigneten Normierungsfaktor über
dem Intervall [0 / 20]! Ist die Verteilung über [0 /  ) normierbar? b = 64
k = 0,509 und c = – 0,529
über  ist die Verteilung wegen der Divergenz von ln nicht normierbar.
521
a) Die Lebensdauer eines Produktes ist mit einer Dichte f(x) = kx2 ebx verteilt. Ermitteln Sie den Parameter b so,
dass bei x = 5 Jahren die Ausfallswahrscheinlichkeit maximal ist! Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion F(x)
e–0
über dem Intervall [0 / )! b = – 0,4
F(x) = 1 – 4x
2
(2x + 10x + 25);25
b) Der Energieverbrauch in einem Industriebetrieb ist mit einer Dichte f(x) verteilt. (x ist der Energiebedarf in
MWh). Ermitteln Sie eine Dichtefunktion aus folgenden Daten:
f(x) soll eine Doppelnullstelle bei x = 0 und eine Nullstelle bei x = 30 haben.
Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion und den wahrscheinlichsten Energieverbrauch.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man unter 25 MWh Energie verbraucht?
Wie hoch ist der Energieverbrauchswert, der nur in 20 % aller Fälle überschritten wird?
k(x – 30) x2 wahrscheinlichster Wert = 20 MWh F(x) = Error!
W(x  25) = 86,8 %
F(x) = 0,8  x = 23,6 MWh
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Teil 6:
Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
Normalverteilung und ihre Anwendung
601
Jahresfahrleistungen
Die Anzahl der gefahrenen Kilometer mit PKW‚s ist normalverteilt mit dem Mittelwert 25.000 km und der
Streuung 5.800 km.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
a) mehr als 30.000 km gefahren wird
19,4 %
b) weniger als 12.000 km gefahren wird
1,3 %
c) zwischen 20.000 und 30.000 km Jahresfahrleistung auftritt
61,2 %
d) Welche Kilometerleistung wird nur in 10 % aller Fälle überschritten?
32.435,6 km
602
Die Körpergröße ist normalverteilt mit µ = 177 cm mit einer Streuung von 13 cm. Wie viele Menschen von
30.000 sind
a) größer als 195 cm
2.490
b) zwischen 170 und 190 cm groß
16.380
603
a) Wie groß ist die Streuung der normalverteilten Kosten einer Produktion mit dem Mittelwert 43.000,-- ,
wenn die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens 60.000,-- an Kosten auftreten, 95 % beträgt.  = 10.335
b) Die Produktion von Schrauben streut mit 0,5 % um den Mittelwert 60 mm. Alle Schrauben außerhalb von
60 mm  1 % gelten als Ausschuss. Wie hoch ist der Ausschussanteil? 4,6 %
604
a) Die Anzahl der aufgetretenen Fehlstunden in einer Firma ist normalverteilt mit µ = 50 und  = 10,3. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß weniger als 30 Fehlstunden auftreten?
2,6 %
b) Man möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % eine maximale Fehlstundenanzahl garantieren. Wie
groß ist diese Anzahl?
x = 74
605
Eine Maschine streut mit der Streuung 3 um den Mittelwert 48. Sie soll Werkstücke
mit dem Wert 50 herstellen. Alles, was außerhalb von 50 ± 10 % liegt, gilt als
Ausschuss. Wie hoch ist der Ausschussanteil, den diese Maschine produziert? 16,9 %
606
Die Niederschlagsmenge ist normalverteilt mit dem Mittelwert 380 cm/Jahr und der Streuung 93 cm/Jahr.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 200 und 300 cm/Jahr Niederschlag fällt?
17 %
607
Eine Maschine produziert Werkstücke mit µ = 250 cm und  = 4 cm. Jedes Werkstück unterhalb von 246 cm
gilt als Ausschuss. Wie hoch ist der Ausschussanteil?
15,9 %
608
Eine Maschine füllt Flaschen mit µ = 1,95 l. Als Ausschuss gilt eine Überschreitung der Sollmenge von 2 l
um mehr als 4 %. Wie groß darf die Streuung sein, damit man weniger als 3 % Ausschuss produziert?
0,07
609
Die Niederschlagsmenge ist normalverteilt mit dem Mittelwert 380 cm/Jahr. Wie hoch ist die Streuung dieser
Verteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 500 cm/Jahr Regen fällt nur 10 % ist? 93,6
610
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
Eine Maschine produziert Werkstücke mit µ = 250 cm und  = 4 cm. Der Sollwert beträgt 255 cm mit einer
erlaubten Abweichung von 2 %. Wie hoch ist der Ausschussanteil? Wie stark reduziert sich der
Ausschussanteil, wenn man die Maschine mit µ = 255 und  = 4 cm laufen lässt? 49,6 % 20,2 %
611
Eine Maschine soll Wellen mit einem Durchmesser von 200  5 % erzeugen. Ein Stück Ausschuss kostet €
0,30. Es werden 10.000 Stk. erzeugt. Wie hoch darf die Streuung der Maschine sein, wenn ihre Produktion
normalverteilt um den Mittelwert 200 streut und die Kosten € 1.000 nicht übersteigen soll? (10,34)
612
Schule
a) Die Anzahl der angemeldeten Schüler in einer Schule ist normalverteilt mit dem Mittelwert 170 und der
Streuung 20. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten,
dass sich weniger als 130
mehr als 160
zwischen 150 und 170
Schüler anmelden.
(2,3 %
69,1 %
34,1 %)
b) Mit welcher Maximalzahl von Anmeldungen kann der Direktor rechnen, wenn dieser Wert nur in 3 % aller
Fälle überschritten werden soll? (µ = 170,  = 20)
L: 207,6
613
.
Von 200 befragten Leuten wollen 120 ein Volksbegehren unterschreiben. Ermitteln Sie ein
Konfidenzintervall auf dem 80 % Signifikanzniveau für den wahren Anteil der Befürworter. [55,6 % / 64,
4%]
614
Defekte Fahrzeuge und Sicherheit
a) Bei einer Befragung stellt sich heraus, daß von 350 befragten Leuten 200 für „Lichtfahrer sind sichtbarer“
sind. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall auf dem Signifikanzniveau 92 % für den Anteil der Befürworter
dieser Aktion. (Zahlen fiktiv)
[ 52,5 % ; 61,6 % ]
b) Zeichnen Sie eine Prüfplankurve für folgende Werte:
Es werden 30 Fahrzeuge überprüft.
Die Annahmekennzahl ist 4.
Maßstab:
x - Achse:
1 cm … 5 Prozentpunkte
y - Achse:
1 cm … 10 Prozentpunkte.
Wie hoch ist das Produzentenrisiko für einen Ausschussanteil von 40 %?
615
Vor einer Wahl werden 200 Leute befragt. 83 geben an die Partei X wählen zu wollen. Ermitteln Sie ein 80
% - Konfidenzintervall für den wahren Wähleranteil von X.
Wieviele Leute müssen befragt werden, damit die Unsicherheit kleiner als 0,5 Prozentpunkte wird?
[37,0 % / 46,0 %] 15.960
616
Bei einer Befragung von 250 Leuten ergibt sich ein Anteil von 60 % Durchimpfungsrate (d.h. 60 % der
Befragten waren gegen eine bestimmte Krankheit geimpft. Ermitteln Sie ein 2,5 -  - Konfidenzintervall für
52
die wahre Durchimpfungsrate. Wie hoch ist das Signifikanzniveau? 3 %;67
98,8 %
7%
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
617
a) Um den Anteil der Bauern zu schätzen, die eine Versicherung abschließen wollen, wird eine Umfrage
durchgeführt. 320 von 500 befragten Bauern wollen sich versichern lassen. Ermitteln Sie ein
Konfidenzintervall mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 8 % für den wahren Anteil. ( [60,24 / 67,8] )
b) Die Schadenssumme ist normalverteilt mit dem Mittelwert EUR 80.000,-. Die Versicherung weiß, dass 80 %
aller Fälle unter EUR 130.000,- liegen. Berechnen Sie die Streuung der Verteilung! (59.382)
618
Bei der Lieferung von Ersatzteilen wird eine Stichprobenüberprüfung vereinbart: Die Lieferung wird
angenommen, wenn nicht mehr als 5 % Ausschuss in einer Stichprobe vom Umfang 180 enthalten sind.
Zeichnen Sie eine Prüfplankurve (kein Ausdruck !!) in einem vernünftigen Bereich und mit geeignetem
Maßstab! Wie hoch ist das Produzentenrisiko bei einem wahren Ausschussanteil von 4 %? 75,3 %
619
a) Eine Maschine soll Werkstücke mit der Zugfestigkeit 2.500  2 % herstellen. Alles außerhalb dieser Norm
gilt aus Ausschuss und verursacht Kosten von EUR 0,2. Es werden insgesamt 30.000 Stück dieses
Werkstückes erzeugt. Ermitteln Sie die Gleichung der Kosten (abhängig von ), wenn die Maschine mit der
Streuung  um den Mittelwert 2.500 streut! Wie hoch darf  sein, wenn nicht mehr als EUR 1.000,-- an
Kosten auftreten darf? (
12000 (1 – (50/)) 36,153)
b) Eine andere Maschine erzeugt Werkstücke mit der mittleren Zugfestigkeit 3.000 und streut mit  = 15.
Welche untere Grenze kann der Erzeuger garantieren, wenn nur 1 % der Produktion unterhalb dieser Grenze
liegen soll? (2.965,11)
620
Gesundheit
In einem Test wird die Wirksamkeit eines Medikamentes getestet: 400 von 500 Personen geben an, dass eine
Verbesserung eingetreten ist. Geben Sie ein Konfidenzintervall auf dem 85 % - Niveau für den wahren Anteil
der Leute, bei denen eine Verbesserung eingetreten ist, an! [77,4 / 83]
621
a) Die Lebensmittelkette vereinbart mit einem Produzenten folgende Prüfplanbedingung: Annahmekennzahl 20
bei einem Stichprobenumfang von 100 Stück. Skizzieren Sie fachlich richtig die Prüfplankurve. Wie hoch ist
das Konsumentenrisiko bei einem wahren Ausschussanteil von 15 %? 92 %
b) Ein Lebensmittelproduzent will sein Ablehnrisiko mit 20 % minimieren. Er weiß, dass sein wahrer
Ausschussanteil 10 % ist. Welche Bedingungen (Annahmekennzahl) muss er dem Käufer für eine
Prüfplankurve anbieten, damit sein Ablehnrisiko höchstens 20 % bei einem Stichprobenumfang von 50 ist?
7
c) Der Umsatz eines Produktes ist normalverteilt mit µ =EUR 80.000,- bei einer Streuung von EUR 15.000,--.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Umsatz unter EUR 60.000,--? Ermitteln Sie ein zum Mittelwert
symmetrisches Intervall, in dem 90 % aller Werte liegen. 9,1 % [55.325 / 104.675]
d) Das Einkommen von Angestellten einer Firma ist normalverteilt mit dem Mittelwert 80 GE. Nur 10 Prozent
der Leute verdienen mehr als 100 GE. Wie groß ist die Streuung der Verteilung? 15,6
e) Ermitteln Sie ein 2 -  - Intervall für den wahren Anteil, wenn 450 von 1000 Leuten angeben, mit den
Lebensumständen zufrieden zu sein? Wie groß ist das Konfidenzniveau? [41,85 / 48,15] 95,4 %
622
Die Anzahl der Studienanfänger in einem Jahr ist normalverteilt mit µ = 4.000 und  = 800. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 2.000 Leute ihr Studium beginnen. Welche Zahl an Studienanfängern
wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % nicht übertroffen? 5643
623
a) Die Lebensdauer eines Bauteils ist normalverteilt mit dem Mittelwert 8.000 h und der Streuung 350 h.
Wie viele von 10.000 Bauteilen werden länger als 9.000 h funktionieren? 21
b) Welchen Minimalwert der Lebensdauer kann die Erzeugerfirma garantieren, wenn nur 5 % der
Produktion unter diesem Wert liegen?
7.424
624
a) Bei einer Umfrage geben 60 von 500 Befragten an, ein bestimmtes Produkt zu kennen. Geben Sie ein 99
% - Konfidenzintervall für den wahren Anteil an! [8,3 / 15,7]
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
maturajahrgang 07
b) Eine Maschine erzeugt Bauteile mit einem Sollwert von 200 mm. Jede Abweichung vom Sollwert um
mehr als 5 % gilt als Ausschuss. Wie hoch ist der Ausschussanteil, wenn die Maschine bei der Erzeugung
mit 6 mm um den Mittelwert 200 streut. 9,6
625
Gesundheit
a) Die Kosten für die Behandlung eines Patienten streuen mit  = 2.500 um den Mittelwert 8.200,--. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Betreuung nicht mehr als 13.000,-- kostet? Verwenden Sie die
Normalverteilung. 97,3
b) In einem Test wird die Wirksamkeit eines Medikamentes getestet: 400 von 500 Personen geben an, dass eine
Verbesserung eingetreten ist. Geben Sie ein Konfidenzintervall auf dem 85 % - Niveau für den wahren Anteil
der Leute, bei denen eine Verbesserung eingetreten ist, an!
[77 / 83]
c) Der Umsatz eines Produktes ist normalverteilt um EUR 80.000,-- bei einer Streuung von EUR 15.000,--. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Umsatz unter EUR 60.000,--? Ermitteln Sie ein zum Mittelwert
symmetrisches Intervall, in dem 90 % aller Werte liegen. 9,1 % [55.327 / 104.673]
626
Die durchschnittliche Streckenlänge bei einer Fahrt sei 20,5 km. Berechnen Sie die Streuung der
Normalverteilung, wenn nur 8 % aller Fahrten länger als 40 km sind. 13,9
627
Schulball
Man weiß aus vergangenen Festen, dass die Menge an Sekt normalverteilt mit µ = 320 l bei einer Streuung
von 50 l ist. Welche Menge an Sekt muss bereitgestellt werden, damit man mit 95 % Wahrscheinlichkeit
nicht ausverkauft werden kann. 402,2
628
. Eine Abweichung um mehr als 3 % vom Sollwert 88 cm gilt als Ausschuss. Wie hoch ist der
Ausschussanteil, abhängig von der Streuung, wenn die Maschine mit dem Mittelwert 87,5 cm arbeitet? Wie
hoch darf die Streuung höchstens sein, wenn der Ausschussanteil nur 10 % betragen darf? s = 1,52
629
Qualitätssicherung
a) Stahlblechplatten sollen mit einer Stärke von 5 mm  8 % hergestellt werden. Alle Platten außerhalb dieser
Toleranzgrenzen gelten als Ausschuss. Bei einer Stichprobe ergibt sich folgendes Bild:
Stärke in mm
Anzahl
4,2
3
4,4
15
4,6
33
4,8
48
5,0
59
5,2
60
5,4
24
5,6
10
5,8
2
Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, die Streuung, den Modus und den Median dieser Stichprobe.
Die Stärken der Platten seien normalverteilt mit dem Mittelwert 4,9 mm und der Streuung 0,2 mm. Welcher
Anteil der Produktion ist als Ausschuss zu erwarten? (4,98 0,32 5,2 5 7,3 %)
b) In der Fabrik wird eine Stichprobe vom Umfang 500 gezogen, es zeigen sich dabei 22 Ausschussstücke.
Ermitteln Sie ein Konfidenzintervall für den wahren Ausschussanteil auf dem Signifikanzniveau 98 %. 2,3
% bis 6,5 %
c) Die Längen von Stahlbolzen sind normalverteilt mit dem Mittelwert 55 mm und der Streuung 0,5 mm. Es
sollen ein oberer Grenzwert (OGW) und ein unterer Grenzwert (UGW) so ermittelt werden, dass nur 5 % der
Produktion oberhalb des OGW und 2 % unterhalb des UGW liegen. Ermitteln Sie den OGW und den UGW.
In die Produktion wird eingegriffen, wenn der OGW über- bzw. der UGW unterschritten wird. Berechnen Sie
die Eingriffswahrscheinlichkeiten, wenn der Mittelwert auf den Wert 55,1 driftet. 53,97 55,82
8,7 %
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
634
Für die Prüfung einer Lieferung wird eine Stichprobenprüfung vereinbart: Die Lieferung wird angenommen,
wenn in einer Stichprobe vom Umfang 50 nicht mehr als 10 % Ausschuss enthalten ist. Zeichnen Sie die
Prüfplankurve für diese Situation. Ermitteln Sie dafür die Annahmewahrscheinlichkeiten für p = 0 %, 5 %,
10 % 15 % und 20 %! Die Zeichung soll fachlich richtig sein und die richtigen Werte aufweisen (keine
Handskizze)
100 % 94,8 % 50 % 16,1 % 3,9 %
635
Straßenverkehr
a) Die Wegzeit zur Arbeit (Schule) ist normalverteilt mit µ = 48 Minuten und  = 12 Minuten. Wie oft wird
man mehr als 60 Minuten brauchen, wenn man pro Jahr 300 mal diesen Weg zurücklegen muss? Wie oft
braucht man weniger als 40 Minuten? 48 mal 76 mal
b) Bei der Produktion von Autoreifen muss eine Breite von 210 mm  1 % eingehalten werden. Ermitteln Sie
die Gleichung der Funktion Ausschusskosten, abhängig von der Streuung der Produktion K( ). Die
Gesamtproduktion beträgt 80.000 Stk. und ein Stück Ausschuss verursacht Kosten von EUR 1,70. Die
Produktion ist auf den Mittelwert 210 eingepegelt. Wie hoch sind die Ausschusskosten bei einer Streuung
von 1 mm. Wie groß darf die Streuung sein, damit die Ausschusskosten nicht über EUR 10.000 klettern?
[207,9 / 212,1] 4.859 EUR 1,17
636
Eine Maschine streut um den Mittelwert 102 mm. Sie soll Werkstücke mit dem Sollwert 100  3 % erzeugen.
Wie hoch darf die Streuung sein, damit man nicht mehr als 10 % Ausschuss erhält?
0,78
637
Arbeitsmarkt
a) Die Arbeitslosendauer ist normalverteilt mit dem Mittelwert µ = 18 Wochen und der Streuung 8,3 Wochen.
Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten
weniger als 5 Wochen arbeitslos zu sein
zwischen 10 und 20 Wochen arbeitslos zu sein
mehr als 25 Wochen arbeitslos zu sein?
5,9 % 42,8 % 20 %
b) Wie hoch ist die Streuung der Arbeitslosendauer, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass man länger als 30
Wochen lang arbeitslos bleibt 5 % ist. Der Mittelwert der Arbeitslosendauer soll weiterhin 18 Wochen sein.
7,3 Wochen
638
Zecken
In 35 Fällen von 1.500 FSME-Impfungen treten Nebenwirkungen auf. Geben Sie ein Konfidenzintervall für
den wahren Anteil der Nebenwirkungen auf dem 99 % - Signifikanzniveau an!
1,3 und 3,3 %
639
Eine Maschine soll Stahlwellen mit dem Normdurchmesser 50 mm erzeugen. Jede Welle, deren Durchmesser
um mehr als 5 % von der Norm abweicht, gilt als Ausschuss. Die Maschine streut mit der Streuung 2 mm um
den Mittelwert 51 mm. Welchen Ausschussanteil wird diese Maschine produzieren? Wie hoch ist der Anteil
der zu großen Wellen am Gesamtausschuss?
26,7 % 85 %
640
Straßenverkehr
a) Die Wegzeit zur Arbeit (Schule) ist normalverteilt mit µ = 38 Minuten und der Streuung 15 Minuten. Wie
oft wird man mehr als 50 Minuten brauchen, wenn man pro Jahr 300 mal diesen Weg zurücklegen muss?
Welche Maximalwegzeit muss man einplanen, wenn man nur in 1 % aller Fälle über diesem Wert liegen
möchte?
64 mal 72,9
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
b Bei der Produktion von Autoreifen muss eine Breite von 200 mm  1 % eingehalten werden. Die Produktion
ist auf den Mittelwert 200 eingepegelt. Wie groß darf die Streuung sein, damit der Ausschussanteil nicht über
5 % beträgt?  = 1,02 mm
Teil 1:
Allgemeine Regression
101
Zufluss (r 228)
a) Die Abhängigkeit der Zuflussleistung durch ein Rohr vom Durchmesser d ist: Z(d) = a d 4 .
Durchmesser in m
Zuflussleistung in l/min
0,5
240
1
450
1,5
1.200
2
2.300
Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate den Parameter a. Welchen Rohrdurchmesser muss
man vorsehen, wenn die Zuflussleistung 1.000 l/min betragen soll?
a = 153,3 d = 1,6 m
b) Der Zufluss Z(t) (Einheiten wie in a)) verläuft wie Z(t) = t2 (10 – t) . Berechnen Sie die Gleichung für die
Füllmenge M mit M(0) = 0. Wann ist der Beckeninhalt 800 l? 0,08333 t3 (40 – 3 t) t = 9,1 und t = 10,8
102
Straßenverkehr (r243)
Der Bremsweg x ist eine Funktion der Bremswirkung (phys. eine Beschleunigung) ist x = Error! ( a …
Beschleunigung in m/s2, v… Geschwindigkeit in km/h, x …Bremsweg in m). In einer Testserie wurden
folgende Werte ermittelt:
Geschwindigkeit in km/h
Bremsweg in m
20
2
30
3
40
6
50
12
Ermitteln Sie den Zusammenhang x = k · v2 durch Regression aus den obigen Zahlen und berechnen Sie
durch Vergleich die Wirksamkeit der Bremsen a in m/s2. k = 0,004406 a = 113,45
103
(r14)
a. Die Synthese eines Produktes verläuft so:
Zeit:
Produktionsleistung:
1
3
2
7
3
8
4
1
in h
in hl/h
Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form
P(t)=at3 + b t2 .
P(t)= – 0,85t3+3,44t2
Rechnen Sie mit P(t)= –t3+10t2 im Bereich [0/10] weiter:
b. Wann ist die Produktionsleistung maximal?
6,7 h
c. Wie groß ist die produzierte Gesamtmenge nach 10 h?
833,3 hl
d. Wann ist die Produktion zu stoppen, wenn nur 400 hl produziert werden sollen? 6 h
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
104
(r19)
a. Die Produktionsleistung P(t) eines Produktes verläuft wie P(t)=at 5+bt4+ct3 und zeigt folgende Wertepaare:
t
1
2
3
4
Stunden
P(t)
1
4
8
7
Hektoliter/St.
Berechnen Sie die Parameter a,b, und c mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate.
Rechnen Sie mit P(t)=t5-20t4+100t3 weiter:
b. Wann ist die Produktionsleistung maximal und wie groß ist diese Leistung?
c. Wie groß ist die gesamte Produktionsmenge nach 10 Stunden?
d. Zeichnen Sie die Funktionen P(t) und M(t) in ein Koordinatensystem.
Maßstab: Absz. 1:1 Ord. 1:2000
P(t)=0,015t5 – 0,29t4+1,03t3 Pmax(6)=3.456 hl/h M(10)=16.666,7 hl
105
(r140)
a. Die Synthese eines chemischen Produktes erfolgt so, daß die Funktion der synthetisierten Menge pro Stunde
S(t) an der Stelle t=0 eine zweifache und an der Stelle t=a eine Dreifachnullstelle besitzt.
Erstellen Sie einen allgemeinen Ansatz für S(t)!
(S(t)= kt2(t-a)3
b. Stellen Sie für den Ansatz S(t)=at4+bt3+ct2 die Bedingungsgleichungen für die Methode der kleinsten
Quadrate auf!
Berechnen Sie eine Regression mit obigem Ansatz für
t
S(t)
1
1
2
3
3
5
4
2
in Stunden
in Liter pro Stunden (l/h)
S(t)=-0,095t4+0,241t3+0,68t2
Rechnen Sie die folgenden Punkte mit S(t)=t4-20t3+100t2 in [0/10] weiter:
c. Wann ist die produzierte Menge pro Stunde maximal und wie groß ist sie dann? S(5)=625 l/h
d. Berechnen Sie die Gleichung für die Gesamtproduktionsmenge M(t) in [0/10] und die Gesamtmenge nach 10
Stunden! M(10)=3.333 l
e. Wann ist die Produktion abzubrechen, wenn eine Menge von 3.000 l genügt? (Zeitpunkt auf Zehntelstunden
genau!) 7,5
f. Wie hoch ist der Anteil an brauchbarem Syntheseprodukt, wenn die erzeugte Menge in der ersten und letzten
Stunde des Produktionsvorganges unbrauchbar ist? 98,3 %
107
r171
Die Abhängigkeit der Tragfähigkeit eines Stahlträgers von seiner Höhe h und seiner Breite b ist: T(h)=ah 2 .
In einem Versuch werden folgende Werte ermittelt:
h
1
2
3
4
in dm
T(h)
0,2
1,4
2,5
4,6
in MN
a. Ermitteln Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion! T=0,288h2
Rechnen Sie die folgenden Punkte mit T(h)=0,25.h2.
b. Wie groß ist die Tragfähigkeit eines 2,5 dm hohen Trägers?
c. Wie hoch muß ein Träger mit der Tragfähigkeit 8 MN sein? 1,56 MN 5,66 dm
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
108
r173
Abgasbelastung
An einer stark befahrenen Straße werden mittlere Geschwindigkeit der Fahrzeuge v und Schadstoffbelastungen S
gemessen:
v in km/h
S in ppm
80
1000
100
1500
120
2200
a) Ermitteln Sie durch die Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form
S(v)=a.v2.
Berechnen Sie mit S(v)= 0,15v2 :
b) Bei welcher Durchschnittsgeschwindigkeit tritt eine Emission von 800 ppm auf?
c) Wie hoch ist die Emission bei v=130 km/h?
d) Um welchen Prozentsatz läßt sich die Belastung verringern, wenn es durch Kontrollen von Tempolimits
gelingt, die Geschwindigkeit um 15 % zu verringern
e) Die Verkehrsdichte V(t) geht mit V(t)= – 2,5t4 + 50t3 – 250t2 + 2000
mit t=0 ... 8:00 und t=10 ... 18:00 und V(t) in KFZ/h.
Wie hoch ist die Maximalbelastung dieser Straße ? Wann tritt diese Belastung auf?
f) Wie hoch ist das Gesamtverkehrsaufkommen zwischen 8:00 und 18:00 Uhr ?
S(v)=0,15239v2 73 km/h 2535 ppm -28 % 2000 KFZ/h um 8:00 und 18:00 Uhr 11.667 KFZ
109
r180 Lös
Luftwiderstand
a) Die Leistung gegen den Luftwiderstand ist P = k · v3 . Ermitteln Sie den Proportionalitätsfaktor k aus den
Daten einer Versuchsserie mittels der Methode der kleinsten Quadrate:
v in km/h
P in W
20
5.000
30
17.000
40
44.000
50
83.000
(0,667)
b) Ermitteln Sie die Bestimmungsgleichungen für a und b für die Methode der kleinsten Quadrate bei dem
Ansatz: y = a x3 + b x.
(ax6 + bx4 = yx3 ax4 + bx2 = xy)
110
r186
4. Der Bremsweg hängt von der Geschwindigkeit mit BW = Error!v 2 ab. a ist die Bremsverzögerung in m/s2
, wenn v in m/s und der Bremsweg in m gemessen werden. Berechnen Sie aufgrund der folgenden Daten eine
Regression BW = k · v 2 und a:
v in m/s
Bremsweg in m
v²
5
1,8
10
7,5
15
15,8
20
32
0,0775
111
r192
Ermitteln Sie die Bestimmungsgleichungen für den Ansatz Y(x) = ax4 + b mittels der Methode der kleinsten
Quadrate. Rechnen Sie die Regression für folgende Werte:
x
2
4
5
y
3
7
9
a = 0,0095 b = 3,5
112
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maturajahrgang 07
Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
Die Kosten für eine industriellen Prozeß sind von der Stückzahl abhängig, u. zw. so
K(x) = ax3 . Die Firma ermittelt folgende Zahlen:
x in Stk.:
300
500
800
K in EUR:
3.500
5.000
12.700
Rechnen Sie die Regression mit 100 Stk = 1 ME und EUR 1.000 = 1 GE.
a = 0,0259
Welche Kosten treten bei einer Stückzahl von 1.200 Stk. auf?
44.810 €
113
r207
Der Wärmeverlust durch eine Wand hängt von der Wandstärke mit W(s) = Error! ab. Ermitteln Sie aus
folgenden Daten den Faktor r:
s
in cm
10
20
30
W
in geeigneten Einheiten
150
550
800
r = 1,026
Teil 2:
201
r241
Exponentielle Regression
Population
a) Eine Population vermehrt sich zumindest am Anfang exponentiell mit A(t) = A0 · ekt. Bestimmen Sie die
Parameter A0 und k so, dass eine Verdopplung alle 8 Jahre stattfindet und A(10) = 5.000 ist!
(k= 0,0866 A0 = 2.102)
b) Erstellen Sie für die folgenden Zahlen eine exponentielle Regression:
t
1
2
3
4
A
10
15
33
56
A(t) = 5,1755 · e0,5957 t
Zeit in Jahren
Anzahl in Tausend
c) Die Weltbevölkerung entwickelt sich momentan nach P(t) = 4 · 1,02t , t in Jahren nach 1980, P in Mrd.
Menschen. Wie groß ist die Verdopplungszeit. Wann hätten nach dieser Formel erstmals über 500 Mio.
Menschen gelebt. Wann wird die Weltbevölkerung 10 Mrd. betragen. Wie hoch ist der tägliche Zuwachs per
Ende 2001?
35 Jahre
1875
2026 328.931 Menschen/Tag
202
r236
Industrielle Fertigung
Kristalle für die Halbleiterfertigung werden aus einer Schmelze gezogen. Die folgende Tabelle zeigt den
Temperaturverlauf :
t
0
10
20
30
40
Zeit in Minuten
T
880
530
420
380
350
Temperatur in °C
Die Temperatur dieser Schmelze konvergiert gegen 120 °C. Berechnen Sie eine möglichst gut passende
Exponentialfunktion für diesen Vorgang. Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient. Wann hat die Schmelze
eine Temperatur von 300 °C? Wie hoch ist die Halbierungszeit für den Teil über der Konvergenztemperatur?
Wie heiß ist die Schmelze nach einer Stunde? (626,15 · e –0,0285t + 120 –94,1 % 43,7 min 24,3 min
233,2 °C)
203
r232
Die Verschmutzung von Abwasser läuft mit folgenden Daten:
t
9:00
11:00
13:00
16:00
18:00
20:00 Uhrzeit
y
4
4
35
19
8
6
in l/m3h
Offensichtlich ist zum Zeitpunkt 13:00 ein Störfall eingetreten. Berechnen Sie die Gleichung der
Verschmutzung nach 13:00 (mit t = 0, Zeitintervall Stunden). Berechnen Sie die Gleichungen für die
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Gesamtverschmutzung (ab 9:00 und mit 13:00 ist t = 0)und die Gesamtverschmutzung um 20:00! Wie hoch
ist die Halbierungszeit der zusätzlichen Verschmutzung. Wann ist die Verschmutzung nur mehr um 10 %
über dem Grundpegel?
(36,11 · e–0,408t + 4 mit –98,2 %
4t +16
104,5 – 88,5 · e–0,408t + 4t
127,4 1,7 h
11 h)
205
r213
Schädlingsbefall
a) Schädlingen vermehren sich in einer Monokultur in den ersten Tagen exponentiell. Berechnen Sie für die
folgenden Werte eine exponentielle Regression und geben Sie den Korrelationskoeffizienten an. Verwenden
Sie: 10. April (Ende) … t = 0, 1 t-Intervall = 1 Tag:
Datum
12. 4.
14. 4.
30. 4
15. 5
30. 5
Schädlingszahl
350
720
1.850
2.600
4.500
Die Schädlingszahl ist dabei in Schädlingen pro Flächeneinheit angegeben.
Wie hoch ist die Wachstumsrate pro Tag und pro Woche? Wie groß ist die Verdopplungszeit und wann
(Datum) ist mit einer Schädlingszahl von 10.000 zu rechnen?
S(t) = 488,85 · e0,0475 t mit r = 95,2 % Wachstumsrate = 4,9 % pro Tag und 39,4 % pro Woche
Verdopplungszeit = ln 2 / 0,0475 = 14,5 Tage 10.000 = 488,85 · e 0,0475 t  t = 64 ( = 13. Juni)
b) Ein anderes Modell geht von einem exponentiellen Anstieg des Zuwachses der Schädlinge ( =
Vermehrungsrate V(t) = 1. Ableitung der Schädlingszahl S(t)) in den ersten 30 Tagen mit V(t) = 6 · e 0,08 t (t
in Tagen) aus. Dann verhält sich die Vermehrungsrate linear mit folgenden Eigenschaften:
Der Übergang bei t=30 ist stetig und V2(t) hat eine Nullstelle bei t = 80.
Berechnen Sie die Gleichung der Funktion V2(t) im Intervall [30 / ).
Berechnen Sie die Gleichungen für die Schädlingszahl S(t) mit S(0) = 500.
Wie hoch ist die maximale Schädlingszahl und wann ist der Schädlingsbefall zu Ende?
V2(t) = – 1,32 t + 105,8 S1(t) = 75 e0,08 t + 425
S2(t) = – 0,66 t2 + 105,8 t – 1.328,3
Höhepunkt = S(80) = 2.911,7
Ende = t = 146,6 Tage
c) Ein ein wenig ausgefeilteres Modell der Ausbreitung von Schädlingen geht vom Ansatz S(t) = Error! aus:
Berechnen Sie die Parameter a, b und c so, dass die Funktion folgende Eigenschaften hat:
S(t) konvergiert für t   gegen 5.000
S(t) ist unstetig an t = – 5
S(10) = 3.340
5.000 = a
c=5
b = 100
206
r201
Der Temperaturverlauf einer Schmelze zeigt folgendes Bild:
Zeit
Temperatur
0
620
1
530
2
490
3
420
4
350
in h
in °C
Die Temperatur konvergiert exponentiell gegen die Raumtemperatur von 20 °C. Berechnen Sie eine
Gleichung für den Temperaturverlauf dieser Schmelze.
Wann hat die Schmelze die Temperatur 100 oC?
Welche Temperatur hatte die Schmelze nach 2,4 h.
Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient?
T(t) = 603,4 · e– 0,144 t + 20 mit r = – 99,2 % T(14,0) = 100
T(2,4) = 447,3 °C.
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Teil 3:
Lineare, quadratische und kubische Regression
301
r180
a) Für die Entwicklung und Produktion „windschlüpfriger“ Autos mit möglichst geringem Luftwiderstand (cw Wert) L ist folgender finanzieller Aufwand F notwendig:
L
F
0,3
3
0,32
2,5
0,34
1,8
0,36
0,2
in Mio. EUR
Ermitteln Sie für diese Werte eine quadratische Funktionsgleichung F(L).
–687,5 L2 + 408,25 L – 57,635
b) Rechnen Sie diesen Punkt mit F(L) = 10 L2 – 17 L + 7 in [ 0 / 0,7 ]:
Welcher cw - Wert L läßt sich mit einem finanziellen Aufwand von 2 Mio. EUR erreichen.
Wieviel kostet ein cw - Wert von 0,33?
0,378
2,479
302
r185
Preis und Absatz eines Produktes stehen in einer linearen Relation zueinander:
Preis in €/Stk.
p
340
320
280
275
Absatz in Stk./Monat
x
5012
5220
5700
6200
Berechnen Sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende lineare
Nachfragefunktion p(x) Funktion (ACHTUNG auf die Reihenfolge bei der Eingabe!)
Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient?
Wie hoch ist der Maximalpreis und die Sättigungsmenge?
Bei welchem Preis tritt der maximale Erlös ein? 613 – 0,056x –94,2 613 10957 306,5
303
r188
Straßenverkehr
a) Der Treibstoffverbrauch und damit die Schadstoffbelastung , abhängig von der Fahrgeschwindigkeit wird
wie folgt ermittelt:
Geschwindigkeit in km/h
Treibstoffverbrauch in l / 100 km
v
20
50
70
100
T(v)
14
10
8
12
Ermitteln Sie eine Gleichung der Form T(v) = av2 + bv + c mittels der Methode der kleinsten Quadrate!
T(v) = 0,0027 v2 – 0,3494 v + 20,098
b) Der Treibstoffverbrauch sei T(v) = 0,0024 v2 – 0,321 v + 20 in [10 / 150] , wobei v in km/h und T in
l/100 km angegeben ist. Bei welcher Geschwindigkeit wird der geringste Treibstoff verbraucht und wie hoch
ist dieser Verbrauch. vmin = 66,8 km/h und Tmin (66,8) = 9,3 l/100 km
304
r195
Die Anzahl der Störche S in einer österreichischen Gemeinde und die Anzahl der Geburten im selben Jahr
sind in folgender Tabelle zusammengefaßt:
S
20
15
13
30
G 10
7
7
13
Ermitteln Sie eine lineare Regressionsgleichung für G(S). Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient? Bringen
doch die Störche die Kinder? Wieviele Geburten wären bei einer Storchanzahl von 28 Störchen zu erwarten?
Wieviele Störche braucht man für 20 Geburten?
G(S) = 0,373 S + 1,98 mit r = 98,6 %
G(28) = 12,4 20 = G(48,3)
305
r202
Eine Firma ermittelt zwischen dem Werbeeinsatz W und dem Erlös E folgenden Zusammenhang:
W
0
200.000 400.000 650.000 800.000
EUR
E
2
6
8
9
9
Millionen EUR
Ermitteln Sie einen quadratischen Zusammenhang zwischen Werbeeinsatz und Erlös. Verwenden Sie dazu:
W in 100.000 EUR, E in Millionen EUR. Bei welchem Werbemitteleinsatz ist der maximale Umsatz zu
erzielen und wie groß ist er?
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maturajahrgang 07
Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
a = – 0,1615 b = 2,1367
c = 2,1172
Der maximale Erlös beträgt EUR 9.184.510 und ist bei einem Werbeaufwand von EUR 661.517,-- zu
erzielen!
306
r203
Ein Becken ist mit 8.000 l einer Substanz gefüllt und wird über einen Kanal entleert. Die Abflußmenge pro
Stunde ist durch folgende Liste gegeben:
t
10:00
11:00
13:00
A
1.800
1.200
900
in l/h
Berechnen Sie für A(t) eine Regressionsgerade (Korrelationskoeffizient?). Wie lange fließt die Substanz ab?
Negative Werte von A(t) seien nicht erlaubt! Wird das Becken leer? Wenn ja, wann?
A(t) = 1.671,4 –
278,57 t mit r = – 92,9 % Definitionsbereich t  [ 0 / 6] Das Becken wird nicht leer. Restmenge =
2.985,86 l
307
r210
Zwischen der Trefferquote Q bei Basketballspielern und der Trainingszeit t (in Stunden / Woche) werden
folgende Werte ermittelt:
t in h/w
1
2
3 4
5
Q in %
15
17
22 45
50
Ermitteln Sie einen linearen Zusammenhang zwischen t und Q. Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient?
Wie lange muß man für eine Trefferquote von 85 % trainieren? Wie hoch ist die Trefferquote bei einem
Trainingsaufwand von 20 h/w? Interpretieren Sie das letzte Resultat!
Q(t) = 9,8 t + 0,4 mit r = 94,2 % Q(8,63) = 85 und Q(20) = 196,4!!
Man darf nicht extrapolieren. Eine Trefferquote von 196,4 % gibt es nicht.
308
r211
Der Zeitaufwand Z für das Einbauen einer bestimmten Anzahl von Netzwerkkarten (in Minuten) hängt von
der Anzahl der dafür eingesetzten Arbeitskräfte A (in Personen) so ab:
A
in Personen
10
15
30
Z
in Minuten
300
180
90
Ganz offensichtlich ist der Zusammenhang : „je mehr Arbeiter, desto kürzer die Zeit“, also
Z(A) = Error!! Ermitteln Sie k mit der Methode der kleinsten Quadrate! Verwenden Sie die Substitution y
= Error!= k A!
Z(A) = Error!
309
r213
Schädlingsbefall
a) Die Kosten für eine Schädlingsbekämpfungsaktion weisen folgende Werte auf:
Jahr
1980
1985
1990
1995
Kosten
3,9
4,5
4,7
6,8
Mio. EUR
Berechnen Sie eine lineare Ausgleichsgerade für die Kosten abhängig von der Zeit. Verwenden Sie dabei
1980 … t = 0 und 1985 … t = 5.
Wie groß ist der Korrelationskoeffizient und wann übersteigen die Kosten die 10 – Mio. EUR – Grenze?
Wie groß ist die jährliche Kostensteigerung und wie groß die relative Kostensteigerung von 1997 auf 1998?
K(t) = 0,178 t + 3,64 mit r = 91 %. im Jahr 2016
Kostensteigung 178.000 EUR / a 2,8%.
312
r223
Es wird vermutet, dass durch die Erwärmung der Atmosphäre die Unwetterhäufigkeit (gemessen als
Schadenssumme durch Unwetterschäden) beeinflusst. Rechnen Sie für folgende fiktive Daten Regressionen
für die zeitliche Tendenz der Temperatur und die Schadenssumme, abhängig von der Temperatur (incl.
Korrelationskoeffizient). Wann steigt die Temperatur über 20° C?
Jahr
Mittlere Temperatur
Schadenssumme (in Mrd. USD)
(T(t) = 0,7 t – 1.382,3 mit 67,1 %
© Mag. Wolfgang Streit
1996
1997
1998
1999
2000
15,3
16,2
14,2
18,0
17,9
300
350
310
450
400
S(T) = 35,223 T – 212,83 mit 92,1 %
2003)
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Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
maturajahrgang 07
313
r224
Der Zufluss in ein Becken steigt von 8:00 bis 12:00 linear an und fällt nach 12:00 linear ab. Rechnen Sie
zwei Regressionsgeraden für die folgenden Daten (8:00 sei t = 0):
Zeitpunkt
Zufluss in m3/h
8:00
6,2
10:00
9,3
12:00
11,2
14:00
6,4
16:00
18:00
2,9
– 4,2
Für die folgenden Punkte gelte:
Die Funktionsgleichung für den Zufluss in ein Becken wurde durch Regression mit
Z1(t) = 4,2 + 2,3 t für t  [0 / 4] und Z2(t) = 31,8 – 4,6 t für t  (4 / 12] bestimmt. t in Stunden, Z in m3/h.
Wie hoch war der Zufluss um 13:30?
Wann war der Zufluss maximal und wie groß war dieser maximale Zufluss?
Bestimmen Sie die Gleichung für die Gesamtmenge. Wie groß ist der Gesamtzufluss in 10 h?
Wann ist das Becken leer?
Lösung: Z1(t) = 1,25 t + 6,4 Z2(t) = 21,47 – 2,485 t
Z2(5,5) = 6,5 m3/h Z1(4)=Z2(4) = 13,4 M1(t) = 1,15 t 2 + 4,2 t M2(t) = 31,8 t –2,3 t2 – 55,2
M2(10) = 32,8 m3 nach 11,8 h
314 (r225)
Kostenfunktion
a) Eine Firma erzeugt ein Produkt, dessen Kostenfunktion S – förmig verläuft.
Die folgende Liste gibt Auskunft über die tatsächlich erzielten Werte:
x
ME
K
GE
0
2
4
6
8
50
100
110
130
200
Mengeneinheiten
Geldeinheiten
Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der obigen
Art für diese Werte!
K(x) = 0,9375x3 – 10,357 x2 + 41,607x + 50,143
b) Das Produkt hat eine lineare Nachfragefunktion, die folgende Werte zeigt:
x
p
0
100
2
80
4
76
6
52
8
33
ME
GE / ME
Ermitteln Sie eine Regressionsgerade und den Korrelationskoeffizienten für diese Werte. Wie hoch sind
Prohibitivpreis, Sättigungsmenge und der maximale Erlös für diese Nachfragefunktion?
p(x) = 100,6 – 8,1 x mit r = – 98,4 % PP = 100,6 GE/ME
SM = 12,4 ME Emax (6,2) = 312,4 GE
c) Berechnen Sie mit K(x) = x3 – 10 x2 + 42 x + 50 und p(x) = 100 – 6,7 x im Bereich [ 0 / 15 ]:
das Betriebsoptimum und den zugehörigen Preis, die Gewinngrenzen und die zugehörigen Preise, die
langfristige Preisuntergrenze, den Cournotpunkt und den Erfolg bei einem Preis von 60 GE/ME.
x BO = 5,75 GE mit p(5,75) = 61,4
x1 = 0,83 ME und x2 = 9,1 ME mit p1 = 94,4 GE/ME und p2 = 39,2 GE/ME Kd(5,75) = 26,3 GE/ME
xc = 5,63 ME mit p(5,63) = 62,26 GE /ME
201,1 GE
d) Das Modell des progressiv linearen Kostenverlaufs geht von einem linearen Verlauf aus, der bei
Überschreiten einer Kapazitätsgrenze in einen progressiven Verlauf übergeht. Berechnen Sie die Gleichung
dieses 2. Teils der Kostenfunktion als quadratische Funktion mit folgenden Bedingungen:
K1(x) = 800 x + 300.000 im Bereich [0 / 200]. Der Übergang zwischen K 1(x) und K2(x) bei x = 200 erfolgt
stetig und stetig differenzierbar. K2(400) = 1.500.000,--.
a = 22 b = – 8.000 c = 1.180.000
© Mag. Wolfgang Streit
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maturajahrgang 07
Beispielsammlung – eine Anthologie 5. Jahrgang
315 (r190)
Aufforstung
Ein Waldgrundstück soll aufgeforstet werden. Die Entwicklung der Holzmengenzunahme ( in Festmeter/Jahr) ist
zeitabhängig und läuft wie H(t) = Error! .
a) Ermitteln Sie durch geeignete Umformung der obigen Gleichung und anschließender Verwendung einer
linearen Regression eine den folgenden Daten möglichst gut angepaßte Funktion:
t in a
0
10
20
30
40
H in 1000 fm/a
170
100
80
70
65
Error!
H(t) = Error!
Für die Punkte b) bis d) gelte:
mit den obigen Einheiten:
b) Wann wird H kleiner als 1 % des Anfangswertes? t = 19,8 Jahre
c) Ermitteln Sie die Gleichung für die Gesamtholzmenge G(t), wenn Error!= H(t) gilt.
G(t) = 50 ln (40 t + 8) – 104 = 50 ln (5 t + 1)
Für die folgenden Punkte gelte: G(t) = 40 ln (20 t + 10) – 92,1
d) Wie groß ist die Gesamtholzmenge nach 20 Jahren? G(20) = 148,546
e) Wann ist die Gesamtholzmenge 100.000 Festmeter?
316
(r179)
148.546 Festmeter
100 = 40 ln (20 t + 10) – 92,1 t = 5,6 Jahre
Kostenanalyse
a) Ermitteln Sie aus folgenden Daten eine progressive Kostenfunktion durch eine quadratische Regression:
x in ME
0
K in GE
5
( K(x) = 1,571x2 + 3,11x + 5,14)
1
10
2
18
3
28
4
43
6
10
7
8
b) Ermitteln Sie eine lineare Nachfragefunktion aus folgenden Daten:
x in ME
p in GE/ME
3
14
4
13
5
11
Geben Sie den Korrelationskoeffizienten an. ( p(x) = 18,7 – 1,5x mit r = – 99,3 % )
Rechnen Sie die folgenden Punkte mit: K(x) = 0,5 x2 + 4 x + 5 und p(x) = 18 – 0,9x :
c) Ermitteln Sie das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze! 7,16 GE / ME
d) Ermitteln Sie den Maximalpreis, die Sättigungsmenge und den Preis, bei dem der maximale Erlös auftritt!
MP = 18 GE/ME SM = 20 ME erlösmaximaler Preis = 9 GE / ME
e) Ermitteln Sie den Cournotpunkt, d.h. , die gewinnmaximale Produktionsmenge und den zugehörigen Preis!
p(5) = 13,5 GE/ME
f) Ermitteln Sie die Break-even-Punkte!
0,37 und 9,63
© Mag. Wolfgang Streit
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