PISA – Folgen für den Mathematikunterricht
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Muster fortsetzen 1. Muster aus Quadraten Mit Quadraten wird eine Folge von Mustern erzeugt: Ausgehend von einem großen Quadrat werden jeweils an freie Ecken kleinere Quadrate angesetzt. Von Schritt zu Schritt werden die Seitenlängen der Quadrate um einen konstanten Faktor k kleiner. a) Überlege dir zu dieser Folge von Figuren möglichst vielfältige mathematische Fragestellungen und schreibe diese auf. b) Tausche deine Ideen mit deinen Nachbarn aus. c) Bearbeite mit deinen Nachbarn gemeinsam einige euerer Fragestellungen. 2. Muster aus Dreiecken Statt Quadraten werden nun als Variation gleichseitige Dreiecke betrachtet. a) Überlege dir zu dieser Folge von Figuren wie in Aufgabe 1 vielfältige mathematische Fragestellungen und notiere diese. b) Besprich deine Ideen mit deinen Nachbarn. c) Bearbeite mit deinen Nachbarn einige euerer Problemstellungen. 3. Weitere Variationen Variiere deine Überlegungen weiter (z. B. indem du Würfel statt Quadraten betrachtest) und bearbeite sie mit deinen Nachbarn gemeinsam. Figurierte Zahlen 1. Dreieckszahlen Setzen Sie das Muster fort. Welche Zusammenhänge erkennen Sie? Die Zahl der Punkte im n-ten Dreieck heißt Dreieckszahl Dn. 2. Quadratzahlen Setzen Sie das Muster fort. Welche Zusammenhänge erkennen Sie? Die Zahl der Punkte im n-ten Quadrat heißt Quadratzahl Qn. Stellen Sie eine Beziehung zwischen Dreieckszahlen und Quadratzahlen her. Beweisen Sie: Für die Summe der ersten n ungeraden Zahlen gilt 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n². 3. Rechteckszahlen Setzen Sie das Muster fort. Welche Zusammenhänge erkennen Sie? Die Zahl der Punkte im n-ten Rechteck heißt Rechteckszahl Rn. Stellen Sie eine Beziehung zwischen Dreieckszahlen und Rechteckszahlen her. Beweisen Sie: Die n-te Dreieckszahl ist Dn = ½ n·(n+1). Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gilt 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = ½ n·(n+1). Für die Summe der ersten n geraden Zahlen gilt 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n·(n+1). 4. Tetraederzahlen a) Setzen Sie das Muster fort. Welche Zusammenhänge erkennen Sie? Die Zahl der Bälle in der n-ten Pyramide heißt Tetraederzahl Tn. Stellen Sie eine Beziehung zwischen Dreieckszahlen und Tetraederzahlen her. b) Überlegen Sie sich zu den Ballpyramiden möglichst vielfältige mathematische Fragestellungen und schreiben Sie diese auf. Lösen Sie (einige) Ihre(r) Probleme. c) Kopfgeometrie: Untersuchen Sie, wie viele Kugeln bei den Pyramiden im Inneren liegen, also von außen nicht sichtbar sind. 5. Pascalsches Dreieck Im Pascalschen Dreieck stehen außen Einsen, jede Zahl im Inneren ist die Summe der beiden direkt darüber stehenden Zahlen. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 9 10 15 70 1 6 21 56 126 252 1 5 35 126 210 4 20 56 1 10 35 84 120 6 15 28 1 3 10 21 36 45 3 5 7 2 4 6 1 7 28 84 210 1 1 8 36 120 1 9 45 1 10 1 a) Betrachten Sie die schräg verlaufenden Zahlenreihen. Welche Entdeckungen können Sie hier machen? Stellen Sie Bezüge zwischen dem Pascalschen Dreieck und den Ballpyramiden her. b) Im Pascalschen Dreieck steht in der n-ten Zeile an k-ter Stelle die Zahl n n! , k k!(n k )! wobei die Zählung jeweils bei 0 begonnen wird. Folgern Sie daraus eine Darstellung der Dreieckszahlen Dn und der Tetraederzahlen Tn. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit Ihren anderen Resultaten aus 4). 6. Fünfeckszahlen, Sechseckszahlen, … Erweitern Sie Ihre bisherigen Untersuchungen von Dreiecks- und Quadratzahlen auf Fünfeckszahlen, Sechseckszahlen, etc. Welche Muster und Zusammenhänge finden Sie? Fibonacci-Zahlen Der italienische Mathematiker Leonardo von Pisa (ca. 1170-1240), bekannter unter dem Namen Fibonacci (Sohn des Bonaccio), war der wohl bekannteste europäische Mathematiker des Mittelalters. Er erhielt seine Ausbildung an einer arabischen Schule in Bugia (Algerien) und erweiterte seine mathematischen Kenntnisse durch Reisen nach Ägypten, Syrien, Byzanz und Sizilien. In seinem 1202 erschienen Rechenbuch „Liber abaci“ warf er folgendes Problem auf: 1. Fortpflanzung von Kaninchen Ein junges Kaninchenpaar wird in ein allseitig ummauertes Gehege gesperrt. Das Paar und alle seine Nachkommen vermehren sich folgendermaßen: Jedes Kaninchenpaar bringt im Alter von zwei Monaten erstmals ein weiteres Paar zur Welt. Jedes Paar hat von da an jeden Monat ein neues Paar als Nachkommen. Wie entwickelt sich die Zahl der Kaninchenpaare im Lauf der Zeit? 2. Fibonacci-Zahlen Die oben gefundene Zahlenfolge heißt Folge der Fibonacci-Zahlen: F1 = 1; F2 = 1; F3 = 2; F4 = 3; F5 = 5; … Stellen Sie eine Formel zur rekursiven Beschreibung dieser Zahlenfolge auf. 3. a) Ein Muster aus Quadraten Untersuchen Sie das nebenstehende Muster aus Quadraten. Wie setzt es sich fort? b) Die beiden kleinsten Quadrate haben die Seitenlänge 1. Bestimmen Sie die Seitenlängen der größeren Quadrate. c) Begründen Sie anhand des Quadratemusters, dass für die 2 2 2 Fibonacci-Zahlen gilt: F1 F2 ... Fn Fn Fn1 d) Beweisen Sie diese Formel auch mit vollständiger Induktion. 4. a) Eine seltsame Flächenverwandlung Ein Quadrat wird in vier Teile zerschnitten und diese werden wie skizziert zu einem Rechteck zusammengesetzt. 3 3 3 5 5 3 5 5 5 3 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Quadrats und des Rechtecks. Klären Sie den sich scheinbar ergebenden Widerspruch auf! 8 b) Das Puzzle ist verallgemeinerungsfähig. Statt 3, 5 und 8 werden drei beliebige aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen Fn-2, Fn-1 und Fn verwendet. Das Quadrat wird wiederum in vier Teile zerschnitten und diese werden zu einem Rechteck zusammengesetzt: Fn-2 Fn-1 Fn-1 Fn-1 Fn-1 Fn Fn-2 Fn-1 Zeigen Sie, dass der Unterschied zwischen der Rechtecksfläche und der Quadratfläche 2 ist. Berechnen Sie diesen Unterschied in einigen Beispielen Fn1 Fn1 Fn c) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion die sog. Simpson-Identität: 2 für alle n 2 Fn1 Fn1 Fn (1) n 5. Eine perfekte Flächenverwandlung Bei den obigen Zerteilungen des Quadrats ließ sich die Quadratfläche nie in eine exakt gleich große Rechtecksfläche verwandeln. Das Verhältnis, in dem die Quadratseiten geteilt wurden, hat jeweils nicht gepasst. Prüfen Sie, ob man dennoch die Quadratseiten so in Teile a und b zerlegen kann, dass sich das Quadrat wie skizziert in ein flächengleiches Rechteck verwandeln lässt! a a a b b a b b b a+b a 6. Explizite Darstellung der Fibonacci-Folge In Aufgabe 2 haben Sie die Fibonacci-Folge rekursiv beschrieben. Sie lässt sich auch explizit darstellen (sog. Binet-Formel): n n 1 1 5 1 5 Fn 5 2 2 Weisen Sie nach, dass dies tatsächlich eine Darstellung der Fibonacci-Folge ist. Turm von Hanoi 1. Eine Geschichte von Edouard Lucas Im Jahr 1883 erfand der französische Mathematiker Edouard Lucas (1842-1891) folgende Geschichte: Im Großen Tempel von Benares unter dem Dom, der die Mitte der Welt markiert, ruht eine Messingplatte, in der drei Diamantnadeln befestigt sind, jede eine Elle hoch und so stark wie der Körper einer Biene. Bei der Erschaffung der Welt hat Gott vierundsechzig Scheiben aus purem Gold auf eine der Nadeln gesteckt, wobei die größte Scheibe auf der Messingplatte ruht und die übrigen, immer kleiner werdend, eine auf der anderen. Das ist der Turm von Brahma. Tag und Nacht sind die Priester unablässig damit beschäftigt, den festgeschriebenen und unveränderlichen Gesetzen von Brahma folgend, die Scheiben von einer Diamantnadel auf eine andere zu setzen, wobei der oberste Priester nur jeweils eine Scheibe auf einmal umsetzen darf, und zwar so, dass sich nie eine kleinere Scheibe unter einer größeren befindet. Sobald dereinst alle vierundsechzig Scheiben von der Nadel, auf die Gott sie bei der Erschaffung der Welt gesetzt hat, auf eine der anderen Nadeln gebracht sein werden, werden der Turm samt dem Tempel und allen Brahmanen zu Staub zerfallen und die Welt wird mit einem Donnerschlag untergehen. 2. Das Spiel von Edouard Lucas Verbunden mit der Geschichte erschien 1883 auch ein Spiel: Auf dem ersten Pfosten befindet sich ein Turm aus Scheiben, die in der Mitte ein Loch haben. Am Ende des Spiels soll sich der Turm in gleicher Anordnung auf dem zweiten Pfosten befinden. Dabei sind zwei Spielregeln zu beachten: (1) Man darf immer nur eine Scheibe von einem Pfosten nehmen und auf einen anderen stecken. (2) Man darf eine Scheibe nicht auf eine kleinere legen. Spielen Sie dieses Spiel mit 2, 3, 4, 5 Scheiben. Wie viele Spielzüge brauchen Sie mindestens? Versuchen Sie, Gesetzmäßigkeiten zu erkennen. 3. Das Spiel mit n Scheiben Suchen nach Wegen, wie Sie die minimale Zahl der Spielzüge bei n Scheiben bestimmen können. 4. Wie lange brauchen die Priester? In der Geschichte von Edouard Lucas haben die Priester 64 Scheiben. Angenommen, die Priester arbeiten Tag und Nacht und legen pro Sekunde eine Scheibe um. Wie lange dauert es dann, bis „die Welt mit einem Donnerschlag untergeht“? Vergleichen Sie dies mit dem aktuellen Alter der Erde. 5. Der Turm von Hanoi im Internet Suchen Sie im Internet zum Stichwort „Turm von Hanoi“ Materialien. Es gibt Seiten, auf denen Sie das Spiel am Bildschirm spielen können. 6. Rampe: Vier Pfosten Variieren Sie das Spiel, indem Sie vier Pfosten verwenden.
