Alina Chraplewski

Ausarbeitung zum fachwissenschaftlichen Seminar
Seminarleitung: Herr Klein
Thema 13
Alina Chraplewski
Universität Kassel
WS 2004 / 05
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Koaxiale Kreise, Büschel
Es gibt eine unendliche Schar von nicht kozentrischen Kreisen, die durch die Gleichung
x
2
+ y 2 - 2ax + c = 0 beschrieben wird.
Dabei ist c fest vorgegeben und a durchläuft alle reelle Zahlen mit Ausnahme der Werte
zwischen
c und -
c , falls c positiv ist. diese Familie nennt man ein Büschel koaxialer
Kreise, da es eine Gerade gibt, auf der die Mittelpunkte aller Kreise liegen , und eine dazu
senkrechte Gerade, welche die Potenzachse zu je zwei Kreisen der Schar ist.
(e)
Satz 2.31 (Potenzpunkt / Potenzzentrum dreier Kreise)
Bilden die Mittelpunkte dreier Kreise ein Dreieck, so gibt es genau einen Punkt, der dieselbe
Potenz bezüglich der drei Kreise besitzt.
2
(I)
Wir wissen, dass es eine Potenzgerade gibt, die senkrecht auf der Verbinungsgeraden der
Mittelpunkte zweier Kreise ist. Auf dieser Potensgeraden befinden sich alle Punkte gleicher
Potenz bezüglich der beiden Kreise.
Die Mittelpunkte der drei Kreise bilden ein Dreieck. Dadurch wissen wir, dass die drei Kreise
paarweise nicht koaxial und nicht kozentrisch sind. Da wir auch wissen, dass die
Potenzgeraden senkrecht zu den Seiten des Dreiscks stehen, lässt sich daraus folgern, dass die
Potenzgeraden nicht parallel zueinander sind. Das heißt, dass sich je zwei Potenzgeraden in
einem Punkt schneiden müssen.
Bertrachten wir die Kreise 1 und 2: Die Potenzgerade g 1, 2 verläuft senkrecht zur Strecke
M 1 M 2 und geht durch die Schnittpunkte der Kreise 1 und 2.
Betrachten wir nund die Kreise 2 und 3: Die Potenzgerade g 2,3 verläuft senkrecht zur
Strecke M 2 M 3 und geht durch die Schnittpunkte der Kreise 2 und 3.
g 1, 2 und g 2,3 schneiden sich im Punkt P.
Nun besitzen die Kreise 1 und 2 eine Potenzgerade g 1, 2 , welche sich mit der Potenzgeraden
g 2,3 der Kreise 2 und 3 schneidet. Auf der Geraden g 1, 2 liegen alle Punkte gleicher Potenz
bezüglich der Kreise 1 und 2. Auf der Geraden g 2,3 liegen alle Punkte gleicher Potenz
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bezüglich der Kreise 2 und 3. Mit der Transitivität lässt sich nun folgern, dass auf der
Geraden g 1,3 alle Punkte gleicher Potenz bezüglich der Kreise 1 und 3 liegen.
Da sich die Geraden g 1, 2 und g 2,3 im Punkt P schneiden, lässt sich wieder durch die
Transitivität folgern, dass auch die Gerade g 1,3 die anderen Geraden im Punkt P schneidet.
Dieser gemeinsame Punkt P der drei Potenzgeraden besitzt die gleiche Potenz bezüglich aller
drei Kreise. Er wird als Potenzpunkt oder Potenzzentrum der drei Kreise bezeichnet.
Nun gibt es noch den Fall, dass sich die drei Kreise nicht schneiden. Dennoch gilt auch in
diesem Fall dieser Satz. Allerdings liegt hier das Potenzzentrum der drei Kreise ausserhalb
der Kreise.
(II)
Satz 2.45
Die Potenzgerade zweier Kreise, deren Durchmesser zwei Ecktransversalen eines Dreiecks
sind, geht durch den Höhenschnittpunkt H.
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(III)
Um diesen Satz zu beweisen, betrachten wir zuerst den Höhenschnittpunkt H in einem
Dreieck:
(IV)
Die Abbildung (IV) zeigt die drei Höhen AD, BE und CF mit ihren Verlängerungen, die den
Umkreis in D‘, E‘ und F‘ schneiden. H ist der Höhenschnittpunkt. Es ist  DAB =  FCB,
da beide Winkel ergänzend zu  B sind. Das heißt:  = 90° -  B. Zudem gilt ( durch den
Umfangswinkelsatz)  BCD‘ =  BAD‘, weshalb auch  BCD‘ mit  bezeichnet wird.
Da nun die beiden rechtwinkligen Dreiecke CDH und CDD‘ kongruent sind, ist HD = DD‘
und analog dazu HE = EE‘ und HF = FF‘ .
Laut Satz 2.11 gilt nun HA * 2HD = HB * 2HE. Analog dazu gilt HB * 2HE = HC * 2HF.
Daraus folgt: HA * 2HD = HB * 2HE = HC * 2HF.
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Mit dieser Formel wird die Potenz des Punktes H bezüglich des Kreises beschrieben.
Das heißt: Der Höhenschnittpunkt des Dreiecks wird mit einer Potenz bezüglich seines
Umkreises beschrieben.
Nun zeichnen wir einen Kreis mit dem Durchmesser AB ein. Wir sehen, dass dieser Kreis
nicht nur durch die Eckpunkte A und B, sondern auch durch die Höhenfußpunkte D und E
verläuft.
(V)
Laut Satz 2.11 lässt sich nun HA * HD = HB * HE ablesen.
Diese Formel beschreibt die Potenz von H bezüglich des Kreises mit dem Durchmesser AB .
Nun übertragen wir das auf einen Kreis, der mit dem Durchmesser der Ecktransversale von A
durch den Punkt A, den Höhenfußpunkt H A und den Schnittpunkt der Ecktransversale E A
verläuft.
(VI)
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Die Höhen der drei Seiten des Dreiecks schneiden sich im Punkt H.
Laut Satz 2.11 kann man hier ablesen HA * HH A
Nun fügen wir einen Kreis mit dem Durchmesser der Ecktransversale von B, der durch den
Punkt B, den Höhenfußpunkt H B und den Schnittpunkt der Ecktransversale E B verläuft, ein.
(III)
Nun lässt sich weiterhin laut Satz 2.11 ablesen: HB * HH B .
Somit haben wir nun: HA * HH A = HB * HH B . Diese Formel beschreibt die Potenz des
Punktes H bezüglich der beiden Kreise.
Wir sehen, die Potenzgerade dieser beiden Kreise verläuft durch den Punkt H.
Satz 2.46
Der Potenzpunkt dreier nicht koaxialer Kreise, deren Durchmesser Ecktransversalen eines
Dreiecks sind, ist der Höhenschnittpunkt H.
(VII)
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Im Satz 2.31 haben wir bewiesen, dass sich die Potenzgeraden dreier nicht koaxialer Kreise in
einem Punkt schneiden.
Im Satz 2.45 Haben wir gezeigt, dass die Potenzgerade zweier nicht koaxialer Kreise, deren
Durchmesser Ecktransversalen eines Dreiecks sind, den Höhenschnittpunkt H schneidet.
Aus diesen beiden Sätzen folgt, dass der Potenzpunkt dreier nicht koaxialer Kreise, deren
Durchmesser Ecktransversalen eines Dreiecks sind, der Höhenschnittpunkt H ist.
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