Aufgaben

Potenz und weitere Sätze am Kreis
Mathe-Camp 2016
Pascal Hein ([email protected])
Nützliche Sätze
Die folgenden grundlegenden Sätze finden in vielen Aufgaben Anwendung und dürfen bei Olympiaden als bekannt vorausgesetzt werden. Ihre Beweise können als leichte Übungsaufgaben dienen.
Peripherie-Zentriwinkelsatz. Seien A und B Punkte auf dem Kreis k um M. Für alle Punkte P auf
dem längeren Kreisbogen von k über AB gilt ∠AMB = 2∠APB. (Spezialfall: Satz von Thales. Für alle
Punkte P auf dem Kreis mit Durchmesser AB gilt ∠APB = 90◦ .)
Sehnen-Tangentenwinkelsatz. Sei AB eine Sehne des Kreises k um M, die kein Durchmesser ist,
.
und T der Schnittpunkt der Tangenten in A und B an k. Dann ist ∠T AB = ∠ABT = ∠AMB
2
Satz vom Sehnenviereck. Ein Viereck ist genau dann Sehnenviereck, wenn sich gegenüberliegende
Winkel zu 180◦ ergänzen.
Südpolsatz. Sei ABC ein Dreieck mit Umkreis k. Dann schneiden sich k, die Winkelhalbierende wα
von ∠BAC und die Mittelsenkrechte ma von BC in einem Punkt.
Sehnensatz. Sei P ein Punkt im Innern eines Kreises um M mit Radius r. Dann ist für alle Sehnen
AB des Kreises, die durch P gehen, |PA| · |PB| = r2 − |PM|2 .
Sekanten-Tangenten-Satz. Sei k ein Kreis um M mit Radius r und P ein Punkt außerhalb von k. Sei
T der Berührpunkt einer Tangente, und A und B die Schnittpunkte einer Sekante durch P mit k. Dann
ist |PA| · |PB| = |PT |2 = |PM|2 − r2 .
Umkehrung des Sehnen-/Sekantensatzes. Schneiden sich AB und CD in P und gilt |PA| · |PB| =
|PC| · |PD| (mit gerichteten Längen!), so liegen A, B, C und D auf einem Kreis.
Potenzgeraden. Die drei Potenzgeraden je zweier von drei Kreisen (wobei die Mittelpunkte nicht
auf einer Geraden liegen) schneiden sich in einem Punkt.
Einstiegsaufgaben
A1. In der Skizze sei |AB| = 30 und |AC| = 18, sowie AC ⊥ BC. Man bestimme die Länge des
Durchmessers CD und der Sehne BD.
A2. Die Kreise k1 und k2 schneiden sich in A und B. Zeige, dass für alle Punkte X auf der Geraden
AB außerhalb der Kreise die Tangentenabschnitte zu k1 bzw. k2 gleich lang sind.
A3. In einem Kreis halbiere der Durchmesser AB die Sehne CD. Eine weitere Sehne AQ schneide
CD in P. Zeige, dass |AP| · |AQ| unabhängig von der Wahl von Q ist.
Winkeljagd und Sehnenvierecke
A4. Im Dreieck ABC sei I der Inkreismittelpunkt und X der Schnittpunkt von AI mit der Mittelsenkrechten von BC. Zeige, dass X der Umkreismittelpunkt von BCI ist.
A5. Die vier Fußpunkte der Lote von A auf die Innen- und Außenwinkelhalbierenden von ∠CBA
und ∠ACB liegen auf einer Geraden.
A6. Seien k1 und k2 zwei Kreise um A bzw. B, die sich in C und D schneiden. Der Umkreis k von
ABC schneide k1 in C und E sowie k2 in C und F. Zeige, dass die Gerade CD den Kreisbogen
über EF, der C nicht enthält, halbiert.
A7. Sei ABC ein Dreieck mit |AB| 6= |AC|. Der Kreis mit Durchmesser BC und Mittelpunkt O
schneidet die Seiten AB und AC in M bzw. N. Die Winkelhalbierenden von ∠BAC und ∠NOM
schneiden sich in R. Zeige, dass der zweite Schnittpunkt der Umkreise von CNR und BMR auf
BC liegt.
Ähnlichkeiten
A8. Mathematik-Olympiade 2016 (551232). Das Dreieck ABC sei bei C rechtwinklig und F Fußpunkt
der Höhe von C auf AB. Ein Kreis berühre die Strecke FB in P, die Strecke FC in Q und den
Umkreis des Dreiecks ABC in R. Zeige: A, Q und R liegen auf einer Geraden und die Strecken
AP und AC sind gleich lang.
A9. Asian Pacific MO 1998 (4). Sei ABC ein Dreieck, D der Höhenfußpunkt zu A und g eine Gerade
durch D, die nicht durch A,B oder C verläuft. E und F seien Punkte auf g verschieden von D
mit AE ⊥ BE bzw. AF ⊥ CF. M sei der Mittelpunkt von BC und N derjenige von EF. Zeige, dass
AN ⊥ NM.
Potenzgeraden
A10. Österreichische MO 2005. Zum Dreieck ABC werden die Kreise k1 und k2 mit Durchmesser AC
bzw. BC gezeichnet. Die Höhe von B auf AC schneide k1 in K und L, und die Höhe von A auf
BC schneide k2 in M und N. Zeige, dass K, L, M und N auf einem Kreis liegen.
A11. Indian IMO Team Selection Test 1995. Im Dreieck ABC seien D und E auf AB bzw. AC derart
gewählt, dass DE k BC. Sei P ein Punkt im Innern von ADE und F und G die Schnittpunkte von
DE mit BP bzw. CP. Die Umkreise von PDG und PFE schneiden sich in P und Q. Dann liegen A,
P und Q auf einer Geraden.
A12. IMO 1995 (1). Die paarweise verschiedenen Punkte A, B, C, D liegen in dieser Reihenfolge auf
einer Geraden. Die Kreise mit den Durchmessern AC und BD schneiden einander in X und Y.
Sei P ein Punkt im Innern der Strecke XY, der nicht auf AD liegt. CP schneidet den Kreis über
AC in M 6= C und BP schneidet den Kreis über BD in N 6= B. Dann schneiden sich AM, DN
und XY in einen Punkt.
Skizzen
A
B
C
Südpolsatz
Sehnen-Tangentenwinkelsatz und
Peripherie-Zentriwinkelsatz
A
U
B
D
·
T
·
·
S
I
30
· 18
C
Aufgabe 1
A
B
C
P
Aufgabe 5
·
R
A
M
N
R
O
B
C
C
R
Aufgabe 7
Q
A
F
P
B
Aufgabe 8
L
E
C
A
N
N
E ·
F
· D
M
K
B
·
M D
C
A
B
Aufgabe 9
Aufgabe 11