Nützliche Sätze Aufgaben

Nützliche Sätze
Die folgenden grundlegenden Sätze finden in vielen Aufgaben Anwendung und dürfen bei Olympiaden als bekannt vorausgesetzt werden. Ihre Beweise können als leichte Übungsaufgaben dienen.
Peripherie-Zentriwinkelsatz. Seien A und B Punkte auf dem Kreis k um M. Für alle Punkte P auf
dem längeren Kreisbogen von k über AB gilt ∠AMB = 2∠APB. (Spezialfall: Satz von Thales. Für alle
Punkte P auf dem Kreis mit Durchmesser AB gilt ∠APB = 90◦ .)
Sehnen-Tangentenwinkelsatz. Sei AB eine Sehne des Kreises k um M, die kein Durchmesser ist,
und T der Schnittpunkt der Tangenten in A und B an k. Dann ist ∠T AB = ∠ABT = ∠AMB
.
2
Satz vom Sehnenviereck. Ein Viereck ist genau dann Sehnenviereck, wenn sich gegenüberliegende
Winkel zu 180◦ ergänzen.
Südpolsatz. Sei ABC ein Dreieck mit Umkreis k. Dann schneiden sich k, die Winkelhalbierende wα
von ∠BAC und die Mittelsenkrechte ma von BC in einem Punkt.
Potenzgeraden. Die drei Potenzgeraden je zweier von drei Kreisen (wobei die Mittelpunkte nicht
auf einer Geraden liegen) schneiden sich in einem Punkt.
Aufgaben
A1. In der Skizze sei |AB| = 30 und |AC| = 18, sowie AC ⊥ BC. Man bestimme die Länge des
Durchmessers CD und der Sehne BD.
A2. Im Dreieck ABC sei I der Inkreismittelpunkt und X der Schnittpunkt von AI mit der Mittelsenkrechten von BC. Zeige, dass X der Umkreismittelpunkt von BCI ist.
A3. Der Kreis k 0 berühre den Kreis k von innen in P. Die Sehne AB von k berühre k 0 in X, und die
Gerade PX schneide k in C 6= P. Zeige, dass C den Kreisbogen über AB, der P nicht enthält,
halbiert.
A4. Die vier Fußpunkte der Lote von A auf die Innen- und Außenwinkelhalbierenden von ∠CBA
und ∠ACB liegen auf einer Geraden.
A5. Seien k1 und k2 zwei Kreise um A bzw. B, die sich in C und D schneiden. Der Umkreis k von
ABC schneide k1 in C und E sowie k2 in C und F. Zeige, dass die Gerade CD den Kreisbogen
über EF, der C nicht enthält, halbiert.
A6. Sei ABC ein Dreieck mit |AB| 6= |AC|. Der Kreis mit Durchmesser BC und Mittelpunkt O
schneidet die Seiten AB und AC in M bzw. N. Die Winkelhalbierenden von ∠BAC und ∠NOM
schneiden sich in R. Zeige, dass der zweite Schnittpunkt der Umkreise von CNR und BMR auf
BC liegt.
A7. Asian Pacific MO 1998 (4). Sei ABC ein Dreieck, D der Höhenfußpunkt zu A und g eine Gerade
durch D, die nicht durch A,B oder C verläuft. E und F seien Punkte auf g verschieden von D
mit AE ⊥ BE bzw. AF ⊥ CF. M sei der Mittelpunkt von BC und N derjenige von EF. Zeige, dass
AN ⊥ NM.
A8. Irish MO 1999. Im konvexen Sechseck ABCDEF mit |AB| = |BC|, |CD| = |DE|, |EF| = |FA|
schneiden sich die Lote von A, C, E auf FB, BD bzw. DF in einem Punkt.
A9. IMO 1995 (1). Die paarweise verschiedenen Punkte A, B, C, D liegen in dieser Reihenfolge auf
einer Geraden. Die Kreise mit den Durchmessern AC und BD schneiden einander in X und Y.
Sei P ein Punkt im Innern der Strecke XY, der nicht auf AD liegt. CP schneidet den Kreis über
AC in M 6= C und BP schneidet den Kreis über BD in N 6= B. Dann schneiden sich AM, DN
und XY in einen Punkt.
Skizzen
A
B
C
Südpolsatz
Sehnen-Tangentenwinkelsatz und
Peripherie-Zentriwinkelsatz
A
U
B
D
·
T
·
·
S
I
30
· 18
C
Aufgabe A1.
A
B
C
P
Aufgabe A4.
·
R
A
M
N
R
O
B
C
Aufgabe A6.
E
A
N
F
·
B
M
D
Aufgabe A7.
C