Mathematische Grundlagen Materialien zur Vorlesung Mathematik

Mathematische Grundlagen
Materialien zur Vorlesung Mathematik
Prof. Dr. R. Wunderlich
Mengen
Definition
(Georg Cantor 1845 – 1918)
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
zu einem Ganzen.
Eine Objekt einer Menge heißt Element.
Bezeichnungen
Mengen
M, N, . . .
große Buchstaben
Elemente a, b, . . . , x, y, kleine Buchstaben
z
x ∈ M x ist ein Element von M
x 6∈ x ist kein Element von M
M
Mathematische Beschreibung haufig durch eine Eigenschaft
p = p(x), die alle Elemente x der Menge erfu¨llen.
M = {x | p(x) ist erfu¨llt}
oder auch M = {x : p(x) ist erfu¨llt}
Definitionen
1. Die leere Menge ist eine Menge, die keine Elemente enthalt:
Schreibweise:
∅ = {}
2. Mengen mit
endlich vielen Elementen heißen endliche Mengen,
unendlich vielen Elementen heißen unendliche Mengen.
3. Die Mengen A und B heißen gleich, wenn sie die gleichen
Elemente enthalten.
Schreibweise:
A=B
4. Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes
Element aus A auch Element von B ist.
Schreibweise:
A⊂B
5. Wenn A ⊂ B und A = B, dann heißt A echte Teilmenge
von B.
Bemerkungen
• In der Literatur finden sich auch die Symbole
⊆ fu¨r Teilmengen und
⊂ fu¨r echte Teilmengen.
• Fu¨r beliebige Mengen B gilt ∅ ⊂ B
Definition
Unter der Produktmenge A × B der Mengen A und B
versteht man die Menge der geordneten Paare
A × B = { (a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B
}
Sprechweise
”A kreuz B”
alternative Bezeichnungen
Kreuzprodukt, kartesisches Produkt
Definition
Die n-fache Produktmenge der Mengen A1, A2, . . . , An wird
definiert als
A1 × A2 × . . . × An := { (a1, a2, . . . , an) | a1 ∈ A1 ∧ a2 ∈
A2
∧ . . . ∧ an ∈ An}
Ihre Elemente (a1, a2, . . . , an) heißen n-Tupel und speziell fu¨r
• n=3: Tripel
• n=4: Quadrupel.
Bemerkung
• Fu¨r A1 = A2 = . . . = An = A schreibt man auch
An := A × A × . . . × A.
•
Fu¨r A = R ergibt sich Rn, der n-dimensionale (Punkt)-
Raum. Die Elemente (a1, a2, . . . , an) heißen Punkte mit den
Koordinaten a1, a2, . . . , an.
Relle Zahlen
N = { 1, 2, 3, . . . }
natu¨rliche Zahlen
Summe und Produkt sind wieder in N
N0 = {0} ∪ N = {0, 1, 2, . . .}
Z = { . . . , − 2, − 1, 0, 1, 2, . . . }
ganze Zahlen
auch Differenz wieder in Z
Q =
o
| r ∈ Z, s ∈ N
rationale Zahlen
nr
s
auch Quotient wieder in Q
Dezimaldarstellung
2
4
=
5
10
1
25
=
= 0.4
= 0.25
endlicher Dezimalbruch
4
100
1
= 0.3
3
7
= 1.42857
10
unendlich periodischer Dezimalbruch
• Zwischen 2 rationalen Zahlen x, y liegt stets wieder eine
ratiox+y
nale Zahl, z.B.
.
2
• Dieses Verfahren ist beliebig fortsetzbar
⇒ es gibt unendlich viele rationale Zahlen zwischen x und y.
• Jedem x ∈ Q entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden.
Frage: Gilt auch die Umkehrung, d.h. entspricht jedem Punkt auf
der Zahlengeraden eine rationale Zahl x ∈ Q?
Antwort: NEIN!
√
Man kann z.B. zeigen: 2 ist nicht rational, sondern irrational.
√
r
D.h. es gibt keine natu¨rlichen Zahlen r, s mit 2 = .
s
Dezimaldarstellung fu¨r irrationale Zahlen
erfolgt durch unendliche nichtperiodische Dezimalbru¨che
√
2 = 1.414213562373095 .
.
π = .3.141592653589793
.
..
e = 2.718281828459046
.
..
Reelle Zahlen
R = Q ∪ { irrationale Zahlen }
Gesamtheit der rationalen und irrationalen Zahlen
Vollst¨andigkeit der reellen Zahlen
Jedem x ∈ R entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt.
Spezielle Teilmengen
= { x∈ R | x>0}
positive reelle Zahlen
= { x ∈ R | x ≥ 0 } nichtnegative reelle Zahlen
R+
0
R+
Die Zahl π
3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399
375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342
117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725
359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948
954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783
165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393
607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962
829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521
384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117
381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752
724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362 440 656 643 086 021
394 946 395 224 737 190 702 179 860 943 702 770 539 217 176 293
176 752 384 674 818 467 669 405 132 000 568 127 145 263 560 827
785 771 342 757 789 609 173 637 178 721 468 440 901 224 953 430
146 549 585 371 050 792 279 689 258 923 542 019 956 112 129 021
960 864 034 418 159 813 629 774 771 309 960 518 707 211 349 999
998 372 978 049 951 059 731 732 816 096 318 595 024 459 455 346
908 302 642 522 308 253 344 685 035 261 931 188 171 010 003 137
838 752 886 587 533 208 381 420 617 177 669 147 303 598 253 490
428 755 468 731 159 562 863 882 353 787 593 751 957 781 857 780
532 171 226 806 613 001 927 876 611 195 909 216 420 198 938 095
257 201 065 485 863 278 865 936 153 381 827 968 230 301 952 035
301 . . .
Ungleichungen
x+5
<
7
linke Seite
Ungleichungszeichen
rechte Seite
x∈ R
Losungsmenge L - Menge aller x, welche die Ungleichung erfu¨llen
(fu¨r die die Ungleichung eine wahre Aussage
ist)
im Beispiel
L = (− ∞, 2)
im Allgemeinen
L⊂R
Losungstechniken
(1) Ausschluss von Werten, fu¨r welche die linke/rechte Seite nicht
definiert sind
(2)
A¨quivalente Umformungen
(a)
a<b
und c ∈ R
⇒
(b)
a<b
und c > 0
⇒
ac
<
bc
(c)
a<b
und c < 0
⇒
ac
>
bc
>
−b
a+c <
speziell − a
(d)
und c ≤ d
a<b
(e) 0 < a < b und n ≥ 1
≤,
analog fu¨r
√
√
n
a
n
b
>,
⇒
a+c < b+d
⇒
an
<
≥
<
(3) Gegebenenfalls Fallunterscheidungen durchfu¨hren
Einige nu¨tzliche Ungleichungen
fu¨r alle x ∈ R
x2 ≥ 0
x2 + y2 ≥ 2xy
fu¨r alle x, y ∈
R
(x + y)2 ≤ 2x2 + 2y2 fu¨r alle x, y ∈ R
Mittelungleichungen
seien x1, x2, . . . , xn ∈ R+
n
A := 1 (x1 + x2 + . . . + xn) arithmetisches Mittel
√
G :=
n
x1 · x2 · . . . · xn
H :=
geometrisches Mittel
n
harmonisches Mittel
1
1
b+c
bn
x1
+...+
1
xn
≤
Es gilt
H
Beispiel:
n = 2,
≤
1
x1
G
≤
A
x1, x2 > 0
√
2
x1 + x 2
x1 · x 2
x2
≤
1
x2
2
Beispiel: Lineare Ungleichung
+
+
Beispiel: Betragsungleichung
y=|2x−4| − |x+1|
y=3
y=|2x−4|
y= − |x+1|
|2x−4| − |x+1| <= 3
10
8
y
6
4
2
0
−2
−4
−4
−2
0
2
10
x
4
6
8
Matrizen
Definition
Eine Matrix vom Typ (m, n) bzw. (m, n)-Matrix ist ein rechteckiges Schema von Elementen (Zahlen), die in m Zeilen und n
Spalten angeordnet sind.
a11 a12 . . . a1j . . .
a21
a22
...
...
a1n
a2j
a
2n
A=
...
.
...
.
.
= (aij)i=1,...,m
= (aij)
ai1
j=1,...,n
.
.
...
ai2 . . . aij . . .
. ...
ain
.
am1 am2 . . . amj . . . amn
Bemerkung
• Das Element aij steht in Zeile i und Spalte j.
• Elemente konnen auch komplexe Zahlen, Funktionen,. . .
oder auch selbst wieder Matrizen sein.
• Alternative Bezeichnungen sind A = A = [aij].
Spezielle Matrizen
• Quadratische Matrix
• Diagonalmatrix
A=
Zeilenzahl m = Spaltenzahl n
m = n,
aij = 0 fu¨r i = j
2 0 0
0 5 0
0 0 4
außerhalb der Hauptdiagonalen
.
nur Nullen
1 fu¨r i = j
0 fu¨r i = j
• Einheitsmatrix:
E=
m = n,
aij =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
• Nullmatrix:
aij = 0
0 0 0
0 0 0
O=
• Zeilenmatrix (-vektor)
• Spaltenmatrix (-vektor)
• Dreiecksmatrix m = n
obere Dreiecksmatrix
nur m = 1 Zeile
nur n = 1 Spalte
C= 4 5
2
D= 4
6
untere Dreiecksmatrix
a11 a12 . . . a1n
a11
0
... 0
0 a22 . . . a2n
a12 a22
...
.
0
...
...
.
..
.
.
.
a1n a2n
0
. . . ann
0
. . . ann
.
unterhalb
oberhalb
der Hauptdiagonalen nur Nullen
• Skalar, Zahl m = n = 1
A = (a11) = a11
Definition
Zwei Matrizen A und B heißen gleich, wenn sie vom gleichen Typ
(m, n) sind und wenn fu¨r alle i, j gilt aij = bij .
Bezeichnung: A = B
Matrizenoperationen
Definition
Seien A und B zwei Matrizen vom gleichen Typ (m, n). Die Matrix
C = (cij) mit cij = aij + bij fu¨r alle i, j heißt Summe von A und
B.
Bezeichnung: C = A + B
Matrixmulitiplikation
c11 ... c1s
.
a11
.
... a1n
.
b11 ... b1j ... b1s
b2j
. . .
.
. c
.
ij
.
=
.
ai1 ai2 ... ain
.
.
.
C=A· B
.
.
.
cm1 ... cms
am1
... amn
bn1 ... bnj ... bns
Xn
cij = aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj
k=1