Matrizen und Vektoren Reelle Matrizen

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I. Steinke, Mathematik II für Chemiker
Matrizen und Vektoren
Reelle Matrizen
Definition Unter einer reellen Matrix vom Typ (m,n)
bzw. einer m × n-Matrix versteht man ein aus m · n reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema mit m waagerechten angeordneten Zeilen und n senkrecht angeordneten Spalten.


a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a

 21 a22 · · · a2j · · · a2n 
 ..
...
...
... 
 .

A=

 ai1 ai2 · · · aij · · · ain 
 ..
... 
...
...
 .

am1 am2 · · · amj · · · amn
Bezeichnungen:
• ai,j bzw. aij (Matrix)Element oder Eintrag;
• i-te Zeile, Zeilenindex; j-te Spalte; Spaltenindex;
Spezialfälle
• m = n: n-reihige, quadratische Matrix;
• n = 1 Spaltenvektor; m = 1 Zeilenvektor;
• Nullmatrix mit Einrägen Null, d.h. aij = 0. Bez. O(m,n).
A = (ai,j )1≤i≤m = (aij )(m,n) = (aij ).
1≤j≤n
Beispiele
µ
¶
1 2 3
,
4 5 7


0 3
2
4 −3 1, 2 ,
9 −2, 3 0
 
1
3 ,
7
¡
¢
3 2 0 .
Zwei Matrizen sind gleich, wenn alle Einträge gleich sind.
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I. Steinke, Mathematik II für Chemiker
Anwendungen
• Lösung von Linearen Gleichungssystemen (LGS);
• Beschreibung analytischer Eigenschaften von Funktionen
(Extremwertaufgaben);
• Beschreibung linearer und quadratischer Funktionen;
• Geometrie: Beschreibung von Drehungen. Vektoren.
Spezielle quadratische Matrizen
Es sei m = n. n-reihige quadratische Matrix:


a11 a12 · · · a1n


 a21 a22 · · · a2n 
A =  ..
...
... 
 .

an1 an2 · · · ann
Hauptdiagonale a1,1, a2,2, . . . , an,n;
Nebendiagonale a1,n, a2,n−1, . . . , an,1.
Eine quadratische Matrix A = (ai,j )(n,n) heißt
• Diagonalmatrix, wenn ai,j = 0 für i 6= j,
• Einheitsmatrix, wenn A eine Diagonalmatrix und ai,i =
1, i = 1, . . . , n, ist. Bezeichnung: En.
• symmetrisch, wenn aij = aji für alle 1 ≤ i, j ≤ n (symmetrisch bzgl. Hauptdiagonale).
Beispiele
µ
¶
3 0
,
0 −4


1 0 0
E3 = 0 1 0 ,
0 0 1


2 3 −1
 3 −2 4 
−1 4 5
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Rechenoperationen für Matrizen
Transposition
Sei A eine m × n-Matrix. Die transponierte Matrix zu A
ist dann eine n × m-Matrix B = (bij )(n,m), so dass bij = aji
gilt (Spiegelung an der Hauptdiagonalen“; Vertauschung von
”
Zeilen- und Spaltenvektoren). Bezeichnung: AT .
Beispiele
µ
¶
µ
¶
3 2
3
1
A=
,
AT =
,
1 −4
2 −4


µ
¶
2 1
2 3 −1
B=
,
B T =  3 −2 .
1 −2 4
−1 4
Addition von Matrizen
Es seien A = (aij )(m,n) und B = (bij )(m,n) Matrizen vom Typ
(m, n). Dann ist die Summe C von A und B, i.Z. C = A + B,
wieder eine Matrix vom Typ (m, n), C = (cij )(m,n), für die gilt
cij = aij + bij ,
1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Summen lassen sich nur von Matrizen gleichen Typs bilden.
Die Summe berechnet sich dann als Summe entsprechender
Matrixelemente.
Beispiel
¶
¶ µ
¶ µ
¶ µ
µ
4 4 6
3+1 2+2 6+0
1 2 0
3 2 6
.
=
=
+
4 5 11
1+3 0+5 5+6
3 5 6
1 0 5
Rechenregeln
A + B = B + A,
A + (B + C) = (A + B) + C.
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Multiplikation mit einer (reellen) Zahl (Skalaren)
Es sei A = (aij )(m,n) eine Matrix vom Typ (m, n) und λ eine
reelle Zahl. Dann ist das Produkt von λ und A, i.Z. λA, wieder
eine Matrix, C, vom Typ (m, n), C = (cij )(m,n), für die gilt
cij = λaij ,
1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Beispiel
µ
¶ µ
¶ µ
¶
3 2 4
3·3 3·2 3·4
9 6 12
3·
=
=
.
1 0 5
3·1 3·0 3·5
3 0 15
Rechenregeln
λ(µA) = (λµ)A
(λ + µ)A = λA + µA,
λ(A + B) = λA + λB.
(1)
Nachweis: Im allgemeinen Fall nachrechnen. Betrachten (1). Sei
A = (aij )(m,n), B = (bij )(m,n) und λ ∈ R. Dann gilt
λ(A + B) = λ((aij + bij )(m,n)) = (λ(aij + bij ))(m,n),
λA + λB = (λaij )(m,n) + (λbij )(m,n) = (λaij + λbij )(m,n).
Da λ(aij + bij ) = λaij + λbij folgt die Behauptung.
Matrixmultiplikation
Es seien A = (aij )(m,n) und B = (bjl )(n,k) Matrizen vom Typ
(m, n) bzw. (n, k). Dann ist das Produkt C von A und B, i.Z.
C = A · B = AB, eine Matrix vom Typ (m, k), C = (cil )(m,k),
für die gilt, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ l ≤ k,
cil = ai1bml + · · · + aimbml =
n
X
j=1
aij bjl .
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I. Steinke, Mathematik II für Chemiker
Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss gleich der Anzahl
der Zeilen der zweiten Matrix sein. Zur Berechnung von cil wird
die i-te Zeile von A mit der l-ten Spalte von B multipliziert“.
”
Beispiel: Das Produkt einer 2×3 und einer 3×2- Matrix ergibt
eine 2 × 2-Matrix. Stichwort: Schema nach Falk.
 
µ
¶
µ
¶ 1 2
3·1+2·4+4·0 3·2+2·3+4·6
3 2 4  
4 3 =
1·1+0·4+5·0 1·2+0·3+5·6
1 0 5
0 6
µ
¶
11 36
=
1 32
Rechenregeln
A(BC) = (AB)C,
λ(AB) = (λA)B = A(λB),
A(B + C) = AB + AC,
(A + B)C = AC + BC,
A = AEn = EmA,
(AB)T = B T AT .
(2)
Besonderheit. I.A. gilt nicht AB = BA.
µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶µ ¶
1 2
1 0
3 2
1 2
1 0
1 2
=
6=
=
.
3 4
1 1
7 4
4 6
1 1
3 4
Nachweis von (2): Sei A = (aij )(m,n), B = (bjk )(n,p), C =
(ckl )(p,q). Dann gilt
BC = (
AB = (
p
X
k=1
n
X
bjk ckl )1≤j≤n, A(BC) = (
1≤l≤q
aij bjk )1≤i≤m, (AB)C = (
j=1
Daraus folgt (2).
1≤k≤p
n
X
j=1
p
X
aij (
p
X
k=1
(
n
X
k=1 j=1
bjk ckl ))1≤i≤m,
1≤l≤q
aij bjk )ckl )1≤i≤m.
1≤l≤q