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Algorithmen und Datenstrukturen
Übung 6. Rot-Schwarz-Bäume
Top-Down 2.-3-4-Bäume
Zum Ausschluß des ungünstigsten Falls bei binären Suchbäumen ist eine gewisse Flexibilität in den
verwendeten Datenstrukturen nötig. Das kann bspw. durch Aufnahme von mehr als einem Schlüssel
in Baumknoten erreicht werden. So soll es 3-Knoten bzw. 4-Knoten geben, die 2 bzw. 3 Schlüssel
enthalten können:
- Ein 3-Knoten besitzt 3 von ihm ausgehende Verkettungen
-- eine für alle Datensätze mit Schlüsseln, die kleiner sind als seine beiden Schlüssel
-- eine für alle Datensätze, die zwischen den beiden Schlüsseln liegen
-- eine für alle Datensätze mit Schlüsseln, die größer sind als seine beiden Schlüssel.
- Ein 4-Knoten besitzt vier von ihm ausgehende Verkettungen, nämlich eine Verkettung für jedes der
Intervalle, die durch seine drei Schlüssel definiert werden.
Rot-Schwarz-Bäume
Es ist möglich 2-3-4-Bäume als gewöhnliche binäre Bäume (mit nur zwei Knoten) darzustellen, wobei
nur ein zusätzliches Bit je Knoten verwendet wird. Die Idee besteht darin, 3-Knoten und 4-Knoten als
kleine binäre Bäume darzustellen, die durch „rote“ Verkettungen miteinander verbunden sind, im
Gegensatz zu den schwarzen Verkettungen, die den 2-3-4-Baum zusammenhalten:
oder
Abb.: Rot-schwarze Darstellung von Bäumen
4-Knoten werden als 2-Knoten dargestellt, die mittels einer roten Verkettung verbunden sind.
3-Knoten werden als zwei –Knoten dargestellt, die mit einer roten Markierung verbunden sind.
Zu jedem 2-3-4-Baum gibt es viele ihm entsprechende Rot-Schwarz-Bäume.
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Algorithmen und Datenstrukturen
Eine Variante von Rot-schwarz-Bäumen
Nach jeder Einfüge-Operation bzw. Entferne-Operation lassen sich Rot-Scwarz-Bäume durch
Rotationen ausgleichen.
Eine Variante von Rot-Schwarz-Bäumen ist durch folgende Farbeigenschaften definiert:
1. Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz gefärbt.
2. der Wurzelknoten ist schwarz gefärbt.
3. Falls ein Knoten rot gefärbt ist, müssen seine Nachfolger schwarz gefärbt sein.
4. Jeder Pfad von einem Knoten zu einer „Null-Referenz“ muß die gleiche Anzahl von schwarzen
Knoten enthalten.
Eine Folgerung dieser Farbregeln ist: Die Höhe eines Rot-Schwarz-Baums ist etwa 2  log( N  1) .
Aufgabe: Ermittle, welche Gestalt jeweils ein nach den vorliegenden Farbregeln erstellte Rot-SchwarzBaum beim einfügen folgenden Schlüssel „10 85 15 70 20 60 30 50 65 80 90 40 5 55“ annimmt
10
10
85
10
85
15
15
10
85
70
15
10
85
70
20
15
10
70
20
85
60
15
10
70
20
85
60
2
Algorithmen und Datenstrukturen
30
15
10
70
30
85
20
60
50
30
15
10
70
20
60
85
50
65
30
15
10
70
20
60
85
50
65
80
30
15
10
70
20
60
85
50
65
80
90
30
15
10
70
20
60
85
50
65
3
80
90
Algorithmen und Datenstrukturen
40
30
15
70
10
20
60
85
50
65
80
90
40
5
30
15
70
10
20
60
5
85
50
65
80
90
40
55
30
15
70
10
20
60
5
85
50
40
65
9
85
55
80
90
Die Abbildungen zeigen, daß im durchschnitt der Rot-Schwarz-Baum ungefähr die Tiefe eines AVLBaums besitzt.
Der Vorteil von Rot-Schwarz-Bäumen ist der geringere Overhead zur Ausführung von
Einfügevorgängen und die geringere Anzahl von Rotationen.
„Top-Down“ Rot-Schwarz-Bäume
Kann auf dem Weg nach unten festgestellt werden, daß ein Knoten X zwei rote Nachfolgeknoten hat,
dann wird X rot und die beiden „Kinder“ schwarz:
X
c1
X
c2
c1
c2
Das führt zu einem Verstoß gegen Bedingung 3, falls der Vorgänger von X auch rot ist. In diesem Fall
können aber geeignete Rotationen herangezogen werden:
4
Algorithmen und Datenstrukturen
G
P
P
S
X
C
X
A
G
A
B
B
S
C
G
P
X
S
X
P
G
C
A
A
B1
B1
B2
B2
S
C
Der folgende Fall kann nicht eintreten: Der Nachbar vom Elternknoten ist rot gefärbt. Auf dem Weg
nach unten muß der Knoten mit zwei roten Nachfolgern einen schwarzen Großvaterknoten haben.
Implementierung
Sie wird dadurch erschwert, daß einige Teilbäume (z.B. der rechte teilbaum des Knoten 10 im
vorliegenden Bsp.) leer sein können, und die Wurzel des baums (, da ohne Vorgänger, ) einer
speziellen Behandlung bedarf. Aus diesem Grund werden hier „Sentinel“-Knoten verwendet:
- eine für die Wurzel. Dieser Knoten speichert den Schlüssel   und einen rechten Link zu dem
realen Knoten
- einen Nullknoten (nullNode), der eine Null-Referenz anzeigt.
Der Inorder-Durchlauf nimmt aus diesem Grund folgende Gestalt an:
/*
Ausgabe der im Baum gespeicherten Datenelemente in sortierter
Reihenfolge.
*/
public void printTree( )
{
if( isEmpty() )
System.out.println("Leerer Baum");
else
printTree( header.rechts );
}
/*
* Interne Methode fuer die Ausgabe des Baum in sortierter Reihenfolge.
* b ist der Wurzelknoten.
*/
private void printTree(RotSchwarzKnoten b)
{
if (b != nullNode )
{
printTree(b.links);
System.out.println(b.daten );
printTree(b.rechts );
}
}
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